2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（解答題）：尺規(guī)作圖（10題）

第1頁（共1頁）2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（解答題）：尺規(guī)作圖（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?陜西）如圖，已知直線l和l外一點A，請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角△ABC，使得頂點B和頂點C都在直線l上．（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）2．（2024?山西模擬）閱讀與思考下面是小明同學(xué)的一篇數(shù)學(xué)讀書筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．我在課外讀物《怎樣解題》中看到這樣一個問題：如圖1，給定不在同一直線上的三個點A，B，C，如何利用無刻度的直尺和圓規(guī)在點B，C之間畫一條過點A的直線，且點B和點C到這條直線的距離相等？下面是我的解題步驟：如圖2，第一步：以點B為圓心，以AC的長為半徑畫弧；第二步：以點C為圓心，以AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點D；第三步：作直線AD，則點B和點C到直線AD的距離相等．下面是部分證明過程：證明：如圖3，連接BD，CD，過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD于點F，連接BC交AD于點O．由作圖可知AB＝CD，AC＝BD，∴四邊形ABDC是平行四邊形．（依據(jù)1）∴BO＝CO．（依據(jù)2）……于是我得到了這樣的結(jié)論：只要確定線段BC的中點，由兩點確定一條直線即可確定問題中所求直線．任務(wù)：（1）填空：材料中的“依據(jù)1”是指；“依據(jù)2”是指．（2）請將小明的證明過程補充完整．（3）尺規(guī)作圖：請在圖4中，用不同于材料中的方法，在點B和點C之間作直線AM，使得點B和點C到直線AM的距離相等．（要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫作法）3．（2024?吉安三模）在10×6的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（0，3），B（6，3），C（4，6）僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求完成畫圖．（1）在CB上找點D，使AD平分∠BAC；（2）在AB上找點F，使∠CFA＝∠DFB；（3）在BC上找點M、N，使BM＝MN＝NC．[（1）（2）畫在圖1中，（3）畫在圖2中]．4．（2024?惠陽區(qū)二模）已知：如圖，在矩形ABCD中，E是邊CD上的點，連接AE．（1）尺規(guī)作圖，以BC為邊，C為頂點作∠BCF＝∠DAE，CF交線段AB于點F．（要求：基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）．（2）求證：四邊形AFCE為平行四邊形5．（2024?吉安一模）如圖是由小正方形組成的9×10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫作格點．已知⊙O的圓心在格點上，圓上A，B兩點均在格線上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖1中，點C在圓上，請在直徑AB下方的圓上畫出點E，使∠ACE＝45°；并在網(wǎng)格中找點F，使△ACF為等腰直角三角形，且∠CAF＝90°．（2）在圖2中，D為格點，在直徑AB下方的圓上畫出點G，使得OG∥AD；并在線段AD上畫出點H，使得AH＝AB．6．（2024?克什克騰旗一模）如圖，∠ACB＝90°，AC＝AD．（1）過點D作AB的垂線DE交BC與點E，連接AE．（尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）（2）如果BD＝8，BE＝10，求BC的長．7．（2024?重慶）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點．用尺規(guī)過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接AF，CE．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過對角線AC的中點O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①，∠OCF＝∠OAE．∵點O是AC的中點，∴②．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．8．（2024?龍亭區(qū)一模）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，直線PO交⊙O于點E，F(xiàn)．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)過點A作PO的垂線AB，垂足為D，交⊙O于點B．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接PB，試判斷PB與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明．9．（2024?銅梁區(qū)校級模擬）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）尺規(guī)作圖：在CB的延長線上截取BE＝BC，連接AE，再過點B作AE的垂線交AE于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：四邊形AOBF為矩形．（補全證明過程）證明：∵四邊形ABCD是菱形∴AO＝OC，AC⊥BD∴∠BOC＝∠BOA＝90°∵，AO＝OC∴OB為△ACE的中位線∴∴∠EAO＝∠BOC＝90°∵BF⊥AE∴∴∠EAO＝∠BOA＝∠BFA＝90°∴四邊形AOBF為矩形．（）進(jìn)一步研究上述問題發(fā)現(xiàn)，當(dāng)BC和CD滿足位置關(guān)系：時，四邊形AOBF為正方形．10．（2024?招遠(yuǎn)市模擬）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求作菱形DEFG，使點D在邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上．小明的作法如下：1、如圖②，在邊AC上取一點D，過點D作DG∥AB交BC于點G．2、以點D為圓心，DG的長為半徑畫弧，交AB于點E．3、在EB上截取EF＝ED，連接FG，則四邊形DEFG為所求作的菱形．請結(jié)合小明的作法，解決以下問題：（1）證明小明所作的四邊形DEFG是菱形．（2）若小明所作的四邊形DEFG恰好是正方形，你能求出線段CD的長嗎？

2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（解答題）：尺規(guī)作圖（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?陜西）如圖，已知直線l和l外一點A，請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角△ABC，使得頂點B和頂點C都在直線l上．（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）【考點】作圖—復(fù)雜作圖．【專題】尺規(guī)作圖；應(yīng)用意識．【答案】見作圖．【分析】以A為圓心畫弧交l于M、N，分別以M、N為圓心大于12MN長為半徑畫弧交于D，作射線AD，交l于C，以C為圓心AC長為半徑畫弧交l于B，連接AB，△ABC【解答】解：如圖△ABC即為所求作的三角形．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握過直線外一點作已知直線垂線的方法．2．（2024?山西模擬）閱讀與思考下面是小明同學(xué)的一篇數(shù)學(xué)讀書筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．我在課外讀物《怎樣解題》中看到這樣一個問題：如圖1，給定不在同一直線上的三個點A，B，C，如何利用無刻度的直尺和圓規(guī)在點B，C之間畫一條過點A的直線，且點B和點C到這條直線的距離相等？下面是我的解題步驟：如圖2，第一步：以點B為圓心，以AC的長為半徑畫?。坏诙剑阂渣cC為圓心，以AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點D；第三步：作直線AD，則點B和點C到直線AD的距離相等．下面是部分證明過程：證明：如圖3，連接BD，CD，過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD于點F，連接BC交AD于點O．由作圖可知AB＝CD，AC＝BD，∴四邊形ABDC是平行四邊形．（依據(jù)1）∴BO＝CO．（依據(jù)2）……于是我得到了這樣的結(jié)論：只要確定線段BC的中點，由兩點確定一條直線即可確定問題中所求直線．任務(wù)：（1）填空：材料中的“依據(jù)1”是指兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；“依據(jù)2”是指平行四邊形的對角線互相平分．（2）請將小明的證明過程補充完整．（3）尺規(guī)作圖：請在圖4中，用不同于材料中的方法，在點B和點C之間作直線AM，使得點B和點C到直線AM的距離相等．（要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫作法）【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)解決問題；（2）見解析（1）；（3）連接BC，作線段BC的垂直平分線垂足為O，作直線AM即可．【解答】（1）證明：如圖3，連接BD，CD，過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD于點F，連接BC交AD于點O．由作圖可知AB＝CD，AC＝BD，∴四邊形ABDC是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），∴BO＝CO（平行四邊形的對角線互相平分），在△BEO和△CFO中，∠BEO=∴△BEO≌△CFO（AAS），∴BE＝CF；故答案為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對角線互相平分；（2）證明過程見（1）中．（3）如圖4中，直線AM即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．3．（2024?吉安三模）在10×6的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（0，3），B（6，3），C（4，6）僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求完成畫圖．（1）在CB上找點D，使AD平分∠BAC；（2）在AB上找點F，使∠CFA＝∠DFB；（3）在BC上找點M、N，使BM＝MN＝NC．[（1）（2）畫在圖1中，（3）畫在圖2中]．【考點】作圖—復(fù)雜作圖；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）取格點E使AE＝AC＝5，作出CE的中點P，利用等腰三角形的性質(zhì)得到AP平分∠CAE，延長AP交BC于D；（2）取C點關(guān)于AB的對稱點Q，連接DQ交AB于F，利用對稱得到∠CFA＝∠QFA，利用對頂角相等得到∠DFB＝∠QFA，所以∠CFA＝∠DFB；（3）利用平行線分線段成比例定理，線段BC與平行格線的交點為M、N．【解答】解：（1）如圖1，點D為所作；（2）如圖1，點F為所作；（3）如圖2，點M、N為所作．【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．4．（2024?惠陽區(qū)二模）已知：如圖，在矩形ABCD中，E是邊CD上的點，連接AE．（1）尺規(guī)作圖，以BC為邊，C為頂點作∠BCF＝∠DAE，CF交線段AB于點F．（要求：基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）．（2）求證：四邊形AFCE為平行四邊形【考點】作圖—基本作圖；平行四邊形的判定；矩形的性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角的作法作圖即可；（2）由矩形得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AF∥CE，再證明△ADE≌△CBF得到DE＝BF，進(jìn)而得到CE＝AF，即可求證【解答】（1）解：如圖所示，∠BCF即為所求；（2）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝90°，∴AF∥CE，在△ADE和△CBF中，∠D=∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∴CD﹣DE＝AB﹣BF，即CE＝AF，∴四邊形AECF為平行四邊形．【點評】本題考查了作一個角等于已知角，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2024?吉安一模）如圖是由小正方形組成的9×10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫作格點．已知⊙O的圓心在格點上，圓上A，B兩點均在格線上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖1中，點C在圓上，請在直徑AB下方的圓上畫出點E，使∠ACE＝45°；并在網(wǎng)格中找點F，使△ACF為等腰直角三角形，且∠CAF＝90°．（2）在圖2中，D為格點，在直徑AB下方的圓上畫出點G，使得OG∥AD；并在線段AD上畫出點H，使得AH＝AB．【考點】作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；圓周角定理．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）（2）作圖見解析部分．【分析】（1）在直線AB的下方取一點E，使得∠AOE＝90°，作直徑CD，連接AD，延長AD交CE的延長線于點F，點E，點F即為所求；（2）構(gòu)造平行四邊形AMNO，連接ON交⊙O于點G，連接BG交AD于點H，點G，點H即為所求．【解答】解：（1）如圖1中，點E，點F即為所求；（2）如圖2中，點G，點H即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2024?克什克騰旗一模）如圖，∠ACB＝90°，AC＝AD．（1）過點D作AB的垂線DE交BC與點E，連接AE．（尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）（2）如果BD＝8，BE＝10，求BC的長．【考點】作圖—復(fù)雜作圖；直角三角形全等的判定．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）作圖見解析部分；（2）16．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）解直角三角形求出DE，再證明EC＝DE，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示即為所求作的圖形．（2）∵ED垂直AB，∴∠ADE＝∠EDB＝90°，在Rt△BDE中，DE=B在Rt△ADE和Rt△ACE中，AC=ADAE=AE∴Rt△ADE≌Rt△ACE（HL），∴EC＝ED＝6，∴BC＝BE+EC＝16．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．7．（2024?重慶）在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進(jìn)行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點．用尺規(guī)過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接AF，CE．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過對角線AC的中點O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．∵點O是AC的中點，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④四邊形AECF是菱形．【考點】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形證明即可．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．∵點O是AC的中點，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④四邊形AECF是菱形．故答案為：∠OFC＝∠OEA，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．8．（2024?龍亭區(qū)一模）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，直線PO交⊙O于點E，F(xiàn)．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)過點A作PO的垂線AB，垂足為D，交⊙O于點B．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接PB，試判斷PB與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明．【考點】作圖—復(fù)雜作圖；圓周角定理；直線與圓的位置關(guān)系；切線的性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計算；運算能力．【答案】（1）見解析；（2）PB為⊙O的切線，理由見解析．【分析】（1）運用過直線外一點作已知直線的垂線的方法作圖即可；（2）連接OB，則OP垂直平分AB，根據(jù)等邊對等角得到∠OAB＝∠OBA，∠PAB＝∠PBA，既可以解題．【解答】解：（1）如圖，直線AB即為所作；（2）結(jié)論：PB為⊙O的切線．理由：連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，又∵AB⊥OP，∴OP垂直平分AB，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，又∵PA為⊙O的切線，∴∠AOP＝90°，∴∠OBP＝∠OBA+∠PBA＝∠OAB+∠PAB＝∠AOP＝90°，∴PB為⊙O的切線．【點評】本題考查尺規(guī)作垂線，切線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握切線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．9．（2024?銅梁區(qū)校級模擬）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）尺規(guī)作圖：在CB的延長線上截取BE＝BC，連接AE，再過點B作AE的垂線交AE于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：四邊形AOBF為矩形．（補全證明過程）證明：∵四邊形ABCD是菱形∴AO＝OC，AC⊥BD∴∠BOC＝∠BOA＝90°∵BE＝BC，AO＝OC∴OB為△ACE的中位線∴BF∥AC∴∠EAO＝∠BOC＝90°∵BF⊥AE∴∠AFB＝90°∴∠EAO＝∠BOA＝∠BFA＝90°∴四邊形AOBF為矩形．（有三個角是90°的四邊形是矩形）進(jìn)一步研究上述問題發(fā)現(xiàn)，當(dāng)BC和CD滿足位置關(guān)系：BC⊥CD時，四邊形AOBF為正方形．【考點】作圖—復(fù)雜作圖；三角形中位線定理；菱形的性質(zhì)；矩形的判定；正方形的判定．【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）根據(jù)三個角是90°是四邊形是矩形證明即可．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝OC，AC⊥BD，∴∠BOC＝∠BOA＝90°，∵BE＝BC，AO＝OC，∴OB為△ACE的中位線，∴BF∥AC，∴∠EAO＝∠BOC＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠EAO＝∠BOA＝∠BFA＝90°，∴四邊形AOBF為矩形（有三個角是90°的四邊形是矩形）．進(jìn)一步研究上述問題發(fā)現(xiàn)，當(dāng)BC和CD滿足位置關(guān)系：BC⊥CD時，四邊形AOBF為正方形．故答案為：BE＝BC，BF∥AC，∠AFB＝90°，有三個角是90°的四邊形是矩形，BC⊥CD．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．10．（2024?招遠(yuǎn)市模擬）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求作菱形DEFG，使點D在邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上．小明的作法如下：1、如圖②，在邊AC上取一點D，過點D作DG∥AB交BC于點G．2、以點D為圓心，DG的長為半徑畫弧，交AB于點E．3、在EB上截取EF＝ED，連接FG，則四邊形DEFG為所求作的菱形．請結(jié)合小明的作法，解決以下問題：（1）證明小明所作的四邊形DEFG是菱形．（2）若小明所作的四邊形DEFG恰好是正方形，你能求出線段CD的長嗎？【考點】作圖—復(fù)雜作圖；菱形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）證明見解答過程；（2）能求出線段CD的長；線段CD的長為3637時，四邊形DEFG【分析】（1）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；（2）當(dāng)四邊形DEFG是正方形時，設(shè)正方形的邊長為x．利用勾股定理示得CD=35x，AD=54x，由AD+【解答】（1）證明：∵DE＝DG，EF＝DE，∴DG＝EF，∵DG∥EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形，∵DG＝DE，∴四邊形DEFG是菱形．（2）解：能求出線段CD的長；理由如下：當(dāng)四邊形DEFG是正方形時，設(shè)正方形的邊長為x．如圖，∴DG∥AB，∴∠CGD＝∠CBA，∴sin∠CGD＝sin∠CBA，∴CDDG在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=3∴CDx∴CD=3同理可求得：AD=5∵AD+CD＝AC，∴35∴x=60∴CD=3∴線段CD的長為3637時，四邊形DEFG【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，作圖﹣復(fù)雜作圖等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會尋找特殊位置解決問題，屬于中考常考題型，題目有一定難度．

考點卡片1．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點到坐標(biāo)軸的距離與這個點的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆枺?、有圖形中一些點的坐標(biāo)求面積時，過已知點向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．2．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．3．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．4．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE5．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．7．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．8．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：R＝1：29．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE=1210．平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．11．平行四邊形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．12．菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=12ab．（a、13．菱形的判定與性質(zhì)（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．14．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．15．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊