九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷-答案

2023-2024學(xué)年九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【答案】1.D

2.C

3.C

4.D

5.A

6.C

7.B

8.C

9.D

10.D

11.C

12.B

13.B

14.B

15.B

16.C

17.D

18.A

19.B

20.A

21.（10，3）22.63°或117°23.524.125.解：（1）原式=-4+22+1+22=42-3；

（2）原式=23-3+34-23+2=-126.解：過D點作DF⊥AB于F，

∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABC=∠BCD=∠DFB=90°，

∴BCDF是矩形，∴CD=BF，DF=BC，

∵∠ADF=45°，∴AF=DFtan45°=DF，

∵∠EDF=30°，∴EF=DFtan30°=33DF，

∴AE=AF+EF，則DF+33DF=30，

∴DF=（45-153）米

即BC=（45-15327.證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠C+∠ADE=180°，

∵∠BFE=∠C，

∴∠BFE+∠ADE=180°，

∵∠BFE+∠AFB=180°，

∴∠AFB=∠ADE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠AED，

∴△ABF∽△EAD；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵BE⊥DC，

∴BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，

在Rt△ABE中，

∵AB=4，∠BAE=30°，

∴cos∠BAE=cos30°=ABAE，

∴AE=ABcos30°=432=833；

（3）∵△ABF∽△EAD，

∴BFAD=ABAE，28.解：（1）∵DO⊥AB，

∴∠DOB=90°，

∴∠ACB=∠DOB，又∠B=∠B，

∴△DOB∽△ACB；

（2）∵∠ACB=90°，

∴AB=AC2+BC2=62+82=10，

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，

∴DC=DO，

在Rt△ACD和Rt△AOD中，

∵DC=DOAD=AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），

∴AC=AO=6，

設(shè)BD=x，則DC=DO=8-x，OB=AB-AO=4，

在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：DO2+OB2=BD2，

即（8-x）2+4229.解：（1）證明：如圖，

連接OD，BD，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，

∴CE=DE=BE=12BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

即∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

即∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，

∴DE為圓O的切線；

（2）證明：∵E是BC的中點，O點是AB的中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴BCCD=ACBC

即BC2=AC?CD，

∴BC2=CD?2OE

（3）解：∵OE∥AC，

∴∠BAD=∠BOE

∴sin∠BOE=sin∠BAD=35

∴BEOE=35

【解析】1.解：有一個銳角相等的兩個等腰三角形不一定相似，A錯誤；

底角為45°的兩個等腰梯形，對應(yīng)邊的比不一定相等，B錯誤；

任意兩個菱形不一定相似，C錯誤；

兩個等腰直角三角形必相似，D正確．

故選：D．

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形相似，運用分情況討論思想解答即可．

本題考查的是相似多邊形的判定，掌握對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形相似是解題的關(guān)鍵．2.解：∵cosA=32，

∴∠A=30°，

∴tanA=tan30°=33．

故選C．

根據(jù)∠A的余弦求出∠A=30°，再根據(jù)30°角的正切值求解即可．

本題考查了特殊角的三角函數(shù)，熟記30°、45°、3.解：∵各邊的長度都擴(kuò)大兩倍，

∴擴(kuò)大后的三角形與Rt△ABC相似，

∴銳角A的各三角函數(shù)值都不變．

故選C．

根據(jù)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，可知擴(kuò)大后的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等解答．

本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握理清銳角的三角函數(shù)值與角度有關(guān)，與三角形中所對應(yīng)的邊的長度無關(guān)是解題的關(guān)鍵．4.解：由|2sinA-1|+（2cosB-2）2=0，得

2sinA-1=0，2cosB-2=0，

解得∠A=30°，∠B=45°，

由三角形內(nèi)角和定理，得C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°，

故選：D．

根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為零，可得每個非負(fù)數(shù)為零，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．

本題考查了特殊角三角函數(shù)值，利用非負(fù)數(shù)的和等于零得出每個非負(fù)數(shù)為零是解題關(guān)鍵，又利用了特殊角三角函數(shù)值．5.解：∵AD：DB=3：5，

∴BD：AB=5：8，

∵DE∥BC，

∴CE：AC=BD：AB=5：8，

∵EF∥AB，

∴CF：CB=CE：AC=5：8．

故選A．

先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，則可求得答案．

此題考查了平行線分線段成比例定理．此題比較簡單，注意掌握比例線段的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．6.解：∵S△EFC=3S△DEF，

∴DF：FC=1：3（兩個三角形等高，面積之比就是底邊之比），

∵DE∥BC，

∴△DEF∽△CBF，

∴DE：BC=DF：FC=1：3

同理△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC=1：9，

故選C．

易證△DEF∽△CBF同理可證△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形面積比是對應(yīng)邊比例的平方即可解題．

本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面積比是對應(yīng)邊比例的平方的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7.解：

∵AE為∠DAB的平分線，

∴∠DAE=∠BAE，

∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA，

∴∠DAE=∠DFA，

∴AD=FD，

∵DG⊥AE，

∴AG=FG，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=DC=4，AD∥BC，

∵DF：CF=3：1，

∴DF=3，CF=1，

∵DG=1，

∴GF=32?12=22，

∴AF=2GF=43，

∵AD∥BC，

∴△ADF∽△ECF，

∴CF：DF=EF：AF=1：3，

即EF：43=1：3，

∴EF=433，

∴AE=AF+EF=43+433=1633，

故選B．

易證△ADF是等腰三角形，由DG⊥AE可得AG=FG，再由勾股定理可求出FG的長，再根據(jù)CF：DF=EF：AF=1：8.解：∵圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，

∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°，

∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是3：6：5：2．

故選：C．

因為圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，則兩對角的和應(yīng)該相等，比值所占份數(shù)也相同，據(jù)此求解．

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．9.解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，

∴OD=OE=OF，

∴點O是△DEF的外心，

∴O是△DEF三邊垂直平分線的交點；

故選D．

由題意知點O是△ABC的內(nèi)心，因此OD=OE=OF，所以點O也是△DEF的外心，而外心是三角形三邊中垂線的交點，由此得解．

此題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心的性質(zhì)；

三角形的內(nèi)心：三條角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等；

三角形的外心：三邊中垂線的交點，到三角形三個頂點的距離相等．10.解：∵壩高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，

∴AE=1.5BE=18米，

∵BC=10米，

∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，

故選：D．

先根據(jù)坡比求得AE的長，已知CB=10m，即可求得AD．

此題考查了解直角三角形的應(yīng)用中的坡度坡角的問題及等腰梯形的性質(zhì)的掌握情況，將相關(guān)的知識點相結(jié)合更利于解題．11.解：∵△ABC與△ADE相似，且∠A是公共角，

∴若△ABC∽△ADE，則ABAD=ACAE，

即62=9AE，

解得：AE=3；

若△ABC∽△AED，則ABAE=ACAD，

即6AE=92，

解得：AE=43．

∴AE=3或43．

故選C．

由△ABC中，點D在邊AB上，點E在AC上，AB=6，AD=2，AC=9，若△12.解：①位似圖形都相似，③直角三角形斜邊上的中線與斜邊的比為1：2，正確．

故選B．

位似就是特殊的相似，因而第一個是正確的；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，因而斜邊上的中線與斜邊的比為1：2；相似性面積的比等于相似比的平方，周長比等于相似比．

本題考查了位似的定義以及相似形的性質(zhì)．13.解：∵BE是直徑，

∴∠BAE=90°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠E=36°，

∴∠BEA=∠DAE=36°，

∴∠BAD=126°，

∴∠ADC=54°，

故選：B．

首先根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠BAE=90°，然后利用四邊形ABCD是平行四邊形，∠E=36°，得到∠BEA=∠DAE=36°，從而得到∠BAD=126°，求得到∠ADC=54°．

本題考查了圓周角定理及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，發(fā)現(xiàn)圖形中的圓周角．14.解：由于A處測得C處的俯角為30°，兩山峰的底部BD相距900米，

則AC=BDcos30°=6003（米）．

故選B．

此題可利用俯角的余弦函數(shù)求得纜車線路AC的長，AC=BDcos15.解：∵在正方形ABCD中，AC=32

∴BC=AB=3，

延長A′B′交BC于點E，

∵點A′的坐標(biāo)為（1，2），

∴OE=1，EC=A′E=3-1=2，

∴OE：BC=1：3，

∴AA′：AC=1：3，

∵AA′=CC′，

∴AA′=CC′=A′C′，

∴A′C′：AC=1：3，

∴正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是13．

故選B．

延長A′B′交BC于點E，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的邊長后即可求兩個正方形的相似比．

本題考查了位似變換和坐標(biāo)與圖形的變化的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求得兩個正方形的邊長．16.解：∵AB、CD、EF都與BD垂直，

∴AB∥CD∥EF，

∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，

∴EFAB=DFDB，EFCD=BFBD，

∴EFAB+EFCD=DFDB+BFBD=BDBD=1．

∵AB=1，CD=3，

∴EF1+EF3=1，

∴EF=34．

故選C．

易證△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得EFAB=DFDB，EFCD=BFBD，從而可得EFAB+EFCD=DFDB17.解：∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

而AB=CB，

∴AD=DC，所以①正確；

∵AB=CB，

∴∠1=∠2，

而CD=ED，

∴∠3=∠4，

∵CF∥AB，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2=∠3=∠4，

∴△CBA∽△CDE，所以②正確；

∵△ABC不能確定為直角三角形，

∴∠1不能確定等于45°，

∴BD與AD不能確定相等，所以③錯誤；

∵DA=DC=DE，

∴點E在以AC為直徑的圓上，

∴∠AEC=90°，

∴CE⊥AE，

而CF∥AB，

∴AB⊥AE，

∴AE為⊙O的切線，所以④正確．

故選：D．

根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則BD⊥AC，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷AD=DC，則可對①進(jìn)行判斷；利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證明∠1=∠2=∠3=∠4，則根據(jù)相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可對②進(jìn)行判斷；由于不能確定∠1等于45°，則不能確定BD與AD相等，則可對③進(jìn)行判斷；利用DA=DC=DE可判斷∠AEC=90°，即CE⊥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AB⊥AE，然后根據(jù)切線的判定定理得AE為⊙O的切線，于是可對④進(jìn)行判斷．18.解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=45°，BC=2AC．

又∵點D為邊AC的中點，

∴AD=DC=12AC．

∵DE⊥BC于點E，

∴∠CDE=∠C=45°，

∴DE=EC=22DC=24AC．

∴tan∠DBC=DEBE=24AC2AC?24AC=13．

故選：A．

利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)推知BC=2AC，DE=EC=219.解：AB=8cm，AC=6cm，

∴AD=4，AE=3，

∵四邊形OEAD是矩形，

∴OA=5．

故選B．

根據(jù)垂徑定理求得OD，AD的長，并且在直角△AOD中運用勾股定理即可求解．

利用垂徑定理先求出AD，AE的值，然后利用勾股定理即可求出線段的長．20.解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴∠AOB=60°，

∴△OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2，

設(shè)點G為AB與⊙O的切點，連接OG，則OG⊥AB，

∴OG=OA?sin60°=2×32=3，

∴S陰影=S△OAB-S扇形OMN=12×2×3-60×π×(3)2360=3-π2．

故選A．

由于六邊形ABCDEF是正六邊形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等邊三角形，OA=OB=AB=2，設(shè)點G為AB與⊙O的切點，連接OG，則OG⊥AB，OG=OA?sin60°，再根據(jù)S陰影=S△OAB-S扇形OMN，進(jìn)而可得出結(jié)論．21.解：∵四邊形A0CD為矩形，D的坐標(biāo)為（10，8），

∴AD=BC=10，DC=AB=8，

∵矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點F處，

∴AD=AF=10，DE=EF，

在Rt△AOF中，OF=AF2?AO2=6，

∴FC=10-6=4，

設(shè)EC=x，則DE=EF=8-x，

在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8-x）2=x2+42，解得x=3，

即EC的長為3．

∴點E的坐標(biāo)為（10，3），

故答案為：（10，3）．

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理來求OF=6，然后設(shè)EC=x，則EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根據(jù)勾股定理列方程求出EC可得點E22.解：如圖所示：連接OA，OB，

∵經(jīng)過點A，點B分別作⊙O的切線，兩切線相交于點P，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∵∠P=54°，

∴∠AOB=126°，

∴∠C=63°，

則∠C′=117°，

綜上所述：∠ACB=63°或117°．

故答案為：63°或117°．

直接利用切線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出答案．

此題主要考查了切線的性質(zhì)以及及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，注意分情況討論是解題關(guān)鍵．23.解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有

∠PAP′=60°，AP′=AP=1，CP′=BP=2．

∴△APP′是等邊三角形，PP′=1．

在△PCP′中，

PC=5，PP′=1，CP′=2．

∴PC2=P′P2+P′C2．

∴△PCP′是直角三角形，且∠PP′C=90°．

∴sin∠PCP′=15=55．

根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)角度為60°．易證明△APP′是等邊三角形，PP′=1；

由CP′=BP=2，PC=5可證明△PCP′是直角三角形，且∠PP′C=90°．

24.解：∵O1E1∥AC，

∴∠BO1E1=∠BAC，∠BE1O1=∠BCA，

∴△BO1E1∽△BAC，

∴BO1BA=O1E1AC．

∵CO1是△ABC的中線，

∴BO1BA=O1E1AC=12．

∵O1E1∥AC，

∴∠O1E1O2=∠CAO2，∠E1O1O2=∠ACO2，

∴△E1O1O2∽△ACO2，

∴E1O1AC=E1O2AO2=12．

∵O2E2∥AC，

∴E1O2E1A=O2E2AC=13，

∴O2E2=13AC．

同理：OnEn=1n+1AC．

∴O2016E2016=12016+1=12017．

故答案為：12017．

由O1E1∥AC可得出△BO1E1∽△BAC和△E1O1O225.（1）原式利用零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，二次根式性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果；

（2）原式利用特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的代數(shù)意義，以及立方根定義計算即可得到結(jié)果．

此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．26.根據(jù)∠