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專題14導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性目錄01思維導(dǎo)圖02知識(shí)清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納一、函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).1.若f'(x)>0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增.2.若f'(x)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減。二、函數(shù)圖象的變化和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地,如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大,那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快,這時(shí),函數(shù)的圖象就比較“陡峭”;如果一個(gè)函數(shù)在自變量的某一變化范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較小,那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得慢,這時(shí),函數(shù)的圖象就“平緩”一些.導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)或某點(diǎn)附近變化的快慢程度。三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法方法一:當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí),解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調(diào)區(qū)間;(無參函數(shù))確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟①確定函數(shù)f(x)的定義域.②求f′(x).③解不等式f′(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式f′(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.方法二:當(dāng)導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)=0可解時(shí),解出方程的實(shí)根,依照實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間,確定各區(qū)間f′(x)的符號(hào),從而確定單調(diào)區(qū)間;方法三:若導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程、不等式都不可解,根據(jù)f′(x)的結(jié)構(gòu)特征,利用圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號(hào),從而確定單調(diào)區(qū)間.四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)方法一:由函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間[a,b]上恒成立,列出不等式;方法二:利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題;方法三:對(duì)等號(hào)單獨(dú)檢驗(yàn),檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f′(x)在整個(gè)區(qū)間恒等于0.若f′(x)恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去;若只有在個(gè)別點(diǎn)處有f′(x)=0,則參數(shù)可取這個(gè)值.方法四:當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題;當(dāng)已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)時(shí),則轉(zhuǎn)化為關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程在該區(qū)間上有解問題.恒成立有解問題小結(jié):(1)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增,則在區(qū)間D上f′(x)≥0恒成立;(2)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減,則在區(qū)間D上f′(x)≤0恒成立;(3)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在增區(qū)間,則f′(x)>0在區(qū)間D上有解;(4)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在減區(qū)間,則f′(x)<0在區(qū)間D上有解.五、單調(diào)性的應(yīng)用1.比較大?。喝糇宰兞坎辉谕粏握{(diào)區(qū)間內(nèi),則要利用函數(shù)的性質(zhì),將其轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,再進(jìn)行比較.2.利用單調(diào)性比較大小或解不等式,關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造輔助函數(shù),利用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性比較大小或解不等式.3.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式,要充分挖掘條件關(guān)系,恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù);題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關(guān)系時(shí),常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(商)的函數(shù),與題設(shè)形成解題鏈條,利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性,從而求解不等式.本專題是高考中常考內(nèi)容,通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而解決函數(shù)的有關(guān)問題。導(dǎo)數(shù)是解決很多函數(shù)問題的橋梁,使很多復(fù)雜的函數(shù)通過求導(dǎo)變得有法可尋;或是其他問題通過構(gòu)造函數(shù)解決。高考中多以選填題,解答題前幾題出現(xiàn)。一、不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例1(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(
)A. B.C. D.答案A分析求出函數(shù)導(dǎo)數(shù),解不等式即可得出遞增區(qū)間.解析因?yàn)楹瘮?shù),所以,令,解得或,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:A(2)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(
)A. B. C. D.答案B分析求導(dǎo),令,利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)遞減區(qū)間.解析由題意可知:的定義域?yàn)?,且,令,解得,所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選:B.[拓展]1.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(
)A. B. C. D.答案B分析通過求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)大于,即可求解.解析函數(shù)的定義域?yàn)?,,令,即,解得,所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:.2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.答案和;分析根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得到導(dǎo)數(shù)大于零的的取值范圍,得解.解析設(shè)函數(shù)為,由圖象可得,當(dāng),,所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是和.故答案為:和.3.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為.答案分析利用導(dǎo)數(shù)求當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間,再根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性求得結(jié)果.解析當(dāng)時(shí),,由,解得,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.故答案為:.方法歸納:確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性,按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可,但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域,二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集,要用“逗號(hào)”或“和”隔開.二、含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)=eq\f(1,2)ax2-(a+1)x+lnx,a>0,試討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=ax-(a+1)+eq\f(1,x)=eq\f(ax2-a+1x+1,x)=eq\f(ax-1x-1,x).令f′(x)=0,得x=eq\f(1,a)或x=1.①當(dāng)0<a<1時(shí),eq\f(1,a)>1,∴x∈(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),+∞))時(shí),f′(x)>0;x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,a)))時(shí),f′(x)<0,∴函數(shù)f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),+∞))上單調(diào)遞增,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,a)))上單調(diào)遞減;②當(dāng)a=1時(shí),eq\f(1,a)=1,∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;③當(dāng)a>1時(shí),0<eq\f(1,a)<1,∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,a)))和(1,+∞)時(shí),f′(x)>0;x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),1))時(shí),f′(x)<0,∴函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,a)))和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),1))上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),+∞))上單調(diào)遞增,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,a)))上單調(diào)遞減;當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,a)))和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),1))上單調(diào)遞減.延伸探究若將本例中參數(shù)a的范圍改為a∈R,其他條件不變,試討論f(x)的單調(diào)性?解當(dāng)a>0時(shí),討論同上;當(dāng)a≤0時(shí),ax-1<0,∴x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0;x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),+∞))上單調(diào)遞增,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,a)))上單調(diào)遞減;當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,a)))和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),1))上單調(diào)遞減.方法歸納:(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要在函數(shù)定義域內(nèi)討論,還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較大小或解不等式例3(1)己知,則(
)A. B. C. D.答案B分析構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)證明,代入可比較的大小,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷的大小,從而可求解.解析設(shè),則,所以在上單調(diào)遞減,所以,所以,所以,即,所以,即,所以,即.由,可得,即,即,所以,即.綜上所述,.故選:B.(2)已知定義在上的函數(shù)滿足,則不等式的解集為(
)A. B.C. D.答案C分析構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)遞增,將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)換為,由此即可得解.解析令,則,所以在上單調(diào)遞增,不等式等價(jià)于,所以不等式的解集為.故選:C.[拓展]1.已知,設(shè),,,則,,的大小關(guān)系為(
)A. B.C. D.答案C分析根據(jù)函數(shù)的奇偶性,以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可.解析當(dāng)時(shí),由得,所以為偶函數(shù).又,當(dāng)時(shí),令,則,所以在上單調(diào)遞減,所以,即,所以在上單調(diào)遞減.,,所以,令,,則,因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增,所以,即,所以,得.故,從而,即.故選:C.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且.對(duì)于任意的實(shí)數(shù),均有成立,若,則不等式的解集為(
)A. B. C. D.答案D分析構(gòu)造函數(shù),然后由已知可得的單調(diào)性,最后將不等式轉(zhuǎn)化為,即可得到答案.解析,令,則,則在上單調(diào)遞增.由,為奇函數(shù),得,則,從而原不等式可化為,即,此即為.由于在上單調(diào)遞增,故這等價(jià)于,所以不等式的解集為.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造新的函數(shù)并利用已知條件.命題點(diǎn)2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍例4若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的最大值為(
)A. B.0 C.1 D.2答案D分析求導(dǎo),轉(zhuǎn)化為,參變分離即可得解.解析,求導(dǎo)得,由在上單調(diào)遞增,得,又當(dāng),,則,又時(shí),在上單調(diào)遞增,所以實(shí)數(shù)的最大值為2.故選:D.[拓展]1.函數(shù)在上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍為(
)A. B. C. D.答案B分析先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),進(jìn)而求出其單調(diào)遞減區(qū)間,再借助集合的包含關(guān)系即可求解.解析函數(shù)的定義域?yàn)?,求?dǎo)得,令,解得,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,又函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:B.2.若對(duì)任意的正實(shí)數(shù),,當(dāng)時(shí),恒成立,則的取值范圍(
)A. B. C. D.答案A分析由可得,令,則在上為減函數(shù),即在上恒成立,求解即可.解析,又,所以,所以,由已知對(duì)任意的,,且時(shí),,設(shè),則在上為減函數(shù)
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