2025年高考一輪復(fù)習(xí) 第三次月考卷01（測(cè)試范圍：除解析幾何、統(tǒng)計(jì)概率外）（解析版）

2025年高考一輪復(fù)習(xí)第三次月考卷01（測(cè)試范圍：除解析幾何、統(tǒng)計(jì)概率外）（滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）一?選擇題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算可得.【解析】，所以，故選：D.2．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定即可得解.【解析】命題“”的否定是“”.故選：B.3．已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，結(jié)合投影向量公式計(jì)算即可得解.【解析】因?yàn)椋c的夾角為，所以，則，所以在上的投影向量為．故選：B.4．已知，則（

）A． B．0 C． D．【答案】D【分析】先求，再求，即可求解.【解析】根據(jù)已知，所以.故選：.5．、、是平面，a，b，c是直線，以下說(shuō)法中正確的是（

）A．， B．，C．，， D．，【答案】C【分析】利用空間中直線、平面的位置關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.【解析】對(duì)于A，，可以平行，也可以相交，對(duì)于B，a，c可以平行，可以相交，也可以異面，對(duì)于D，，可以平行，也可以相交，對(duì)于C，不妨設(shè)，在平面內(nèi)作，因?yàn)?，則，同理在平面內(nèi)作，則，所以，又，則，而，所以，所以，即C正確.故選：C6．清代的蘇州府被稱為天下糧倉(cāng)，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國(guó)各地．為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米?（

）A．10500 B．12500 C．31500 D．52500【答案】A【分析】利用棱臺(tái)的體積公式,即可計(jì)算得出答案．【解析】一斛米的體積為，因?yàn)槲宥窞橐货?，所以一斗米的體積為，故選：A.7．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程，求出，再由等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，且，，成等差數(shù)列，得，即，即，解得或（舍去）．．故選：A．8．已知函數(shù)滿足對(duì)任意的且都有，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)將，再用裂項(xiàng)相消法求的值.【解析】∵函數(shù)滿足對(duì)任意的且都有∴令，則，∴∴.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的求和問(wèn)題，關(guān)鍵是理解數(shù)列的規(guī)律，即研究透通項(xiàng)，本題的關(guān)鍵是將通項(xiàng)分析為：二、多選題9．已知，，，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為8C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】利用基本不等式判斷A、B、C，由，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而判斷D.【解析】因?yàn)?，，，?duì)于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C：，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D：，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．該圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象B．函數(shù)y=fx的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)y=fx的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)y=fx在上單調(diào)遞減【答案】ABC【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可判斷A選項(xiàng).利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷BC選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)；【解析】由圖象知，，函數(shù)的周期，則，則，由得，而，則，因此.對(duì)于A，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，即的圖象，故A正確，對(duì)于B，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選:ABC.11．在長(zhǎng)方體中，，E是棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B，E，的平面交棱于點(diǎn)F，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)P，使得C．直線與平面所成角的正切值的最大值為D．三棱錐外接球的表面積的取值范圍是【答案】ACD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用面面平行的性質(zhì)，得到平面，從而可判斷出選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)存在，可推出平面，從而判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，利用線面角的定義，找出線面角為，從而在中，求出的值，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，利用球的截面圓的幾何性質(zhì)，找出球心在直線上，利用，建立方程，從而求出球的表面積的取值范圍.【解析】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，根?jù)面面平行的性質(zhì)，平面與這兩個(gè)平面的交線互相平行，即，因?yàn)槊妫?，所以平面，又點(diǎn)P在線段上，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，若存在點(diǎn)P，使得，因?yàn)?，則，因?yàn)?，，平?所以平面，與題意矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖1所示，

取的中點(diǎn)Q，連接，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影在上，直線與平面所成角即，且有，由已知可得，最小為，所以的最大值為，故C正確；對(duì)于D，如圖2，

取的中點(diǎn)G，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切危匀忮F外接球的球心O在直線上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以，設(shè)，則，所以,當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，此時(shí)，三棱錐外接球的表面積為，當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，取最大值，此時(shí)，三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)D，利用球的截面圓的幾何性質(zhì)，找出球心在直線上，利用，建立方程，從而求出球的表面積的取值范圍.三、填空題12．已知，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)．則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，依題意可得，即，再計(jì)算，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.【解析】因?yàn)?，又?fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，所以，即，所以，所以當(dāng)，時(shí).故答案為：13．已知直線與曲線相切，則．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線過(guò)點(diǎn)求切線的斜率.【解析】設(shè)直線（）與函數(shù)相切，切點(diǎn)為：，因?yàn)椋郧芯€斜率為：.所以切線方程為：.由切線過(guò)點(diǎn)，得：所以，解得：或.所以（舍去）或.故答案為：14．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為高為其內(nèi)切球與面切于點(diǎn)，球面上與距離最近的點(diǎn)記為，若平面過(guò)點(diǎn)，且與平行，則平面截該正四棱錐所得截面的面積為.【答案】【分析】取中點(diǎn)，連，取中點(diǎn)，連，則平面，根據(jù)已知可得為正三角形，正棱錐內(nèi)切球的球心為正的內(nèi)心，與面切于點(diǎn)為中點(diǎn)，球面上與距離最近的點(diǎn)為與球面的交點(diǎn)，即在之間且長(zhǎng)為內(nèi)切球的半徑，連并延長(zhǎng)交于，平面過(guò)與平行，可得平面分別與平面、平面的交線為過(guò)與平行的直線，即可得到截面為梯形，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系，即可求解.【解析】取中點(diǎn)，連，取中點(diǎn)，連，則，為正方形的中心，四棱錐是正四棱錐，所以平面，，在中，，同理，所以為正三角形，所以正四棱錐內(nèi)切球的球心為正的內(nèi)心，內(nèi)切球的半徑是正的內(nèi)切圓半徑為，內(nèi)切球與平面的切點(diǎn)為正內(nèi)切圓與直線的切點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，球面上與距離最近的點(diǎn)為連與球面的交點(diǎn)，即在之間，且，因此為中點(diǎn)，連并延長(zhǎng)交于，平面過(guò)與直線平行，設(shè)平面分別與平面、平面交于，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，，所以，同理可證，所以，連，則梯形為所求的截面，因?yàn)椋?，所以平面平面，所以，所以，連，則為的角平分線，所以，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，而，所以，所以，又，所以，所以截面梯形的面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題以多面體的內(nèi)切球?yàn)楸尘埃疾榭臻g線、面位置關(guān)系，應(yīng)用直線與平面性質(zhì)確定截面是解題的關(guān)鍵，要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，考查直觀想象、邏輯推理能力，屬于較難題.四、解答題15．已知分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若，的面積為2，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理代入化簡(jiǎn)，結(jié)合角的范圍即可求解；（2）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理代入求解即可.【解析】（1）在中，由余弦定理得，，代入，則，即，即，因?yàn)?，所以，則（2）因?yàn)榈拿娣e為2，所以，即，又因?yàn)?，，，所以，則，則16．如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】利用線面垂直判定定理來(lái)證明；用向量法計(jì)算兩平面夾角的余弦值，再求夾角的正弦值；【解析】（1）取中點(diǎn)，由正三棱柱性質(zhì)得，互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，則．證明：，由，得，由，得，因?yàn)槠矫妫云矫妫?）

由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，則,故，令，得面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的值為，則，所以，二面角的正弦值為．17．已知為正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)的乘積，且，．(1)求數(shù)列an(2)設(shè)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意可求出，然后兩邊取對(duì)數(shù)得，從而得出數(shù)列是常數(shù)列，從而可求解；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可求出，從而可得出，再結(jié)合放縮法及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可證明.【解析】（1），，所以，即，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，得，所以，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以，所以.（2）證明：由（1）知，所以，則

又因?yàn)?，所以?18．如圖①，將個(gè)完全一樣質(zhì)量均勻長(zhǎng)為的長(zhǎng)方體條狀積木，一個(gè)疊一個(gè)，從桌子邊緣往外延伸，最多能伸出桌緣多遠(yuǎn)而不掉下桌面呢？這就是著名的“里拉斜塔問(wèn)題”．解決方案如下：如圖②，若，則當(dāng)積木與桌緣垂直且積木重心恰與桌緣齊平時(shí)，其伸出桌外部分最長(zhǎng)為，如圖③，若，欲使整體伸出桌緣最遠(yuǎn)，在保證所有積木最長(zhǎng)棱與桌緣垂直的同時(shí)，可先將上面積木的重心與最下方的積木伸出桌外的最遠(yuǎn)端齊平，然后設(shè)最下方積木伸出桌外的長(zhǎng)度為，將最下方積木看成一個(gè)杠桿，將桌緣看成支點(diǎn)，由杠桿平衡原理可知，若積木恰好不掉下桌面，則上面積木的重力乘以力臂，等于最下方積木的重力乘以力臂，得出方程，求出．所以當(dāng)疊放兩個(gè)積木時(shí)，伸出桌外最遠(yuǎn)為，此時(shí)將兩個(gè)積木看成整體，其重心恰與桌緣齊平．如圖④，使前兩塊積木的中心與下方的第三塊積木伸出桌外的最遠(yuǎn)端齊平，便可求出時(shí)積木伸出桌外的最遠(yuǎn)距離．依此方法，可求出4個(gè)、5個(gè)直至個(gè)積木堆疊伸出桌外的最遠(yuǎn)距離．（參考數(shù)據(jù)：，為自然常數(shù)）(1)分別求出和時(shí)，積木伸出桌外的最遠(yuǎn)距離．（用表示）；(2)證明：當(dāng)時(shí)，積木伸出桌外最遠(yuǎn)超過(guò)；(3)證明：當(dāng)時(shí)，積木伸出桌外最遠(yuǎn)不超過(guò)．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，最遠(yuǎn)距離為，當(dāng)時(shí)，最遠(yuǎn)距離為(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將前個(gè)看成一個(gè)整體，結(jié)合題意列式計(jì)算即可得；（2）將前個(gè)看成一個(gè)整體，設(shè)第個(gè)積木伸出桌外的長(zhǎng)度為，可得，即有當(dāng)時(shí)，積木堆疊伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性可得，即可得，將代入即可得證；（3）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性可得，故有，將代入即可得證.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，則，，當(dāng)時(shí)，有，則，故，故當(dāng)時(shí)，積木伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為，當(dāng)時(shí)，積木伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為，（2）當(dāng)個(gè)積木堆疊伸出桌外時(shí)，前個(gè)看成一個(gè)整體，設(shè)第個(gè)積木伸出桌外的長(zhǎng)度為，則有，解得，故當(dāng)時(shí)，積木堆疊伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為：，令，則，故在上單調(diào)遞增，故，令，則有，即，故，即，又，故，故，即當(dāng)時(shí)，積木伸出桌外最遠(yuǎn)超過(guò)；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，積木堆疊伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為：，令，則，故在上單調(diào)遞增，故，即有在上恒成立，令，則有，故，即，則，要證當(dāng)時(shí)，積木伸出桌外最遠(yuǎn)不超過(guò)，只需證，即證，由，故，即只需證，由，故，即得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是由題意得到第個(gè)積木伸出桌外的長(zhǎng)度為時(shí)，有，可得，即可得個(gè)積木堆疊伸出桌外的最遠(yuǎn)距離為，第二個(gè)是證明（2）、（3）問(wèn)時(shí)，構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)及，通過(guò)研究函數(shù)單調(diào)性，得到及.19．若函數(shù)在區(qū)間上有定義，在區(qū)間上的值域?yàn)椋?，則稱是的一個(gè)“值域封閉區(qū)間”.(1)已知函數(shù)，區(qū)間且是的一個(gè)“值域封閉區(qū)間”，求的取值范圍；(2)已知函數(shù)，設(shè)集合.（i）求集合中元素的個(gè)數(shù)；（ii）用表示區(qū)間的長(zhǎng)度，設(shè)為集合中的最大元素.證明：存在唯一長(zhǎng)度為的閉區(qū)間，使得是的一個(gè)“值域封閉區(qū)間”.【答案】(1)(2)（i）2；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，確定在上單調(diào)遞增，求得值域，再由集合間的關(guān)系構(gòu)造不等式求解即可.（2）（i）構(gòu)造，求導(dǎo)，確定其單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解；（ii）由（i）得，再通過(guò)討論，和即可求證.【解析】（1）由題意，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，的值域?yàn)椋裕纯傻?，解得，則的取值范圍為.（2）（i）記函數(shù)，則，由?′x>0得或；由?′x所以函數(shù)?x在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.其中，因此當(dāng)時(shí)，?x<0，不存在零點(diǎn)；由?x在單調(diào)遞減，易知，而，由零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的使得；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，綜上所述，函數(shù)?x有0和兩個(gè)零點(diǎn)，即集合中元素的個(gè)數(shù)為2.（ii）由（i）得，假設(shè)長(zhǎng)度為的閉區(qū)間是的一個(gè)“值域封閉區(qū)間”，則對(duì)，當(dāng)時(shí)，由（i）得?x在單調(diào)遞增，，即，不滿足要求；當(dāng)時(shí)，由（i）得?x在）單調(diào)遞增，，即，也不滿足要求；當(dāng)時(shí)，閉區(qū)間，而顯然在單調(diào)遞增，由（i）可得，，滿足要求.綜上，存在唯一的長(zhǎng)度