2025版高中數學課時作業(yè)6球的體積和表面積新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時作業(yè)6球的體積和表面積基礎鞏固1．把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍 C.eq\r(2)倍 D.eq\r(3,2)倍解析：球的表面積擴大到原來2倍，半徑擴大到原來的eq\r(2)倍，體積擴大到原來的2eq\r(2)倍．答案：B2．一個正方體的表面積與一個球的表面積相等，那么它們的體積比是()A.eq\f(\r(6π),6) B.eq\f(\r(π),2) C.eq\f(\r(2π),2) D.eq\f(\r(6)π,6)解析：設正方體的邊長為a，球的半徑為R，則6a2＝4πR2.則eq\f(a,R)＝eq\f(\r(6π),3)，則eq\f(a3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,4π)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6π),3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6π),6).答案：A3．把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，若不計損耗，則圓柱的高為()A．R B．2R C．3R D．4R解析：設圓柱的高為h，則3×eq\f(4,3)πR3＝πR2·h，所以h＝4R.答案：D4．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱的高為2，這個球的表面積為6π，則這個正四棱柱的體積為()A．1 B．2 C．3 D．4解析：S表＝4πR2＝6π，所以R＝eq\f(\r(6),2).設正四棱柱底面邊長為x，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x))eq\s\up12(2)＋1＝R2，所以x＝1.所以V正四棱柱＝2.故選B.答案：B5．(2024年許昌高一檢測)已知球面上的四點P、A、B、C，PA、PB、PC的長分別為3、4、5，且這三條線段兩兩垂直，則這個球的表面積為()A．20eq\r(2)π B．25eq\r(2)πC．50π D．200π解析：球面上的四點P、A、B、C，PA、PB、PC的長分別為3、4、5，且這三條線段兩兩垂直，是長方體的一個角，擴展為長方體，兩者的外接球相同，長方體的對角線長為eq\r(32＋42＋52)＝5eq\r(2)，外接球的半徑為eq\f(5\r(2),2).外接球的表面積為4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝50π，故選C.答案：C6．將棱長為2的正方體削成一個體積最大的球，則這個球的體積為()A.eq\f(16,3)π B.eq\f(4π,3) C.eq\f(32,3)π D．4π解析：依據題意知，此球為正方體的內切球，所以球的直徑等于正方體的棱長，故r＝1，所以V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π.選B.答案：B實力提升1．(2024年寧夏高三模擬)一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，如圖1所示，則三棱錐的外接球的表面積為()圖1A．20π B．25π C．29π D．13π解析：由三視圖可知該幾何體是一個底面為直角三角形，一條側棱垂直底面直角頂點的三棱錐，可擴展為長方體，則長方體的對角線長即為外接球的直徑，所以2R＝eq\r(32＋42＋22)＝eq\r(29)，即R＝eq\f(\r(29),2)，所以該三棱錐外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(29),2)))eq\s\up12(2)＝29π，故選C.答案：C2．如圖2，有一個水平放置的透亮無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，假如不計容器厚度，則球的體積為()圖2A.eq\f(500π,3)cm3 B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3解析：利用球的截面性質結合直角三角形求解．如圖3，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．設球的半徑為Rcm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，圖3∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．答案：A3．(2024年遼寧大連二十中高一月考)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36π B．64πC．144π D．256解析：如圖4所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐OABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時VOABC＝VCAOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×R3＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，則球O的表面積為4πR2＝144π，故選C.圖4答案：C4．(2024年江西省吉安一中、九江一中等八所重點中學高三聯考)某幾何體的三視圖如圖5所示，則該幾何體的外接球的表面積為()圖5A．136πB．144πC．36πD．34π解析：本題考查三視圖，空間幾何體的表面積．還原出空間幾何體，如圖6，圖6四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD⊥DC.取AC的中點E，取PC的中點O，連接OE，所以OE⊥平面ABCD，且OA＝OB＝OC＝OD＝R＝eq\r(22＋（\f(3,\r(2))）2)＝eq\r(\f(17,2))，即四棱錐P-ABCD的外接球的半徑R＝eq\r(\f(17,2)).所以該幾何體的外接球的表面積S＝4πR2＝34π.選D.答案：D5．如圖7是一個幾何體的三視圖，依據圖中的數據可得該幾何體的表面積為________．圖7解析：由幾何體的三視圖知，該幾何體的下半部分是底面半徑為3，高為4，母線長為5的圓錐，上半部分是半徑為3的半球，∴該幾何體的表面積S＝5×π×3＋eq\f(1,2)×4π×32＝33π，故答案為33π.答案：33π6．正三棱錐的高和底面邊長都等于6，則其外接球的表面積為________．圖8解析：如圖8，過正三棱錐P-ABC的頂點P作PM⊥平面ABC于點M，則球心O在PM上，|PM|＝6，連接AM，AO，則|OP|＝|OA|＝R，在Rt△OAM中，|OM|＝6－R，又|AB|＝6，且△ABC為等邊三角形，故|AM|＝eq\f(2,3)eq\r(62－32)＝2eq\r(3)，則R2－(6－R)2＝(2eq\r(3))2，則R＝4，所以球的表面積S＝4πR2＝64π.答案：64π7．邊長為4eq\r(2)的正方形ABCD的四個頂點在半徑為5的球O的表面上，則四棱錐O-ABCD的體積是________.解析：因為正方形ABCD外接圓的半徑r＝eq\f(\r(（4\r(2)）2＋（4\r(2)）2),2)＝4.又因為球的半徑為5，所以球心O到平面ABCD的距離d＝eq\r(R2－r2)＝3，所以VO-ABCD＝eq\f(1,3)×(4eq\r(2))3×3＝32.答案：328．在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為3eq\r(2)的正方形，且各側棱長均為2eq\r(3).求該四棱錐外接球的表面積．圖9解：取正方形ABCD的中心O1，連接SO1并延長交球面于點E.連接CO1，CE，如圖9.則球心O在SE上，即SE為球的直徑，且SC⊥EC.∵AB＝3eq\r(2)，∴O1C＝3.在Rt△SO1C中，SC＝2eq\r(3)，∴SO1＝eq\r(3).在Rt△SCE中，Rt△SCE∽Rt△SO1C，∴SC2＝SO1·SE，∴SE＝eq\f(SC2,SO1)＝eq\f(（2\r(3)）2,\r(3))＝4eq\r(3).∴球半徑R＝2eq\r(3).∴球的表面積為S＝4πR2＝4π·(2eq\r(3))2＝48π.拓展要求1．棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點都在球O的表面上，E、F分別是棱AA1、DD1的中點，則直線EF被球O截得的線段長為()A.eq\f(\r(2),2) B．1 C．1＋eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)解析：如圖10，設直線EF被球O截得的線段為PQ，圖10作OH⊥EF于H，依題意，球O半徑OP＝OA1＝eq\f(\r(3),2)，OH＝eq\f(1,2).故PQ＝2PH＝2eq\r(OP2－OH2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\r(2).答案：D2．如圖11，體積為V的大球內有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點．設V1為小球相交部分(圖中陰影部分)的體積，V2為大球