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定理4.10(柯西中值定理)

使得

柯西中值定理與洛必達法則(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內可導,且4.6.1柯西中值定理若函數f(x)及

F(x)滿足:由拉格朗日定理,分析使得再由已知令有整理,得作輔助函數則在閉區(qū)間[a,b]上滿足羅爾定理條件證即由羅爾定理,使得即由得練習設證使得即使得練習設函數證結論可變形為使得即存在一點則定理4.11如果滿足條件:證由不妨設設x是該鄰域內一點由定理的條件得在的某鄰域內連續(xù),故有上式兩端令取極限則在處也連續(xù).注意到于是定理的條件,可繼續(xù)使用洛必達法則.說明:如果滿足即證畢例4.31求解例4.32求解練習求解注意:

洛必達法則是求未定式的一種有效方法,與其它求極限方法結合使用,效果更好.定理4.12(洛必達法則)則

為了方便,我們把六種不同的極限方式都用表示,洛必達法則的一般形式如下.如果滿足條件:例4.33求解例4.34求解我們用“0”和“

”分別表示無窮小和無窮大.未定式包括以上七種形式的極限稱為未定式的極限.

其它五類未定型可化為方法:例4.35求解型例4.36求解型例4.37求解方法:型例4.38求解設則例4.39求解例4.40驗證極限存在,但不能用洛必達法則求得.

解不滿足洛必達法則的條件,故不能應用洛必達法則.不存在,也不是無窮大.

由于數列沒有導數,所以不能直接用洛必達法則求數列的極限.數列未定式的極

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