2025年初中數(shù)學復習之小題狂練450題（解答題）：二次函數(shù)（10題）

第1頁（共1頁）2025年初中數(shù)學復習之小題狂練450題（解答題）：二次函數(shù)（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?駐馬店模擬）我們要善于用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖1），可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學研究的對象——拋物線．在如圖2所示雨傘最大縱截面上建立直角坐標系，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨OA，OB的交點（單位：分米），點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，OA，OB關于y軸對稱．OC＝1分米，點A（2，0.6）．設拋物線表達式為y＝ax2+c．（1）求拋物線的表達式；（2）分別延長AO，BO交拋物線于點F，E，求以EF為直徑的圓的周長．2．（2024?武威二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的表達式；（2）點P為直線BC下方的拋物線上一個動點，當△PBC面積最大時，求點P的坐標；（3）點P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點M，當PMAM最大時，求點P的橫坐標及PM3．（2024?長沙模擬）我們稱關于x的二次函數(shù)y＝px2+qx+k為一次函數(shù)y＝px+q和反比例函數(shù)y=-kx的“共同體”函數(shù)．一次函數(shù)y＝px+q和反比例函數(shù)y=-kx的交點稱為二次函數(shù)y＝px（1）二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4是哪兩個函數(shù)的“共同體”函數(shù)？并求出它的“共贏點”；（2）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸的交點為M，N，有A，B兩個“共贏點”，且AB＝3MN，求a的值；（3）若一次函數(shù)y＝ax+2b和反比例函數(shù)y=-cx的“共同體”函數(shù)的兩個“共贏點”的橫坐標為x1，x2，其中實數(shù)a＞b＞c，a+b+c＝0．令L=|4．（2024?新疆）某公司銷售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷售額y1（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為：y1＝5x；成本y2（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中(1（1）求出成本y2關于銷售量x的函數(shù)解析式；（2）當成本最低時，銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少？（3）當銷售量是多少噸時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤＝銷售額﹣成本）5．（2024?匯川區(qū)三模）如圖，是小明在自家院子里晾曬衣服的示意圖，他發(fā)現(xiàn)此時晾衣繩的形狀可以近似的看作一條拋物線．經(jīng)過測量，他發(fā)現(xiàn)立柱AB，CD均與地面垂直，且AB＝CD＝2m，AB、CD之間的水平距離BD＝8m．繩子最低點與地面的距離為1m．（1）按如圖（1）建立的平面直角坐標系，求拋物線的解析式．（2）由于晾曬的衣服比較多，為了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撐起繩子，如圖（2）MN的高度為1.55m，通過調(diào)整MN的位置，使左邊拋物線F1對應的函數(shù)關系式為y1＝a（x﹣2）2+k，且最低點離地面1.4米，求水平距離DN．（3）在（2）的條件下，小明測得右邊拋物線F2對應的函數(shù)關系式為y2＝0.09（x﹣5）2+1.19，將圖（2）中F1，F(xiàn)2兩條拋物線組成的新函數(shù)圖象整體向右平移m（m＞0）個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在5≤x≤6時，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．6．（2024?清遠模擬）如圖，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點B、A，拋物線y＝a（x﹣2）2+k經(jīng)過點A、B，其頂點為C．（1）求拋物線的解析式．（2）求△ABC的面積．（3）點P為直線AB上方拋物線上的任意一點，過點P作PD∥y軸交直線AB于點D，求線段PD的最大值及此時點P的坐標．7．（2024?湖北模擬）某超市用600元購買一種文具，若商品的進價上漲20%，則少買20件．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：售價為6（元/件）時，當天的銷售量為100件，售價每上漲0.5元，當天的銷售量就減少5件．（1）求該文具的進價；（2）設當天銷售單價統(tǒng)一為x（元/件）（x≥6，且x是0.5的倍數(shù)），當天銷售利潤為y元．求y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）若每件文具的利潤不超過80%，要使當天獲得利潤最大，每件文具售價為多少元？并求出最大利潤．8．（2024?信陽三模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求拋物線的頂點坐標（用含t的代數(shù)式表示）；（2）點P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若對于x1，x2，都有y1＜y2，直接寫出t的取值范圍．9．（2024?東莞市校級一模）如圖1：平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+92與x軸交于點A(-33，0)和點B（1）求拋物線表達式．（2）如圖2，點D（0，3）是y軸上一點，連接AD，點P是直線AD上方拋物線上一個動點，過點P作PE∥y軸交直線AD于點E，在射線ED上取一點F，使得PE＝PF，求△PEF周長的最大值及此時點P的坐標．（3）如圖3，將原拋物線y＝ax2+bx+92沿射線AD方向平移4個單位長度，平移后拋物線y1的對稱軸與x軸交于點N，射線AD上有一點G，連接GN，過點G作GN的垂線與拋物線y1交于點M，連接MN，若∠GMN＝30°，請直接寫出點10．（2024?河北模擬）如圖，已知拋物線L：y＝x2+mx與直線l：y＝﹣x+b相交于點A（2，0）和點B．（1）求m和b的值；（2）若直線x＝a與線段AB交于點P，與拋物線交于點Q，求P，Q兩點間距離的最大值；（3）M是直線AB上的一個動點，將點M向左平移3個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線只有一個公共點，直接寫出點M的橫坐標XM的取值范圍．

2025年初中數(shù)學復習之小題狂練450題（解答題）：二次函數(shù)（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?駐馬店模擬）我們要善于用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖1），可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學研究的對象——拋物線．在如圖2所示雨傘最大縱截面上建立直角坐標系，傘柄在y軸上，坐標原點O為傘骨OA，OB的交點（單位：分米），點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，OA，OB關于y軸對稱．OC＝1分米，點A（2，0.6）．設拋物線表達式為y＝ax2+c．（1）求拋物線的表達式；（2）分別延長AO，BO交拋物線于點F，E，求以EF為直徑的圓的周長．【考點】二次函數(shù)的應用．【專題】二次函數(shù)的應用；應用意識．【答案】（1）拋物線解析式為：y＝﹣0.1x2+1；（2）以直徑EF的圓的周長為10π分米．【分析】（1）待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）寫出直線OA解析式，求出與拋物線的交點坐標F，根據(jù)拋物線的對稱性計算出點E坐標，利用橫坐標之差計算線段EF長，再由圓周長公式即可求解．【解答】解：（1）∵OC＝1，∴C（0，1），把A（2，0.6）和C（0，1）代入y＝ax2+c，得4a+c=0.6c=1解得：a=-∴拋物線解析式為：y＝﹣0.1x2+1；（2）設直線OA解析式為y＝kx，將A（2，0.6）坐標代入得，2k＝0.6，解得：k＝0.3，∴直線OA解析式為：y＝0.3x，聯(lián)立函數(shù)解析式y(tǒng)=0.3xy=-0.1解得：x=-5∴點F坐標為（﹣5，﹣1.5）；∵拋物線的對稱軸是y軸，∴點E的坐標為（5，﹣1.5），∴EF＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10（分米），∴直徑EF的圓的周長為：π×10＝10π（分米）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，求解二次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點坐標，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解答本題的關鍵．2．（2024?武威二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的表達式；（2）點P為直線BC下方的拋物線上一個動點，當△PBC面積最大時，求點P的坐標；（3）點P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點M，當PMAM最大時，求點P的橫坐標及PM【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；圖形的相似；數(shù)據(jù)分析觀念；推理能力．【答案】（1）y=14x2﹣x﹣（2）時點P（3，-15（3）點P的橫坐標為3，MPAM有最大值9【分析】（1）將A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）由△PBC面積＝S△PHB+S△PHC=12×PH（3）過點A作AE⊥x軸交直線BC于點E，過P作PF⊥x軸交直線BC于點F，由PF∥AE，可得MPAM【解答】解：（1）將點A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得4a-2b+c=036a+6b+c=0∴y=14x2﹣x﹣（2）設直線l交BC于點H，設直線BC的解析式為y＝kx+d，∴6k+d=0d=-3，解得：k=∴y=12x﹣設P（t，14t2﹣t﹣3），則H（t，12t﹣則△PBC面積＝S△PHB+S△PHC=12×PH×BO＝3（12t﹣3-14t2+t+3）∵-34＜0當t＝3時，△PBC面積有最大值，此時點P（3，-15（3）如圖1，過點A作AE⊥x軸交直線BC于點E，過P作PF⊥x軸交直線BC于點F，∴PF∥AE，∴MPAM設P（t，14t2﹣t﹣3），則F（t，12t﹣∴PF=12t﹣3-14t2+t+3=-∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴MPAM=PEAE=-14∴當t＝3時，MPAM有最大值9∴P（3，-15即點P的橫坐標為3，MPAM有最大值9【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，通過構(gòu)造平行線將MPAM的最大值問題轉(zhuǎn)化為求PFAE的最大3．（2024?長沙模擬）我們稱關于x的二次函數(shù)y＝px2+qx+k為一次函數(shù)y＝px+q和反比例函數(shù)y=-kx的“共同體”函數(shù)．一次函數(shù)y＝px+q和反比例函數(shù)y=-kx的交點稱為二次函數(shù)y＝px（1）二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4是哪兩個函數(shù)的“共同體”函數(shù)？并求出它的“共贏點”；（2）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸的交點為M，N，有A，B兩個“共贏點”，且AB＝3MN，求a的值；（3）若一次函數(shù)y＝ax+2b和反比例函數(shù)y=-cx的“共同體”函數(shù)的兩個“共贏點”的橫坐標為x1，x2，其中實數(shù)a＞b＞c，a+b+c＝0．令L=|【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】一元二次方程及應用；一次函數(shù)及其應用；反比例函數(shù)及其應用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力．【答案】（1）二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4是一次函數(shù)y＝x﹣3與反比例函數(shù)y=4x的“共同體”函數(shù)，“共贏點”是（﹣1，﹣4），（4，（2）a＝±22；（3）3＜L＜23【分析】（1）根據(jù)題干給出的定義，寫出“共同體”函數(shù)以及其“共贏點”即可；（2）根據(jù)題干給出的定義，寫出“共同體”函數(shù)，然后根據(jù)韋達定理以及兩點間距離公式求出AB和MN的長，代入已知條件，求出a的值即可；（3）聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達定理求出L的值，在根據(jù)a，b，c的取值求出L的取值范圍即可．【解答】解：（1）根據(jù)定義，二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4中，p＝1，q＝﹣3，k＝4，∴二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4是一次函數(shù)y＝x﹣3與反比例函數(shù)y=4聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)：y=x-解得：x=-1y=-4經(jīng)檢驗，兩組解均是方程組的解，∴二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4的“共贏點”是（﹣1，﹣4），（4，1）；（2）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸交點為M，N，∴令y＝0，則ax2+bx+c＝0，∴xM+xN=-ba，xMx∴MN=(∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c是一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y=-∴由y=ax+by=-cx得ax+∴ax2+bx+c＝0，∴A，B兩個“共贏點”的橫坐標滿足：xA+xB=-ba，xAx縱坐標yA＝axA+b，yB＝axB+b，∴yA+yB＝a（xA+xB）+2b＝b，yAyB＝（axA+b）（axB+b）＝ac，∴AB==(=(-=b∵AB＝3MN，∴b2-4aca∴b2-4aca2+b2﹣4ac∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴1+a2＝9，∴a＝±22；（3）∵a＞b＞c，a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0，a+a+c＞0，a+c+c＜0，∴﹣2＜a∵一次函數(shù)y＝ax+2b與反比例函數(shù)y=-ca的“共同體”函數(shù)的兩個“共贏點”的橫坐標是x1，∴x1，x2是方程ax+2b=-ca，即ax2+2bx+c∴x1+x2=-2ba，x1x∵L＝|1x=(=(=(＝2b＝2(-a-c＝2(＝2(a∵﹣2＜a∴3＜2(ac即3＜L＜23【點評】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，根據(jù)題干所給定義結(jié)合韋達定理來求解是本題解題的關鍵，另外（2）可以采用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)直線斜率和其夾角正切值的關系直接求解a值．4．（2024?新疆）某公司銷售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷售額y1（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為：y1＝5x；成本y2（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中(1（1）求出成本y2關于銷售量x的函數(shù)解析式；（2）當成本最低時，銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少？（3）當銷售量是多少噸時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤＝銷售額﹣成本）【考點】二次函數(shù)的應用．【專題】二次函數(shù)的應用；運算能力．【答案】（1）y2＝（x-12）2+74；（2）當成本最低時，銷售產(chǎn)品所獲利潤是0.75萬元；（3）當銷售量是【分析】（1）依據(jù)題意，由頂點為（12，74），可設拋物線為y2＝a（x-12）2+74，又拋物線過（（2）依據(jù)題意，當銷售量x=12時，成本最低為74，又銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷售額y1（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為：y1＝（3）依據(jù)題意，利潤＝y(tǒng)1﹣y2＝5x﹣[（x-12）2+74]＝﹣（x﹣3【解答】解：（1）由題意，∵頂點為（12，7∴可設拋物線為y2＝a（x-12）2又拋物線過（2，4），∴a×94∴a＝1．∴y2＝（x-12）2（2）由題意，當銷售量x=12時，成本最低為又銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷售額y1（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為：y1＝5x，∴當x=12時，銷售額為y1＝5x＝5×∴此時利潤為2.5-74答：當成本最低時，銷售產(chǎn)品所獲利潤是0.75萬元．（3）由題意，利潤＝y(tǒng)1﹣y2＝5x﹣[（x-12）2＝﹣x2+6x﹣2＝﹣（x﹣3）2+7．∵﹣1＜0，∴當x＝3時，利潤取最大值，最大值為7．答：當銷售量是3噸時，可獲得最大利潤，最大利潤是7萬元．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關鍵．5．（2024?匯川區(qū)三模）如圖，是小明在自家院子里晾曬衣服的示意圖，他發(fā)現(xiàn)此時晾衣繩的形狀可以近似的看作一條拋物線．經(jīng)過測量，他發(fā)現(xiàn)立柱AB，CD均與地面垂直，且AB＝CD＝2m，AB、CD之間的水平距離BD＝8m．繩子最低點與地面的距離為1m．（1）按如圖（1）建立的平面直角坐標系，求拋物線的解析式．（2）由于晾曬的衣服比較多，為了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱MN撐起繩子，如圖（2）MN的高度為1.55m，通過調(diào)整MN的位置，使左邊拋物線F1對應的函數(shù)關系式為y1＝a（x﹣2）2+k，且最低點離地面1.4米，求水平距離DN．（3）在（2）的條件下，小明測得右邊拋物線F2對應的函數(shù)關系式為y2＝0.09（x﹣5）2+1.19，將圖（2）中F1，F(xiàn)2兩條拋物線組成的新函數(shù)圖象整體向右平移m（m＞0）個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在5≤x≤6時，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．【考點】二次函數(shù)的應用．【專題】二次函數(shù)的應用；應用意識．【答案】（1）y=1（2）5；（3）1≤m≤2或4≤m≤5．【分析】（1）根據(jù)題意可得，拋物線的對稱軸為x＝4，頂點坐標為（4，1），點A（0，2），點C（8，2），設設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣4）2+1，將點A（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+1求解即可；（2）根據(jù)F1的最低點離地面1.4米，可得k＝1.4，F(xiàn)1：y＝a（x﹣2）2+1.4，將點A（0，2）y＝a（x﹣2）2+1.4可求出拋物線F1的表達式，根據(jù)MN的高度為1.55m，令y＝1.55，求出橫坐標的值，即可求得ON＝3，進而得到水平距離DN；（3）由于拋物線F1：y1=320(x-2)的對稱軸分別為x＝2和x＝5，當0≤x≤2或3≤x≤5時，y的值隨x值的增大而減小，將新函數(shù)圖象向右平移m個單位長度，可得平移后的函數(shù)圖象的對稱軸分別為x＝2+m，x＝5+m，由于平移不改變圖形形狀和大小，故當m≤x≤2+m或3+m≤x≤5+m時，y的值隨x值的增大而減小，而新函數(shù)圖象在5≤x≤6時，y的值隨x值的增大而減小，利用數(shù)形結(jié)合可知，區(qū)間5≤x≤6必須包含在m≤x≤2+m或3+m≤x≤5+m區(qū)間內(nèi)，才能滿足條件，分情況討論即可得解．【解答】解：（1）（1）如圖所示，由題意得，拋物線的對稱軸為x=1頂點的坐標為：（4，1），點A（0，2），點C（8，2），設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣4）2+1，將點A（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+1得：a（0﹣4）2+1＝2，a=1∴y=116(x-4)（2）如圖所示，由題知，F(xiàn)1的最低點離地面1.4米，∴k＝1.4∴拋物線F1的表達式為：y＝a（x﹣2）2+1.4，∵點A在拋物線F1上，∴當x＝0時，y＝2，∴4a+1.4＝2∴a＝0.15則拋物線F1的表達式為：y1=0.15∴當y＝1.55時，即1.55＝0.15（x﹣2）2+1.4，整理得：（x﹣2）2＝1∴x1＝3，x2＝1（不合題意，舍去）∴ON＝3，DN＝OD﹣ON＝8﹣3＝5（米）．（3）由（2）題可知，拋物線F1：y1=320(x-2)的對稱軸分別為x＝2和x＝5，此時，當0≤x≤2或3≤x≤5時，y的值隨x值的增大而減小，將新函數(shù)圖象向右平移m個單位長度，可得平移后的函數(shù)圖象的對稱軸分別為x＝2+m，x＝5+m如圖所示，∵平移不改變圖形形狀和大小，∴當m≤x≤2+m或3+m≤x≤5+m時，y的值隨x值的增大而減小，∴當5≤x≤6時，y的值隨x值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，得m的取值范圍是：①m≤5且2+m≥6，得4≤m≤5，②3+m≤5且5+m≥6，得1≤m≤2，由題意知m＞0，綜上所述，m的取值范圍是1≤m≤2或4≤m≤5．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，以及利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關鍵．6．（2024?清遠模擬）如圖，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點B、A，拋物線y＝a（x﹣2）2+k經(jīng)過點A、B，其頂點為C．（1）求拋物線的解析式．（2）求△ABC的面積．（3）點P為直線AB上方拋物線上的任意一點，過點P作PD∥y軸交直線AB于點D，求線段PD的最大值及此時點P的坐標．【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；一次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】二次函數(shù)的應用；運算能力．【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）3；（3）PD有最大值，為2.25，此時P（1.5，0.75）．【分析】（1）先求出A、B的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式求解；（3）先求出PD的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出PD的最大值，此時x的值就是P的橫坐標，進而求出其縱坐標．【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣3，當y＝0時，x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），由題意得：4a+k=-解得：a=-∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3；（2）由拋物線的頂點式得：C（2，1），設AC的解析式為：y＝bx﹣3，則2b﹣3＝1，解得：b＝2，∴AC的解析式為：y＝2x﹣3，當y＝0時，2x﹣3＝0，解得：x＝1.5，∴△ABC的面積為：12×（3﹣1.5）×（1+3）＝（3）設AB的解析式為：y＝mx﹣3，則：0＝3m﹣3，解得：m＝1，∴AB的解析式為：y＝x﹣3，∴點P為直線AB上方拋物線上的任意一點，過點P作PD∥y軸，設點P（x，﹣x2+4x﹣3），（0＜x＜3）則D（x，x﹣3），∴PD＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣1.5）2+2.25，∴當x＝1.5時，PD有最大值，為2.25，此時P（1.5，0.75）．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握待定系數(shù)法、三角形的面積公式解二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．7．（2024?湖北模擬）某超市用600元購買一種文具，若商品的進價上漲20%，則少買20件．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：售價為6（元/件）時，當天的銷售量為100件，售價每上漲0.5元，當天的銷售量就減少5件．（1）求該文具的進價；（2）設當天銷售單價統(tǒng)一為x（元/件）（x≥6，且x是0.5的倍數(shù)），當天銷售利潤為y元．求y與x的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）若每件文具的利潤不超過80%，要使當天獲得利潤最大，每件文具售價為多少元？并求出最大利潤．【考點】二次函數(shù)的應用；分式方程的應用．【專題】一元二次方程及應用；二次函數(shù)的應用；應用意識．【答案】（1）該玩具的進價為5元/件；（2）y＝﹣10x2+210x﹣800；（3）每件文具售價為9元時，最大利潤為280元．【分析】（1）設該玩具的進價為x元/件，根據(jù)商品的進價上漲20%，則少買20件，列出方程求解即可；（2）根據(jù)總利潤＝每件利潤×銷售量，列出函數(shù)關系式即可；（3）由題意可知，利潤不超過80%即為利潤率＝（售價﹣進價）÷進價，即可求得售價的范圍．再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）設該玩具的進價為x元/件，根據(jù)題意，得：600x解得：x＝5，經(jīng)檢驗：x＝5是原方程的解，也符合題意，∴該玩具的進價為5元/件；（2）由題意，得y=(x-故y與x的函數(shù)關系式為：y＝﹣10x2+210x﹣800；（3）∵每件文具利潤不超過80%，∴x-55≤0.8，得x≤∴文具的銷售單價為6≤x≤9，由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5，∵對稱軸為x＝10.5，∴6≤x≤9在對稱軸的左側(cè)，且y隨著x的增大而增大，∴當x＝9時，取得最大值，此時y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280，即每件文具售價為9元時，最大利潤為280元．【點評】本題考查了分式方程的應用研究，二次函數(shù)的應用．在實際生活中，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答．8．（2024?信陽三模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求拋物線的頂點坐標（用含t的代數(shù)式表示）；（2）點P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若對于x1，x2，都有y1＜y2，直接寫出t的取值范圍．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)綜合題；分類討論；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）將拋物線的解析式配成頂點式，即可寫成答案；（2）①先確定出當x＝t時，y1的最小值為t，進而求出t，再判斷出當x＝t+2時，y1取最大值，即可求出答案；②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，最后分兩種情況，利用t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，即可求出答案．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴拋物線的頂點坐標為（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴拋物線的對稱軸為x＝t，∵1＞0，∴拋物線開口向上，∵t﹣1≤x1≤t+2，∴當x＝t時，y1的最小值為﹣t，∵y1的最小值是﹣2，∴t＝2，∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2，∴當x＝t+2時，y1最大＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2，即y1的最大值為2；②∵點P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線y＝（x﹣t）2﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，∵對于x1，x2，都有y1＜y2，∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，∴x2Ⅰ、當x2由①知，x2＞x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＞t+2，∴t＜-1由②知，x2+x1＞2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＜0，∴t＜0，即t＜-1Ⅱ、當x2由x2﹣x1＜0得：x2＜x1，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴1﹣t＜t﹣1，∴t＞1，由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t，∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，∴0≤x2+x1≤3，∴2t＞3，∴t＞3即t＞3即滿足條件的t的取值范圍為t＜-12或t【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了配方法，函數(shù)極值的確定，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．9．（2024?東莞市校級一模）如圖1：平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+92與x軸交于點A(-33，0)和點B（1）求拋物線表達式．（2）如圖2，點D（0，3）是y軸上一點，連接AD，點P是直線AD上方拋物線上一個動點，過點P作PE∥y軸交直線AD于點E，在射線ED上取一點F，使得PE＝PF，求△PEF周長的最大值及此時點P的坐標．（3）如圖3，將原拋物線y＝ax2+bx+92沿射線AD方向平移4個單位長度，平移后拋物線y1的對稱軸與x軸交于點N，射線AD上有一點G，連接GN，過點G作GN的垂線與拋物線y1交于點M，連接MN，若∠GMN＝30°，請直接寫出點【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；圖形的相似；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】（1）y=-（2）△PEF周長的最大值為：252，P(（3）點M的坐標為：M1(533【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由C△PEF（3）證明△MRG∽△GTN，得到點M的坐標，即可求解．【解答】解：（1）A(-33，0)解得：a=-∴y=-（2）過P作PH⊥EF于點H，則∠PHE＝90°，設P(p，-12p2-3p+9∴△EPH∽△DAO，則PHPE則sin∠ADO=3則∠PEF＝∠ADO＝60°，而PE＝PF，則△PEF為等邊三角形，則△PEF的周長＝3PE，∴PE最大時，C△PEF最大，直線AD：y=33x+3，E(p-12＜∵-3∴x=-433時，C△PEF最大為（3）原拋物線沿射線AD方向平移4個單位長度，相當于向右平移23、向上平移2個單位，則平移后的表達式為：y=-12x2+3x+132，則點當點M在G的右側(cè)時，過點G作GT⊥x軸于點T，交過點M和x軸的平行線于點R，∵∠RGM+∠RMG＝90°，∠RGM+∠NGT＝90°，∴∠RMG＝∠NGT，∵∠MRG＝∠GTN＝90°，∴△MRG∽△GTN，∵∠GMN＝30°，則MG：GN=3即上述兩個三角形的相似比為3，設點G（m，33m+3則GT=33m+3，TN=則RM=3GT＝m+33，RG=3TN＝3-則點M（2m+33，6-23將點M的坐標代入拋物線表達式得：6-233m=-12（2m+33）2+3（解得：m=335即M1(5當點M在G的左側(cè)時，同理可得：M3綜上，點M的坐標為：M1(533【點評】本題為考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到三角形相似、解直角三角形的知識，有一定的綜合性，難度適中．10．（2024?河北模擬）如圖，已知拋物線L：y＝x2+mx與直線l：y＝﹣x+b相交于點A（2，0）和點B．（1）求m和b的值；（2）若直線x＝a與線段AB交于點P，與拋物線交于點Q，求P，Q兩點間距離的最大值；（3）M是直線AB上的一個動點，將點M向左平移3個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線只有一個公共點，直接寫出點M的橫坐標XM的取值范圍．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；函數(shù)的綜合應用；應用意識．【答案】（1）m的值為﹣2，b的值是2；（2）PQ的最大值為94（3）點M的橫坐標xM的取值范圍是﹣1≤xM＜2或xM＝3．【分析】（1）把A（2，0）代入y＝﹣x+b和y＝x2+mx，即可得m的值為﹣2，b的值是2；（2）設P（m，﹣m+2），則Q（m2﹣2m），可得PQ＝（﹣m+2）﹣（m2﹣2m）＝﹣（m-12）2+94，由二次函數(shù)性質(zhì)可得（3）由y=-x+2y=x2-2x得A（2，0），B（﹣1，3），可知A、B的水平距離為3，分三種情況：當M在B左側(cè)的直線AB上時，當M在線段AB上（不含A）時，當M在【解答】解：（1）把A（2，0）代入y＝﹣x+b得：﹣2+b＝0，解得b＝2，把把A（2，0）代入y＝x2+mx得：4+2m＝0，解得m＝﹣2，答：m的值為﹣2，b的值是2；（2）如圖：由（1）可得拋物線L：y＝x2﹣2x與直線l：y＝﹣x+2，設P（m，﹣m+2），則Q（m，m2﹣2m），∵P在線段AB上，∴PQ＝（﹣m+2）﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+m+2＝﹣（m-12）2∵﹣1＜0，∴當m=12時，PQ取最大值，最大值為（3）由y=-x+2y=x2∴A（2，0），B（﹣1，3），∴A、B的水平距離為3，當M在B左側(cè)的直線AB上時，向左平移3個單位長度得到點N，此時線段MN與拋物線無公共點，當M在線段AB上（不含A）時，向左平移3個單位長度得到點N，線段MN與拋物線只有一個公共點，∴此時﹣1≤xM＜2，當M在A右側(cè)的直線AB上時，若xM＝3，則拋物線和線段MN交于拋物線的頂點（1，﹣1），即xM＝3時，線段MN與拋物線只有一個公共點，綜上所述，點M的橫坐標xM的取值范圍是﹣1≤xM＜2或xM＝3．【點評】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法、平移變換及最大（?。┲档戎R，解題的關鍵是對M的位置分類討論．

考點卡片1．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．2．一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與