專題12填空題重點(diǎn)出題方向含參方程（組）含參不等式（組）中字母取值及取值范圍（解析版）

專題12填空題重點(diǎn)出題方向含參方程（組）含參不等式（組）中字母取值及取值范圍

模塊一2022中考真題集訓(xùn)

類型一求含參方程（組）的字母取值

1．（2022?巴中）、是關(guān)于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且2﹣2﹣＝4，則k的值為﹣

4．αβααβ

思路引領(lǐng)：2﹣2﹣＝2﹣﹣（+）＝4，然后根據(jù)方程的解的定義以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)

系，得到關(guān)α于k的α一元β一α次方α程，即α可β解得答案．

解：∵、是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，

∴2﹣α+k﹣β1＝0，+＝1，

∴α2﹣2α﹣＝2﹣α﹣β（+）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，

∴kα＝﹣4α，βαααβ

故答案是：﹣4．

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

2．（2022?資陽）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，則2a2+4a的值是6．

思路引領(lǐng)：將a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a(bǔ)2+2a＝3整體代入2a2+4a，即可得出答案．

解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個(gè)根，

∴a2+2a﹣3＝0，

∴a2+2a＝3，

∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，

故答案為：6．

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的根的定義，整體思想的應(yīng)用是本題的關(guān)鍵．

222

3．（2022?日照）關(guān)于x的一元二次方程2x+4mx+m＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1+x2，則m

3

=

＝．16

1

?

8222

思路引領(lǐng)：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2，再由x1+x2變形得到（x1+x2）﹣

?3

==

2216

2x1x2，即可得到4m﹣m，然后解此方程即可．

33

=16=16

解：根據(jù)題意得x1+x2＝﹣2m，x1x2，

?

=

222

∵x1+x2，

3

=16

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2

∴（x1+x2）﹣2x1x2，

3

=

∴4m2﹣m，16

3

=16

∴m1，m2，

13

∵Δ＝=?168m2﹣8=m＞80，

∴m＞或m＜0，

1

∴m2不合題意，

3

=

故答案8為：．

1

?

82

總結(jié)提升：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，

?

=??

x1x2．

?

=

4．（2022??連云港）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個(gè)根是x＝1，則m+n的值是1．

思路引領(lǐng)：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．

解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，

解得m+n＝1．

故答案為：1．

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方

程的解．

5．（2022?安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m＝2．

思路引領(lǐng)：根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出結(jié)論．

解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ＝16﹣8m＝0，

解得：m＝2．

∴m＝2．

故答案為：2．

總結(jié)提升：本題考查了根的判別式以及解一元一次方程，牢記“當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根”

是解題的關(guān)鍵．

22

6．（2022?內(nèi)江）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且x1+2x2﹣1，則k的

?2?1

+=

?1?2

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值為2．

22

思路引領(lǐng)：根據(jù)x1、x2是關(guān)于x的方程x﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，可得x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x1

2

﹣2x1+k﹣1＝0，把x1+2x2﹣1變形再整體代入可得4﹣k，解出k的值，并檢驗(yàn)即

2

?2?12?2(??1)

+==

可得k＝2．?1?2??1

2

解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，

2

∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x1﹣2x1+k﹣1＝0，

2

∴x1＝2x1﹣k+1，

2

∵x1+2x2﹣1，

?2?1

+=

?1?2

∴2（x1+x2）﹣k，

2

(?1+?2)?2?1?2

12=

∴??4﹣k，

2

2?2(??1)

=

解得k?＝?21或k＝5，

當(dāng)k＝2時(shí)，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；

當(dāng)k＝5時(shí)，關(guān)于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意；

∴k＝2，

故答案為：2．

總結(jié)提升：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

出x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，從而根據(jù)已知得到關(guān)于k的方程，注意最后要由求得的k值檢驗(yàn)原方程是否

有實(shí)數(shù)根．

7．（2022?雅安）已知是方程ax+by＝3的解，則代數(shù)式2a+4b﹣5的值為1．

?=1

思路引領(lǐng)：把x與y?的=值2代入方程計(jì)算得到a+2b的值，原式變形后代入計(jì)算即可求出值．

解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，

?=1

則原式＝?2=（2a+2b）﹣5

＝2×3﹣5

＝6﹣5

＝1．

故答案為：1．

總結(jié)提升：此題考查了二元一次方程的解，以及代數(shù)式求值，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未

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知數(shù)的值．

類型二求含參方程（組）的字母取值范圍

8．（2022?徐州）若一元二次方程x2+x﹣c＝0沒有實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是c＜．

1

思路引領(lǐng)：根據(jù)判別式的意義得到＝12+4c＜0，然后解不等式即可．?4

解：根據(jù)題意得Δ＝12+4c＜0，

解得c＜．

1

?

故答案為：4c＜．

1

總結(jié)提升：本題?考4查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．

9．（2022?東營）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k

＜2且k≠1．

思路引領(lǐng)：根據(jù)一元二次方程解的定義和根的判別式的意義得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）

＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．

解：根據(jù)題意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，

解得k＜2且k≠1，

所以k的取值范圍是k＜2且k≠1．

故答案為：k＜2且k≠1．

總結(jié)提升：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：

當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無

實(shí)數(shù)根．

10．（2022?遼寧）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k

＞2．

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可得Δ＝b2﹣4ac＞0，從而可求得相應(yīng)的k的范圍．

解：∵一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，

即22﹣4×1×（﹣k+3）＞0，

解得：k＞2．

故答案為：k＞2．

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總結(jié)提升：本題主要考查根的判別式，解答的關(guān)鍵是是熟記根的判別式：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．

11．（2022?宿遷）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≤1．

思路引領(lǐng)：先計(jì)算根的判別式，根據(jù)一元二次方程解的情況得不等式，求解即可．

解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k

＝4﹣4k．

又∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有實(shí)數(shù)根，

∴4﹣4k≥0．

∴k≤1．

故答案為：k≤1．

總結(jié)提升：本題考查了根的判別式，掌握“Δ＝b2﹣4ac”及根的判別式與一元二次方程解的情況是解決

本題的關(guān)鍵．

12．（2022?黃石）已知關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是a＜1且a≠0．

11?+?

+=

思路引領(lǐng)：先求整式方程的解，然?后再?+解1不等?式(?組+1即)可，需要注意分式方程的分母不為0．

解：去分母得：x+1+x＝x+a，

解得：x＝a﹣1，

∵分式方程的解為負(fù)數(shù)，

∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1，

∴a＜1且a≠0，

∴a的取值范圍是a＜1且a≠0，

故答案為：a＜1且a≠0．

總結(jié)提升：本題主要考查的是解分式方程、解一元一次不等式，明確分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．

13．（2022?威海）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是m

＜5．

思路引領(lǐng)：根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得Δ＞0，代入求解即可．

解：由題意可得，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（m﹣1）＝20﹣4m＞0，

解得m＜5．

故答案為：m＜5．

總結(jié)提升：本題考查一元二次方程根的判別式，牢記：根的判別式為Δ＝b2﹣4ac，若一元二次方程

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ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＞0；若有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝0，；若無實(shí)數(shù)根，則Δ

＜0．

類型三求含參不等式（組）的字母取值范圍

．（?內(nèi)蒙古）關(guān)于的不等式組無解，則的取值范圍是≥．

142022x＜aa2

5?3?≥?1

思路引領(lǐng)：先把a(bǔ)當(dāng)作已知條件求出各??不?等式0的解集，再根據(jù)不等式組無解求出a的取值范圍即可．

解：，

＜

5?3?≥?1①

由①得??：?x≤20，②

由②得：x＞a，

∵不等式組無解，

∴a≥2，

故答案為：a≥2．

總結(jié)提升：此題主要考查了解一元一次不等式組，關(guān)鍵是掌握解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小

小大中間找；大大小小解沒了．

．（?綿陽）已知關(guān)于的不等式組無解，則的取值范圍是＜．

152022x＜0

2?+3≥?+?111

2?+5

思路引領(lǐng)：分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到并結(jié)合不等式組的?解≤集5可得答案．

3?32???

解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，

解不等式3＜2﹣x，得：x＜2，

2?+5

?

∵不等式組3無解，

∴m﹣3≥2，

∴m≥5，

∴0＜，

11

≤

故答案?為：50＜．

11

總結(jié)提升：本題?考≤查5的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；

同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

＜

16．（2022?達(dá)州）關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是2≤a＜3．

??+?2

3??1

思路引領(lǐng)：首先確定不等式組的解集2，先≤利?用+含1a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)就可以確定有哪些整

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數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．

＜

解：，

??+?2①

3??1

解不等式2①≤得?：+x1＞②a﹣2，

解不等式②得：x≤3，

∴不等式組的解集為：a﹣2＜x≤3，

∵恰有3個(gè)整數(shù)解，

∴0≤a﹣2＜1，

∴2≤a＜3，

故答案為：2≤a＜3．

總結(jié)提升：考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，

同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．本題要根據(jù)整數(shù)解的取值情況分情況討論結(jié)果，取出

合理的答案．

＜

17．（2022?黑龍江）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x＜2，則a的取值范圍是a≥2．

＜

2??13

思路引領(lǐng)：不等式組整理后，根據(jù)已知解集，利?用?同?小取0小法則判斷即可確定出a的范圍．

＜

解：不等式組整理得：，

＜

?2

∵不等式組的解集為x＜?2，?

∴a≥2．

故答案為：a≥2．

總結(jié)提升：此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組取解集的方法是解本題的關(guān)鍵．

18．（2022?攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次

不等式組的關(guān)聯(lián)方程．若方程﹣＝是關(guān)于的不等式組的關(guān)聯(lián)方程，則的取值范圍是

x10x＜n

1??2≤?

1≤n＜3．32??2?0

思路引領(lǐng)：先解方程﹣＝得＝，再利用新定義得到，然后解的不等式組即可．

x10x3＜n

11≤?

解：解方程x﹣1＝03得x＝3，2??60

1

∵＝為不3等式組的解，

x3＜

??2≤?

2??2?0

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∴，

＜

1≤?

解得2?1?≤6n＜30，

即n的取值范圍為：1≤n＜3，

故答案為：1≤n＜3．

總結(jié)提升：本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，

再求出這些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解．

模塊二2023中考押題預(yù)測

19．（2023?沭陽縣模擬）若x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，則2021﹣2a﹣4b的值為

2023．

思路引領(lǐng)：將x＝1代入原方程，可得出a+2b＝﹣1，再將其代入2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）中，

即可求出結(jié)論．

解：將x＝1代入原方程得：1+a+2b＝0，

∴a+2b＝﹣1，

∴2021﹣2a﹣4b＝2021﹣2（a+2b）＝2021﹣2×（﹣1）＝2023．

故答案為：2023．

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的解，將方程的解代入原方程，求出a+2b是解題的關(guān)鍵．

20．（2023?本溪模擬）如果關(guān)于x的方程kx2﹣3x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是k且k≠0．

9

思路引領(lǐng)：根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進(jìn)而可以得到關(guān)于k的≤不4等式，解得

即可，同時(shí)還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．

解：∵關(guān)于x的方程kx2﹣3x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴Δ＝b2﹣4ac≥0且k≠0，

即9﹣4k≥0，

解得k，

9

≤

∴k的取值4范圍為k且k≠0．

9

≤

故答案為：k且k≠40．

9

總結(jié)提升：本≤題4考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元

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二次方程的定義．

21．（2022?淮陰區(qū)模擬）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一個(gè)根為1，則m＝3．

思路引領(lǐng)：把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0得12﹣m+2＝0，然后解關(guān)于m的方程．

解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一個(gè)根為1，

∴12﹣m+2＝0，

解得m＝3，

故答案為：3．

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方

程的解．

22．（2022?隴西縣校級(jí)二模）關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一個(gè)根為0，則a＝1．

思路引領(lǐng)：把x＝0代入方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0中得：a2﹣1＝0，從而可得：a＝±1，然后再根據(jù)

一元二次方程的定義可得a+1≠0，從而可得a≠﹣1，即可解答．

解：把x＝0代入方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0中得：

a2﹣1＝0，

解得：a＝±1，

∵a+1≠0，

∴a≠﹣1，

∴a＝1，

故答案為：1．

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的解，以及的

一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．

23．（2022?嶧城區(qū)校級(jí)模擬）若分式方程有增根，則m的值為﹣1．

???

?4=

思路引領(lǐng)：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式?方?6程，由分6式??方程有增根求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求

出m的值．

解：分式方程的最簡公分母為x﹣6，

去分母得：x﹣4（x﹣6）＝﹣mx，

x﹣4x+24＝﹣mx，

x，

24

=3??

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由分式方程有增根，得到x﹣6＝0，

解得：x＝6，

則m＝﹣1，

故答案為：﹣1．

總結(jié)提升：本題考查了分式方程的增根，掌握增根的確定步驟是關(guān)鍵．

24．（2022?海州區(qū)校級(jí)二模）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取

值范圍為m＜．

9

思路引領(lǐng)：根據(jù)一4元二次方程根的判別式可知Δ＞0，解不等式即可求解．

解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ＞0，

即9﹣4m＞0．

解得m＜．

9

故答案為：4m＜．

9

總結(jié)提升：本題4考查了根的判別式，解決本題的關(guān)鍵是得出Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

25．（2022?湘潭縣校級(jí)模擬）已知關(guān)于x方程x2﹣3x+a＝0有一個(gè)根為﹣1，則方程的另一個(gè)根為4．

思路引領(lǐng)：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，根據(jù)兩根之和等于，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即

?

可得出結(jié)論．??

解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，

根據(jù)題意得：﹣1+m＝3，

解得：m＝4．

故答案為：4．

總結(jié)提升：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于是解題的關(guān)鍵．

?

26．（2022?香洲區(qū)校級(jí)三模）若關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣3x?+2?＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么a的取值范圍是

a且a≠0．

9

思≤路8引領(lǐng)：先根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣3x+2＝0有實(shí)數(shù)根得出Δ≥0，a≠0，求出a的取值范圍

即可．

解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣3x+2＝0有實(shí)數(shù)根，

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∴Δ＝9﹣4a×2≥0且a≠0，

解得a且a≠0．

9

≤

故答案為8：a且a≠0．

9

總結(jié)提升：本≤題8考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關(guān)

系是解答此題的關(guān)鍵．

27．（2022?江都區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（2﹣m，m﹣6）在第三象限，則整數(shù)m的值為

3或4或5．

思路引領(lǐng)：根據(jù)第三象限橫縱坐標(biāo)都為負(fù)，確定出m的范圍，進(jìn)而確定出整數(shù)m的值即可．

解：∵在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M（2﹣m，m﹣6）在第三象限，

＜

∴，

＜

2??0

解得?：?2＜6m0＜6，

則整數(shù)m的值為3或4或5．

故答案為：3或4或5．

總結(jié)提升：此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解一元一次不等式組，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握第

三象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解本題的關(guān)鍵．

28．（2022?香洲區(qū)校級(jí)三模）關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則

k的取值范圍是k＞且k≠0．

1

思路引領(lǐng)：利用一元二?次4方程的定義和判別式的意義得到k≠0且Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k?（k﹣2）＞0，

然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．

解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k?（k﹣2）＞0，

解得k＞且k≠0．

1

?

故答案為：4k＞且k≠0．

1

總結(jié)提升：本題?考4查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：

當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無

實(shí)數(shù)根．

29．（2022?巴州區(qū)校級(jí)模擬）若關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣mx+2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為±

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4．

思路引領(lǐng)：根據(jù)“關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣mx+2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，結(jié)合根的判別式公式，

得到關(guān)于m的一元一次方程，解之即可．

解：根據(jù)題意得：

Δ＝（﹣m）2﹣4×2×2＝0，

整理得：m2﹣16＝0，

解得：m＝±4，

故答案為：±4．

總結(jié)提升：本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關(guān)鍵．

＞

30．（2022?柘城縣校級(jí)三模）已知關(guān)于x不等式組，其中實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)是如圖所示的

＜

5?2?3

點(diǎn)A，則不等式組的解集為x＜1．???0

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可得：a＞1，然后按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

解：由題意得：a＞1，

＞

，

＜

5?2?3①

解?不?等?式0①②得：x＜1，

解不等式②得：x＜a，

∴原不等式組的解集為：x＜1，

故答案為：x＜1．

總結(jié)提升：本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式

組的步驟是解題的關(guān)鍵．

31．（2022?新化縣模擬）設(shè)a，b分別是方程x2+x﹣2023＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值是2022．

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意得a2+a﹣2023＝0，即a2+a＝2023，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝﹣1，代入整理

后的代數(shù)式求值．

解：a，b分別是方程x2+x﹣2023＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2023＝0，

∴a2+a＝2023，

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故a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2023﹣1＝2022．

故答案為：2022．

總結(jié)提升：此題主要考查了一元二次方程的根，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的

根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2，x1?x2．

??

32．（2022?嶧城區(qū)校級(jí)模擬）已=知?不?等式3=x﹣?m＜4（x+1）的負(fù)整數(shù)解有且只有三個(gè)，則m的取值范圍是﹣

1＜m≤0．

思路引領(lǐng)：解不等式得x＞﹣4﹣m，由于只有三個(gè)負(fù)整數(shù)解，故可判斷﹣4﹣m的取值范圍，再解不等式

組求出m的取值范圍．

解：去括號(hào)，得：3x﹣m＜4x+4，

移項(xiàng)，得：3x﹣4x＜4+m，

合并同類項(xiàng)，得：﹣x＜4+m，

系數(shù)化為1，得：x＞﹣4﹣m，

∵不等式的負(fù)整數(shù)解只有三個(gè)，

∴﹣4≤﹣4﹣m＜﹣3，

解得：﹣1＜m≤0．

故答案為：﹣1＜m≤0．

總結(jié)提升：本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解．正確解不等式，求出負(fù)整數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．解不

等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．

33．（2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬）若方程（a﹣1）x2x＝1是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是a

≥0且a≠1．+?

思路引領(lǐng)：根據(jù)一元二次方程的定義得到a﹣1≠0；由二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)得到a≥0．

解：∵方程（a﹣1）x2x＝1是關(guān)于x的一元二次方程，

∴a≥0且a﹣1≠0，+?

解得a≥0且a≠1．

故答案是：a≥0且a≠1．

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且二次根式的被開方

數(shù)大于等于0．

34．（2022?嶧城區(qū)校級(jí)模擬）若方程x2﹣4＝0的正數(shù)根也是關(guān)于x的方程x2+mx+6＝0的一個(gè)根，則方程

x2+mx+6＝0的另一個(gè)根為3．

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思路引領(lǐng)：先求出方程2x﹣4＝0的解，再設(shè)方程的另一根為x1，可將該方程的已知根2和設(shè)的根一起代

入兩根之積公式列出方程，解方程即可求出方程的另一根．

解：x2﹣4＝0，

解得：x＝±2，

設(shè)方程的另一根為x1，

又∵x2＝2，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1?x2＝x1×2＝6，

∴x1＝3．

故答案為：3．

總結(jié)提升：本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元一次方程的解，此題也可將求出的x＝2代入方程

x2+mx+6＝0中求出m的值，再解方程求方程的另一根．

35．（2022?天河區(qū)校級(jí)模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值

范圍是k＜2．

思路引領(lǐng)：根據(jù)根的判別式即可求出答案．

解：由題意可知：Δ＝4﹣4（2k﹣3）＞0，

∴k＜2，

故答案為：k＜2．

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．

36．（2022?嘉峪關(guān)一模）關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是且a≠0．

1

思路引領(lǐng)：由方程是一元二次方程得出a≠0，再由方程有實(shí)數(shù)根得出Δ＝b2﹣4ac≥0，?即≤可4得出結(jié)論．

解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有實(shí)數(shù)根，

∴a≠0，Δ＝1﹣4×a×1≥0，

∴且a≠0，

1

?≤

故答案4為：且a≠0．

1

總結(jié)提升：?此≤題4主要考查了一元二次方程的定義，根的判別式，利用根的判別式建立不等式是解本題的

關(guān)鍵，注意不要漏掉a≠0的情況．

37．（2022?武江區(qū)校級(jí)二模）設(shè)a，b是方程x2+x﹣2022＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為2021．

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思路引領(lǐng)：先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2＝﹣a+2022，則a2+2a+b＝a+b+2022，然后根據(jù)根與

系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝﹣1，再利用整體代入的方法計(jì)算．

解：a是方程x2+x﹣2022＝0的實(shí)數(shù)根，

∴a2+a﹣2022＝0，

∴a2＝﹣a+2022，

∴a2+2a+b＝a+b+2022，

∵，

1

∴a?2+2?a+=b?＝1a+=b?+21022＝2021，

故答案為：2021．

總結(jié)提升：本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵．

38．（2022?瀘縣校級(jí)一模）已知，是方程x2+2x﹣2022＝0的實(shí)數(shù)根，求2++2的值為0．

思路引領(lǐng)：由已知中，是方α程βx2+2x﹣2022＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合根α與系αβ數(shù)的α關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可．

解：，是方程x2+2αx﹣β2022＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

可得α+β＝﹣2，＝﹣2022，2++2＝（+）+2＝﹣2+2＝0．

所以α2+β+2的α值β為0．ααβαααβααα

故答案α為α：β0．α

總結(jié)提升：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與關(guān)系，若，是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）

的兩根時(shí)，，．αβ

??

?+?=???=2

39．（2022?海陵區(qū)校級(jí)三?模）關(guān)于?x的一元二次方程x﹣2mx﹣4＝0的兩根是x1、x2，若x1+x2＝x1x2，則m

的值等于﹣2．

思路引領(lǐng)：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2m，x1x2＝﹣4，則2m＝4，然后解方程即可．

解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2m，x1x2＝﹣4，

∵x1+x2＝x1x2，

∴2m＝﹣4，

解得m＝﹣2．

故答案為：﹣2．

2

總結(jié)提升：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2，

?

=??

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x1x2．

?

=?＞

40．（2022?呼和浩特模擬）若關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是7

2?+312

≤a＜8．???≤0

＞

思路引領(lǐng)：先解出不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，即可得到a的取值

2?+312

范圍．???≤0

＞

解：，

2?+312①

解不等式，得：＞，

??①?≤0②x4.5

解不等式②，得：x≤a，

＞

∵關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，

2?+312

∴這三個(gè)整數(shù)解是5，?6?，?7，≤0

∴7≤a＜8，

故答案為：7≤a＜8．

總結(jié)提升：本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．

2

41．（2022?景德鎮(zhèn)模擬）已知x1，x2是一元二次方程x+bx+4＝0的兩根，且x1﹣x1x2+x2＝2，則b＝﹣

6．

思路引領(lǐng)：利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝﹣b，x1x2＝4，結(jié)合x1﹣x1x2+x2＝2，即可求出b的值．

2

解：∵x1，x2是一元二次方程x+bx+4＝0的兩根，

∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝4，

又∵x1﹣x1x2+x2＝2，即﹣b﹣4＝2，

解得：b＝﹣6，

∴b的值為﹣6．

故答案為：﹣6．

總結(jié)提升：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．

??

?

22??

42．（2022?寧南縣模擬）方程x﹣2（m+1）x+m＝0的兩個(gè)根分別為x1，x2，當(dāng)m滿足時(shí)，

22

112

有最小值．?2?+??

1222

?思?路引領(lǐng)：利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和和兩根之積，再把x1+x2﹣x1x2配方即可求出當(dāng)m滿足何

22

條件時(shí)，x1+x2﹣x1x2有最小值．

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22

解：∵方程x﹣2（m+1）x+m＝0的兩個(gè)根分別為x1、x2，

2

∴x1+x2＝2（m+1），x1?x2＝m，

222

∵x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣3x1x2，

∴4（m+1）2﹣3m2＝（m+4）2﹣12，

22

∵x﹣2（m+1）x+m＝0的兩個(gè)根分別為x1、x2，

∴Δ＝4（m+1）2﹣4m2≥0，

∴m，

1

∴當(dāng)≥m?+24＝0即m＝﹣4時(shí)，代入原方程無解．

∴當(dāng)m時(shí)，有最小值；

1

=?

故答案為：2．

1

?

總結(jié)提升：本題2考查了根與系數(shù)的關(guān)系，若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程

2

ax+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2，x1x2，反過來也成立，即（x1+x2），x1x2．

????

=?=2=?=

43．（2022?赫章縣模擬）已知實(shí)數(shù)a是一元二?次方程x?﹣2022x+1＝0的一實(shí)?數(shù)根，則代數(shù)式?

2

??2021??

的值為﹣1．

2

?+1

思20路22引領(lǐng)：把x＝a代入方程，推出a2﹣2022a＝﹣1，a2+1＝2022a，然后整體代入所求的代數(shù)式求值即

可．

解：∵實(shí)數(shù)a是一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的一實(shí)數(shù)根，

∴a2﹣2022a+1＝0．

∴a2﹣2022a＝﹣1，a2+1＝2022a．

∴

2

2?+1

??2021??

＝a2﹣2022a+a2022

2022?

＝﹣1+a﹣a?2022

＝﹣1．

故答案為：﹣1．

總結(jié)提升：本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解方程解的定義．

＞

44．（2022?金鳳區(qū)校級(jí)二模）若關(guān)于x的不等式組無解，則m的取值范圍m≤3．

＜

???2

??2??1

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思路引領(lǐng)：分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集得出關(guān)于m的取值范圍，繼而可得答案．

解：由x﹣m＞2，得：x＞m+2，

由x﹣2m＜﹣1，得：x＜2m﹣1，

∵不等式組無解，

∴m+2≥2m﹣1，

解得m≤3，

故答案為：m≤3．

總結(jié)提升：本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；

同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

45．（2022?章丘區(qū)模擬）當(dāng)m≤8且m≠7時(shí)，分式方程的解是非負(fù)數(shù)．

7?

?1=

思路引領(lǐng)：表示出分式方程的解，由分式方程的解為非負(fù)?數(shù)?確1定出m?的?范1圍即可．

解：去分母得：7﹣（x﹣1）＝m，

解得：x＝8﹣m，

∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且8﹣m≠1，

∴8﹣m≥0且m≠7，

解得：m≤8且m≠7．

故答案為：≤8且m≠7．

總結(jié)提升：此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，始終注意分母不為0這個(gè)條件．

46．（2022?南崗區(qū)校級(jí)模擬）已知一元二次方程（k﹣3）x2﹣（k﹣3）x0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k

1

的值是4．+4=

思路引領(lǐng)：由關(guān)于一元二次方程（k﹣3）x2﹣（k﹣3）x0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即可得根的判別式