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文檔簡介

定理4.10(柯西中值定理)

使得

柯西中值定理與洛必達法則(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且4.6.1柯西中值定理若函數(shù)f(x)及

F(x)滿足:由拉格朗日定理,分析使得再由已知令有整理,得作輔助函數(shù)則在閉區(qū)間[a,b]上滿足羅爾定理條件證即由羅爾定理,使得即由得練習(xí)設(shè)證使得即使得練習(xí)設(shè)函數(shù)證結(jié)論可變形為使得即存在一點則定理4.11如果滿足條件:證由不妨設(shè)設(shè)x是該鄰域內(nèi)一點由定理的條件得在的某鄰域內(nèi)連續(xù),故有上式兩端令取極限則在處也連續(xù).注意到于是定理的條件,可繼續(xù)使用洛必達法則.說明:如果滿足即證畢例4.31求解例4.32求解練習(xí)求解注意:

洛必達法則是求未定式的一種有效方法,與其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好.定理4.12(洛必達法則)則

為了方便,我們把六種不同的極限方式都用表示,洛必達法則的一般形式如下.如果滿足條件:例4.33求解例4.34求解我們用“0”和“

”分別表示無窮小和無窮大.未定式包括以上七種形式的極限稱為未定式的極限.

其它五類未定型可化為方法:例4.35求解型例4.36求解型例4.37求解方法:型例4.38求解設(shè)則例4.39求解例4.40驗證極限存在,但不能用洛必達法則求得.

解不滿足洛必達法則的條件,故不能應(yīng)用洛必達法則.不存在,也不是無窮大.

由于數(shù)列沒有導(dǎo)數(shù),所以不能直接用洛必達法則求數(shù)列的極限.數(shù)列未定式的極

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