2025年高考一輪復習 特訓09 多面體與求內(nèi)切外接問題（八大題型）（解析版）

特訓09多面體與求內(nèi)切外接問題（八大題型）一、外接球問題若一個簡單多面體的所有頂點都在一個球面上，則該球為此多面體的外接球。簡單多面體的外接球問題是立體幾何的重點和難點，此類問題實質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心位置問題，其中球心位置的確定是關(guān)鍵，下面介紹幾種常見的球心位置的確定方法。如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心。由此，可以得到確定簡單多面體外接球的球心位置有如下結(jié)論：結(jié)論1：正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點。結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點。結(jié)論3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點。結(jié)論4：正棱錐外接球的球心在其高上，具體位置通過構(gòu)造直角三角形計算得到。結(jié)論5：若棱錐的頂點可構(gòu)共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心。二、內(nèi)切球問題若一個多面體的各個面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球。因此，多面體內(nèi)切球球心到該多面體各個面的距離相等。并非所有多面體都有內(nèi)切球，下面介紹幾種常見多面體內(nèi)切球問題：1.正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距離。2.正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，但不一定重合。目錄：01：三棱柱02：四棱錐03：棱臺04：側(cè)棱垂直于底面05：正方體、長方體06：其他多面體07：三棱錐08：折疊問題01：三棱柱1．在一個封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為V的球，若，，，，則球的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設的內(nèi)切圓的半徑為，由等面積法得，解得．由于，所以球的最大半徑為，由此能求出結(jié)果．【解析】由題知，球的體積要盡可能大時，球需與三棱柱內(nèi)切．所以球在底面內(nèi)的投影的圓面最大不能超出的內(nèi)切圓.設圓與內(nèi)切，設圓的半徑為.由，，，則由等面積法得，得.由于三棱柱高，若球的半徑，此時能保證球在三棱柱內(nèi)部，所以直三棱柱的內(nèi)切球半徑的最大值為.所以球的體積的最大值為：.故選：B

2．在正三棱柱中，，為線段上動點，為邊中點，則三棱錐外接球表面積的最小值為.【答案】【分析】建立邊長和O到平面ABD距離為OF的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式，求解出最小值，建立外接球半徑的函數(shù)，從而求解外接球半徑的最小值，從而求出外接球表面積的最小值.【解析】由正三棱錐的側(cè)棱垂直于底面的性質(zhì)，設球心O到平面ABD距離為，設，有因為為直角三角形，則經(jīng)過直角三角形斜邊中點，即為中點.故取的中點設為，則由正三角形求解高知如圖，設，設球心O到平面ABD距離為OF，設，，，當且僅當時即取“=”.，.故最小為.故答案為：.【點睛】立體圖形平面化，結(jié)合函數(shù)和基本不等式的知識求解是問題的關(guān)鍵.3．已知正三棱柱的底面邊長為，高為6，經(jīng)過上底面棱的中點與下底面的頂點截去該三棱柱的三個角，如圖1，得到一個幾何體，如圖2所示，若所得幾何體的六個頂點都在球的球面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何體特征、勾股定理及其外接球體積公式計算即可.【解析】設分別為正棱柱上下底面的中心，即，由幾何體的特征易知其外接球球心在上，如圖所示，根據(jù)正三角形的中心性質(zhì)可知，同理，設外接球半徑為則，所以有，則外接球體積.故選：D【點睛】思路點睛：對于幾何體外接球問題，第一步先確定球心位置，可以先通過確定一面的外接圓圓心去確定，本題幾何體比較規(guī)則，容易得出球心在上下中心連線上；第二步，由點在球上及球體的特征結(jié)合勾股定理構(gòu)建方程組解方程求半徑即可.4．如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱長為，，，點在上底面（包含邊界）上運動，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達式，從而求出半徑的取值范圍即可.【解析】因為為等腰直角三角形，，所以的外接圓的圓心為的中點，且，設的中點為，連接，則，平面，設三棱錐外接球的球心為，由球的性質(zhì)可得點在上，設，，外接球的半徑為，因為，所以，即，又，則，因為，所以，則；故選：.

【點睛】方法點睛：常見幾何體的外接球半徑求法：（1）棱長為的正方體的外接球半徑為；（2）長方體的長，寬，高分別為，，，則其外接球的半徑為；（3）直棱柱的高為，底面多邊形的外接圓半徑為，則其外接球半徑為.02：四棱錐5．四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，，，若四棱錐的外接球表面積為，則四棱錐的體積為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可求解，即可求解四棱錐的高，由體積公式即可求解.【解析】取的中點，連接，又因為，所以，又因為平面平面，且交線為，平面，所以平面.設的中心為，球心為，則平面,于是，.設四棱錐的外接球半徑為，其表面積為,故.過作，則四邊形為矩形，故,，在和中，，，,所以，，.當在平面的上方，此時四棱錐的高為,四棱錐的體積．當在平面的下方，此時四棱錐的高為,四棱錐的體積．故選:C.【點睛】本題關(guān)鍵要注意外心即可能在平面上方，也可能在下方，思考問題要周密.6．已知正四棱錐的側(cè)棱長為，且二面角的正切值為，則它的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，則為二面角的平面角，設正方形的邊長為，利用銳角三角函數(shù)求出，即可求出，，再設球心為，則球心在直線上，設球的半徑為，利用勾股定理求出，最后再由球的表面積公式計算可得.【解析】設正方形中心為，取中點，連接、、，則平面，得平面，所以為二面角的平面角，即，設正方形的邊長為，則，又，，由，即，解得（負值已舍去），則，，設球心為，則球心在直線上，設球的半徑為，則，解得，所以外接球的表面積.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是確定二面角的平面角，利用銳角三角函數(shù)求出底面邊長與高，再由正四棱錐的性質(zhì)確定球心在上.03：棱臺7．已知正四棱臺，半球的球心在底面的中心，且半球與該棱臺的各棱均相切，則半球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析半球與各棱的切點位置，利用球的切線性質(zhì)，用表示出側(cè)棱長，從不同角度表示出棱臺的高，從而建立關(guān)于的方程，然后可得.【解析】由題意可知，為下底面，記上底面的中心為，過作垂直于平面，垂足為，易知點在上，記半球與分別相切于點，由正四棱臺和球的對稱性可知，為的中點，因為，所以，，記半球的半徑為，則，所以，，分別在中，由勾股定理得，，因為，所以，解得或（舍去），所以半球的表面積為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查學生的直觀想象能力，解題關(guān)鍵在于利用球的切線性質(zhì)，用表示出側(cè)棱，然后根據(jù)棱臺的高距離方程求出半徑即可.8．在正三棱臺中，，，二面角的正弦值為，則的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記正三棱臺上下底面的中心分別為，的中點分別為，的中點為，先判斷為二面角的平面角，然后求出棱臺的高，判斷球心位置，利用勾股定理求解可得半徑，然后可得體積.【解析】記正三棱臺上下底面的中心分別為，的中點分別為，的中點為，如圖，因為為等腰梯形，分別為的中點，所以，由等腰梯形性質(zhì)可知，又為正三角形，所以，所以為二面角的平面角，由正棱臺性質(zhì)可知，平面，因為，，所以，所以，易知，所以為平行四邊形，所以，所以平面，由題知，所以，所以，所以，易知，正三棱臺的外接球的球心在射線上，記為，半徑為若球心在線段上，則，即，解得，不符合題意；若球心在下底面下方，則，即，解得，則，所以的外接球體積為.故選：B04：側(cè)棱垂直于底面9．如圖，四棱錐中，面，四邊形為正方形，，與平面所成角的大小為，且，則四棱錐的外接球表面積為（

）A．26π B．28πC．34π D．14π【答案】C【分析】依題意可將四棱錐補成長方體，則四棱錐的外接球也是長方體的外接球，由可求出的長，進而可求，即為外接球的直徑，從而可得外接球的表面積.【解析】如圖，因為面，四邊形為正方形，所以可將四棱錐補成長方體，則四棱錐的外接球也是長方體的外接球.由面，所以就是與平面所成的角，則，所以，設四棱錐的外接球的半徑為，因為長方體的對角線的長即為其外接球的直徑，所以，所以，所以四棱錐的外接球的表面積為.故選：C10．如圖，在四面體中，與均是邊長為的等邊三角形，二面角的大小為，則四面體的外接球表面積為.【答案】【分析】設為的中心，為四面體的外接球的球心，過作，然后在中，由求出外接球的半徑，再由球的表面積公式計算可得.【解析】如圖所示：設為的中心，為四面體的外接球的球心，則平面．因為二面角的大小為，即平面平面，設為線段的中點，外接球的半徑為，連接，過作于點，易知為的中心，則，因為，故，，在中，，故，則．所以外接球的表面積為，故答案為：.05：正方體、長方體11．已知正方體的棱長為4，點是棱的中點，為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，且滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，得到平面平面，確定當在線段上運動時，滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐，求出外接球半徑，得到外接球體積.【解析】分別取的中點，連接，故，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，故，因為平面，平面，所以平面，又點是棱的中點，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面，故當在線段上運動時，滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐，其中兩兩垂直，且，故其外接球半徑為，故較小部分的外接球的體積為.故選：A【點睛】特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問題，常常進行補形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來進行求解.12．已知一個長方體的封閉盒子，從同一頂點出發(fā)的三條棱長分別為3，4，5，盒內(nèi)有一個半徑為1的小球，若將盒子隨意翻動，則小球達不到的空間的體積是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別計算小球在8個頂點和12條棱不能到達的空間體積，然后進行相加即可.【解析】小球在8個頂點不能到達的空間相當于棱長為2的正方體挖去一個半徑為1的球，其體積為，小球在，，，這4條棱不能到達的空間相當于一個長為3，寬為2，高為2的長方體挖去一個底面半徑為1，高為3的圓柱，其體積為，小球在，，，這4條棱不能到達的空間相當于一個棱長為2的正方體挖去一個底面半徑為1，高為2的圓柱，其體積為，小球在，，，這4條棱不能到達的空間相當于一個長為2，寬為2，高為1的長方體挖去一個底面半徑為1，高為2的圓柱，其體積為，所以小球不能到達的空間的體積為，故選：B.

06：其他多面體13．如圖1，一圓形紙片的圓心為，半徑為，以為中心作正六邊形，以正六邊形的各邊為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點恰好落在圓上，現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖形如圖2所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺．若該正六棱臺的高為，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)側(cè)面積與底面積的關(guān)系求出相應的邊長，進而利用外接球的性質(zhì)求出半徑，從而求出外接球的表面積.【解析】如圖1，設以為底邊的等腰三角形的中位線為，連接，分別交于點，則點分別為的中點．設，則，，①．折疊后形成的正六棱臺如圖2所示，設上底面的中心為，連接，則．連接，則是正六棱臺的高，即．過點作，垂足為，則底面，故．在Rt中，②，由①②得，解得，所以正六棱臺的上、下底面的邊長分別為1和2．由，可知正六棱臺的外接球球心必在線段上，連接，則為外接球的半徑，設為．在Rt和Rt中，由勾股定理得，可得，又因為，，，即，解得，則，所以所求外接球的表面積為．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面圖形的折疊，幾何體外接球的半徑，解題關(guān)鍵在于平面圖形折疊成立體圖形后，要明確變化的量和沒有變的量，以及線線的位置，線面的位置關(guān)系，對于幾何體的外接球的問題，關(guān)鍵在于確定外接球的球心的位置.14．六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長為，下列說法中正確的個數(shù)有（

）①異面直線與所成的角為45°；②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為；③若點為棱上的動點，則的最小值為；④若點為四邊形的中心，點為此八面體表面上動點，且，則動點的軌跡長度為.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】對①：借助等角定理，找到與平行，與相交的線段，計算即可得；對②：借助外接球與內(nèi)切球的性質(zhì)計算即可得；對③：空間中的距離和的最值問題可將其轉(zhuǎn)化到同意平面中進行計算.對④，計算的值，并比較它們的大小，即可得出當點在平面內(nèi)時，點在三角形的內(nèi)切圓上運動，結(jié)合對稱性即可驗算.【解析】對①：連接，取中點，連接、，由題意可得、為同一直線，、、、四點共面，又，故四邊形為菱形，故，故異面直線與所成的角等于直線與所成的角，即異面直線與所成的角等于，故①錯誤；對②：由四邊形為正方形，有，故四邊形亦為正方形，即點到各頂點距離相等，即此八面體的外接球球心為，半徑為，設此八面體的內(nèi)切球半徑為，則有，化簡得，則此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為，故②正確；對③：將延折疊至平面中，如圖所示：則在新的平面中，、、三點共線時，有最小值，則，故③錯誤.對于④，設三角形的內(nèi)切圓半徑為，則由等面積法，有，解得，由②可知，點到平面的距離為，所以，這表明當點在平面內(nèi)時，點在三角形的內(nèi)切圓上運動，它的周長是，根據(jù)對稱性可知動點的軌跡長度為，故④正確.正確的編號有②④.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題④中，關(guān)鍵點在于得出當點在平面內(nèi)時，點在三角形的內(nèi)切圓上運動，根據(jù)對稱性即可順利得解.07：三棱錐15．若三棱錐的所有頂點都在半徑為2的球的球面上，為球的直徑，且，則該三棱錐的最大體積為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】由勾股定理逆定理得到⊥，故，要想該三棱錐的體積最大，則⊥平面，從而求出最大體積.【解析】的中點為，連接，則，因為，故，故⊥，，要想該三棱錐的體積最大，則⊥平面，故最大體積故選：B16．在正三棱錐中，分別為的中點，為棱上的一點，且，，若，則此正三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明，，，將三棱錐補成以為棱的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球，求出外接球的半徑，結(jié)合球的體積和表面積公式計算即可求解.【解析】如圖，取CD的中點Q，連接AQ、BQ，則，由，得，因為三棱錐為正三棱錐，所以，而Q是CD的中點，所以，又平面，所以平面，由平面，得，又，平面，所以平面，由平面，所以，，根據(jù)正三棱錐的特點可得，故可將三棱錐補成以為棱的正方體，如圖，所以正方體的外接球即為三棱錐的外接球.由得，可得正方體的棱長為，所以，即，所以正三棱錐的外接球的表面積為.故選：D17．已知三棱錐的底面是直角三角形，平面，，則（

）A．三棱錐外接球的表面積為B．三棱錐外接球的表面積為C．三棱錐內(nèi)切球的半徑為D．三棱錐內(nèi)切球的半徑為【答案】AC【分析】根據(jù)三棱錐特征構(gòu)造長方體求出外接球半徑，求得表面積，再由等體積法求出內(nèi)切球半徑.【解析】由題意可知，，兩兩垂直，則三棱錐外接球的半徑滿足，從而三棱錐外接球的表面積為，故A正確，B錯誤.由題意可得三棱錐的體積，三棱錐的表面積.設三棱錐內(nèi)切球的半徑為，因為，所以，則C正確，D錯誤.故選：AC18．如圖，在正三棱錐中，，分別是棱的中點，是棱上的任意一點，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．的最小值為D．三棱錐內(nèi)切球的半徑是【答案】ACD【分析】對于A，易知，，可證平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；對于B，取中點，連接，，由，知即為異面直線和所成角，由，可推出，再由三角函數(shù)的知識即可求解；對于C，將平面和平面平鋪展開，形成四邊形，連接，交于點，此時是最小值，再結(jié)合二倍角公式與余弦定理即可求解；對于D，設內(nèi)切球的球心為，點在平面內(nèi)的投影為，為的重心，球與平面相切于點，設三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由相似于，即可求解.【解析】對于A，如圖1所示，連接，，由正三棱錐的性質(zhì)可知，，因為為中點，所以，，又因為，平面，所以平面，又因為平面所以，故A正確；對于B，如圖①，取中點，連接，，因為、分別為，的中點，所以，，所以即為異面直線和所成角或其補角，因為、分別為，的中點，所以，由選項A知，，同理可得，所以，所以,所以，所以，即異面直線和所成角的余弦值為，故B錯誤；對于C，將平面和平面平鋪展開，形成四邊形，如圖②所示，連接，交于點，此時是最小值，連接，則，所以，在中，由余弦定理知，，所以，即的最小值是，故C正確；對于D，如圖③所示，設內(nèi)切球的球心為，點在平面內(nèi)的投影為，為的重心，球與平面相切于點，則在上，且，在中，，在中，,因為為的重心，所以，在中，，設三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由相似于，得,即，解得，故D正確；故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了異面直線所成角、最短距離及內(nèi)切球，解題關(guān)鍵是作出異面直線所成角、平面展開求最值以及通過相似三角形求內(nèi)切球的半徑.19．如圖，正三棱錐的側(cè)面和底面所成角為，正三棱錐的側(cè)面和底面所成角為和位于平面的異側(cè)，且兩個正三棱錐的所有頂點在同一個球面上，則，的最大值為.【答案】【分析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知為外接球直徑即得；先設，外接球半徑為R，則由以及已知條件可求得，再根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征得，再結(jié)合兩角和正切公式以及基本不等式即可求解.【解析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知為外接球直徑，所以；連接，交平面于點，取中點，連接，由正棱錐性質(zhì)知，且，則、，，設，外接球半徑為R，則，所以由得，，又，故，而，當且僅當時取等，故.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解的關(guān)鍵是由以及已知數(shù)據(jù)求出.08：折疊問題20．在中，，過點作，垂足為點，將沿直線翻折，使點與點間的距離為3，此時四面體的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，根據(jù)余弦定理求出BC，根據(jù)正弦定理求出的外接圓半徑，結(jié)合球的性質(zhì)和勾股定理求出球的半徑，利用球的表面積公式計算即可.【解析】如圖，將沿直線翻折，得到滿足題意的幾何體為三棱錐，因為,過點作，則在中，，，由余弦定理，得，所以，設的外接圓圓心為D，半徑為r，則，由正弦定理，得，解得，即，易知平面，又AM是球O的弦，，，所以，得球的半徑為，所以球的表面積為.故選：D.21．如圖1，在矩形ABCD中，，，M是邊BC上的一點，將沿著AM折起，使點B到達點P的位置.(1)如圖2，若M是BC的中點，點N是線段PD的中點，求證：平面PAM；(2)如圖3，若點P在平面AMCD內(nèi)的射影H落在線段AD上.①求證：平面PAD；②求點M的位置，使三棱錐的外接球的體積最大，并求出最大值.【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②M位于點C，【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定即可得證；（2）①根據(jù)線面垂直判定可證；②先分析得O是三棱錐外接球的球心，再求得直徑，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，進而利用球的體積公式求出球的體積的最大值即可【解析】（1）如圖，取PA的中點E，連接ME和EN，則EN是的中位線，所以且，又且，所以且，所以四邊形ENCM是平行四邊形，所以，又平面PAM，平面PAM，所以平面PAM.（2）①由平面AMCD，平面PFH，得，又已知，且AD，PH是平面PAD內(nèi)兩條相交直線，所以平面PAD.②，由①知平面PAD，又平面PAD，所以，所以是，由平面AMCD，平面AMCD，所以，是.如圖，取PC的中點O，則點O到三棱錐各頂點的距離都相等，所以O是三棱錐外接球的球心.如圖，過點P作于F，連HF和BF，因為平面AMCD，平面AMCD，所以，又PF，PH是平面PHF內(nèi)兩條相交直線，所以平面PFH，又平面PFH，所以，由和翻折關(guān)系知，所以B，F(xiàn)，H三點共線，且，設，則，，又，所以，，，由，得，所以，，所以，，因為在時單調(diào)遞增，所以時，有最大值，此時，點M位于點的C位置，所以，，.所以點M位于點的C時，三棱錐外接球的體積的最大值為.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標法：建立空間直角坐標系，設出外接球球心的坐標，根據(jù)球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.一、單選題1．（2024·新疆·三模）設四棱臺的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為，若一個小球與該四棱臺的每個面都相切，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用體積相等可得答案.【解析】設內(nèi)切球的球心為，連接，則把四棱臺分割成六個四棱錐，且六個四棱錐的高都為內(nèi)切球的半徑，四棱臺的高為，所以，化簡可得.故選：D.2．（2024·陜西西安·模擬預測）已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計算出圓錐底面圓的半徑，再由勾股定理求出圓錐的高，然后利用等面積法計算內(nèi)切球半徑，最后再計算球的表面積即可.【解析】側(cè)面展開圖扇形的弧長為，圓錐底邊的半徑滿足，解得，所以該圓錐軸截面是一個兩腰長為2，底邊長為1的等腰三角形，底邊上的高為，設內(nèi)切球半徑為，由等面積法可得，則．所以內(nèi)切球的表面積為．故選：D．3．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在三棱錐中，，，為的中點，，與平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定可得平面平面，結(jié)合交線可確定線面角，進而證得平面；分別取，外接圓圓心，根據(jù)球的性質(zhì)可確定球心位置，根據(jù)長度關(guān)系可求得半徑，進而得到外接球表面積.【解析】為的中點，，，即為等腰三角形，，，均為邊長為的等邊三角形，，又，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，為在平面內(nèi)的射影，即為與平面所成的角，即，，，，又，，平面，平面.設三棱錐外接球的球心為，外接圓的圓心為，外接圓的圓心為，連接，則平面，平面，均為邊長為的等邊三角形，，，，三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的表面積.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何中多面體外接球的求解問題，本題的解題關(guān)鍵是能夠通過面面垂直關(guān)系確定已知中所給線面角，從而確定幾何體的基本結(jié)構(gòu)特征，進而根據(jù)外接球的性質(zhì)來確定球心位置.4．（2024·廣東·模擬預測）建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產(chǎn)，是中國國家地理標志產(chǎn)品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺，已知該圓臺的上?下底面積分別為和，高超過，該圓臺上?下底面圓周上的各個點均在球的表面上，且球的表面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出圖形，首先根據(jù)球的表面積公式計算得球的半徑為，通過勾股定理得的值，進而得圓臺的高，結(jié)合圓臺的體積公式即可得解.【解析】設球的半徑為，上?下底面分別為圓（這里上底面是指大的那個底面），依題意，，解得，因為，則，同理可得，，因為圓臺的高超過，則該圓臺的高為，該圓臺的體積為.故選：B.5．（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對角線折起，使點到達的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐的外接球的球心位置，再求出球半徑即可計算作答.【解析】如圖所示：由題意在菱形中，互相垂直且平分，點為垂足，，由勾股定理得，所以，設點為外接圓的圓心，則外接圓的半徑為，，設點為外接圓的圓心，同理可得外接圓的半徑為，，如圖所示：設三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點，而均垂直平分，所以點在面，面內(nèi)的射影分別在直線上，即，由題意，且二面角為直二面角，即面面，，所以，即，可知四邊形為矩形，所以，由勾股定理以及，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.6．（2024·湖北荊州·模擬預測）三棱錐的四個頂點在球O的球面上，，，，頂點P到的三邊距離均等于4，且頂點P在底面的射影在的內(nèi)部，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析出⊥，作出輔助線，得到點在底面的射影為的中點，點在底面的投影為的內(nèi)心，先求出直角三角形的內(nèi)切圓半徑，由勾股定理得到方程，求出球的半徑，得到球的表面積.【解析】因為，，，所以，故⊥，取的中點，則點在底面的射影為，連接，則，又P到的三邊距離均等于4，故點在底面的投影為的內(nèi)心，過點作⊥，垂足為，作⊥，垂足為，作⊥，垂足為，故四邊形為矩形，又，故四邊形為正方形，設，則，所以，解得，則，過點作⊥，垂足為，設，則，如圖，以，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，則，則，其中，由勾股定理得，，故，解得，則，則外接球的表面積為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑7．（2024·河北滄州·三模）《幾何補編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體的棱長為，為棱上的動點，則當三棱錐的外接球的體積最小時，三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意確定三棱錐的外接球的體積最小時球心的位置，由此可求出三棱錐的高，利用體積公式，即可求得答案.【解析】如圖，在正四面體中，假設底面，則點為外心.在上取一點，滿足，則，則為三棱錐的外接球球心，當取得最小值時，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時點與點重合.作，垂足為，，為三棱錐的高.由正四面體的棱長為，知，，，.設，則，故，.由，得，解得.，.故選：A.8．（2023·浙江·模擬預測）如圖1，直角梯形中，，取中點，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球為球（為球心）.是球上一動點，當直線與直線所成角最大時，四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得到球心在的中點，然后當與球相切時直線與直線所成角的最大，過作垂足為，當平面時四面體體積取得最大值，即可求出答案.【解析】由題意可知，均為等腰直角三角形，所以四面體的外接球的球心在的中點，因為是球上的動點，若直線與直線所成角的最大，則與球相切，，此時，最大，因為，，所以，過作垂足為，則在以為圓心，為半徑的圓上運動.所以當平面時四面體的體積取得最大值.因為，所以，所以，故選：D.二、多選題9．（2024·山西晉中·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，G為的中點，則下列結(jié)論正確的有（

）A．CG與所成角的余弦值為B．與平面的交點H是的重心C．三棱錐的外接球的體積為D．與平面所成角的正弦值為【答案】ABC【分析】對于A，連接，可得即為異面直線與所成角或其補角；對于B，可得四面體為正四面體，證明平面即可判斷；對于C，三棱錐和正方體有相同的外接球，求出即可；對于D，可得為直線與平面所成的角，即可求出判斷.【解析】對于A，連接，則由正方體的性質(zhì)可知，所以即為異面直線與所成角或其補角，連接，設，則為的中點，連接，則，在中，，即與所成角的余弦值為，故A正確；對于B，連接，則，則四面體為正四面體，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為，平面所以平面，垂足為，又四面體為正四面體，所以為的中心，即為的重心，故B正確；對C，由于三棱錐的頂點均為正方體的頂點，所以三棱錐和正方體有相同的外接球，所以外接球半徑，體積為，故C正確；對D，連接，并延長交于點，由選項B知平面，所以為直線與平面所成的角，由為正三角形，且為的重心，所以為的中點，也是的中點，在中，，所以，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】方法點睛：本題考查空間角中的線線角的余弦值的求法，線面角的正弦值的求法，法一：作出空間角再利用解三角形的知識求解，法二建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角公式求解.10．（2024·浙江紹興·三模）平行四邊形ABCD中，且，AB、CD的中點分別為E、F，將沿DE向上翻折得到，使P在面BCDE上的投影在四邊形BCDE內(nèi)，且P到面BCDE的距離為，連接PC、PF、EF、PB，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．三棱錐的外接球表面積為D．點Q在線段PE上運動，則的最小值為【答案】ABD【分析】記的中點為，過點作，證明點為點在平面上的投影，解三角形求，判斷A，證明平面，判斷B，根據(jù)正四面體性質(zhì)求三棱錐的外接球半徑，結(jié)合球的表面積公式判斷C，通過翻折，將問題轉(zhuǎn)化為求的問題，求其值，判斷D.【解析】由已知，，，記的中點為，連接，因為，為的中點，所以，因為，，所以，故，又為的中點，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，過點作，為垂足，因為平面平面，平面，所以平面，即點為點在平面上的投影，因為P到面BCDE的距離為，所以，由已知，，所以，，又，所以，所以，所以，故，A正確，因為，所以點為的外心，又為等邊三角形，所以點為的中心，連接并延長，交與點，則，為的中點，連接，因為，故，所以三點共線，且，又，所以，又平面，平面，故，因為，平面，所以平面，平面，所以，B正確；因為為正四面體，且棱長為，所以其外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球表面積為，C錯誤；因為，，所以，所以，故，將翻折到同一平面，如圖所以的最小值為，且，所以，又，D正確，故選：ABD.11．（2024·山東濟寧·三模）如圖，在直三棱柱中，，，分別是棱，上的動點（異于頂點），，為的中點，則下列說法中正確的是（

）A．直三棱柱體積的最大值為B．三棱錐與三棱錐的體積相等C．當，且時，三棱錐外接球的表面積為D．設直線，與平面分別相交于點，，若，則的最小值為【答案】BCD【分析】A選項：根據(jù)三棱柱體積公式，結(jié)合三角函數(shù)值域可得最值；B選項：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可判斷；C選項：結(jié)合正弦定理確定正三角形外心，進而確定球心及半徑；D選項：根據(jù)相似及基本不等式可得最值.【解析】A選項：由已知可得，又，所以，即體積的最大值為，A選項錯誤；B選項：如圖所示，由點為的中點，則，設點到平面的距離為，則，，又，所以，所以，B選項正確；C選項：如圖所示，由已知為正三角形，設外接球球心為，中心為，中點為，則平面，且，，即，所以外接球半徑為，外接球表面積為，C選項正確；D選項：如圖所示，取中點，可知在的延長線上，在的延長線上，則，即，