2025年高考一輪復(fù)習(xí) 特訓(xùn)01 函數(shù)的周期性與對稱性及應(yīng)用（九大題型）（解析版）

特訓(xùn)01函數(shù)的周期性與對稱性及應(yīng)用（九大題型）、函數(shù)圖象的對稱性1.對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數(shù)的定義域要關(guān)于對稱軸(或?qū)ΨQ中心)對稱。2.函數(shù)圖象對稱性的結(jié)論(1)函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)?y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=(2)函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=2c?y=f(x)的圖像關(guān)于點對稱二、函數(shù)奇偶性與對稱性間的關(guān)系(1)若函數(shù)y=?(x+a)是偶函數(shù)，即f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.一般的，若對于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)若函數(shù)y=?(x+a)是奇函數(shù)，即?(-x+a)+f(x+a)=0,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.一般的，若對于R上的任意x都有f(-x+a)+f(x+a)=2b,則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱。三、函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)的定義對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個常數(shù)T≠0,能使得當x取定義域內(nèi)的所有值時，都有f(x+T)=?(x),則函數(shù)y=f(x)叫做以T為周期的周期函數(shù).函數(shù)周期性的結(jié)論(1)若函數(shù)f（x）恒滿足f（x+a）=f（x+b），則f（x）是周期函數(shù)，是它的一個周期.(2)若函數(shù)f（x）恒滿足f（x+a）=-f（x），則f（x）是周期函數(shù)，是它的一個周期.推論：若函數(shù)(x)恒滿足/(x+a)=-f（x+b）(a≠b)，則f（x）是周期函數(shù)，是它的一個周期.(3)若函數(shù)f（x）恒滿足f（x+a）=(a≠0)，則f（x）是周期函數(shù)，是它的一個周期.推論：若函數(shù)(x)恒滿足f(x+a)=(a≠b)，則f（x）是周期函數(shù)，是它的一個周期.(4)若函數(shù)f（x）恒滿足f（x+a）=-(a≠0)，則f（x）是周期函數(shù)，是它的一個周期.推論：若函數(shù)(x)恒滿足f(x+a)=-(a≠b)，則f（x）是周期函數(shù)，是它的一個周期.(5)對于定義域中的任意x,恒有,則f(x)為周期函數(shù)，是它的一個周期.(6)對于定義域中的任意x,恒有,則f(x)為周期函數(shù)，是它的一個周期.(7)如果(x)=f(x-a)-f(x-2a)(a=0),等價于(x)=-f(x-3a),則f(x)為周期函數(shù)，且是它的一個周期.四、函數(shù)的對稱性與周期性間的關(guān)系(多對稱性產(chǎn)生周期性)(1)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，是它的一個周期推論：若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，是它的一個周期.(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，是它的一個周期推論：若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0)、直線x=b(a≠b)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，是它的一個周期.(3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且關(guān)于點(a,0)(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數(shù)是它的一個周期推論：若函數(shù)關(guān)于點(a,0),(b,0)(a≠b)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，是它的一個周期目錄：01函數(shù)周期性的定義與求解02由周期性求函數(shù)的解析式03判斷證明抽象函數(shù)的周期性04由函數(shù)的周期性求函數(shù)值05判斷或證明函數(shù)的對稱性06由對稱性求函數(shù)的解析式07由對稱性研究函數(shù)的單調(diào)性08由對稱性求參數(shù)09函數(shù)周期性、對稱性有關(guān)的零點、交點、方程的根、圖像對稱等問題01函數(shù)周期性的定義與求解1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的周期是3，則的周期為（

）．A． B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)周期的定義，求解即可．【解析】因為的周期是3，所以，令，則，所以的周期為6，故選：C．2．（2021高一·上?！ｎ}練習(xí)）函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且滿足，則的周期為．【答案】4【分析】利用奇函數(shù)及周期函數(shù)的定義即可求解.【解析】，，又為奇函數(shù)，是周期為的周期函數(shù).故答案為：4.3．（20-21高二上·廣東汕頭·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足，若當時，，則.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)周期性和奇函數(shù)的基本性質(zhì)化簡原式求解即可.【解析】因為，所以奇函數(shù)的周期為.所以故答案為:4．（2024·廣東茂名·一模）函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出的周期為4，利用周期性、奇偶性求函數(shù)值.【解析】因為為奇函數(shù)，所以關(guān)于對稱，即，又關(guān)于原點對稱，則，有，所以的周期為4，故.故選：A5．（23-24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的對稱性，可求出周期，可證得函數(shù)為偶函數(shù).【解析】已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，則，函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，有，又，則，令，有，所以函數(shù)周期為2.，函數(shù)為偶函數(shù)，A選項正確；，C選項錯誤；已知中沒有可以求函數(shù)值的條件，BD選項錯誤；故選：A02由周期性求函數(shù)的解析式6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，當時，有，則當x∈（-3，-2）時，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，根據(jù)時，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根據(jù)f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式．【解析】令，則，∵當時，有，∴f（x+2）＝2x+2，∵f（x+2）＝f（x），∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，．故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（22-23高三·全國·對口高考）函數(shù)的周期為，且當時，，則，的解析式為．【答案】/【分析】由求出的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的周期性可求得在上的解析式.【解析】因為函數(shù)的周期為，當時，，且，當時，則，故當時，.故答案為：.8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，且滿足,當時，，則當時的最大值為A． B． C．1 D．0【答案】C【解析】根據(jù)可以確定函數(shù)的周期，根據(jù)周期性和配方法進行求解即可.【解析】由，因此可以得到：，所以函數(shù)的周期為4，當時，，當時，，顯然當時，函數(shù)的最大值為1.故選：C【點睛】本題考查了函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查了配方法，屬于基礎(chǔ)題.9．（21-22高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)是定義在上周期為4的偶函數(shù)，且當時，，則函數(shù)在上的解析式為.【答案】，.【分析】設(shè)，則，則有，由函數(shù)的解析式可得的表達式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與周期性可得，即可求出結(jié)果.【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，則有，當時，，則，又為周期為4的偶函數(shù)，所以，，則有，；故答案為：，.10．（2021·新疆巴音郭楞·模擬預(yù)測）設(shè)f(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，若在區(qū)間[－2，0)∪(0，2]上，f(x)＝則f(2019)＝.【答案】【分析】先根據(jù)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，求得其解析式，再利用周期性求解.【解析】因為f(x)是奇函數(shù)，所以，即，解得，又因為f(x)的周期為4，所以，即，解得，所以，所以，故答案為：03判斷證明抽象函數(shù)的周期性11．（2022高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有．當，時，．（1）求證：是周期函數(shù)；（2）當，時，求的解析式；（3）計算的值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）1.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)周期的定義進行證明即可；（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的周期性進行求解即可；（3）根據(jù)函數(shù)的周期性進行求解即可.【解析】（1）證明：，．是周期為4的周期函數(shù)．（2）當，時，，，由已知得，又是奇函數(shù)，，．又當，時，，，．又是周期為4的周期函數(shù)，．從而求得，時，．（3），（2），（1），（3）．又是周期為4的周期函數(shù)，（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．而，所以.12．（23-24高一上·山西運城·期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，都有且當時，(1)求；(2)證明：為周期函數(shù)；(3)判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性．【答案】(1)(2)證明見解析(3)函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析【分析】（1）分別令，即可得出答案;（2）令可得：，得出，即可得出周期性；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用定義證明單調(diào)性即可.【解析】（1）令，得，由于當時，因此令，得，即，因此．（2）證明：令，得，因此，所以由周期性的定義可知，函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)．（3）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，有由于，故,由（1）知，因此，又，因此故，因此在上單調(diào)遞減.13．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足:對任意，都有，且為奇函數(shù)，則下列選項正確的是（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)已知條件推出是周期為4，關(guān)于、對稱的偶函數(shù)，再結(jié)合、與的平移伸縮關(guān)系判斷各項的正誤.【解析】由為奇函數(shù)，則，即，B錯；所以關(guān)于對稱，由，令，則，即，所以關(guān)于對稱，則關(guān)于，即y軸對稱，C對；所以，則，故，則，即的周期為4，則，綜上，是周期為4，關(guān)于、對稱的偶函數(shù)，將所有橫坐標縮短為原來的一半得到函數(shù)，所以是周期為2，關(guān)于、對稱的偶函數(shù)，D錯；則，A錯；故選：C14．（22-23高二下·上海黃浦·期末）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，有以下四個命題：①若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；②若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)；③若為周期函數(shù)，則也為周期函數(shù)；④若為周期函數(shù)，則也為周期函數(shù).其中真命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用偶函數(shù)的定義和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可判斷選項A；通過舉反例可判斷選項B；由周期函數(shù)的定義和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可判斷選項C；通過舉反例可判斷選項D.【解析】對于①，若為偶函數(shù)，則，兩邊取導(dǎo)，得，即，函數(shù)為奇函數(shù)，故①為真命題；對于②，若為偶函數(shù)，則不一定為奇函數(shù).例如，，此時為偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故②為假命題；對于③，若為周期函數(shù)，即，則，得，故③為真命題；對于④，若為周期函數(shù)，則不一定為周期函數(shù).比如，但，顯然為周期函數(shù)，則不是周期函數(shù)，故④為假命題.真命題的個數(shù)有2個.故選：B04由函數(shù)的周期性求函數(shù)值15．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，直線經(jīng)過函數(shù)圖象的最高點和最低點，則（

）

A． B．0 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象得到，，從而得到函數(shù)最小正周期，故，代入特殊點坐標，得到，得到函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的周期求出答案.【解析】由的解析式可知，，中，令得，令得，故，，即，．故的周期．即，解得，故，則，得，．因為，所以．則．，，，，，，，，……，因為，．所以．故選：D．16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)與及其導(dǎo)函數(shù)和的定義域都為，且為奇函數(shù)，則下列等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先對兩邊求導(dǎo)，得，與聯(lián)立可得：，這樣就知道圖象關(guān)于對稱，再由為奇函數(shù)，又知道圖象關(guān)于點對稱，這樣由雙對稱性質(zhì)可知是周期函數(shù)且周期為4，然后即可用賦值法得到結(jié)果.【解析】對兩邊求導(dǎo)，得，又由，得，所以，可得．由為奇函數(shù)，得，則，令得：，則由上面兩式可得：，即是以4為周期的周期函數(shù)，則．故選：C．17．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域均為，若是偶函數(shù)且，則（

）A．0 B．4 C．2023 D．2024【答案】D【分析】根據(jù)條件得到，從而得到的一個周期為，進而求得，即可求解.【解析】因為是偶函數(shù)，所以又，所以①，又因為，所以②，由①②得到③，所以④，由③④得到，即，所以的一個周期為，又，由，得到，且，，所以，則，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于通過條件得到，進而得出的一個周期為，從而解決問題.05判斷或證明函數(shù)的對稱性18．（2024·山西臨汾·二模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．，方程都有兩個不等的實根D．不等式恒成立【答案】C【分析】利用反例可以判斷A,B,D，結(jié)合函數(shù)值域可判斷C.【解析】因為，，所以A不正確；若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，而，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，B不正確；當時，，此時的值域為；當時，，此時的值域為；簡圖如下：所以，方程都有兩個不等的實根，C正確；，顯然，所以D不正確.故選：C19．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，則函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關(guān)于直線（

）A．x＝0對稱 B．y＝0對稱 C．x＝1對稱 D．y＝1對稱【答案】C【解析】因為函數(shù)f(x－1)的圖象是f(x)的圖象向右平移1個單位長度得到，f(1－x)＝f(－(x－1))的圖象是f(－x)的圖象也向右平移1個單位長度得到；因為f(x)與f(－x)的圖象是關(guān)于y軸(直線x＝0)對稱，所以函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．故選C.20．（2024·浙江溫州·二模）已知定義在上的函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．的圖象關(guān)于對稱C．在單調(diào)遞增 D．有最小值【答案】A【分析】利用特殊值可排除B、C，利用函數(shù)的性質(zhì)可確定A、D.【解析】對于BC，由題意可知：，顯然的圖象不關(guān)于對稱，而，故B、C錯誤；對于D，若為有理數(shù)，則，顯然，函數(shù)無最小值，故D錯誤；對于A，若是有理數(shù)，即互質(zhì)，則也互質(zhì)，即，若為無理數(shù)，則也為無理數(shù)，即，所以的圖象關(guān)于對稱，故A正確.下證：互質(zhì)，則也互質(zhì).反證法：若互質(zhì)，不互質(zhì)，不妨設(shè)，則，此時與假設(shè)矛盾，所以也互質(zhì).故選：A【點睛】思路點睛：根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性結(jié)合互質(zhì)的定義去判定A、B，而作為抽象函數(shù)可以適當選取特殊值驗證選項，提高正確率.06由對稱性求函數(shù)的解析式21．（2023·新疆·二模）設(shè)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，，則不等式組的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的周期性與奇偶性分析可得，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，據(jù)此可得在上遞增，且，，則進而分析可得答案．【解析】根據(jù)題意，為周期為2的偶函數(shù)，則且，則有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，又由在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，因為周期為2得，，又關(guān)于直線對稱，則，則在上遞增，且，，則，即不等式組的解集為.故選：D．22．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)對任意都有，且函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，當時，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的最小正周期為2D．當時，【答案】C【分析】根據(jù)題中條件可得的周期為4且關(guān)于對稱，結(jié)合時，，即可畫出函數(shù)的圖象，由圖象即可逐一判斷.【解析】因為函數(shù)對任意都有，即恒成立，所以的周期為4.因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以將的圖象向右平移一個單位，得到的圖象，所以的圖象關(guān)于對稱，故，因此的圖象關(guān)于對稱，設(shè)，則，因為函數(shù)對任意都有所以，所以所以選項D錯誤.作出的圖象如圖所示：由圖象可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，關(guān)于直線對稱，故A，B錯誤；對于C：函數(shù)的圖象可以看成的圖象軸上方的圖象保留，把軸下方的圖象翻折到軸上方，所以函數(shù)的最小正周期為2.故C正確.故選：C23．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．函數(shù)是周期為4的周期函數(shù) B．C．當時， D．不等式的解集為【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)知函數(shù)的對稱軸為，進而由對稱軸得，結(jié)合求得函數(shù)是周期為4的函數(shù)，由奇函數(shù)知求出，然后根據(jù)分段函數(shù)求解析式即可求出在上的解析式，接下來解不等式即可，最后選項逐個排除即可選出正確結(jié)果.【解析】對于選項A，由函數(shù)為偶函數(shù)得函數(shù)的對稱軸為，故得，又，所以，從而得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，故選項A正確；對于選項B，又奇函數(shù)當時，，故得，解得，所以當時，.所以，故選項B正確；對于選項C，當時，，所以，故選項C不正確；對于選項D，根據(jù)函數(shù)的周期性，只需考慮不等式在一個周期上解的情況即可.當時，由，解得，故得；當時，由，解得，故得；因為函數(shù)滿足，且在上大于等于0，在上大于等于0，則函數(shù)在上小于0，則當時，無解，綜上可得不等式在一個周期上的解集為，所以不等式在定義域上的解集為，，故選項D正確.綜上C不正確.故選：C.07由對稱性研究函數(shù)的單調(diào)性24．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意判斷的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合當時的函數(shù)解析式，判斷其單調(diào)性，即可判斷在直線兩側(cè)的增減，從而結(jié)合，可得，化簡，即得答案.【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于y軸對稱，則的圖象關(guān)于直線對稱，當時，，因為在上單調(diào)遞增且，而在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，故由可得，即，則，故，故選：A25．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列判斷正確的是（）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式易判斷其在上的單調(diào)性，利用奇偶函數(shù)的定義判斷的奇偶性，從而得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和在與上的單調(diào)性，分別判斷各選項即得.【解析】易知函數(shù)的定義域均為．當時，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以為奇函數(shù)，易知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因為是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減．對于選項A：因為，所以是奇函數(shù)，所以A錯誤；對于選項B：因為，所以是偶函數(shù)，所以B錯誤；對于選項C：因為，所以，所以C錯誤；對于選項D：因為所以，所以D正確．故選：D.26．（23-24高三上·遼寧丹東·期中）已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當時，，若，則（

）A．在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最小值為B．在區(qū)間上是減函數(shù)，且有最大值為C．在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最大值為D．在區(qū)間上是減函數(shù)，且有最小值為【答案】A【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)的周期性與對稱性，再根據(jù)賦值法結(jié)合單調(diào)性一一判定選項即可.【解析】因為為偶函數(shù)，所以①，且函數(shù)關(guān)于軸對稱，又為奇函數(shù)，所以②，且函數(shù)關(guān)于中心對稱，所以有，即的一個周期為，令代入②得，即，令代入①得，所以，解之得，所以，

如圖所示，根據(jù)函數(shù)的對稱性與周期性可知：關(guān)于軸對稱，關(guān)于中心對稱，可得在區(qū)間的圖象，易知在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最小值為，故A正確，B錯誤；在區(qū)間上是減函數(shù)，且有最大值為，最小值為，故C，D都不正確．故選：A08由對稱性求參數(shù)27．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)中心對稱的性質(zhì)，代入化簡解方程即可求得.【解析】由對稱中心性質(zhì)可知函數(shù)滿足，即，整理可得，即，解得.故選：C28．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在存在最大值與最小值分別為和，則函數(shù)，函數(shù)圖像的對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過分析函數(shù)，得出最大值與最小值的和，得出函數(shù)的表達式，利用對勾函數(shù)的對稱點即可得出函數(shù)的對稱點.【解析】由題意，在中，，∴，∵最大值與最小值分別為和，∴在對勾函數(shù)中，對稱軸為，對稱點為，在中，，∴即，對稱軸為，函數(shù)為對勾函數(shù)向下平移1個單位得到，∴函數(shù)對稱點為，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查.函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，對稱中心，函數(shù)的最值（和），考查學(xué)生的分析和處理問題的能力，計算能力，具有一定的綜合性.09函數(shù)周期性、對稱性有關(guān)的零點、交點、方程的根、圖像對稱等問題29．（23-24高三下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）設(shè)關(guān)于的方程有3個互不相同的實根，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，判斷其對稱性，根據(jù)根的個數(shù)可得，求出a的取值，驗證后可確定答案.【解析】由，設(shè)，由于，故關(guān)于對稱，若有3個互不相同的實根，則，其余兩根關(guān)于對稱，由得，經(jīng)檢驗，當時，，解得或或3，符合題意；當時，，解得，不符合題意；故實數(shù)的取值范圍是，故答案為：30．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的增函數(shù)滿足:對任意的都有且，函數(shù)滿足，.當時，，若在上取得最大值的值依次為，，…，，取得最小值的值依次為，，…，，若，則的取值范圍為【答案】.【分析】由的性質(zhì)得，，由滿足的條件得，，的圖象關(guān)于點對稱，關(guān)于直線對稱，的一個周期是4，可得的最值點與最值的結(jié)果，結(jié)合已知分析求解.【解析】定義在上的增函數(shù)，對任意的都有且，則，得，，得，當時，，則在上單調(diào)遞增，且，，函數(shù)滿足，則的圖象關(guān)于點對稱，得在上單調(diào)遞增，且，，，則的圖象關(guān)于直線對稱，得在和上單調(diào)遞減，且，由和，得，則有，，故的一個周期是4，且在時取最大值0，在時取最小值-2，若在上取得最大值的值依次為，，…，，取得最小值的值依次為，，…，，有或，，當時，有，方程無正整數(shù)解；當時，有，解得；則有，即，所以的取值范圍為.故答案為：【點睛】方法點睛：本題以抽象函數(shù)為載體綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出的周期及其在一個周期內(nèi)的單調(diào)性和最值.以下是抽象函數(shù)周期性質(zhì)的一些總結(jié)，可以適當總結(jié)記憶：設(shè)函數(shù)．（1）若，則函數(shù)的周期為；（2）若，則函數(shù)的周期為；（3）若，則函數(shù)的周期為；（4）若，則函數(shù)的周期為；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為．31．（23-24高二上·浙江杭州·期末）設(shè)函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于直線軸對稱．當時，，則的值為．【答案】/【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，結(jié)合對數(shù)的運算法則進行求解即可.【解析】設(shè)函數(shù)的圖象為，對任意的，令，則在上，因為的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于直線軸對稱．所以由在上，可得，，都在上，而，所以取，此時，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的對稱性.32．（2024·河北秦皇島·三模）已知奇函數(shù)的定義域為，，且，則在上的零點個數(shù)的最小值為.【答案】9【分析】由結(jié)合是奇函數(shù)可求出的周期為3，即可求出，再由的對稱性和周期性可得.【解析】由，可得的圖象關(guān)于點對稱，又是奇函數(shù)，所以，則的周期為3，所以，，而，則.故在上的零點個數(shù)的最小值為9.故答案為：9.33．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函數(shù)若的圖象上存在關(guān)于直線對稱的兩個點，則的最大值為.【答案】/0.5【分析】由與的圖象關(guān)于直線對稱，得出函數(shù)與的圖象在時有交點，在時有解，令（），由單調(diào)性求出的范圍或最大值即可得．【解析】與的圖象關(guān)于直線對稱，因此函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線的對稱點，則函數(shù)與的圖象在時有交點，即在時有解，在時有解，令（），設(shè)，則，，，∴，從而，∴在上是增函數(shù)，由題意，所以的最大值是．故答案為：．【點睛】方法點睛：兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則它們互為反函數(shù)，而函數(shù)圖象上存在兩個點關(guān)于直線對稱可以轉(zhuǎn)化為反函數(shù)（需有反函數(shù)的部分）的圖象與函數(shù)圖象（函數(shù)的另一部分）有公共點，從而轉(zhuǎn)化為方程有解．34．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，當時，.函數(shù)，則與的圖象所有交點的橫坐標之和為.【答案】4【分析】在同一坐標系內(nèi)作出與的圖象，再利用圖象的對稱性即可求得與的圖象所有交點的橫坐標之和.【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，圖象對稱軸為，則函數(shù)的圖象有對稱軸，所以函數(shù)的圖象有對稱軸，，時，在上單調(diào)遞減且，定義在R上的偶函數(shù)滿足，則函數(shù)有對稱軸，又當時，，在同一坐標系在內(nèi)作出與的圖象，由圖象可得，與的圖象有4個交點，又與的圖象均有對稱軸，則兩函數(shù)所有交點的橫坐標之和為4.故選：B35．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，且當時，，有以下四個結(jié)論：①的值域是；②在上有8個零點；③若方程有4個不相等的實數(shù)根，則這4個實數(shù)根之和為12；④若方程有4個不相等的實數(shù)根，則．所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④【分析】由已知，畫出函數(shù)的簡圖，結(jié)合圖形即可判斷.【解析】由題意可作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，

數(shù)形結(jié)合可知的值域是，在上的零點分別為2，4，6，8，共4個，故①正確，②錯誤；易知函數(shù)與的圖象都關(guān)于直線對稱，故若方程有4個不同的實數(shù)根，則這4個實數(shù)根之和為12，故③正確；作出直線，數(shù)形結(jié)合可知，若方程有4個不相等的實數(shù)根，則，得，故④正確．故所有正確結(jié)論的序號是①③④．故答案為：①③④.36．（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）我們知道，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對任意，都有，且，那么函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱．若函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，則實數(shù)的值為；若，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】2【分析】由題意可得，代入計算即可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與對稱性即可求得實數(shù)的取值范圍.【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，所以，即，即，所以，所以在定義域上單調(diào)遞減，令，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，且單調(diào)遞減，因為，即，即，也即，所以，則，解得或，故實數(shù)的取值范圍是．故答案為：2；.一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)與及其導(dǎo)函數(shù)和的定義域都為，且為奇函數(shù)，則下列等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先對兩邊求導(dǎo)，得，與聯(lián)立可得：，這樣就知道圖象關(guān)于對稱，再由為奇函數(shù)，又知道圖象關(guān)于點對稱，這樣由雙對稱性質(zhì)可知是周期函數(shù)且周期為4，然后即可用賦值法得到結(jié)果.【解析】對兩邊求導(dǎo)，得，又由，得，所以，可得．由為奇函數(shù)，得，則，令得：，則由上面兩式可得：，即是以4為周期的周期函數(shù)，則．故選：C．2．（2024·安徽·模擬預(yù)測）若定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（

）A．0 B．-1 C．2 D．1【答案】D【分析】利用賦值法，先后求出，，再令，得到，即可求解.【解析】令，則有，又，∴.令，.則有，∴.令，則有.∵，∴，∴，∴.故選：D.3．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)的定義域均為R，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】利用題設(shè)得到①和②，又由，結(jié)合①式，推得的周期為12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得.【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，，即，即①，由函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得②，由可得，又得，兩式相加，，將①式代入，得，則得，將②式代入得，，則，于是，即的周期為12.又，由①可得，得，又由可得，即得.因，可得，，于是，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查抽象函數(shù)的對稱性應(yīng)用，屬于難題.解題關(guān)鍵在于根據(jù)中心對稱和軸對稱得出函數(shù)關(guān)系式：①和②，再由利用消元思想，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式是最關(guān)鍵之處，其次是利用的關(guān)系式求得的周期是第二關(guān)鍵，之后賦值求得即可得解.4．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)的圖象在x軸上方，對，都有，若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，可得．再把代入，可得函數(shù)周期為4，求得，，即可求解．【解析】因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，故有．因為，都有，所以，所以，又函數(shù)的圖象在x軸上方，所以，所以，即函數(shù)的周期為4．當，可得，所以，當，可得，所以，所以，所以.故選：C．5．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知定義域為R的函數(shù)滿足：，，且，則下列說法不正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．若，則 D．是奇函數(shù)【答案】D【分析】B選項，根據(jù)得到，故為奇函數(shù)；A選項，由B可知，賦值得到，故；D選項，由得到，D正確；C選項，化簡得到，結(jié)合，求出，得到.【解析】B選項，由得，所以，故是奇函數(shù)，故B正確；A選項，由是奇函數(shù)得，令，由可得，又，得，故A正確；D選項，由得，所以，故是偶函數(shù)，所以D錯誤；C選項，由題意得，令得，當時，，故，，依次求出，，所以C正確．故選：D【點睛】賦值法處理抽象函數(shù)，是解決抽象函數(shù)問題的關(guān)鍵，需要賦值法求出一些關(guān)鍵函數(shù)值，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義進行求解.6．（2024·山東聊城·三模）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象與的圖象的所有交點的橫坐標之和為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】利用軸對稱求得函數(shù)，利用三角函數(shù)平移變換得到函數(shù)，再利用函數(shù)的對稱中心計算得到結(jié)果.【解析】由題意得，則.函數(shù)的圖象由函數(shù)圖形向右平移1個單位得到.由函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于點對稱，在定義域內(nèi)有4個交點.所以函數(shù)的圖象與的圖象的所有交點的橫坐標之和為故選：C.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式特征，判斷其圖象關(guān)于點中心對稱；通過求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)為正得在上單調(diào)遞增；再利用對稱性將進行等價轉(zhuǎn)化，最后利用單調(diào)性求解抽象不等式即得.【解析】因為，所以，所以，即的圖像關(guān)于點中心對稱．（當且僅當時等號成立）．因為，所以，所以在上單調(diào)遞增．由，得．由可得，即，所以，解得．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)函數(shù)式判斷出函數(shù)圖象的中心對稱特點，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；此外，還得會利用對稱性將不等式進行簡化.8．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知的定義域為，函數(shù)滿足，圖象的交點分別是，，則可能值為（

）A．2 B．14 C．18 D．25【答案】C【分析】可以分別說明的對稱中心為，從而兩個函數(shù)的圖象交點關(guān)于對稱，即應(yīng)為6的倍數(shù)，由此即可逐一判斷.【解析】因為函數(shù)滿足，所以的對稱中心為，注意到，所以的對稱中心也是，故兩個函數(shù)的圖象交點關(guān)于對稱，故應(yīng)為6的倍數(shù)，對比選項可知C選項符合題意.故選：C.二、多選題9．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知直線是函數(shù)圖象的對稱軸，則函數(shù)的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換即可判斷AB；令，即可判斷C；根據(jù)即可判斷D.【解析】A：函數(shù)圖象由圖象沿軸向右平移1個單位，再把軸下方的圖象關(guān)于軸對稱翻折到軸上方，故關(guān)于直線對稱，故A正確；B：函數(shù)的圖象是由圖象沿軸向右平移1個單位得到的，而函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，其圖象沿軸向右平移1個單位后的圖象剛好關(guān)于直線對稱，故B正確；C：令，則該函數(shù)的對稱軸為直線，故符合題意，故C正確；D：，顯然，故此函數(shù)不是關(guān)于直線對稱的，故D錯誤.故選：ABC.10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若與均為偶函數(shù)，且，則下列選項正確的是（

）A．是周期4的周期函數(shù) B．圖象關(guān)于點對稱C． D．圖象關(guān)于點對稱【答案】AB【分析】由周期函數(shù)的定義即可求解A，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合函數(shù)的對稱性的性質(zhì)即可求解B，根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可求解C，根據(jù)函數(shù)周期性的性質(zhì)即可求解D.【解析】對于A、B，因為為偶函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又為偶函數(shù)，所以，兩邊求導(dǎo)得，所以，即，即，關(guān)于對稱，所以，即，所以是周期為4的函數(shù)；故A、B正確；對于C，由，令，得，令，得，因為，所以，即，又周期為4，所以，故C錯誤；對于D，又因為周期為4，故，即，所以，因此，又，則，所以，所以，即得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合A、B結(jié)論，選項D錯誤.故選：AB.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性以及合理賦值確定函數(shù)的對稱性及周期性.11．（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和.若，，且為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．C． D．【答案】AC【分析】對于A：由可設(shè)，根據(jù)題意分析可得，，即可得結(jié)果；對于C：結(jié)合奇偶性可得函數(shù)的周期，結(jié)合周期性分析求解；對于B：分析可知，根據(jù)周期性分析求解；對于D：結(jié)合選項BC中的結(jié)論運算求解.【解析】對于選項A：因為，則，可得，又因為，可得.令，可得，解得，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，A正確；對于選項C：因為為奇函數(shù)，可知的圖象關(guān)于點對稱，且，令，可得，即；令，可得；令，可得；由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得；所以，又因為，則，可知函數(shù)的周期，所以，故C正確；對于選項B：由AC可知，可得，，所以，故B錯誤；對于選項D：可得，故D錯誤.故選：AC.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．三、填空題12．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當時，，則.【答案】【分析】利用函數(shù)的奇偶性與周期性計算即可.【解析】由已知可得，所以，所以，即是函數(shù)的一個周期，所以.故答案為：13．（2023·海南?？凇ひ荒＃┮阎x在上的偶函數(shù)滿足，且當時，，則.【答案】2【分析】根據(jù)奇偶性推出周期，再利用周期性可求出結(jié)果.【解析】∵，∴，即4為函數(shù)的周期，∴.故答案為：214．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的增函數(shù)滿足:對任意的都有且，函數(shù)滿足，.當時，，若在上取得最大值的值依次為，，…，，取得最小值的值依次為，，…，，若，則的取值范圍為【答案】.【分析】由的性質(zhì)得，，由滿足的條件得，，的圖象關(guān)于點對稱，關(guān)于直線對稱，的一個周期是4，可得的最值點與最值的結(jié)果，