人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《2.17直線與圓的方程》同步測試題及答案

第第頁人教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《2.17直線與圓的方程》同步測試題及答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)已知A4,3，B1,?1，以(2)圓心為點C1,3且與直線3x?4y?6=02．（2022·浙江·高二期末）已知圓C經(jīng)過A(0,2)，B(0,8)兩點，且與x軸的正半軸相切.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：x?y+3=0與圓C交于M，N，求|MN|.3．（2022·河南開封·高二階段練習(xí)）已知M(m,n)為圓C:x(1)求m+2n的取值范圍；(2)求n?3m+24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點Px,y是直線kx+y+4=0k>0上一動點，PA，PB是圓C：x2+y2?2y=0的兩條切線，A5．（2022·四川·高二開學(xué)考試（文））已知以點A?1,2為圓心的圓與直線l1:x+2y+7=0相切，過點B?2,0的動直線l與圓A相交于M?(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)MN=219時，求直線6．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知圓M:(x+1)2+(y?1)2(1)求r的值；(2)若點P是圓M上一動點，點Q是曲線y=1x(x>0)7．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知圓C的方程為x2(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)若圓C與直線l:x+y+3=0交于M，N兩點，且MN=23，求8．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知圓M：x2+y?22=1，Q是x軸上的動點，QA、QB(1)若Q1,0(2)求四邊形QAMB面積的最小值；9．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知圓C:x?22+y2(1)當(dāng)直線l與圓C相切時，求直線l的方程(2)若直線l與圓C相交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程.10．（2022·福建福州·高二期末）圓C的圓心為C(1,0)，且過點A1(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：kx?y+2=0與圓C交M,N兩點，且MN=2，求11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)O是坐標(biāo)原點，直線x+2y?3=0與圓C：x2+y2+x?6y+m=0(1)求線段PQ中點M的坐標(biāo)；(2)若OP⊥OQ，求該圓的面積．12．（2022·江蘇·高二開學(xué)考試）已知圓C過點A（1，2），B（2，1），且圓心C在直線y=?x上.P是圓C外的點，過點P的直線l交圓C于M，N兩點.(1)求圓C的方程；(2)若點P的坐標(biāo)為（0，?3），探究：無論l的位置如何變化，|PM|13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知曲線C:x2+(1)當(dāng)曲線C表示圓時，求m的取值范圍；(2)當(dāng)曲線C表示圓時，被直線l截得的弦長為25，求m14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓C:x?12+(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C恒相交；(2)求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程．15．（2022·全國·高二單元測試）已知圓C:x(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，且截距不為零，求此切線的方程；(2)從圓C外一點Px1,y1向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，且有PM16．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線y=x+t被圓x2+y2=817．（2022·云南·高二開學(xué)考試）已知圓C:x2+y2(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線l的一般式方程；(2)已知直線m經(jīng)過點P，并且被圓C截得的弦長為22，求直線m18．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓C過點M(0，?2)，N(3，(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)直線ax?y+1=0與圓C交于不同的兩點A，B，是否存在實數(shù)a，使得過點P(2，0)的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)19．（2022·全國·高二單元測試）已知圓C:x(1)若圓C截x軸所得弦的弦長等于半徑的一半，求m的值；(2)當(dāng)m=3時，若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．20．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓M:x2+y?22=1，Q是x軸上的動點，QA、QB分別與圓(1)若Q1,0(2)求四邊形QAMB面積的最小值；(3)若AB=241321．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l過定點0,2，且與圓C:x2?2x+y2(1)求直線l的斜率的取值范圍．(2)若O為坐標(biāo)原點，直線OM、ON的斜率分別為k1、k2，試問22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓C:x2+y2=8內(nèi)有一點P?1,2(1)當(dāng)α=135°時，求弦AB的長；(2)當(dāng)弦AB被點P平分時，求直線AB的方程；(3)求過點P的弦的中點的軌跡．23．（2022·江蘇·高二開學(xué)考試）已知圓C:x?2(1)直線l1過點D?1,1，且與圓C相切，求直線(2)設(shè)直線l2:x+3y?1=0與圓C相交于M，N兩點，點P為圓C上的一動點，求24．（2022·四川省高二開學(xué)考試）已知兩個定點A0,4、B0,1，動點P滿足PA=2PB，設(shè)動點P的軌跡為曲線(1)求曲線E的方程；(2)若k=1，Q是直線l上的動點，過Q作曲線E的兩條切線QM、QN，切點為M、N，探究：直線MN是否過定點？若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．25．（2022·內(nèi)蒙古·高一期中）已知點Pt,?t?1，圓C：x?3(1)判斷點P與圓C的位置關(guān)系，并加以證明；(2)當(dāng)t=5時，經(jīng)過點P的直線n與圓相切，求直線n的方程；(3)若經(jīng)過點P的直線與圓C交于A、B兩點，且點A為PB的中點，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍．26．（2021·吉林高二開學(xué)考試）已知圓C：x2+y2?2y?2=0，直線l(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線l與圓C交于不同的兩點A,B，求弦AB的中點M的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，若|AP||PB|=2，求直線27．（2022·江蘇省高二開學(xué)考試）已知直線l:(m+2)x+(1?2m)y+6m?3=0與圓C:x(1)求證：直線l過定點，并求出此定點坐標(biāo)；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，若直線l與圓C交于M，N兩點，且直線OM，ON的斜率分別為k1，k2，則28．（2022·全國·高二單元測試）已知兩點D（4，2），M（3，0）及圓C：x?22+y?32=5(1)若直線l經(jīng)過點D，求證：直線l與圓C相切；(2)若直線l與圓C相交于兩點A，B，從下列條件中選擇一個作為已知條件，并求△ABD的面積．條件①：直線l平分圓C；條件②：直線l的斜率為－3．29．（2022·江蘇·高二開學(xué)考試）已知圓C過點A2,6，且與直線l1:x+y?10=0(1)求圓C的方程；(2)過點P6,24的直線l2與圓C交于M,N兩點，若△CMN為直角三角形，求直線(3)在直線l3:y=x?2上是否存在一點Q，過點Q向圓C引兩切線，切點為E,F，使△QEF為正三角形，若存在，求出點30．（2022·江蘇南京·高二開學(xué)考試）已知⊙C的圓心在直線3x?y?3=0上，點C在y軸右側(cè)且到y(tǒng)軸的距離為1，⊙C被直線l：x?y+3=0截得的弦長為2.(1)求⊙C的方程；(2)設(shè)點D在⊙C上運動，且點T滿足DT=2TO，（O為原點）記點T的軌跡為①求曲線E的方程；②過點M1，0的直線與曲線E交于A，B兩點，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB參考答案1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）求滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)已知A4,3，B1,?1，以(2)圓心為點C1,3且與直線3x?4y?6=0【解題思路】（1）根據(jù)題意得到圓心52,1，半徑為（2）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解即可.【解答過程】（1）圓心為AB的中點52,1，半徑為所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?5（2）點C到直線3x?4y?6=0的距離為d=3?12?6所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?122．（2022·浙江·高二期末）已知圓C經(jīng)過A(0,2)，B(0,8)兩點，且與x軸的正半軸相切.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：x?y+3=0與圓C交于M，N，求|MN|.【解題思路】（1）由題意，設(shè)圓心C(m,n)且半徑r=|n|，由圓所過的點列方程求參數(shù)，結(jié)合與x軸的正半軸相切確定圓的方程；（2）利用弦心距、半徑與弦長的關(guān)系求|MN|.【解答過程】（1）若圓心C(m,n)，則圓的半徑r=|n|，即(x?m)2又圓C經(jīng)過A(0,2)，B(0,8)，則{m2+所以(x?4)2+(y?5)2=25故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?4)2（2）由（1）知：C(4,5)到直線l的距離為|4?5+3|2=2所以|MN|=2r3．（2022·河南開封·高二階段練習(xí)）已知M(m,n)為圓C:x(1)求m+2n的取值范圍；(2)求n?3m+2【解題思路】（1）問題化為直線t=x+2y與圓有交點，即圓心到直線距離d≤22（2）Q(?2,3)，問題化為求直線MQ的斜率k最值，利用直線MQ與圓有交點，結(jié)合點線距離公式求范圍，即可得結(jié)果.【解答過程】（1）因為x2+y2?4x?14y+45=0設(shè)m+2n=t看成直線方程，其與圓有公共點，所以圓心到直線的距離d=|2+2×7?t|12所以所求的取值范圍是[16?210（2）記Q(?2,3)，因為n?3m+2表示直線MQ的斜率k所以直線MQ的方程為y?3=k(x+2)，即kx?y+2k+3=0.因為直線與圓有公共點，所以|2k?7+2k+3|1+k所以n?3m+2的最大值為2+3，最小值為4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點Px,y是直線kx+y+4=0k>0上一動點，PA，PB是圓C：x2+y2?2y=0的兩條切線，A【解題思路】連接CA,CB，求出圓心和半徑，由題意可得SPACB=2×12PA?CA=PA，然后由四邊形PACB【解答過程】連接CA,CB，由x2+y則圓心C(0,1)，半徑為1，因為PA，PB是圓C：x2+y2?2y=0所以PA=PB,PA⊥CA,PB⊥CB，所以SPACB因為SPACB≥2，所以因為PC所以PC所以當(dāng)四邊形PACB的最小面積是2時，點C到直線的距離為5，所以1+4k解得k=2或k=?2（舍去），5．（2022·四川·高二開學(xué)考試（文））已知以點A?1,2為圓心的圓與直線l1:x+2y+7=0相切，過點B?2,0的動直線l與圓A相交于M?(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)MN=219時，求直線【解題思路】（1）利用圓和直線相切的關(guān)系求出圓A的半徑即可求解；(2)首先當(dāng)直線l斜率不存在時，求出弦長|MN|，滿足題意；當(dāng)直線l斜率存在時設(shè)出直線l的方程，利用圓的弦長公式求出|AQ|，然后利用點到直線的距離公式求解即可.【解答過程】（1）∵圓A與直線l1所以A?1,2到直線l1的距離故圓A的方程為：(x+1)2（2）①當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知直線l的方程為：x=?2，此時，圓心A?1,2到直線l從而弦長|MN|=220?1②當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，即kx?y+2k=0連接AQ，則AQ⊥MN，∵M(jìn)N=219從而AQ=?k?2+2kk故直線l的方程：3x?4y+6=0.綜上所述，直線l的方程為：x=?2或3x?4y+6=0.6．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知圓M:(x+1)2+(y?1)2(1)求r的值；(2)若點P是圓M上一動點，點Q是曲線y=1x(x>0)【解題思路】（1）利用勾股定理進(jìn)行求解.（2）設(shè)Qx【解答過程】（1）由題意得圓心M的坐標(biāo)為(?1,1)，又A(?2,4)，故|AM|因為切線長3，所以|AM|所以r=1.（2）設(shè)Qx0,故|MQ=x當(dāng)且僅當(dāng)x0?1故|MQ|的最小值為3，故|PQ|的最小值為3?17．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知圓C的方程為x2(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)若圓C與直線l:x+y+3=0交于M，N兩點，且MN=23，求【解題思路】（1）將圓C的一般方程用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到13+m>0，解之即可；（2）利用弦長公式MN=2r2?d2求得【解答過程】（1）方程x2+y∵此方程表示圓，∴13+m>0，即m>?13，即m∈?13,+（2）由（1）可得圓心C(2,?3)，半徑r=m+13則圓心C(2,?3)到直線l:x+y+3=0的距離為d=|2?3+3|由弦長公式MN=2r2?d2及∴r=m+13=58．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知圓M：x2+y?22=1，Q是x軸上的動點，QA、QB(1)若Q1,0(2)求四邊形QAMB面積的最小值；【解題思路】（1）設(shè)切線方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程求解即可；（2）設(shè)點Q的坐標(biāo)，根據(jù)SQAMB=2S【解答過程】（1）由題意，過點Q1,0且與x軸垂直的直線顯然與圓M相切，此時，切線方程為x=1當(dāng)過點Q1,0的直線不與x軸垂直時，設(shè)其方程為y=k（x?1），即kx?y?k=0，由?2?kk（2）連接QM，因為圓的方程為x2+y?22=1，所以M0,2，r=1，設(shè)Qm,0，所以QM=m2+49．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知圓C:x?22+y2(1)當(dāng)直線l與圓C相切時，求直線l的方程(2)若直線l與圓C相交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程.【解題思路】（1）討論直線l斜率不存在易得直線l為x=1，再根據(jù)兩條切線關(guān)于CP對稱，結(jié)合傾斜角的關(guān)系?二倍角正切公式求得另一條切線的斜率為?3（2）設(shè)Mx,y，根據(jù)CM2+PB2=PC【解答過程】（1）當(dāng)直線l斜率不存在時x=1，顯然直線l與圓C相切且切點為E1,0所以，對于另一條切線，若切點為D，則∠EPD=2∠EPC，又tan所以tan∠EPD=2tan∠EPC1?所以直線DP的斜率為?34，故另一條切線方程為y?2=?3綜上，直線l的方程為x=1或3x+4y?11=0.（2）由（1）知直線l與圓C相交于A?B兩點，則斜率必存在，設(shè)Mx,y，則CM所以x?22+y當(dāng)直線l與圓C相切于點D時，直線CD的斜率為43y=43(x?2)，由y=43對于M的軌跡方程x?322+y?1所以1<x<135，且綜上，M的軌跡方程為x?322+10．（2022·福建福州·高二期末）圓C的圓心為C(1,0)，且過點A1(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：kx?y+2=0與圓C交M,N兩點，且MN=2，求【解題思路】（1）根據(jù)兩點間的距離公式求得半徑，再求標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）由題知圓心C到直線l的距離為d=2【解答過程】（1）解：因為圓C的圓心為C(1,0)，且過點A1所以半徑r=(1?所以，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)（2）解：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，因為MN所以|MN|=2r2所以，由圓心到直線距離公式可得d=|k+2|解得k=?1或k=?7．11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)O是坐標(biāo)原點，直線x+2y?3=0與圓C：x2+y2+x?6y+m=0(1)求線段PQ中點M的坐標(biāo)；(2)若OP⊥OQ，求該圓的面積．【解題思路】（1）求得線段PQ垂直平分線的方程，通過求兩條直線的交點的方法求得M.（2）聯(lián)立直線x+2y?3=0與圓C的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)OP⊥OQ列方程，化簡求得m，從而求得圓的半徑，進(jìn)而求得圓的面積.【解答過程】（1）圓C的圓心為C?12,3，直線所以線段PQ的垂直平分線的斜率為2，線段PQ的垂直平分線經(jīng)過C?所以線段PQ的垂直平分線方程為y?3=2x+由y=2x+4（2）由x+2y?3=0x2+y2設(shè)Px1,x1由于OP⊥OQ，所以O(shè)P?即3?2y即9?6y所以9?6×4+5×12+m所以圓的半徑為1+36?4m2所以圓的面積為π×12．（2022·江蘇·高二開學(xué)考試）已知圓C過點A（1，2），B（2，1），且圓心C在直線y=?x上.P是圓C外的點，過點P的直線l交圓C于M，N兩點.(1)求圓C的方程；(2)若點P的坐標(biāo)為（0，?3），探究：無論l的位置如何變化，|PM|【解題思路】（1）由設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由待定系數(shù)法將A,B代入方程，即可求解，（2）聯(lián)立直線與圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系以及PM×【解答過程】（1）由于圓心在y=?x，故設(shè)圓的方程為x?a2+y+a2=r2，將A所以圓的方程為：x（2）當(dāng)直線l⊥x軸時，PM×當(dāng)直線l有斜率時，設(shè)其方程為：y=kx?3，聯(lián)立直線與圓的方程x2+y設(shè)Mx1,y1由于點P在圓外，所以PM×因此PM×綜上，無論l的位置如何變化，PM×13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知曲線C:x2+(1)當(dāng)曲線C表示圓時，求m的取值范圍；(2)當(dāng)曲線C表示圓時，被直線l截得的弦長為25，求m【解題思路】（1）通過對x2（2）通過（1）可知m<5，利用點到直線的距離公式計算可知弦心距d，利用弦心距?半徑與半弦長的關(guān)系計算即得結(jié)論【解答過程】（1）∵x2+又∵曲線C表示圓，∴5?m>0，即m<5，所以m的取值范圍為?∞（2）由（1）可知m<5，圓心坐標(biāo)為1,2，又∵直線l:x+2y?4=0，∴圓心到直線l的距離d=|1+4?4|∵直線l截得的弦長為25，∴5?m=解得：m=?114．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓C:x?12+(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C恒相交；(2)求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程．【解題思路】（1）根據(jù)直線過定點3,1，而該點在圓內(nèi)，即可求解，（2）由l⊥CM時，圓心到直線l的距離最大，進(jìn)而可求最短的弦長以及直線方程.【解答過程】（1）將直線l的方程變形為2x+y?7m+x+y?4=0，令2x+y=7x+y=4，解得x=3y=1，即直線l過定點3,1．因為3?12+（2）（1）的結(jié)論知直線l過定點M3,1，且當(dāng)直線l⊥CM時，此時圓心到直線l的距離最大，進(jìn)而l被圓所截的弦長AB最短，故CM從而此時AB=2此時kAB=?1kCM=2,直線15．（2022·全國·高二單元測試）已知圓C:x(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，且截距不為零，求此切線的方程；(2)從圓C外一點Px1,y1向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，且有PM【解題思路】（1）根據(jù)題意，設(shè)所求切線方程為x+y=aa≠0，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得出關(guān)于實數(shù)a的等式，解出a（2）利用兩點間的距離公式結(jié)合勾股定理可知點P在直線2x?4y+3=0上，再由PM=PO可知當(dāng)OP與直線2x?4y+3=0垂直時，PM取最小值，求出此時PO的方程，與直線2x?4y+3=0的方程聯(lián)立可求得點【解答過程】（1）解：∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且截距不為零，設(shè)切線方程為x+y=aa≠0又∵圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+12所以，圓心C?1,2到切線的距離等于圓的半徑2則?1+2?a2=2，解得a=?1因此，所求切線的方程為x+y+1=0或x+y?3=0.（2）解：∵PM⊥CM，∴PM又∵PM=PO所以，x1+12所以，點P在直線2x?4y+3=0上．∵PM=PO，∴PM而PO長度的最小值為O到直線2x?4y+3=0的距離，此時直線PO的方程為2x+y=0．由2x?4y+3=02x+y=0，解得x=?因此，使得PM的長度取得最小值的點P的坐標(biāo)為?316．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線y=x+t被圓x2+y2=8【解題思路】利用直線與圓相交時圓心到直線距離與半徑的關(guān)系以及所給弦長條件建立不等式求解即得.【解答過程】解：圓x2+y設(shè)直線被圓截得的弦長為l，圓心0,0到直線y=x+t的距離d=t由題意，得d<r，即t2<22又l22+d2=r結(jié)合?4<t<4，可知?4<t≤?823綜上，實數(shù)t的取值范圍為(?4,?817．（2022·云南·高二開學(xué)考試）已知圓C:x2+y2(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線l的一般式方程；(2)已知直線m經(jīng)過點P，并且被圓C截得的弦長為22，求直線m【解題思路】（1）將點P的坐標(biāo)代入圓C的方程，求出實數(shù)a的值，可得出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出直線PC的斜率，由圓的幾何性質(zhì)可得PC⊥l，可求得直線l的斜率，利用點斜式可得出直線l的方程，化為一般式即可；（2）分析可知直線m過圓心，求出直線m的斜率，利用點斜式可得出直線m的方程.【解答過程】（1）把點P2,?1代入圓C的方程，可得4+1?4?a+3=0，解得a=4∴得C的方程為x2+y∵圓心為C1,?2，所以，直線PC的斜率為k由圓的幾何性質(zhì)可知PC⊥l，則直線l的斜率為?1，∴直線l的方程為y+1=?x?2，即x+y?1=0（2）由（1）可知，圓C的直徑為22，故直線m經(jīng)過圓心C且直線PC的斜率為kPC=1，∴直線m的方程為y+1=x?2，即18．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓C過點M(0，?2)，N(3，(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)直線ax?y+1=0與圓C交于不同的兩點A，B，是否存在實數(shù)a，使得過點P(2，0)的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)【解題思路】（1）設(shè)圓的方程x2（2）假設(shè)存在符合條件的實數(shù)a，可判斷圓心C(3，?2)必在直線l上，結(jié)合直線l垂直平分弦AB，求得a,再利用直線ax?y+1=0交圓C于A，B兩點，結(jié)合判別式求得【解答過程】（1）設(shè)圓C的方程為x2則有?D2?E+1=0所以圓C的方程為x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得x?32（2）假設(shè)存在符合條件的實數(shù)a，由于直線l垂直平分弦AB，故圓心C(3，?2)必在直線l上，所以直線l的斜率又kAB=a=?1將ax?y+1=0與圓C的方程聯(lián)立，整理得a2+1x2+6a?1x+9=0，由于直線ax?y+1=0故Δ=36a?12?36a故不存在實數(shù)a，使得過點P（2，0）的直線l垂直平分弦AB．19．（2022·全國·高二單元測試）已知圓C:x(1)若圓C截x軸所得弦的弦長等于半徑的一半，求m的值；(2)當(dāng)m=3時，若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．【解題思路】（1）由已知得出r=5?m，再根據(jù)圓C截x軸所得弦的弦長等于半徑的一半列出關(guān)于r的等式，求出r，即可得到m（2）根據(jù)截距為零和截距不為零分情況設(shè)出切線的方程，利用圓心到切線的距離為半徑構(gòu)建等式可得到答案?！窘獯疬^程】（1）解：將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y?2)2=5?m，所以圓C的圓心為C(?1,2)，半徑為r=5?m．因為圓C截x軸所得弦的弦長等于半徑的一半，所以(r（2）當(dāng)m=3時將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y?2)2=2，其圓心C(?1,2)，半徑r=2．①當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時，設(shè)切線的方程為y=kx，所以圓心到切線的距離為|?k?2|k2+1=2，即k2?4k?2=0，解得k=2±6．所以切線方程為y=(2+6)x或y=(2?6綜上所述，所求切線方程為y=(2+6)x或y=(2?6)x或20．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓M:x2+y?22=1，Q是x軸上的動點，QA、QB分別與圓(1)若Q1,0(2)求四邊形QAMB面積的最小值；(3)若AB=2413【解題思路】（1）根據(jù)過點Q的切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合點到直線的距離公式求得切線方程.（2）求得四邊形QAMB面積的表達(dá)式，由MQ的最小值求得面積的最小值.（3）根據(jù)AB=2413以及圓的切線的幾何性質(zhì)求得Q【解答過程】（1）圓M:x2+當(dāng)過點Q的切線的斜率不存在時，切線方程為x＝1，與圓相切，符合題意；當(dāng)過點Q的切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y=kx?1，即kx－y－k所以圓心0,2到切線的距離d=2+kk2所以切線方程為3x＋4y－3＝0．綜上，切線方程為x＝1或3x＋4y－3＝0．（2）由題意得四邊形QAMB的面積S=2S所以當(dāng)MQ⊥x軸時，MQ取得最小值2，所以四邊形QAMB面積的最小值為22（3）由題意得圓心M到弦AB的距離為1?12設(shè)MQ=x，x>0，則QA又AB⊥MQ，所以x?5132OQ2所以Q695,0所以kMQ所以直線MQ的方程為y=?10696921．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l過定點0,2，且與圓C:x2?2x+y2(1)求直線l的斜率的取值范圍．(2)若O為坐標(biāo)原點，直線OM、ON的斜率分別為k1、k2，試問【解題思路】（1）分析可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于k的不等式，解之即可；（2）設(shè)Mx1,y1，Nx2,y【解答過程】（1）解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?12+y2=1若直線l的斜率不存在，此時直線l與圓C相切，不合乎題意.所以，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，由題意可得k+2k2+1因此，直線l的斜率的取值范圍是?∞（2）解：設(shè)Mx1,y1，N聯(lián)立y=kx+2x2?2x+y2所以x1+x則k1+k所以k1+k22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知圓C:x2+y2=8內(nèi)有一點P?1,2(1)當(dāng)α=135°時，求弦AB的長；(2)當(dāng)弦AB被點P平分時，求直線AB的方程；(3)求過點P的弦的中點的軌跡．【解題思路】（1）根據(jù)點到直線的距離公式以及勾股定理即可求解弦長，（2）根據(jù)直線垂直斜率乘積為?1，即可得直線AB的斜率，進(jìn)而根據(jù)點斜式即可求方程，（3）根據(jù)向量垂直，利用坐標(biāo)運算即可求解軌跡方程，進(jìn)而可通過軌跡方程得軌跡.【解答過程】（1）當(dāng)α=135°時，則kAB=tan135°=?1，此時直線AB方程為：y?2=?1x+1所以AB=2（2）弦AB被點P平分時，則OP⊥AB,kOP=?2?kAB=（3）設(shè)中點為Q(x,y)，則PQ=x+1,y?2,所以PQ?OQ=0?x(x+1)+y(y?2)=0故點Q是以?12,123．（2022·江蘇·高二開學(xué)考試）已知圓C:x?2(1)直線l1過點D?1,1，且與圓C相切，求直線(2)設(shè)直線l2:x+3y?1=0與圓C相交于M，N兩點，點P為圓C上的一動點，求【解題思路】（1）根據(jù)直線l1（2）根據(jù)弦長公式求出MN，再根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)CP⊥AB時，點P到直線l2距離的最大值為半徑加上圓心C到直線AB【解答過程】（1）由題意得C（2，0），圓C的半徑為3．當(dāng)直線l1的斜率存在時，設(shè)直線l1的方程為y－l＝k（x＋1），即kx－y＋由直線l1與圓C相切，得2k?0+k+1k2+1=3，解得k=43當(dāng)直線l1的斜率不存在時，直線l1的方程為x=?1，顯然與圓綜上，直線l1的方程為x＝－1或4x－3y（2）由題意得圓心C到直線l2的距離d=設(shè)圓C的半徑為r，所以r＝3，所以MN=2×點P到直線l2距離的最大值為r+d=則△PMN的面積的最大值Smax24．（2022·四川省高二開學(xué)考試）已知兩個定點A0,4、B0,1，動點P滿足PA=2PB，設(shè)動點P的軌跡為曲線(1)求曲線E的方程；(2)若k=1，Q是直線l上的動點，過Q作曲線E的兩條切線QM、QN，切點為M、N，探究：直線MN是否過定點？若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．【解題思路】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為x,y，由PA=2PB結(jié)合平面內(nèi)兩點間的距離公式化簡可得出點（2）設(shè)Gx0,y0為圓x2+y2=4上任意一點，先證明出圓x2+y2=4在點G處的切線方程為x0x+y0y=4，設(shè)點Qt,t?4【解答過程】（1）解：設(shè)點P的坐標(biāo)為x,y，由PA=2PB可得，x2所以曲線E的方程為x2（2）解：設(shè)Gx0,y0當(dāng)x0y0≠0時，此時，圓x2+y2=4在點G當(dāng)x0=0時，圓x2+y2=4在點G當(dāng)y0=0時，圓x2+y2=4在點G因此，圓x2+y2=4當(dāng)k=1時，直線l的方程為y=x?4，設(shè)點Qt,t?4、Mx1則直線QM的方程為x1x+y1y=4所以，tx所以，點M、N的坐標(biāo)滿足方程tx+t?4故直線MN的方程為tx+t?4y=4，即由x+y=0y+1=0，解得x=1因此，直線MN過定點1,?1.25．（2022·內(nèi)蒙古·高一期中）已知點Pt,?t?1，圓C：x?3(1)判斷點P與圓C的位置關(guān)系，并加以證明；(2)當(dāng)t=5時，經(jīng)過點P的直線n與圓相切，求直線n的方程；(3)若經(jīng)過點P的直線與圓C交于A、B兩點，且點A為PB的中點，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍．【解題思路】（1）把點P的坐標(biāo)代入圓的方程的左邊計算結(jié)果大于4知點P在圓外；（2）分類討論斜率是否存在時，利用圓心到直線的距離等于其半徑求出切線方程；（3）由經(jīng)過點P的直線與圓C交于A、B兩點，且點A為PB的中點，得到CP?6，代入可求t【解答過程】（1）把點P的坐標(biāo)代入圓的方程的左邊計算，(t?3)2所以點P在圓外．（2）當(dāng)t=5時，點P的坐標(biāo)為(5,?6)，由圓C:(x?3)2+y2①當(dāng)直線n的斜率不存在，方程為x=5，圓以到直線x=5的距離為2，所以x=5是圓的切線；②當(dāng)直線n的斜率存在時，設(shè)直線n的方程為y+6=k(x?5)，即kx?y?5k?6=0，由題意有3k?0?5k?6k2+1所以直線n的方程為y+6=?43(x?5)綜上所述，過點P與圓相切的直線方程為x=5或4x+3y?2=0（3）若存在經(jīng)過點P的直線與圓C交于A、B兩點，且點A為PB的中點，由圓的半徑為2，所以AB?4則有PB?8，CP?6，當(dāng)AB為直徑時，所以有(t?3)2解得1?14所以橫坐標(biāo)的取值范圍為{t|1?1426．（2021·吉林高二開學(xué)考試）已知圓C：x2+y2?2y?2=0，直線l(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線l與圓C交于不同的兩點A,B，求弦AB的中點M的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，若|AP||PB|=2，求直線【解題思路】（1）先求出動直線經(jīng)過的定點，判斷定點和圓的位置關(guān)系即可；（2）連接圓心和弦的中點，利用垂徑定理找出幾何關(guān)系來解決；（3）聯(lián)立直線和圓的方程，利用韋達(dá)定理來解決.【解答過程】（1）因為直線l：mx?y+1+m=0過定點(?1,1)，又(?1)2+12?2×1?2=?2<0所以直線l與圓C相交；（2）設(shè)M(x,y)，當(dāng)M與P不重合，即x≠?1時，連接CM，CP，則CM⊥MP，根據(jù)勾股定理|CM|2+|MP|2=|CP|2．則x2+(y?1)2+(x+1)2+(y?1)2（3）設(shè)A(x1,y1)，所以?1?x1=2(x又{mx?y+1+m=0,x2+(y?1)所以x1+x2=?由①②③聯(lián)立，解得m=±3所以直線l的方程為3x?y+1+3=027．（2022·江蘇省高二開學(xué)考試）已知直線l:(m+2)x+(1?2m)y+6m?3=0與圓C:x(1)求證：直線l過定點，并求出此定點坐標(biāo)；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，若直線l與圓C交于M，N兩點，且直線OM，ON的斜率分別為k1，k2，則【解題思路】（1）由已知(m+2)x+(1?2m)y+6m?3=0,可得(2x+y?3)+m(x?2y+6)=0.根據(jù)過定點的直線系方程計算方法可得l恒過定點(0,3).（2）設(shè)出直線l的方程.聯(lián)立直線與圓的方程，利用韋達(dá)定理求解進(jìn)而即可得結(jié)果.【解答過程】（1）由直線l:(m+2)x+(1?2m)y+6m?3=0得m(x?2y+6)+(2x+y?3)=0，聯(lián)立x?2y+6=02x+y?3=0，解得x=0∴直線l恒過定點(0,3).（2）圓C:x2+y2?4x=0的圓心為2,0，半徑為直線l與圓C交于M，N兩點，則直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=kx+3，聯(lián)立y=kx+3x2+設(shè)M(x1,y1)，k∴k128．（2022·全國·高二單元測試）已知兩點D（4，2），M（3，0）及圓C：x?22+y?32=5(1)若直線l經(jīng)過點D，求證：直線l與圓C相切；(2)若直線l與圓C相交于兩點A，B，從下列條件中選擇一個作為已知條件，并求△ABD的面積．條件①：直線l平分圓C；條件②：直線l的斜率為－3．【解題思路】（1）方法一：求出直線l的方程，利用點到直線距離公式求出圓心到直線l的距離，與半徑比較得到結(jié)論；方法二：觀察到點D在圓C上，求出直線l的斜率及直線CD的斜率，得到直線l與直線CD垂直，從而證明出相切；（2）選擇①：得到直線l過圓心C（2，3），求出直線l的方程，得到D到直線l的距離及AB的長，從而求出面積；選擇②：求出直線l的方程，觀察到圓心C（2，3）在直線l上，得到D到直線l的距離及AB的長，從而求出面積；【解答過程】（1）方法一：若直線l經(jīng)過點D，則直線l的方程為y?0=2?04?3x?3，即2x由題意，圓C的圓