2025年高考一輪復(fù)習(xí) 特訓(xùn)09 多面體與求內(nèi)切外接問題（八大題型）（解析版）

特訓(xùn)09多面體與求內(nèi)切外接問題（八大題型）一、外接球問題若一個(gè)簡單多面體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球?yàn)榇硕嗝骟w的外接球。簡單多面體的外接球問題是立體幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)，此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心位置問題，其中球心位置的確定是關(guān)鍵，下面介紹幾種常見的球心位置的確定方法。如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡單多面體的外接球的球心。由此，可以得到確定簡單多面體外接球的球心位置有如下結(jié)論：結(jié)論1：正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點(diǎn)。結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)。結(jié)論3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點(diǎn)。結(jié)論4：正棱錐外接球的球心在其高上，具體位置通過構(gòu)造直角三角形計(jì)算得到。結(jié)論5：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。二、內(nèi)切球問題若一個(gè)多面體的各個(gè)面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。因此，多面體內(nèi)切球球心到該多面體各個(gè)面的距離相等。并非所有多面體都有內(nèi)切球，下面介紹幾種常見多面體內(nèi)切球問題：1.正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距離。2.正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，但不一定重合。目錄：01：三棱柱02：四棱錐03：棱臺(tái)04：側(cè)棱垂直于底面05：正方體、長方體06：其他多面體07：三棱錐08：折疊問題01：三棱柱1．在一個(gè)封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若，，，，則球的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由等面積法得，解得．由于，所以球的最大半徑為，由此能求出結(jié)果．【解析】由題知，球的體積要盡可能大時(shí)，球需與三棱柱內(nèi)切．所以球在底面內(nèi)的投影的圓面最大不能超出的內(nèi)切圓.設(shè)圓與內(nèi)切，設(shè)圓的半徑為.由，，，則由等面積法得，得.由于三棱柱高，若球的半徑，此時(shí)能保證球在三棱柱內(nèi)部，所以直三棱柱的內(nèi)切球半徑的最大值為.所以球的體積的最大值為：.故選：B

2．在正三棱柱中，，為線段上動(dòng)點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為.【答案】【分析】建立邊長和O到平面ABD距離為OF的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式，求解出最小值，建立外接球半徑的函數(shù)，從而求解外接球半徑的最小值，從而求出外接球表面積的最小值.【解析】由正三棱錐的側(cè)棱垂直于底面的性質(zhì)，設(shè)球心O到平面ABD距離為，設(shè)，有因?yàn)闉橹苯侨切?，則經(jīng)過直角三角形斜邊中點(diǎn)，即為中點(diǎn).故取的中點(diǎn)設(shè)為，則由正三角形求解高知如圖，設(shè)，設(shè)球心O到平面ABD距離為OF，設(shè)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即取“=”.，.故最小為.故答案為：.【點(diǎn)睛】立體圖形平面化，結(jié)合函數(shù)和基本不等式的知識(shí)求解是問題的關(guān)鍵.3．已知正三棱柱的底面邊長為，高為6，經(jīng)過上底面棱的中點(diǎn)與下底面的頂點(diǎn)截去該三棱柱的三個(gè)角，如圖1，得到一個(gè)幾何體，如圖2所示，若所得幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何體特征、勾股定理及其外接球體積公式計(jì)算即可.【解析】設(shè)分別為正棱柱上下底面的中心，即，由幾何體的特征易知其外接球球心在上，如圖所示，根據(jù)正三角形的中心性質(zhì)可知，同理，設(shè)外接球半徑為則，所以有，則外接球體積.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于幾何體外接球問題，第一步先確定球心位置，可以先通過確定一面的外接圓圓心去確定，本題幾何體比較規(guī)則，容易得出球心在上下中心連線上；第二步，由點(diǎn)在球上及球體的特征結(jié)合勾股定理構(gòu)建方程組解方程求半徑即可.4．如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱長為，，，點(diǎn)在上底面（包含邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達(dá)式，從而求出半徑的取值范圍即可.【解析】因?yàn)闉榈妊苯侨切?，，所以的外接圓的圓心為的中點(diǎn)，且，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，平面，設(shè)三棱錐外接球的球心為，由球的性質(zhì)可得點(diǎn)在上，設(shè)，，外接球的半徑為，因?yàn)?，所以，即，又，則，因?yàn)?，所以，則；故選：.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見幾何體的外接球半徑求法：（1）棱長為的正方體的外接球半徑為；（2）長方體的長，寬，高分別為，，，則其外接球的半徑為；（3）直棱柱的高為，底面多邊形的外接圓半徑為，則其外接球半徑為.02：四棱錐5．四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，，，若四棱錐的外接球表面積為，則四棱錐的體積為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可求解，即可求解四棱錐的高，由體積公式即可求解.【解析】取的中點(diǎn)，連接，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為，平面，所以平面.設(shè)的中心為，球心為，則平面,于是，.設(shè)四棱錐的外接球半徑為，其表面積為,故.過作，則四邊形為矩形，故,，在和中，，，,所以，，.當(dāng)在平面的上方，此時(shí)四棱錐的高為,四棱錐的體積．當(dāng)在平面的下方，此時(shí)四棱錐的高為,四棱錐的體積．故選:C.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵要注意外心即可能在平面上方，也可能在下方，思考問題要周密.6．已知正四棱錐的側(cè)棱長為，且二面角的正切值為，則它的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，則為二面角的平面角，設(shè)正方形的邊長為，利用銳角三角函數(shù)求出，即可求出，，再設(shè)球心為，則球心在直線上，設(shè)球的半徑為，利用勾股定理求出，最后再由球的表面積公式計(jì)算可得.【解析】設(shè)正方形中心為，取中點(diǎn)，連接、、，則平面，得平面，所以為二面角的平面角，即，設(shè)正方形的邊長為，則，又，，由，即，解得（負(fù)值已舍去），則，，設(shè)球心為，則球心在直線上，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以外接球的表面積.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是確定二面角的平面角，利用銳角三角函數(shù)求出底面邊長與高，再由正四棱錐的性質(zhì)確定球心在上.03：棱臺(tái)7．已知正四棱臺(tái)，半球的球心在底面的中心，且半球與該棱臺(tái)的各棱均相切，則半球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析半球與各棱的切點(diǎn)位置，利用球的切線性質(zhì)，用表示出側(cè)棱長，從不同角度表示出棱臺(tái)的高，從而建立關(guān)于的方程，然后可得.【解析】由題意可知，為下底面，記上底面的中心為，過作垂直于平面，垂足為，易知點(diǎn)在上，記半球與分別相切于點(diǎn)，由正四棱臺(tái)和球的對稱性可知，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，記半球的半徑為，則，所以，，分別在中，由勾股定理得，，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以半球的表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的直觀想象能力，解題關(guān)鍵在于利用球的切線性質(zhì)，用表示出側(cè)棱，然后根據(jù)棱臺(tái)的高距離方程求出半徑即可.8．在正三棱臺(tái)中，，，二面角的正弦值為，則的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記正三棱臺(tái)上下底面的中心分別為，的中點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，先判斷為二面角的平面角，然后求出棱臺(tái)的高，判斷球心位置，利用勾股定理求解可得半徑，然后可得體積.【解析】記正三棱臺(tái)上下底面的中心分別為，的中點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，如圖，因?yàn)闉榈妊菪?，分別為的中點(diǎn)，所以，由等腰梯形性質(zhì)可知，又為正三角形，所以，所以為二面角的平面角，由正棱臺(tái)性質(zhì)可知，平面，因?yàn)?，，所以，所以，易知，所以為平行四邊形，所以，所以平面，由題知，所以，所以，所以，易知，正三棱臺(tái)的外接球的球心在射線上，記為，半徑為若球心在線段上，則，即，解得，不符合題意；若球心在下底面下方，則，即，解得，則，所以的外接球體積為.故選：B04：側(cè)棱垂直于底面9．如圖，四棱錐中，面，四邊形為正方形，，與平面所成角的大小為，且，則四棱錐的外接球表面積為（

）A．26π B．28πC．34π D．14π【答案】C【分析】依題意可將四棱錐補(bǔ)成長方體，則四棱錐的外接球也是長方體的外接球，由可求出的長，進(jìn)而可求，即為外接球的直徑，從而可得外接球的表面積.【解析】如圖，因?yàn)槊?，四邊形為正方形，所以可將四棱錐補(bǔ)成長方體，則四棱錐的外接球也是長方體的外接球.由面，所以就是與平面所成的角，則，所以，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，因?yàn)殚L方體的對角線的長即為其外接球的直徑，所以，所以，所以四棱錐的外接球的表面積為.故選：C10．如圖，在四面體中，與均是邊長為的等邊三角形，二面角的大小為，則四面體的外接球表面積為.【答案】【分析】設(shè)為的中心，為四面體的外接球的球心，過作，然后在中，由求出外接球的半徑，再由球的表面積公式計(jì)算可得.【解析】如圖所示：設(shè)為的中心，為四面體的外接球的球心，則平面．因?yàn)槎娼堑拇笮?，即平面平面，設(shè)為線段的中點(diǎn)，外接球的半徑為，連接，過作于點(diǎn)，易知為的中心，則，因?yàn)?，故，，在中，，故，則．所以外接球的表面積為，故答案為：.05：正方體、長方體11．已知正方體的棱長為4，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，得到平面平面，確定當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐，求出外接球半徑，得到外接球體積.【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，故，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，故?dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐，其中兩兩垂直，且，故其外接球半徑為，故較小部分的外接球的體積為.故選：A【點(diǎn)睛】特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問題，常常進(jìn)行補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來進(jìn)行求解.12．已知一個(gè)長方體的封閉盒子，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為3，4，5，盒內(nèi)有一個(gè)半徑為1的小球，若將盒子隨意翻動(dòng)，則小球達(dá)不到的空間的體積是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別計(jì)算小球在8個(gè)頂點(diǎn)和12條棱不能到達(dá)的空間體積，然后進(jìn)行相加即可.【解析】小球在8個(gè)頂點(diǎn)不能到達(dá)的空間相當(dāng)于棱長為2的正方體挖去一個(gè)半徑為1的球，其體積為，小球在，，，這4條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個(gè)長為3，寬為2，高為2的長方體挖去一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓柱，其體積為，小球在，，，這4條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個(gè)棱長為2的正方體挖去一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，其體積為，小球在，，，這4條棱不能到達(dá)的空間相當(dāng)于一個(gè)長為2，寬為2，高為1的長方體挖去一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，其體積為，所以小球不能到達(dá)的空間的體積為，故選：B.

06：其他多面體13．如圖1，一圓形紙片的圓心為，半徑為，以為中心作正六邊形，以正六邊形的各邊為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點(diǎn)恰好落在圓上，現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖形如圖2所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺(tái)．若該正六棱臺(tái)的高為，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)側(cè)面積與底面積的關(guān)系求出相應(yīng)的邊長，進(jìn)而利用外接球的性質(zhì)求出半徑，從而求出外接球的表面積.【解析】如圖1，設(shè)以為底邊的等腰三角形的中位線為，連接，分別交于點(diǎn)，則點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．設(shè)，則，，①．折疊后形成的正六棱臺(tái)如圖2所示，設(shè)上底面的中心為，連接，則．連接，則是正六棱臺(tái)的高，即．過點(diǎn)作，垂足為，則底面，故．在Rt中，②，由①②得，解得，所以正六棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為1和2．由，可知正六棱臺(tái)的外接球球心必在線段上，連接，則為外接球的半徑，設(shè)為．在Rt和Rt中，由勾股定理得，可得，又因?yàn)?，，，即，解得，則，所以所求外接球的表面積為．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面圖形的折疊，幾何體外接球的半徑，解題關(guān)鍵在于平面圖形折疊成立體圖形后，要明確變化的量和沒有變的量，以及線線的位置，線面的位置關(guān)系，對于幾何體的外接球的問題，關(guān)鍵在于確定外接球的球心的位置.14．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長為，下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（

）①異面直線與所成的角為45°；②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為；③若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；④若點(diǎn)為四邊形的中心，點(diǎn)為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】對①：借助等角定理，找到與平行，與相交的線段，計(jì)算即可得；對②：借助外接球與內(nèi)切球的性質(zhì)計(jì)算即可得；對③：空間中的距離和的最值問題可將其轉(zhuǎn)化到同意平面中進(jìn)行計(jì)算.對④，計(jì)算的值，并比較它們的大小，即可得出當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，點(diǎn)在三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合對稱性即可驗(yàn)算.【解析】對①：連接，取中點(diǎn)，連接、，由題意可得、為同一直線，、、、四點(diǎn)共面，又，故四邊形為菱形，故，故異面直線與所成的角等于直線與所成的角，即異面直線與所成的角等于，故①錯(cuò)誤；對②：由四邊形為正方形，有，故四邊形亦為正方形，即點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離相等，即此八面體的外接球球心為，半徑為，設(shè)此八面體的內(nèi)切球半徑為，則有，化簡得，則此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為，故②正確；對③：將延折疊至平面中，如圖所示：則在新的平面中，、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，則，故③錯(cuò)誤.對于④，設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為，則由等面積法，有，解得，由②可知，點(diǎn)到平面的距離為，所以，這表明當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，點(diǎn)在三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，它的周長是，根據(jù)對稱性可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡長度為，故④正確.正確的編號(hào)有②④.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題④中，關(guān)鍵點(diǎn)在于得出當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，點(diǎn)在三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對稱性即可順利得解.07：三棱錐15．若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球的球面上，為球的直徑，且，則該三棱錐的最大體積為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】由勾股定理逆定理得到⊥，故，要想該三棱錐的體積最大，則⊥平面，從而求出最大體積.【解析】的中點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)椋?，故⊥，，要想該三棱錐的體積最大，則⊥平面，故最大體積故選：B16．在正三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，，若，則此正三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明，，，將三棱錐補(bǔ)成以為棱的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球，求出外接球的半徑，結(jié)合球的體積和表面積公式計(jì)算即可求解.【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)Q，連接AQ、BQ，則，由，得，因?yàn)槿忮F為正三棱錐，所以，而Q是CD的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，由平面，得，又，平面，所以平面，由平面，所以，，根據(jù)正三棱錐的特點(diǎn)可得，故可將三棱錐補(bǔ)成以為棱的正方體，如圖，所以正方體的外接球即為三棱錐的外接球.由得，可得正方體的棱長為，所以，即，所以正三棱錐的外接球的表面積為.故選：D17．已知三棱錐的底面是直角三角形，平面，，則（

）A．三棱錐外接球的表面積為B．三棱錐外接球的表面積為C．三棱錐內(nèi)切球的半徑為D．三棱錐內(nèi)切球的半徑為【答案】AC【分析】根據(jù)三棱錐特征構(gòu)造長方體求出外接球半徑，求得表面積，再由等體積法求出內(nèi)切球半徑.【解析】由題意可知，，兩兩垂直，則三棱錐外接球的半徑滿足，從而三棱錐外接球的表面積為，故A正確，B錯(cuò)誤.由題意可得三棱錐的體積，三棱錐的表面積.設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)?，所以，則C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC18．如圖，在正三棱錐中，，分別是棱的中點(diǎn)，是棱上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．的最小值為D．三棱錐內(nèi)切球的半徑是【答案】ACD【分析】對于A，易知，，可證平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；對于B，取中點(diǎn)，連接，，由，知即為異面直線和所成角，由，可推出，再由三角函數(shù)的知識(shí)即可求解；對于C，將平面和平面平鋪展開，形成四邊形，連接，交于點(diǎn)，此時(shí)是最小值，再結(jié)合二倍角公式與余弦定理即可求解；對于D，設(shè)內(nèi)切球的球心為，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，為的重心，球與平面相切于點(diǎn)，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由相似于，即可求解.【解析】對于A，如圖1所示，連接，，由正三棱錐的性質(zhì)可知，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫嫠?，故A正確；對于B，如圖①，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?、分別為，的中點(diǎn)，所以，，所以即為異面直線和所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)椤⒎謩e為，的中點(diǎn)，所以，由選項(xiàng)A知，，同理可得，所以，所以,所以，所以，即異面直線和所成角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；對于C，將平面和平面平鋪展開，形成四邊形，如圖②所示，連接，交于點(diǎn)，此時(shí)是最小值，連接，則，所以，在中，由余弦定理知，，所以，即的最小值是，故C正確；對于D，如圖③所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，為的重心，球與平面相切于點(diǎn)，則在上，且，在中，，在中，,因?yàn)闉榈闹匦?，所以，在中，，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由相似于，得,即，解得，故D正確；故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了異面直線所成角、最短距離及內(nèi)切球，解題關(guān)鍵是作出異面直線所成角、平面展開求最值以及通過相似三角形求內(nèi)切球的半徑.19．如圖，正三棱錐的側(cè)面和底面所成角為，正三棱錐的側(cè)面和底面所成角為和位于平面的異側(cè)，且兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則，的最大值為.【答案】【分析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知為外接球直徑即得；先設(shè)，外接球半徑為R，則由以及已知條件可求得，再根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征得，再結(jié)合兩角和正切公式以及基本不等式即可求解.【解析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知為外接球直徑，所以；連接，交平面于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，由正棱錐性質(zhì)知，且，則、，，設(shè)，外接球半徑為R，則，所以由得，，又，故，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解的關(guān)鍵是由以及已知數(shù)據(jù)求出.08：折疊問題20．在中，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，將沿直線翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為3，此時(shí)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，根據(jù)余弦定理求出BC，根據(jù)正弦定理求出的外接圓半徑，結(jié)合球的性質(zhì)和勾股定理求出球的半徑，利用球的表面積公式計(jì)算即可.【解析】如圖，將沿直線翻折，得到滿足題意的幾何體為三棱錐，因?yàn)?過點(diǎn)作，則在中，，，由余弦定理，得，所以，設(shè)的外接圓圓心為D，半徑為r，則，由正弦定理，得，解得，即，易知平面，又AM是球O的弦，，，所以，得球的半徑為，所以球的表面積為.故選：D.21．如圖1，在矩形ABCD中，，，M是邊BC上的一點(diǎn)，將沿著AM折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置.(1)如圖2，若M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段PD的中點(diǎn)，求證：平面PAM；(2)如圖3，若點(diǎn)P在平面AMCD內(nèi)的射影H落在線段AD上.①求證：平面PAD；②求點(diǎn)M的位置，使三棱錐的外接球的體積最大，并求出最大值.【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②M位于點(diǎn)C，【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定即可得證；（2）①根據(jù)線面垂直判定可證；②先分析得O是三棱錐外接球的球心，再求得直徑，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，進(jìn)而利用球的體積公式求出球的體積的最大值即可【解析】（1）如圖，取PA的中點(diǎn)E，連接ME和EN，則EN是的中位線，所以且，又且，所以且，所以四邊形ENCM是平行四邊形，所以，又平面PAM，平面PAM，所以平面PAM.（2）①由平面AMCD，平面PFH，得，又已知，且AD，PH是平面PAD內(nèi)兩條相交直線，所以平面PAD.②，由①知平面PAD，又平面PAD，所以，所以是，由平面AMCD，平面AMCD，所以，是.如圖，取PC的中點(diǎn)O，則點(diǎn)O到三棱錐各頂點(diǎn)的距離都相等，所以O(shè)是三棱錐外接球的球心.如圖，過點(diǎn)P作于F，連HF和BF，因?yàn)槠矫鍭MCD，平面AMCD，所以，又PF，PH是平面PHF內(nèi)兩條相交直線，所以平面PFH，又平面PFH，所以，由和翻折關(guān)系知，所以B，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線，且，設(shè)，則，，又，所以，，，由，得，所以，，所以，，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，所以時(shí)，有最大值，此時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)的C位置，所以，，.所以點(diǎn)M位于點(diǎn)的C時(shí)，三棱錐外接球的體積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.一、單選題1．（2024·新疆·三模）設(shè)四棱臺(tái)的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為，若一個(gè)小球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用體積相等可得答案.【解析】設(shè)內(nèi)切球的球心為，連接，則把四棱臺(tái)分割成六個(gè)四棱錐，且六個(gè)四棱錐的高都為內(nèi)切球的半徑，四棱臺(tái)的高為，所以，化簡可得.故選：D.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算出圓錐底面圓的半徑，再由勾股定理求出圓錐的高，然后利用等面積法計(jì)算內(nèi)切球半徑，最后再計(jì)算球的表面積即可.【解析】側(cè)面展開圖扇形的弧長為，圓錐底邊的半徑滿足，解得，所以該圓錐軸截面是一個(gè)兩腰長為2，底邊長為1的等腰三角形，底邊上的高為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，由等面積法可得，則．所以內(nèi)切球的表面積為．故選：D．3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，，與平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定可得平面平面，結(jié)合交線可確定線面角，進(jìn)而證得平面；分別取，外接圓圓心，根據(jù)球的性質(zhì)可確定球心位置，根據(jù)長度關(guān)系可求得半徑，進(jìn)而得到外接球表面積.【解析】為的中點(diǎn)，，，即為等腰三角形，，，均為邊長為的等邊三角形，，又，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，為在平面內(nèi)的射影，即為與平面所成的角，即，，，，又，，平面，平面.設(shè)三棱錐外接球的球心為，外接圓的圓心為，外接圓的圓心為，連接，則平面，平面，均為邊長為的等邊三角形，，，，三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中多面體外接球的求解問題，本題的解題關(guān)鍵是能夠通過面面垂直關(guān)系確定已知中所給線面角，從而確定幾何體的基本結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而根據(jù)外接球的性質(zhì)來確定球心位置.4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產(chǎn)，是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺(tái)與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺(tái)，已知該圓臺(tái)的上?下底面積分別為和，高超過，該圓臺(tái)上?下底面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球的表面上，且球的表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出圖形，首先根據(jù)球的表面積公式計(jì)算得球的半徑為，通過勾股定理得的值，進(jìn)而得圓臺(tái)的高，結(jié)合圓臺(tái)的體積公式即可得解.【解析】設(shè)球的半徑為，上?下底面分別為圓（這里上底面是指大的那個(gè)底面），依題意，，解得，因?yàn)?，則，同理可得，，因?yàn)閳A臺(tái)的高超過，則該圓臺(tái)的高為，該圓臺(tái)的體積為.故選：B.5．（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對角線折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐的外接球的球心位置，再求出球半徑即可計(jì)算作答.【解析】如圖所示：由題意在菱形中，互相垂直且平分，點(diǎn)為垂足，，由勾股定理得，所以，設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，則外接圓的半徑為，，設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，同理可得外接圓的半徑為，，如圖所示：設(shè)三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點(diǎn)，而均垂直平分，所以點(diǎn)在面，面內(nèi)的射影分別在直線上，即，由題意，且二面角為直二面角，即面面，，所以，即，可知四邊形為矩形，所以，由勾股定理以及，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.6．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測）三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，，，頂點(diǎn)P到的三邊距離均等于4，且頂點(diǎn)P在底面的射影在的內(nèi)部，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析出⊥，作出輔助線，得到點(diǎn)在底面的射影為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面的投影為的內(nèi)心，先求出直角三角形的內(nèi)切圓半徑，由勾股定理得到方程，求出球的半徑，得到球的表面積.【解析】因?yàn)椋?，，所以，故⊥，取的中點(diǎn)，則點(diǎn)在底面的射影為，連接，則，又P到的三邊距離均等于4，故點(diǎn)在底面的投影為的內(nèi)心，過點(diǎn)作⊥，垂足為，作⊥，垂足為，作⊥，垂足為，故四邊形為矩形，又，故四邊形為正方形，設(shè)，則，所以，解得，則，過點(diǎn)作⊥，垂足為，設(shè)，則，如圖，以，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，其中，由勾股定理得，，故，解得，則，則外接球的表面積為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑7．（2024·河北滄州·三模）《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體的棱長為，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意確定三棱錐的外接球的體積最小時(shí)球心的位置，由此可求出三棱錐的高，利用體積公式，即可求得答案.【解析】如圖，在正四面體中，假設(shè)底面，則點(diǎn)為外心.在上取一點(diǎn)，滿足，則，則為三棱錐的外接球球心，當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.作，垂足為，，為三棱錐的高.由正四面體的棱長為，知，，，.設(shè)，則，故，.由，得，解得.，.故選：A.8．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖1，直角梯形中，，取中點(diǎn)，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球?yàn)榍颍榍蛐模?是球上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與直線所成角最大時(shí)，四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得到球心在的中點(diǎn)，然后當(dāng)與球相切時(shí)直線與直線所成角的最大，過作垂足為，當(dāng)平面時(shí)四面體體積取得最大值，即可求出答案.【解析】由題意可知，均為等腰直角三角形，所以四面體的外接球的球心在的中點(diǎn)，因?yàn)槭乔蛏系膭?dòng)點(diǎn)，若直線與直線所成角的最大，則與球相切，，此時(shí)，最大，因?yàn)椋?，所以，過作垂足為，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).所以當(dāng)平面時(shí)四面體的體積取得最大值.因?yàn)?，所以，所以，故選：D.二、多選題9．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，G為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．CG與所成角的余弦值為B．與平面的交點(diǎn)H是的重心C．三棱錐的外接球的體積為D．與平面所成角的正弦值為【答案】ABC【分析】對于A，連接，可得即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角；對于B，可得四面體為正四面體，證明平面即可判斷；對于C，三棱錐和正方體有相同的外接球，求出即可；對于D，可得為直線與平面所成的角，即可求出判斷.【解析】對于A，連接，則由正方體的性質(zhì)可知，所以即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，連接，設(shè)，則為的中點(diǎn)，連接，則，在中，，即與所成角的余弦值為，故A正確；對于B，連接，則，則四面體為正四面體，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，因?yàn)椋矫嫠云矫?，垂足為，又四面體為正四面體，所以為的中心，即為的重心，故B正確；對C，由于三棱錐的頂點(diǎn)均為正方體的頂點(diǎn)，所以三棱錐和正方體有相同的外接球，所以外接球半徑，體積為，故C正確；對D，連接，并延長交于點(diǎn)，由選項(xiàng)B知平面，所以為直線與平面所成的角，由為正三角形，且為的重心，所以為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，在中，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查空間角中的線線角的余弦值的求法，線面角的正弦值的求法，法一：作出空間角再利用解三角形的知識(shí)求解，法二建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解.10．（2024·浙江紹興·三模）平行四邊形ABCD中，且，AB、CD的中點(diǎn)分別為E、F，將沿DE向上翻折得到，使P在面BCDE上的投影在四邊形BCDE內(nèi)，且P到面BCDE的距離為，連接PC、PF、EF、PB，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．三棱錐的外接球表面積為D．點(diǎn)Q在線段PE上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為【答案】ABD【分析】記的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作，證明點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的投影，解三角形求，判斷A，證明平面，判斷B，根據(jù)正四面體性質(zhì)求三棱錐的外接球半徑，結(jié)合球的表面積公式判斷C，通過翻折，將問題轉(zhuǎn)化為求的問題，求其值，判斷D.【解析】由已知，，，記的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，故，又為的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，過點(diǎn)作，為垂足，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，即點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的投影，因?yàn)镻到面BCDE的距離為，所以，由已知，，所以，，又，所以，所以，所以，故，A正確，因?yàn)?，所以點(diǎn)為的外心，又為等邊三角形，所以點(diǎn)為的中心，連接并延長，交與點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，故，所以三點(diǎn)共線，且，又，所以，又平面，平面，故，因?yàn)?，平面，所以平面，平面，所以，B正確；因?yàn)闉檎拿骟w，且棱長為，所以其外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球表面積為，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，所以，故，將翻折到同一平面，如圖所以的最小值為，且，所以，又，D正確，故選：ABD.11．（2024·山東濟(jì)寧·三模）如圖，在直三棱柱中，，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），，為的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．直三棱柱體積的最大值為B．三棱錐與三棱錐的體積相等C．當(dāng)，且時(shí)，三棱錐外接球的表面積為D．設(shè)直線，與平面分別相交于點(diǎn)，，若，則的最小值為【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)三棱柱體積公式，結(jié)合三角函數(shù)值域可得最值；B選項(xiàng)：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可判斷；C選項(xiàng)：結(jié)合正弦定理確定正三角形外心，進(jìn)而確定球心及半徑；D選項(xiàng)：根據(jù)相似及基本不等式可得最值.【解析】A選項(xiàng)：由已知可得，又，所以，即體積的最大值為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：如圖所示，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，又，所以，所以，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：如圖所示，由已知為正三角形，設(shè)外接球球心為，中心為，中點(diǎn)為，則平面，且，，即，所以外接球半徑為，外接球表面積為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：如圖所示，取中點(diǎn)，可知在的延長線上，在的延長線上，則，即，