專題27 解答題重點出題方向幾何綜合題（不含圓）專項訓(xùn)練（原卷版）

專題27解答題重點出題方向幾何綜合題（不含圓）專項訓(xùn)練（原卷版）

模塊一2022中考真題集訓(xùn)

1．（2022?西藏）如圖，在矩形ABCD中，ABBC，點F在BC邊的延長線上，點P是線段BC上一點（與

1

點，不重合），連接并延長，過點作⊥，垂足為．

BCAP=C2CGAPE

（1）若CG為∠DCF的平分線．請判斷BP與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）若AB＝3，△ABP≌△CEP，求BP的長．

2．（2022?徐州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、

PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．

（1）∠EDC的度數(shù)為°；

（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；

（3）PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（4）求的最大值．

??

??

3．（2022?鎮(zhèn)江）已知，點E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上．

（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH是正方形時，求證：AE+AH＝AB；

（2）如圖2，已知AE＝AH，CF＝CG，當(dāng)AE、CF的大小有關(guān)系時，四邊形EFGH是矩形；

（3）如圖3，AE＝DG，EG、FH相交于點O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的邊長為16，F(xiàn)H長

為20，當(dāng)△OEH的面積取最大值時，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．

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4．（2022?阜新）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，

連接AE，CF．

（1）如圖1，求證：△ADE≌△CDF；

（2）直線AE與CF相交于點G．

①如圖2，BM⊥AG于點M，BN⊥CF于點N，求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3，連接BG，若AB＝4，DE＝2，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值．

5．（2022?東營）△ABC和△ADF均為等邊三角形，點E、D分別從點A，B同時出發(fā)，以相同的速度沿AB、

BC運動，運動到點B、C停止．

（1）如圖1，當(dāng)點E、D分別與點A、B重合時，請判斷：線段CD、EF的數(shù)量關(guān)系是，位置

關(guān)系是；

（2）如圖2，當(dāng)點E、D不與點A，B重合時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若

不成立，請說明理由；

（3）當(dāng)點D運動到什么位置時，四邊形CEFD的面積是△ABC面積的一半，請直接寫出答案；此時，

四邊形BDEF是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并給予證明．

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6．（2022?衢州）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，BD為對角線．點E是邊AB延長線上的任意一點，連結(jié)

DE交BC于點F，BG平分∠CBE交DE于點G．

（1）求證：∠DBG＝90°．

（2）若BD＝6，DG＝2GE．

①求菱形ABCD的面積．

②求tan∠BDE的值．

（3）若BE＝AB，當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一點T，使GT為定

值，說明理由并求出ET的值．

7．（2022?朝陽）【思維探究】

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD

＝AC．

小明的思路是：延長CD到點E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC

＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請你幫助小明寫

出完整的證明過程．

【思維延伸】

（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【思維拓展】

（3）在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AC與BD相交于點O．若四邊形ABCD

中有一個內(nèi)角是75°，請直接寫出線段OD的長．

=6

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8．（2022?菏澤）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D，在DA上取點E，使DE＝DC，連

接BE、CE．

（1）直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；

（2）如圖2，將△BED繞點D旋轉(zhuǎn)，得到△B′E′D（點B′、E′分別與點B、E對應(yīng)），連接CE′、

AB′，在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致？請

說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)△BED繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線CE′與AD、AB′分別交于點G、F，若CG＝

FG，DC，求AB′的長．

=3

9．（2022?安順）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD邊上的一點，連接CE，將矩形ABCD

沿CE折疊，頂點D恰好落在AB邊上的點F處，延長CE交BA的延長線于點G．

（1）求線段AE的長；

（2）求證四邊形DGFC為菱形；

（3）如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動點（與端點不重合），且∠DMN＝∠DCM，設(shè)DN＝x，

是否存在這樣的點N，使△DMN是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

10．（2022?黔西南州）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點（點E不與點B，C重合），

且∠EAF＝45°．

（1）當(dāng)BE＝DF時，求證：AE＝AF；

（2）猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）連接AC，G是CB延長線上一點，GH⊥AE，垂足為K，交AC于點H且GH＝AE．若DF＝a，CH

＝b，請用含a，b的代數(shù)式表示EF的長．

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11．（2022?鄂爾多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．

（1）如圖1，點E、F分別是線段BD、AD上的點，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點M，則AE

與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

（2）如圖2，點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點M．

①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；

③若DM＝6，ED＝12，求EM的長．

2

12．（2022?益陽）如圖，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD邊上一點（不與點C重合），作AF⊥

BE于F，CG⊥BE于G，延長CG至點C′，使C′G＝CG，連接CF，AC′．

（1）直接寫出圖中與△AFB相似的一個三角形；

（2）若四邊形AFCC′是平行四邊形，求CE的長；

（3）當(dāng)CE的長為多少時，以C′，F(xiàn)，B為頂點的三角形是以C′F為腰的等腰三角形？

13．（2022?日照）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分別是邊AC，BC

上的點，以CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設(shè)CM＝a，CN＝b，若ab＝8．

（1）判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；

（2）①當(dāng)a＝b時，求∠ECF的度數(shù)；

②當(dāng)a≠b時，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．

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14．（2022?濟寧）如圖，△AOB是等邊三角形，過點A作y軸的垂線，垂足為C，點C的坐標(biāo)為（0，）．P

是直線AB上在第一象限內(nèi)的一動點，過點P作y軸的垂線，垂足為D，交AO于點E，連接AD，作DM

3

⊥AD交x軸于點M，交AO于點F，連接BE，BF．

（1）填空：若△AOD是等腰三角形，則點D的坐標(biāo)為；

（2）當(dāng)點P在線段AB上運動時（點P不與點A，B重合），設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m．

①求m值最大時點D的坐標(biāo)；

②是否存在這樣的m值，使BE＝BF？若存在，求出此時的m值；若不存在，請說明理由．

15．（2022?綿陽）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝2，AB＝4，AD＝2，動點E、F同時從A點出發(fā)，

點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當(dāng)點E，F(xiàn)相遇時停止運動．

3

（1）如圖1，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當(dāng)運動時間為秒時，設(shè)CE

2

與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；

3

（2）如圖2，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，△AEF

的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值為多少？

3

（3）如圖3，H在線段AB上且AHHB，M為DF的中點，當(dāng)點E、F分別在線段AD、AB上運動時，

1

探究點、在什么位置能使＝，并說明理由．

EFEM=HM3

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16．（2022?上海）如圖，在ABCD中，P是線段BC中點，聯(lián)結(jié)BD交AP于點E，聯(lián)結(jié)CE．

（1）如果AE＝CE．

?

ⅰ．求證：ABCD為菱形；

ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求線段BD的長；

?

（2）分別以AE，BE為半徑，點A，B為圓心作圓，兩圓交于點E，F(xiàn)，點F恰好在射線CE上，如果

CEAE，求的值．

??

=2

??

17．（2022?盤錦）在△ABC中，AC＝BC，點D在線段AB上，連接CD并延長至點E，使DE＝CD，過點

E作EF⊥AB，交直線AB于點F．

（1）如圖1，若∠ACB＝120°，請用等式表示AC與EF的數(shù)量關(guān)系：．

（2）如圖2．若∠ACB＝90°，完成以下問題：

①當(dāng)點D，點F位于點A的異側(cè)時，請用等式表示AC，AD，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)點D，點F位于點A的同側(cè)時，若DF＝1，AD＝3，請直接寫出AC的長．

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18．（2022?長春）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形ABCD為

它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中ADAB．他先將A4紙沿過點A

的直線折疊，使點B落在AD上，點B的對應(yīng)點為點E，折痕為AF；再沿過點F的直線折疊，使點C

=2

落在EF上，點C的對應(yīng)點為點H，折痕為FG；然后連結(jié)AG，沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點D

與點F重合，進而猜想△ADG≌△AFG．

【問題解決】小亮對上面△ADG≌△AFG的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

由折疊可知，∠BAF∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．

1

∴∠＝∠＝°．

EFABFA4=52

∴AFAB＝AD

請你補全余下的證明過程．

=2

【結(jié)論應(yīng)用】

（1）∠DAG的度數(shù)為度，的值為；

??

（2）在圖①的條件下，點P在線段A?F?上，且APAB，點Q在線段AG上，連結(jié)FQ、PQ，如圖②．設(shè)

1

＝，則的最小值為．（用含的代數(shù)式表示）

ABaFQ+PQa=2

19．（2022?長春）如圖，在ABCD中，AB＝4，AD＝BD，點M為邊AB的中點．動點P從點A出

發(fā)，沿折線AD﹣DB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，連結(jié)PM．作點A關(guān)于直線PM的對

?=13

稱點A'，連結(jié)A'P、A'M．設(shè)點P的運動時間為t秒，

13

（1）點D到邊AB的距離為；

（2）用含t的代數(shù)式表示線段DP的長；

（3）連結(jié)A'D，當(dāng)線段A'D最短時，求△DPA'的面積；

（4）當(dāng)M、A'、C三點共線時，直接寫出t的值．

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20．（2022?通遼）已知點E在正方形ABCD的對角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點A．

（1）如圖1，當(dāng)點G在AD上，F(xiàn)在AB上，求的值為多少；

2??

（2）將正方形AFEG繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)（02°??＜＜90°），如圖2，求的值為多少；

??

αα

（3）AB＝8，AGAD，將正方形AFEG繞A逆時針方向旋轉(zhuǎn)（0°＜?＜?360°），當(dāng)C，G，E三

點共線時，請直接寫出2的長度．

2=2DGαα

21．（2022?貴港）已知：點C，D均在直線l的上方，AC與BD都是直線l的垂線段，且BD在AC的右側(cè)，

BD＝2AC，AD與BC相交于點O．

（1）如圖1，若連接CD，則△BCD的形狀為，的值為；

??

（2）若將BD沿直線l平移，并以AD為一邊在直線l的上方作等邊△ADE．

??

①如圖2，當(dāng)AE與AC重合時，連接OE，若AC，求OE的長；

3

如圖，當(dāng)∠＝°時，連接并延長交直線于點，連接．求證：⊥．

②3ACB60EC=2lFOFOFAB

模塊二2023中考押題預(yù)測

22．（2022?海淀區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分線分別交AB，BD，BC

于點E，F(xiàn)，G，連接DE，DG．

（1）求證：四邊形BGDE是菱形；

（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝6，求CG的長．

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23．（2023?陽明區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，點D為一個動點，且點D

到點C的距離為1，連接CD，AD，作EA⊥AD，使AE＝AD．

（1）求證：△ADB≌△AEC；

（2）求證：BD⊥EC；

（3）直接寫出BD最大和最小值；

（4）點D在直線AC上時，求BD的長．

24．（2022?長春模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，點D為邊AB上的點，且BD＝1．動

點P從點A出發(fā)（點P不與點A、C重合），沿AC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，同時點Q

從點C出發(fā)，以相同的速度沿折線CB一BD向終點D運動，以DP、DQ為鄰邊構(gòu)造PEQD，設(shè)點P

運動的時間為t（0＜t＜4）秒．

?

（1）當(dāng)點Q與點B重合時，t的值為；

（2）當(dāng)點E落在AC邊上時，求t的值；

（3）設(shè)PEQD的面積為S（S＞0），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）連結(jié)PQ，直接寫出PQ與△ABC的邊平行時t的值．

?

25．（2022?鹿城區(qū)校級三模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，E為AB的中點，連結(jié)CE，作CF⊥EC

交射線AD于點F，過點F作FG∥CE交射線CD于點G，連結(jié)EG交AD于點H．

（1）求證：CE＝CF．

（2）求HD的長．

（3）如圖2，連結(jié)CH，點P為CE的中點，Q為AF上一動點，連結(jié)PQ，當(dāng)∠QPC與四邊形GHCF中

的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足條件的DQ的長．

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26．（2022?襄州區(qū)模擬）（1）【證明體驗】如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是邊AB和對角線AC上的

點，∠EDF＝45°．

求證：△△；

①DBE～DCF

②；

??

（2）【=思考探究】如圖2，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F分別是邊AB和對角線AC上的點，tan

??

∠EDF，BE＝5，求CF的長；

4

（）【拓展延伸】如圖，菱形中，＝，對角線＝，⊥交的延長線于點，、

3=33ABCDBC5AC6BHADDAHE

F分別是線段HB和AC上的點，tan∠EDF，HE，求CF的長．

38

=4=5

27．（2022?市南區(qū)二模）已知：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD，BC

于點E，F(xiàn)，作BH⊥AF于點H，分別交AC，CD于點G，P，連接GE，GF．

（1）求證：△OAE≌△OBG；

（2）判斷四邊形BFGE是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

28．（2022?萊蕪區(qū)二模）四邊形ABCD和四邊形AMPN有公共頂點A，連接BM和DN．

（1）如圖1，若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是正方形，當(dāng)正方形AMPN繞點A旋轉(zhuǎn)角（0°＜

＜360°）時，BM和DN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

αα

（2）如圖2，若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是矩形，且，判斷BM和DN的數(shù)量關(guān)

????1

系和位置關(guān)系，并說明理由；==

????3

（3）在（2）的條件下，若AB＝2，AM＝1，矩形AMPN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角（0°＜＜360°），當(dāng)

MN∥AB時，求線段DN的長．

αα

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29．（2022?定安縣一模）將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點P放在邊長為1的正方形ABCD的對角線

AC上滑動，一條直角邊始終經(jīng)過點B，另一條直角邊與射線DC交于點E．

（1）當(dāng)點E在邊DC上時（如圖1），求證：①△PBC≌△PDC；②PB＝PE．

（2）當(dāng)點E在邊DC的延長線上時（如圖2），（1）中的結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請說明理由；

如果成立，請給予證明．

30．（2022?寶安區(qū)校級一模）某“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組”成員在復(fù)習(xí)《圖形的變化》時，對下面的圖形背景

產(chǎn)生了濃厚的興趣，并嘗試運用由“特殊到一般”的思想進行了探究：

【問題背景】如圖1，正方形ABCD中，點E為AB邊上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE交BC邊于

點F，將△ADE沿直線DE折疊后，點A落在點A'處，當(dāng)∠BEF＝25°，則∠FEA'＝°．

【特例探究】如圖2，連接DF，當(dāng)點A'恰好落在DF上時，求證：AE＝2A'F．

【深入探究】如圖3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他條件不變，他們發(fā)現(xiàn)AE

與A′F之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出AE與A′F之間的數(shù)量關(guān)系式．

【拓展探究】如圖4，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他條件不

變，他們發(fā)現(xiàn)AE與A′F之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出AE與A′F之間的數(shù)量關(guān)系式．

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31．（2022?大觀區(qū)校級二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，點E為BC上一點，且DE∥AB，

過點B作BF∥AD交DE的延長線于點F，連接CF，CF＝BF．

（1）求證：△ADE≌△FCD；

（2）如圖（2），連接DB交AE于點G．

①若AG＝DC．求證：BC平分∠DBF；

②若DB∥CF，求的值．

??

??

32．（2022?甘井子區(qū)校級模擬）已知等腰三角形ABC，∠F＝2∠ABC，CD＝kBD，∠FGC＝．

（1）如圖1，當(dāng)k＝1時，

α

①探究DG與CE之間的數(shù)量關(guān)系；

②探究BE，CG與CE之間的關(guān)系（用含的式子表示）．

（2）如圖2，當(dāng)k≠1時，探究BE，CG與CE之間的數(shù)量關(guān)系（用含k，的式子表示）．

α

α

33．（2022?市南區(qū)校級二模）如圖，在ABCD中，∠ADB＝90°，AB＝10cm，AD＝8cm，點P從點D出

發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為1cm/s．當(dāng)

?

一個點停止運動，另一個點也停止運動．過點P作PE∥BD交AB于點E，連接PQ，交BD于點F．設(shè)

運動時間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時，PQ∥AB？

（2）連接EQ，設(shè)四邊形APQE的面積為y（cm2），求y與t的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)t為何值時，點E在線段PQ的垂直平分線上？

（4）若點F關(guān)于AB的對稱點為F′，是否存在某一時刻t，使得點P，E，F(xiàn)′三點共線？若存在，求

出t的值；若不存在，請說明理由．

34．（2022?雁塔區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠B＝60°；

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