專題27 解答題重點(diǎn)出題方向幾何綜合題（不含圓）專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

專題27解答題重點(diǎn)出題方向幾何綜合題（不含圓）專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

模塊一2022中考真題集訓(xùn)

1．（2022?西藏）如圖，在矩形ABCD中，ABBC，點(diǎn)F在BC邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P是線段BC上一點(diǎn)（與

1

點(diǎn)，不重合），連接并延長(zhǎng)，過點(diǎn)作⊥，垂足為．

BCAP=C2CGAPE

（1）若CG為∠DCF的平分線．請(qǐng)判斷BP與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）若AB＝3，△ABP≌△CEP，求BP的長(zhǎng)．

2．（2022?徐州）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、

PC的中點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．

（1）∠EDC的度數(shù)為°；

（2）連接PG，求△APG的面積的最大值；

（3）PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

（4）求的最大值．

??

??

3．（2022?鎮(zhèn)江）已知，點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上．

（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，求證：AE+AH＝AB；

（2）如圖2，已知AE＝AH，CF＝CG，當(dāng)AE、CF的大小有關(guān)系時(shí)，四邊形EFGH是矩形；

（3）如圖3，AE＝DG，EG、FH相交于點(diǎn)O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為16，F(xiàn)H長(zhǎng)

為20，當(dāng)△OEH的面積取最大值時(shí)，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．

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4．（2022?阜新）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，

連接AE，CF．

（1）如圖1，求證：△ADE≌△CDF；

（2）直線AE與CF相交于點(diǎn)G．

①如圖2，BM⊥AG于點(diǎn)M，BN⊥CF于點(diǎn)N，求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3，連接BG，若AB＝4，DE＝2，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長(zhǎng)度的最小值．

5．（2022?東營(yíng)）△ABC和△ADF均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿AB、

BC運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B、C停止．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，請(qǐng)判斷：線段CD、EF的數(shù)量關(guān)系是，位置

關(guān)系是；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若

不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CEFD的面積是△ABC面積的一半，請(qǐng)直接寫出答案；此時(shí)，

四邊形BDEF是哪種特殊四邊形？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形并給予證明．

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6．（2022?衢州）如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，BD為對(duì)角線．點(diǎn)E是邊AB延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，連結(jié)

DE交BC于點(diǎn)F，BG平分∠CBE交DE于點(diǎn)G．

（1）求證：∠DBG＝90°．

（2）若BD＝6，DG＝2GE．

①求菱形ABCD的面積．

②求tan∠BDE的值．

（3）若BE＝AB，當(dāng)∠DAB的大小發(fā)生變化時(shí)（0°＜∠DAB＜180°），在AE上找一點(diǎn)T，使GT為定

值，說明理由并求出ET的值．

7．（2022?朝陽）【思維探究】

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD

＝AC．

小明的思路是：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC

＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請(qǐng)你幫助小明寫

出完整的證明過程．

【思維延伸】

（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【思維拓展】

（3）在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD

中有一個(gè)內(nèi)角是75°，請(qǐng)直接寫出線段OD的長(zhǎng)．

=6

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8．（2022?菏澤）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使DE＝DC，連

接BE、CE．

（1）直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；

（2）如圖2，將△BED繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到△B′E′D（點(diǎn)B′、E′分別與點(diǎn)B、E對(duì)應(yīng)），連接CE′、

AB′，在△BED旋轉(zhuǎn)的過程中CE′與AB′的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致？請(qǐng)

說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)△BED繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，射線CE′與AD、AB′分別交于點(diǎn)G、F，若CG＝

FG，DC，求AB′的長(zhǎng)．

=3

9．（2022?安順）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8，E是AD邊上的一點(diǎn)，連接CE，將矩形ABCD

沿CE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

（1）求線段AE的長(zhǎng)；

（2）求證四邊形DGFC為菱形；

（3）如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠DMN＝∠DCM，設(shè)DN＝x，

是否存在這樣的點(diǎn)N，使△DMN是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

10．（2022?黔西南州）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），

且∠EAF＝45°．

（1）當(dāng)BE＝DF時(shí)，求證：AE＝AF；

（2）猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）連接AC，G是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，GH⊥AE，垂足為K，交AC于點(diǎn)H且GH＝AE．若DF＝a，CH

＝b，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)．

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11．（2022?鄂爾多斯）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．

（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段BD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，則AE

與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別在DB和DA的延長(zhǎng)線上，且DE＝DF，EA的延長(zhǎng)線交CF于點(diǎn)M．

①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；

②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；

③若DM＝6，ED＝12，求EM的長(zhǎng)．

2

12．（2022?益陽）如圖，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），作AF⊥

BE于F，CG⊥BE于G，延長(zhǎng)CG至點(diǎn)C′，使C′G＝CG，連接CF，AC′．

（1）直接寫出圖中與△AFB相似的一個(gè)三角形；

（2）若四邊形AFCC′是平行四邊形，求CE的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)CE的長(zhǎng)為多少時(shí)，以C′，F(xiàn)，B為頂點(diǎn)的三角形是以C′F為腰的等腰三角形？

13．（2022?日照）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分別是邊AC，BC

上的點(diǎn)，以CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于E，F(xiàn)．設(shè)CM＝a，CN＝b，若ab＝8．

（1）判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；

（2）①當(dāng)a＝b時(shí)，求∠ECF的度數(shù)；

②當(dāng)a≠b時(shí)，①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．

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14．（2022?濟(jì)寧）如圖，△AOB是等邊三角形，過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）．P

是直線AB上在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為D，交AO于點(diǎn)E，連接AD，作DM

3

⊥AD交x軸于點(diǎn)M，交AO于點(diǎn)F，連接BE，BF．

（1）填空：若△AOD是等腰三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．

①求m值最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②是否存在這樣的m值，使BE＝BF？若存在，求出此時(shí)的m值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

15．（2022?綿陽）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝2，AB＝4，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，

點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

3

（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，設(shè)CE

2

與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長(zhǎng)度的比值；

3

（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△AEF

的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？

3

（3）如圖3，H在線段AB上且AHHB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

1

探究點(diǎn)、在什么位置能使＝，并說明理由．

EFEM=HM3

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16．（2022?上海）如圖，在ABCD中，P是線段BC中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD交AP于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CE．

（1）如果AE＝CE．

?

?。笞C：ABCD為菱形；

ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求線段BD的長(zhǎng)；

?

（2）分別以AE，BE為半徑，點(diǎn)A，B為圓心作圓，兩圓交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)F恰好在射線CE上，如果

CEAE，求的值．

??

=2

??

17．（2022?盤錦）在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使DE＝CD，過點(diǎn)

E作EF⊥AB，交直線AB于點(diǎn)F．

（1）如圖1，若∠ACB＝120°，請(qǐng)用等式表示AC與EF的數(shù)量關(guān)系：．

（2）如圖2．若∠ACB＝90°，完成以下問題：

①當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)用等式表示AC，AD，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若DF＝1，AD＝3，請(qǐng)直接寫出AC的長(zhǎng)．

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18．（2022?長(zhǎng)春）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形ABCD為

它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中ADAB．他先將A4紙沿過點(diǎn)A

的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為AF；再沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C

=2

落在EF上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為FG；然后連結(jié)AG，沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D

與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想△ADG≌△AFG．

【問題解決】小亮對(duì)上面△ADG≌△AFG的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

由折疊可知，∠BAF∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．

1

∴∠＝∠＝°．

EFABFA4=52

∴AFAB＝AD

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．

=2

【結(jié)論應(yīng)用】

（1）∠DAG的度數(shù)為度，的值為；

??

（2）在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段A?F?上，且APAB，點(diǎn)Q在線段AG上，連結(jié)FQ、PQ，如圖②．設(shè)

1

＝，則的最小值為．（用含的代數(shù)式表示）

ABaFQ+PQa=2

19．（2022?長(zhǎng)春）如圖，在ABCD中，AB＝4，AD＝BD，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出

發(fā)，沿折線AD﹣DB以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PM．作點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對(duì)

?=13

稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'P、A'M．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

13

（1）點(diǎn)D到邊AB的距離為；

（2）用含t的代數(shù)式表示線段DP的長(zhǎng)；

（3）連結(jié)A'D，當(dāng)線段A'D最短時(shí)，求△DPA'的面積；

（4）當(dāng)M、A'、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．

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20．（2022?通遼）已知點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點(diǎn)A．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在AD上，F(xiàn)在AB上，求的值為多少；

2??

（2）將正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（02°??＜＜90°），如圖2，求的值為多少；

??

αα

（3）AB＝8，AGAD，將正方形AFEG繞A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0°＜?＜?360°），當(dāng)C，G，E三

點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出2的長(zhǎng)度．

2=2DGαα

21．（2022?貴港）已知：點(diǎn)C，D均在直線l的上方，AC與BD都是直線l的垂線段，且BD在AC的右側(cè)，

BD＝2AC，AD與BC相交于點(diǎn)O．

（1）如圖1，若連接CD，則△BCD的形狀為，的值為；

??

（2）若將BD沿直線l平移，并以AD為一邊在直線l的上方作等邊△ADE．

??

①如圖2，當(dāng)AE與AC重合時(shí)，連接OE，若AC，求OE的長(zhǎng)；

3

如圖，當(dāng)∠＝°時(shí)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連接．求證：⊥．

②3ACB60EC=2lFOFOFAB

模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)

22．（2022?海淀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分線分別交AB，BD，BC

于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接DE，DG．

（1）求證：四邊形BGDE是菱形；

（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝6，求CG的長(zhǎng)．

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23．（2023?陽明區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D

到點(diǎn)C的距離為1，連接CD，AD，作EA⊥AD，使AE＝AD．

（1）求證：△ADB≌△AEC；

（2）求證：BD⊥EC；

（3）直接寫出BD最大和最小值；

（4）點(diǎn)D在直線AC上時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

24．（2022?長(zhǎng)春模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，點(diǎn)D為邊AB上的點(diǎn)，且BD＝1．動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），沿AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q

從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿折線CB一BD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，以DP、DQ為鄰邊構(gòu)造PEQD，設(shè)點(diǎn)P

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜4）秒．

?

（1）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，t的值為；

（2）當(dāng)點(diǎn)E落在AC邊上時(shí)，求t的值；

（3）設(shè)PEQD的面積為S（S＞0），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）連結(jié)PQ，直接寫出PQ與△ABC的邊平行時(shí)t的值．

?

25．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)CE，作CF⊥EC

交射線AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥CE交射線CD于點(diǎn)G，連結(jié)EG交AD于點(diǎn)H．

（1）求證：CE＝CF．

（2）求HD的長(zhǎng)．

（3）如圖2，連結(jié)CH，點(diǎn)P為CE的中點(diǎn)，Q為AF上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ，當(dāng)∠QPC與四邊形GHCF中

的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，求所有滿足條件的DQ的長(zhǎng)．

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26．（2022?襄州區(qū)模擬）（1）【證明體驗(yàn)】如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是邊AB和對(duì)角線AC上的

點(diǎn)，∠EDF＝45°．

求證：△△；

①DBE～DCF

②；

??

（2）【=思考探究】如圖2，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F分別是邊AB和對(duì)角線AC上的點(diǎn)，tan

??

∠EDF，BE＝5，求CF的長(zhǎng)；

4

（）【拓展延伸】如圖，菱形中，＝，對(duì)角線＝，⊥交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，、

3=33ABCDBC5AC6BHADDAHE

F分別是線段HB和AC上的點(diǎn)，tan∠EDF，HE，求CF的長(zhǎng)．

38

=4=5

27．（2022?市南區(qū)二模）已知：如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠CAB的平分線分別交BD，BC

于點(diǎn)E，F(xiàn)，作BH⊥AF于點(diǎn)H，分別交AC，CD于點(diǎn)G，P，連接GE，GF．

（1）求證：△OAE≌△OBG；

（2）判斷四邊形BFGE是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

28．（2022?萊蕪區(qū)二模）四邊形ABCD和四邊形AMPN有公共頂點(diǎn)A，連接BM和DN．

（1）如圖1，若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是正方形，當(dāng)正方形AMPN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)角（0°＜

＜360°）時(shí)，BM和DN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

αα

（2）如圖2，若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是矩形，且，判斷BM和DN的數(shù)量關(guān)

????1

系和位置關(guān)系，并說明理由；==

????3

（3）在（2）的條件下，若AB＝2，AM＝1，矩形AMPN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0°＜＜360°），當(dāng)

MN∥AB時(shí)，求線段DN的長(zhǎng)．

αα

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29．（2022?定安縣一模）將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線

AC上滑動(dòng)，一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一條直角邊與射線DC交于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上時(shí)（如圖1），求證：①△PBC≌△PDC；②PB＝PE．

（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊DC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），（1）中的結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請(qǐng)說明理由；

如果成立，請(qǐng)給予證明．

30．（2022?寶安區(qū)校級(jí)一模）某“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組”成員在復(fù)習(xí)《圖形的變化》時(shí)，對(duì)下面的圖形背景

產(chǎn)生了濃厚的興趣，并嘗試運(yùn)用由“特殊到一般”的思想進(jìn)行了探究：

【問題背景】如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC邊于

點(diǎn)F，將△ADE沿直線DE折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，當(dāng)∠BEF＝25°，則∠FEA'＝°．

【特例探究】如圖2，連接DF，當(dāng)點(diǎn)A'恰好落在DF上時(shí)，求證：AE＝2A'F．

【深入探究】如圖3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他條件不變，他們發(fā)現(xiàn)AE

與A′F之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出AE與A′F之間的數(shù)量關(guān)系式．

【拓展探究】如圖4，若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他條件不

變，他們發(fā)現(xiàn)AE與A′F之間也存在著一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出AE與A′F之間的數(shù)量關(guān)系式．

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31．（2022?大觀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且DE∥AB，

過點(diǎn)B作BF∥AD交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF，CF＝BF．

（1）求證：△ADE≌△FCD；

（2）如圖（2），連接DB交AE于點(diǎn)G．

①若AG＝DC．求證：BC平分∠DBF；

②若DB∥CF，求的值．

??

??

32．（2022?甘井子區(qū)校級(jí)模擬）已知等腰三角形ABC，∠F＝2∠ABC，CD＝kBD，∠FGC＝．

（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，

α

①探究DG與CE之間的數(shù)量關(guān)系；

②探究BE，CG與CE之間的關(guān)系（用含的式子表示）．

（2）如圖2，當(dāng)k≠1時(shí)，探究BE，CG與CE之間的數(shù)量關(guān)系（用含k，的式子表示）．

α

α

33．（2022?市南區(qū)校級(jí)二模）如圖，在ABCD中，∠ADB＝90°，AB＝10cm，AD＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出

發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．當(dāng)

?

一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥BD交AB于點(diǎn)E，連接PQ，交BD于點(diǎn)F．設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB？

（2）連接EQ，設(shè)四邊形APQE的面積為y（cm2），求y與t的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)E在線段PQ的垂直平分線上？

（4）若點(diǎn)F關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為F′，是否存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)P，E，F(xiàn)′三點(diǎn)共線？若存在，求

出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

34．（2022?雁塔區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠B＝60°；

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