期末專題復(fù)習(xí)：軸對(duì)稱圖形與等腰三角形（十四大類型）（解析版）

軸對(duì)稱圖形與等腰三角形（14大類型提分練）目錄類型一、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形 1類型二、軸對(duì)稱與折疊問題 3類型三、設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形 5類型四、軸對(duì)稱與坐標(biāo)對(duì)稱問題 9類型五、軸對(duì)稱與最值問題 13類型六、角平分線的性質(zhì) 17類型七、線段垂直平分線的性質(zhì) 20類型八、等腰三角形的性質(zhì) 22類型九、等邊三角形的性質(zhì) 24類型十、角平分線與線段垂直平分線的計(jì)算問題 26類型十一、角平分線與線段垂直平分線的作圖 31類型十二、等腰三角形的性質(zhì)與判定 35類型十三、等邊三角形的性質(zhì)與判定 39類型十四、等腰（等邊）三角形的綜合問題 43類型一、軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形1．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）漢字是世界上最古老的文字之一，它是中華文明的符號(hào)與象征，許多中國漢字的形體和結(jié)構(gòu)充滿著“對(duì)稱美”，用心欣賞下列漢字，其中是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．醉 B．美 C．東 D．國【答案】B【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義（如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸）進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、“醉”不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、“美”是軸對(duì)稱圖形，符合題意；C、“東”不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D、“國”不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；故選：B．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇常州·期末）下列圖形中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；B選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：B．3．（21-22八年級(jí)上·江蘇南京·期末）若一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，則這個(gè)圖形可以是（寫出一個(gè)答案即可）．【答案】圓（答案不唯一）【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解即可．【詳解】解：若一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，則這個(gè)圖形可以是圓．故答案為：圓（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形沿某一條直線對(duì)折，抓痕兩旁的圖形能完全重合，那么這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．類型二、軸對(duì)稱與折疊問題4．（20-21八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A'處，折痕為A．40° B．30° C．20° D．10°【答案】C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)，由三角形內(nèi)角和定理得出∠B=35°，再由折疊的性質(zhì)可得：∠CA【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-55°=35°，由折疊的性質(zhì)可得：∠CA∴∠A故選：C．5．（22-23八年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，將長方形紙片沿線段AB折疊，重疊部分為△ABC，若∠BAC=64°，則∠ACB的度數(shù)為（

）A．36° B．52° C．56° D．64°【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠CAD=2∠BAC=128°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖∵AD∴∠ACB+∠CAD=180°，∵將長方形紙片沿線段AB折疊，重疊部分為△ABC，∠BAC=64°，∴∠CAD=2∠BAC=128°，∴∠ACB=180°-128°=52°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（23-24八年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）如圖，將長方形紙條ABCD沿著線段MN折疊，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'、B'，線段A'B'與邊BC交于點(diǎn)A．60° B．75° C．70° D．80°【答案】D【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，由折疊可得∠B'=∠B=90°，∠MNB=∠MNB'，由對(duì)頂角相等得到∠NPB'【詳解】解：由折疊可得，∠B'=∠B=90°∵∠A∴∠NPB∴∠B∴2∠BNM=180°+20°，∴∠BNM=100°，∴∠MNC=180°-∠BNM=180°-100°=80°，故選：D．類型三、設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形7．（23-24八年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）僅使用無刻度的直尺作圖，找出下面三圖中直線l上的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和最?。?請(qǐng)保留作圖痕跡)【答案】見解析【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱變換—最短距離問題．作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，即可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．8．（19-20八年級(jí)上·江蘇南京·期中）[學(xué)科素養(yǎng)·幾何直觀]如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC．(1)作△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形△A(2)求△ABC的面積；(3)在l上畫出點(diǎn)Q，使得QA+QC的值最小．【答案】(1)見解析(2)13(3)見解析【分析】（1）本小問考查作圖之軸對(duì)稱變換，分別作出A、B、C關(guān)于直線l的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，依次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可解題．（2）本小問可利用割補(bǔ)法求三角形面積．（3）本小問考查利用“將軍飲馬”模型求線段和最小值，靈活掌握該模型即可解題．【詳解】（1）解：如圖，△A（2）解：如圖所示，△ABC的面積等于矩形的面積減去①、②、③三個(gè)三角形的面積，即S△ABC（3）解：如圖，點(diǎn)Q即為所求．9．（20-21八年級(jí)上·湖北武漢·期末）在如圖所示的5×5的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．（1）如圖1，作出△ABC關(guān)于直線m對(duì)稱的△A（2）如圖2，在直線m上作一點(diǎn)P，使△ACP的周長最?。▋H用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡）；（3）如圖3，請(qǐng)作出格點(diǎn)△ABC邊AC上的高BE（僅用無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡）．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點(diǎn)直接作出△ABC關(guān)于直線m對(duì)稱的△A'（2）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點(diǎn)作點(diǎn)A關(guān)于直線m對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A″C，交m于點(diǎn)P，點(diǎn)（3）構(gòu)造△ACD≌△BFG，延長AC交BF于點(diǎn)E，則BE即為所求．【詳解】（1）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點(diǎn)直接作出△ABC關(guān)于直線m對(duì)稱的△A'B（2）作點(diǎn)A關(guān)于直線m對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A″C，交m于點(diǎn)P則△ACP的周長=AC+CP+PA=AC+PC+P∴點(diǎn)P即為所求（3）延長AC交BF于點(diǎn)E，則BE即為所求，如圖所示：∵∠ADC=∠BGF=90°.AD=BG=3,CD=GF=1∴△ACD≌△BFG∴∠CAD=∠FBG∵∠BCE=∠ACD∴∠BEC=∠ADC=90°∴BE⊥AC．BE即為所求△ABC邊AC上的高．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作軸對(duì)稱圖形，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形的高的定義，三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．類型四、軸對(duì)稱與坐標(biāo)對(duì)稱問題10．（23-24八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，格點(diǎn)△ABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為-4，5、-1，3，先作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B(1)請(qǐng)?jiān)趫D中正確作出平面直角坐標(biāo)系；(2)畫出△A1B【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系，軸對(duì)稱圖形的作圖，圖形平移的作圖，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可推得坐標(biāo)原點(diǎn)的位置，由此即可作出圖形；（2）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的作法，分別作點(diǎn)A，B，C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1，B1，C1，連結(jié)A1B1，B1C1，C1A1；作出點(diǎn)A1，B1，C1【詳解】（1）如圖即為所求作的平面直角坐標(biāo)系；（2）如圖，△A1B11．（23-24八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A2,-1、B1,-2(1)將△ABC向上平移4個(gè)單位長度得到△A1(2)請(qǐng)畫出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△(3)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為，點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(4)若Pa,-b是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，按照（1）（2）操作后點(diǎn)P1的坐標(biāo)為，點(diǎn)P2【答案】(1)見解析(2)見解析(3)(2,3)，(-2,-1)(4)a,4-b，-a,-b【分析】此題主要考查了軸對(duì)稱變換以及平移變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）直接利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（3）利用所畫圖象得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)；（4）利用（1）、（2）中的坐標(biāo)變換規(guī)律確定點(diǎn)P1及P【詳解】（1）解如圖所示：△A（2）解：如圖所示：△A（3）解：A1(2,3)，故答案為：(2,3)，(-2,-1)（4）解：Pa,-b是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，按照（1）操作后點(diǎn)P1的坐標(biāo)為a,4-b，按照（2）操作后點(diǎn)P2故答案為：a,4-b，-a,-b12．（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A1,1，B4,2，(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A(2)在x軸上求作一點(diǎn)P，使△PAB的周長最小，并求出△PAB的面積．【答案】(1)詳見解析(2)S△PAB【分析】本題考查了坐標(biāo)的對(duì)稱問題，線段和最小作圖計(jì)算，分割法計(jì)算三角形的面積，熟練掌握對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算，正確作圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)縱不變，橫相反，計(jì)算坐標(biāo)，并畫圖即可．（2）根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1，連接A1B，交y軸于點(diǎn)P【詳解】（1）∵△A1B1CA1,1∴A1則△A（2）根據(jù)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，交x則點(diǎn)P即為所求．根據(jù)題意，得S△PAB類型五、軸對(duì)稱與最值問題13．（22-23八年級(jí)上·江蘇淮安·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，點(diǎn)P、Q分別是邊BC、AC

A．4 B．245 C．5 D．【答案】D【分析】由勾股定理可得AB=6，作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，過點(diǎn)A'作A'Q⊥AC，交AC于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)P，根據(jù)對(duì)稱可得：AP+PQ=A'P+PQ≥A'【詳解】解：在△ABC中，∠ABC=90°，∴AB=作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，過點(diǎn)A'作A'Q⊥AC，交AC于點(diǎn)Q，交

∵AP+PQ=A∴當(dāng)A',P,Q三點(diǎn)共線時(shí)，∵垂線段最短，∴A'Q⊥AC時(shí)，連接A'∵A,A'關(guān)于∴A'∴AA∵A'Q⊥AC∴S△ACA'∴A'故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用軸對(duì)稱求線段和最小問題．熟練掌握通過構(gòu)造軸對(duì)稱解決線段和最小是解題的關(guān)鍵．14．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，∠AOB=20°，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠MPQ=α，∠PQN=β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則β-α的度數(shù)為（

）A．20° B．40° C．10° D．60°【答案】B【分析】本題考查軸對(duì)稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理.三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接M'N'交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，可得【詳解】如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接M'N'交OA于Q則MP+PQ+QN最小，∴∠OPM=∠OPM'=∠NPQ∴∠QPN=1∴180°-α=40°+180°-β∴β-α=40°，故選:C15．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，已知等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AE=2BD．以DE為邊向右作等邊△DEF，則AF+BF的最小值為（

）A．4 B．42 C．43 D【答案】C【分析】先作輔助線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到邊長之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形全等，得到角度的關(guān)系，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得到最值．【詳解】解：作EH⊥AB于點(diǎn)H，作射線CF，則∠DHE=∠AHE=90°，∵△ABC和△DEF都是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=∠DEF=60°，AC=AB=BC,EF=DE，∴∠CEF=180°-∠DEF-∠AED=120°-∠AED，∠HDE=180°-∠BAC-∠AED=120°-∠AED，∴∠CEF=∠HDE，∴∠AEH=90°-∠BAC=30°，∴AE=2AH，∵AE=2BD，∴AH=BD，∴CE=AC-AE=AC-2AH,HD=AB-AH-BD=AC-2AH，∴CE=HD，在△CEF和CE=HD∠CEF=∠HDE∴△CEF≌△HDESAS∴∠ECF=∠DHE=90°，∴CF⊥AC，∴點(diǎn)F在經(jīng)過點(diǎn)C且與AC垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，作BL⊥AB交AC的延長線于點(diǎn)L，則∠ABL=90°，∴∠ALB=90°-∠BAC=30°，∴∠CBL=∠ACB-∠ALB=30°，∴∠ALB=∠CBL，∴LC=BC=AC，∴點(diǎn)L與點(diǎn)A關(guān)于直線CF對(duì)稱，∴LF=AF，∵LF+BF≥BL，∴AF+BF≥BL，∵AB=AC=BC=4，∴AC=LC=BC=4，∴AL=2AC=8，∴BL=A∴AF+BF≥43∴AF+BF的最小值為43故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，靈活運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵．類型六、角平分線的性質(zhì)16．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分線．若BC=10，AC=8，則CDA．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=AD，證明Rt△ABD≌Rt△EBD【詳解】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)F，∵BC=10，AC=8，∴AB=B∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD，在Rt△ABD和Rt△EBDBD=BDAD=DE∴Rt△ABD∴AB=BE=6，∴CE=BC-BE=4，設(shè)CD=x，則AD=DE=8-x，∵CD∴x2∴x=5，∴CD=5，故選：B．17．（23-24八年級(jí)上·江蘇淮安·期末）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=10，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交BA、BC于M、N兩點(diǎn)，分別以M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，畫射線BP交AC于點(diǎn)A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)D作AB的垂線DE⊥AB，BC的垂線DF⊥BC，由角平分線定理得出DE=DF，再由三角形面積公式計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)D作AB的垂線DE⊥AB，BC的垂線DF⊥BC，根據(jù)題意可得BP是∠ABC的角平分線，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∵△ABD的面積為9，即12∴DE=DF=3，∴S故選C．18．（23-24八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若AC=a，AD=b，則△DEB的周長為．【答案】b+a/a+b【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角，熟練掌握角平分線、等腰直角三角的性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，等量代換是解題關(guān)鍵，先根據(jù)角平分線性質(zhì)定理證明AD=DE=b，再根據(jù)等要直角三角形的性質(zhì)求出∠B=45°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BDE=45°，進(jìn)一步推BE=DE=b，從而求出△DEB的周長．【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∠A=90°，DE⊥BC，∴AD=DE=b，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°，∴∠BDE=45°，∴∠BDE=∠B，∴BE=DE=b，∵AB=AC=a，∴=AD+BD+BE=AB+BE=b+a，故答案為：b+a．類型七、線段垂直平分線的性質(zhì)19．（22-23八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE，若AE=4，EC=2

【答案】6【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB=AE=4，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EB=AE=4，∴BC=BE+EC=4+2=6，故答案為：6．20．（23-24八年級(jí)上·江蘇泰州·期末）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E為AD邊的垂直平分線上一點(diǎn)，連接BE．把BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得BF，連接CF，則△FBC的面積為．【答案】14/【分析】該題主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．證明△BFC≌△AEB，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)AD與AD邊的垂直平分線交點(diǎn)為點(diǎn)F，連接CF,AE，則AF=1∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=1,∠ABC=90°，∴∠EBF=90°,BE=BF，∴∠1=∠3=90°-∠2，∴△BFC≌△AEBSAS∴S△BFC故答案為：1421．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD，若△ABC的周長為122【答案】6【分析】此題考查了線段垂直平分線的作圖和性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、等角對(duì)等邊等知識(shí)．依次證明AE=CE=12AC，DC=BD=DA=【詳解】解：由作圖可知，DE垂直平分AC，∴DA=DC，AE=CE=∴∠A=∠ACD，∵∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠B，∴DC=BD=DA=1∵AE=CE，∴DE=1∴△CDE的周長=EC+DE+DC====6故答案為：6類型八、等腰三角形的性質(zhì)22．（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是40°，則它頂角的度數(shù)是（

）A．40° B．40°或100° C．40°或120° D．80°【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)．分40°角是頂角與底角兩種情況討論求解．【詳解】解：40°角是頂角時(shí)，三角形的頂角為40°；40°角是底角時(shí)，頂角為180°-40°×2=100°，綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為40°或100°．故選：B23．（23-24八年級(jí)上·江蘇·期末）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，它的一腰上的高與底邊的夾角是（

）．A．65° B．40° C．25° D．25°或40°【答案】D【分析】此題主要考查了學(xué)生的三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°，題中沒有指明該角是頂角還是底角，則應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】當(dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí)，則它一腰上的高與底邊的夾角是90°-50°=40°；當(dāng)頂角是50°時(shí)，則它的底角就是12180°-50°=65°故選：D．24．（23-24八年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，在三角形紙片ABC中，AC=BC．把△ABC沿著AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，連接BD．若∠BAC=40°，則∠CBD的度數(shù)為（

）A．9° B．10° C．20° D．30°【答案】B【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，等腰三角形性質(zhì)的熟練應(yīng)用．由AC=BC，∠BAC=40°，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，即可求得∠ABC的度數(shù)，又由折疊的性質(zhì)，求得∠ABD的度數(shù)，繼而求得∠CBD的度數(shù)．【詳解】解：∵AC=BC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠BAC=40°，由折疊的性質(zhì)可得：∠CAD=∠BAC=40°，AB=AD，∴∠BAD=∠CAD+∠BAC=80°，∴∠ABD=1∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=10°．故選：B．類型九、等邊三角形的性質(zhì)25．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，∠MON=30°，點(diǎn)A1，A2，A3…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3…在射線OM上，△A1B1A2A．2024 B．4042 C．22023 D．【答案】D【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的判定及其性質(zhì)，總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠B1A1A2=60°【詳解】解：∵△A∴∠B∴∠OB∴∠OB∴A1同理可得A2B2∴△A2023B故選：D．26．（23-24八年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，D為邊AC上的三等分點(diǎn)，則BD的長為()A．5 B．42 C．27 D【答案】C【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理：先運(yùn)用勾股定理求出AC邊上的高BH，進(jìn)而根據(jù)勾股定理建立BD=B【詳解】解：過點(diǎn)B作BH⊥AC，如圖所示：∵△ABC是邊長為6的等邊三角形∴AC=6∵D為邊AC上的三等分點(diǎn)，BH⊥AC∴AD=2那么BH在Rt△BHD中，故選：C27．（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，∠AOB＝90°，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧交∠AOB兩邊于點(diǎn)A、B，再以點(diǎn)A為圓心，OA長為半徑畫弧，交弧AB于點(diǎn)C，作射線OC，則A．20° B．30° C．36° D．40°【答案】B【分析】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意得出△ABC為等邊三角形，從而得出∠AOC的度數(shù)，再利用角度和差即可求解．【詳解】解：∵用圓規(guī)以直角頂點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)半徑畫一條弧交兩直角邊于A、B兩點(diǎn)，∴OA=OB，∵以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧，與弧AB交于點(diǎn)C，∴OA=AC，∴OA=OB=OC=AC，∴△AOC為等邊三角形，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=90°-∠AOC=30°，故選：B．類型十、角平分線與線段垂直平分線的計(jì)算問題28．（21-22八年級(jí)上·江蘇無錫·期末）已知：如圖所示△ABC．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠BAC的平分線和BC的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為D．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若AB=15，AC=9，過點(diǎn)D畫DE⊥AB，則BE的長為．（如需畫草圖，請(qǐng)使用備用圖）【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，角平分線，三角形全等的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)點(diǎn)D到邊AB、AC的距離相等，即點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上，又根據(jù)DB=DC，即點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，所以，點(diǎn)D為∠BAC的角平分線與線段（2）過點(diǎn)點(diǎn)D作DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC交AC于點(diǎn)F，由（1）知BD=DC,∠BAD=∠CAD，證明Rt△BDE≌Rt△CDFHL，再證Rt△ADE≌Rt△ADF【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)D即為所求，（2）解：如圖，過點(diǎn)作DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC交AC于點(diǎn)F，由（1）知BD=DC,∠BAD=∠CAD,DE=DF，在Rt△BDE與RtBD=CDDE=DF∴Rt△BDE∴BE=CF，在Rt△ADE與RtAD=ADDE=DF∴Rt△ADE∴AE=AF，∴BE=CF=AB-AE=AB-AC+CF，即BE=AB-AC-BE∴BE=AB-AC∵AB=15，AC=9，∴BE=15-9故答案為：3．29．（19-20八年級(jí)上·江蘇無錫·期末）如圖，已知△ABC(AB<AC<BC)，請(qǐng)用無刻度直尺和圓規(guī)（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(1)在邊BC上找一點(diǎn)M，使得：將△ABC沿著過點(diǎn)M的某一條直線折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C能重合；(2)在邊BC上找一點(diǎn)N，使得：將△ABC沿著過點(diǎn)N的某一條直線折疊，點(diǎn)B能落在邊AC上的點(diǎn)D處，且ND⊥AC，請(qǐng)?jiān)趫D②中作出點(diǎn)N．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是熟練翻折的性質(zhì)．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可在邊BC上找一點(diǎn)M，使得：將△ABC沿著過點(diǎn)M的某一條直線折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C能重合；（2）延長CB至G，作∠CBG的平分線，得過點(diǎn)B的垂線n，延長CA交n于點(diǎn)E，作∠BEC的角平分線交BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作AC的垂線m交AC于點(diǎn)D即可．【詳解】（1）解：如圖1所示：點(diǎn)M即為所求作的點(diǎn)；（2）如圖2所示：點(diǎn)N即為所求作的點(diǎn)．作圖如下：延長CB至G，作∠CBG的平分線，得過點(diǎn)B的垂線n，延長CA交n于點(diǎn)E，作∠BEC的角平分線交BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作AC的垂線m交AC于點(diǎn)D．30．（22-23八年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°．(1)用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線DE，交AB、BC于點(diǎn)E、D．（保留作圖的痕跡，不寫作法）(2)在（1）條件下，若AC=3，BC=4，①求DE長；②連接AD，判斷∠CAD和∠BAD的大小，并解釋你的觀點(diǎn)．【答案】(1)見解析(2)①DE=158；②【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法解答即可；（2）①連接DB，如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB，設(shè)CD=x，然后在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可建立關(guān)于x②作∠CAB的平分線AF，交BC于點(diǎn)F，由勾股定理求出CF，可得CD＜CF，從而證明【詳解】（1）解：如圖1，直線DE就是所求作的垂直平分線．（2）①如圖1，連接AD，設(shè)CD為x，則BD為4-x．在Rt△ACD中，∠C=90°，32+∴DA=DB=4-7在Rt△BDE中，∠BED=90°∴DE∴DE=15②∠CAD＜∠BAD如圖1，作∠CAB的平分線AF，交BC于點(diǎn)F，作FG⊥AB．∵AF平分∠CAB，F(xiàn)G⊥AB，F(xiàn)C⊥AC，∴FC=FG，設(shè)FC為y，則FG=FC=y．BF=4-y．在Rt△BGF中，22+∵CD＜∴∠CAD＜∴∠CAD＜【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)以及勾股定理、角平分線性質(zhì)等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．類型十一、角平分線與線段垂直平分線的作圖31．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AC的垂直平分線交CB于點(diǎn)D，連接AD．(1)判斷△ABD的形狀，并說明理由；(2)過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，若△ABD的周長是10，求CE的長．【答案】(1)等腰三角形，理由見解析(2)CE=5【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AD=CD，所以∠C=∠CAD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠ADB=2∠C，再根據(jù)∠B=2∠C，所以∠ADB=∠B，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等于三角形三線合一的性質(zhì)得DE=BE，所以AD+DE=5，所以CE=CD+DE=AD+DE=5．【詳解】（1）△ABD為等腰三角形，理由：∵AC的垂直平分線交CB于點(diǎn)D，∴AD=CD，∴∠C=∠CAD，∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠ADB=∠B，∴AD=AB，∴△ABD為等腰三角形；（2）∵AE⊥BD，∴DE=BE，∵△ABD的周長是10，∴AD+DE=5，∴CE=CD+DE=AD+DE=5．32．（22-23八年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，∠A=45°，點(diǎn)D在AB邊上，BC=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證△DCE≌△CBF；(2)若AB=AC，求證DE=1【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）先證明∠FBC=∠DCE，再根據(jù)AAS可證ΔDCE≌（2）過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BCH=∠DCH，BH=DH，再證明∠ACD=∠DCH，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DE=DH，進(jìn)一步即可得證．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠CFB=90°，∠BFA=90°，∵∠A=45°，∴∠ABF=45°，∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDC，∵∠DBC=∠ABF+∠FBC，∠BDC=∠A+∠DCE，∴∠FBC=∠DCE，在△DCE和△CBF中，∠DEC=∠CFB∠ECD=∠FBC∴△DCE≌△CBF(AAS（2）證明：過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，如圖所示：∵BC=CD，∴∠BCH=∠DCH，BH=DH，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FBC=∠DCE，∴∠BCD=∠ABF=45°，∴∠DCH=22.5°，∠BDC=(180°-45°)÷2=67.5°，∴∠ACD=67.5°-45°=22.5°，∴∠ACD=∠DCH，∵DE⊥AC，CH⊥BD，∴DE=DH，∴DE=1【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．（22-23八年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分線l1

(1)求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上；(2)連接OA，若AB=BC=5，BO=154，【答案】(1)證明見解析；(2)2120【分析】（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到（2）如圖所示，連接AO，根據(jù)三線合一定理得到BO⊥AC，由此推出B、O、E三點(diǎn)共線，設(shè)OE=x，則BE=x+154，由勾股定理建立方程25-x+154本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，三線合一定理，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為∵∠ACB、∠ABC的平分線l1∴OD=OF，∴OD=OE，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上；

（2）解：如圖所示，連接OA，∵AB=BC，BO平分∠ABC，∴BO⊥AC，∵OE⊥AC，∴B、設(shè)OE=x，則BE=BO+OE=x+15在Rt△ABE中，AE2在Rt△OAE中，AE2∴25-x+解得x=21∴OE=21∴點(diǎn)O到三角形三條邊的距離是2120故答案為：2120

類型十二、等腰三角形的性質(zhì)與判定34．（22-23八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，在邊AB上截取BD=BC，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB交AC于點(diǎn)E．(1)求證：DE=CE；(2)若∠A=30°，AC=6，則CD=______．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）由等邊對(duì)等角可得∠BCD=∠BDC，且∠BCD+∠ACD=90°，∠EDC+∠BDC=90°，即可得到∠ECD=∠EDC，再由等角對(duì)等邊即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出BC=12AB，∠B=90°-30°=60°，根據(jù)勾股定理得出BC2+6【詳解】（1）證明：∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵DE⊥AB，∴∠EDC+∠BDC=90°，∴∠ACD=∠EDC，∴CE=DE；（2）解：∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴BC=12AB根據(jù)勾股定理得：BC∴BC解得：BC=23∵BD=BC，∠B=60°，∴△BCD為等邊三角形，∴CD=BC=23【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．35．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知：如圖，銳角△ABC中，CD、BE分別是邊AB、AC上的高，M、N分別是線段DE、BC的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥DE；(2)連接DN、EN，猜想∠A與∠DNE之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)∠DNE=180°-2∠A，理由見解析【分析】（1）根據(jù)CD、BE分別是AB、AC邊上的高，可得△BDC和△BCE都是直角三角形，又因?yàn)辄c(diǎn)N是BC邊上的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DN=EN，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可證；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得：△DNB和△CNE都是等腰三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：∠BND+∠CNE=2∠A，根據(jù)平角的定義可得∠DNE=180°-∠BND+∠CNE，等量代換【詳解】（1）證明：如下圖所示，連接DN、EN，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，在Rt△BDC和Rt△BEC中，點(diǎn)N是斜邊∴DN=12BC∴DN=EN，△NDE是等腰三角形，∵點(diǎn)M為底邊DE的中點(diǎn)，∴MN⊥DE．（2）解：∠DNE=180°-2∠A．理由如下：在中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，由（1）可知DN=EN=BN=CN，∴∠ABC=∠NDB，∠ACB=∠NEC，∴∠BND=180°-2∠ABC，∠CNE=180°-2∠ACB，∴∠BND+∠CNE=360°-2∠ABC+∠ACB∵∠DNE=180°-∠BNE+∠CNE∴∠DNE=180°-2∠A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線三線合一．36．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點(diǎn)F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)若△ABC的周長為25，AB=8，GC=2BG，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)AE=6【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）首先依據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后結(jié)合角平分線的定義可證明∠B=∠C，故此可證明為等腰三角形；（2）通過證明△AFE≌△CFG，求得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AE∥∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE．∴∠B=∠C．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵△ABC的周長=25，AB=AC=8∴BC=9，∵GC=2BG，∴BG=3，CG=6，∵F是AC的中點(diǎn)，∴AF=CF．∵AE∥BC，∴∠C=∠CAE．在△AFE和△CFG中，∠C=∠CAEAF=CF∴△AFE≌△CFGASA∴AE=CG=6．類型十三、等邊三角形的性質(zhì)與判定37．（21-22八年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB交BC于點(diǎn)D，AE⊥AC交BC于點(diǎn)E．求證：△ADE是等邊三角形．

【答案】見解析【分析】先求出∠B=∠C=30°，再根據(jù)垂直的定義得出∠BAD=∠CAE=90°，進(jìn)而得出∠ADB=∠AEC=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠EAD=60°，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠BAD=∠CAE=90°，∴∠ADB=∠AEC=60°，∴∠EAD=180°-60°-60°=60°，∴△ADE是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定，關(guān)鍵在于能夠熟記等邊三角形的判定方法．38．（22-23八年級(jí)上·江蘇常州·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，CE⊥AB，垂足為E，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)連接DF、(1)求證：DF=EF；(2)連接DE，若AC=2，ED=1．①判斷△DEF的形狀，并說明理由；②BDAB=【答案】(1)見解析；(2)①等邊三角形，見解析；②12【分析】（1）在Rt△AEC和Rt△ADC中用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證（2）①由（1）EF、DF求出長度都為1，由等邊三角形的定義即可證明；②利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理可求∠B=60°，在用“直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可求出比值．【詳解】（1）證明：CE⊥AB，AD⊥BC，∴∠AEC=90°，∠ADC=90°，∵在Rt△AEC中，∠AEC=90°，F(xiàn)是AC∴EF=1∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，F(xiàn)∴DF=1∴EF=DF．（2）解：①等邊三角形，理由如下：由（1）知，EF=DF=1∵ED=1，∴ED=EF=DF，∴△DEF是等邊三角形．②解：由（1）得EF=AF∴∠AEF=∠EAF，同理可證：∠CDF=∠DCF，∵△DEF是等邊三角形，∴∠BED+∠AEF=120°，∠BDE+∠CDF=120°，∴∠BED+∠EAF=120°，

∠BDE+∠DCF=120°，∴∠BED+∠EAF+∠BDE+∠DCF=240°，∵∠B+∠BED+∠BDE=180°，∴∠BED+∠BDE=180°-∠B，∵∠B+∠EAF+∠DCF=180°，∵∠EAF+∠DCF=180°-∠B，∴180°-∠B+180°-∠B=240°，∴∠B=60°，∴在Rt△ADB中，∠BAD=30°∴AB=2∴BD故答案為12【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、直角三角形中相關(guān)基本性質(zhì)的綜合運(yùn)用及等邊三角形判斷問題，掌握并熟練應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵．39．（22-23八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知等邊△ABC，D為AC中點(diǎn)，延長BC至E，使CE=CD．(1)△BDE的形狀為；圖中有個(gè)等腰三角形；(2)若DM⊥BE于M（圖中未畫出），MCME【答案】(1)等腰三角形，3(2)1【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC；然后運(yùn)用等邊對(duì)等角以及三角形外角的性質(zhì)可得∠CDE=∠E=30°，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠DBC=30°，即∠DBC=∠E；進(jìn)而得到BD=DE，即可判定△BDE的形狀；根據(jù)等腰三角形的定義結(jié)合圖形即可確定等腰三角形的個(gè)數(shù)．（2）由直角三角形的性質(zhì)可得DM=12DE，再運(yùn)用勾股定理可得ME=【詳解】（1）解：∵等邊△ABC，∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,∵CD=CE,∴∠CDE=∠E,∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°，∴∠CDE=∠E=30°，∵D為AC中點(diǎn)，AB=BC,∴∠DBC=1∴∠DBC=∠E,∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形；圖中等腰三角形有：△ABC、△DCE、△BDE共3個(gè)．故答案為：等腰三角形，3．（2）解：如圖：∵M(jìn)C⊥BE,∠DBC=30°，BD=DE，∴DM=12BD=∴ME=BM=B∵M(jìn)D⊥BE,∠DCM=60°，∴∠MDC=30°，∴MC=1∵DM=DC2∴MCME類型十四、等腰（等邊）三角形的綜合問題40．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）已知AD為等邊△ABC的角平分線，動(dòng)點(diǎn)E在直線AD上（不與點(diǎn)A重合），連接BE．以BE為一邊在BE的下方作等邊△BEF，連接CF．(1)如圖1，若點(diǎn)E在線段AD上，且DE=BD，則∠CBF=______度．(2)如圖2，若點(diǎn)E在AD的反向延長線上，且直線AE，CF交于點(diǎn)M．①求∠AMC的度數(shù)；②若△ABC的邊長為4，P，Q為直線CF上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=5．連接BP，BQ，判斷△BPQ的面積是否為定值，若是，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)15；(2)①∠AMC=60°；②是，5【分析】此題考查手拉手全等模型，和等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過全等證明角度相等，推出特殊角度的三角形，將面積用公式用底和高表示出來，直接求高然后代值判斷即可．（1）已知等邊三角形，推論出等腰直角三角形，直接計(jì)算即可．（2）①通過手拉手模型證明全等推出等角即可；②已知底邊求面積，推出高的值即可，聯(lián)系第①問中的角度，直接推理出30°的直角三角形，代值計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵AD為等邊△ABC的角