2025年高考一輪復(fù)習(xí) 仿真重難點(diǎn)訓(xùn)練01 一元二次函數(shù)、方程和不等式（解析版）

高考仿真重難點(diǎn)訓(xùn)練01一元二次函數(shù)、方程和不等式一、選擇題1．已知為實(shí)數(shù)，則下列命題成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出結(jié)論.【解析】對(duì)于A，若，當(dāng)時(shí)，不滿足，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，可知，不等式兩邊同時(shí)除以，即，可得，即C正確；對(duì)于D，若，不妨取，則，可得D錯(cuò)誤；故選：C2．如果，那么下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件利用基本不等式直接得出，再結(jié)合可得出結(jié)果.【解析】由已知，利用基本不等式得出，因?yàn)?，則，，所以，，∴.故選：B3．一元二次不等式的解為，那么的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出a、b、c的關(guān)系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解析】一元二次不等式的解為，所以的解為，且，由韋達(dá)定理得，代入得，故選：D.4．若，，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】分別確定集合，再求交集.【解析】根據(jù)題意，可得集合或，，則，所以的元素個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：C5．若，則的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式及“1”的妙用計(jì)算即可．【解析】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值，故選：D．6．已知，若，則m的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】將代入，然后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解可得.【解析】因?yàn)椋?，等價(jià)于，解得.故選：A7．已知某商品近期價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價(jià)分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價(jià)分別為，則（

）A． B． C． D．的大小無法確定【答案】B【分析】由題意求出的表達(dá)式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.【解析】由題意得，，因?yàn)?，故，，即，故選：B8．已知正實(shí)數(shù)a，b，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合基本不等式求解即可.【解析】取，滿足，但，故“”推不出“”，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等，當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)?，所以，所以能推?故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.二、多選題9．已知命題：關(guān)于的不等式的解集為R，那么命題的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】求出命題p成立時(shí)a的取值范圍，再根據(jù)必要不充分條件的定義判斷即可．【解析】命題p：關(guān)于x的不等式的解集為R，則，解得又，，故選：CD．10．已知正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為6B．的最小值為3C．的最小值為D．的最小值為8【答案】AC【分析】利用基本不等式，結(jié)合一元二次不等式解法判斷AB；由的范圍結(jié)合單調(diào)性判斷C；變形給定等式，利用基本不等式求解判斷D.【解析】正實(shí)數(shù)滿足，對(duì)于A，，則，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為6，A正確；對(duì)于B，，則，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，C正確；對(duì)于D，由，得，而，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，解得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件.11．已知正實(shí)數(shù)，，，且，，，為自然數(shù)，則滿足恒成立的，，可以是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，進(jìn)而得到只需即可，再依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【解析】要滿足，只需滿足，其中正實(shí)數(shù)，，，且，，，為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，觀察各選項(xiàng)，故只需，故只需即可，A選項(xiàng)，，，時(shí)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，時(shí)，，B正確；C選項(xiàng)，，，時(shí)，，C正確；D選項(xiàng)，，，時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題12．已知集合，若且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，利用分式不等式求解集合，結(jié)合集合交集?并集的定義，即可求解.【解析】由得：，所以，因?yàn)榍?，所?故答案為：.13．已知函數(shù)的值域?yàn)?，若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【解析】由題意得，由得，因此14．某希望小學(xué)的操場(chǎng)空地的形狀是一個(gè)扇形，計(jì)劃在空地上挖一個(gè)內(nèi)接于扇形的矩形沙坑（如圖所示），有如下兩個(gè)方案可供選擇.經(jīng)測(cè)量，，.在方案1中，若設(shè)，，則，滿足的關(guān)系式為，比較兩種方案，沙坑面積最大值為.【答案】（其中，），或，/【分析】（1）連接，在中應(yīng)用勾股定理找到關(guān)系式，注意取值范圍；（2）由（1）及基本不等式求得，結(jié)合三角形面積公式求方案一的最大值；再連接，，設(shè)，，在中應(yīng)用勾股定理得，結(jié)合基本不等式、三角形面積公式求方案二最大值，比較大小即可.【解析】連接，由，，，，得，在中，，由，得，顯然在上單調(diào)遞減，所以滿足的關(guān)系式為（，）或，；

方案1：設(shè)游泳池的面積為，由（1）得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以；方案2：設(shè)游泳池的面積為，取的中點(diǎn)，連接，，設(shè)，，在中，，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，而，所以選擇第一種方案，此時(shí)游泳池面積的最大值為.故答案為：（，），或，；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出與圖形面積相關(guān)的兩個(gè)變形，借助勾股定理建立關(guān)系，利用基本不等式求解最值是解決問題的關(guān)鍵.四、解答題15．已知集合，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的充分條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先解一元二次不等式，求出集合，再將代入求出集合，求即可；（2）由“”是“”的充分條件，可得集合是集合的子集，即可求得的取值范圍【解析】（1）解一元二次不等式得：當(dāng)時(shí)，集合，所以，（2）由已知“”是“”的充分條件，可得集合是集合的子集，，，而，且集合是集合的子集，所以，解得；綜上.16．已知關(guān)于不等式的解集為或．(1)求值；(2)當(dāng)，且滿足時(shí)，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合韋達(dá)定理列出方程組，即可求解；（2）由（1）得到，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【解析】（1）解：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛?，可得和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則，解得.（2）解：由（1）知，可得，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.17．已知二次函數(shù)（，為實(shí)數(shù)）(1)若函數(shù)圖象過點(diǎn)，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)圖象過點(diǎn)，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.（2）由對(duì)恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可.【解析】（1）依題意，，即，由，恒成立，得，即，整理得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，，由，得，即，依題意，對(duì)恒成立，令，則對(duì)，恒成立，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．18．某服裝廠擬在2022年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）m萬件與年促銷費(fèi)用x（0≤x≤10）萬元滿足.已知2022年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的促銷價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的2倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用）.(1)將2022年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y元表示為年促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；(2)該服裝廠2022年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，利潤(rùn)最大?【答案】(1)；(2)投入萬元時(shí)，利潤(rùn)最大.【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合已知條件，列出函數(shù)關(guān)系即可；（2）對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行配湊，運(yùn)用基本不等式，即可求得利潤(rùn)的最大值.【解析】（1）由題意知：每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為，，即；（2）由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故該服裝廠年的促銷費(fèi)用投入萬元時(shí)，利潤(rùn)最大.19．對(duì)在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)作如下定義：若，那么稱點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，同時(shí)點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”.(1)試寫出點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個(gè)“下位點(diǎn)”坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，判斷點(diǎn)是否是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，證明你的結(jié)論；(3)設(shè)正整數(shù)滿足以下條件：對(duì)集合內(nèi)的任意元素，總存在正整數(shù)，使得點(diǎn)既是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，又是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，求滿足要求的一個(gè)正整數(shù)的值，并說明理由【答案】(1)“上位點(diǎn)”，“下位點(diǎn)”（答案不唯一）(2)“下位點(diǎn)”，證明見解析(3)，理由見解析【分析】（1）由定義即可得所求點(diǎn)的坐標(biāo).（2）先由點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”得，作差化簡(jiǎn)得，結(jié)合所得結(jié)論、定義，利用作差法即可判斷出點(diǎn)是否是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”.（3）依題意可得，從而得到，即可得解.【解析】（1）因?yàn)?，根?jù)題設(shè)中的定義可得點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)坐標(biāo)”和一個(gè)“下位點(diǎn)”坐標(biāo)分別為和，即“上位點(diǎn)”，“下位點(diǎn)”（答案不唯一）；（2）點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”.證明：點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，

，又均大于，

，

，，即，所以點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)