九年級數(shù)學上冊第二十四章圓24.4弧長和扇形面積同步練習題新版新人教版

Page1224．4弧長和扇形面積第1課時弧長和扇形面積1．在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的弧長是圓周長C＝__2πR___，所以n°的圓心角所對的弧長為l＝__eq\f(nπR,180)___．2．在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓的面積S＝__πR2___，所以圓心角為n°的扇形面積是S扇形＝__eq\f(nπR2,360)___．3．用弧長表示扇形面積為__eq\f(1,2)lR___，其中l(wèi)為扇形弧長，R為半徑．學問點1：弧長公式及應用1．點A，B，C是半徑為15cm的圓上三點，∠BAC＝36°，則弧BC的長為__6π___cm.2．扇形的半徑是9cm，弧長是3πcm，則此扇形的圓心角為__60___度．3．已知扇形的圓心角為45°，弧長等于eq\f(π,2)，則該扇形的半徑是__2___．4．(2024·蘭州)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.將△ABC繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△A′B′C，則點B轉(zhuǎn)過的路徑長為(B)A.eq\f(π,3)B.eq\f(\r(3)π,3)C.eq\f(2π,3)D．π5．如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點為點B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的長．解：連接OB，OC.∵AB是⊙O的切線，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.又∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC＝60°，∴劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的長為eq\f(60×π×6,180)＝2π(cm)學問點2：扇形的面積公式及應用6．鐘面上的分針的長為1，從9點到9點30分，分針在鐘面上掃過的面積是(A)A.eq\f(1,2)πB.eq\f(1,4)πC.eq\f(1,8)πD．π7．(2024·成都)在圓心角為120°的扇形AOB中，半徑OA＝6cm，則扇形AOB的面積是(C)A．6πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．24πcm28．如圖，已知扇形的圓心角為60°，半徑為eq\r(3)，則圖中弓形的面積為(C)A.eq\f(4π－3\r(3),4)B.eq\f(π－\r(3),4)C.eq\f(2π－3\r(3),4)D.eq\f(π－3\r(3),2),第8題圖),第9題圖)9．如圖，△ABC的三個頂點都在5×5的網(wǎng)格(每個小正方形的邊長均為1個單位長度)的格點上，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，且點A′，C′仍落在格點上，則圖中陰影部分的面積約是__7.2___．(π≈3.14，結(jié)果精確到0.1)10．如圖，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB與⊙O相切于點C，求圖中陰影部分的面積．(結(jié)果保留π)解：連接OC，可求∠AOB＝120°，OC＝2，AC＝2eq\r(3)，∴S陰影＝S△AOB－S扇形＝2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)－eq\f(120,360)×π×22＝4eq\r(3)－eq\f(4,3)π

11．如圖，某廠生產(chǎn)橫截面直徑為7cm的圓柱形罐頭，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側(cè)面，為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90°，則“蘑菇罐頭”字樣的長度為(B)A.eq\f(π,4)cmB.eq\f(7π,4)cmC.eq\f(7π,2)cmD．7πcm,第11題圖),第12題圖)12．如圖，扇形AOB的半徑為1，∠AOB＝90°，以AB為直徑畫半圓，則圖中的陰影部分的面積為(C)A.eq\f(1,4)πB．π－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)π＋eq\f(1,2)13．(2024·南充)如圖，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進行兩次旋轉(zhuǎn)，則點B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是(A)A.eq\f(25,2)πB．13πC．25πD．25eq\r(2),第13題圖),第14題圖)14．如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，則eq\o(BC,\s\up8(︵))的長為__2π___．15．如圖，已知菱形ABCD的邊長為3cm，B，C兩點在扇形AEF的eq\o(EF,\s\up8(︵))上，求eq\o(BC,\s\up8(︵))的長度及扇形ABC的面積．解：∵四邊形ABCD是菱形且邊長為3cm，∴AB＝BC＝3cm.又∵B，C兩點在扇形AEF的eq\o(EF,\s\up8(︵))上，∴AB＝BC＝AC＝3cm，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，eq\o(BC,\s\up8(︵))的長l＝eq\f(60π×3,180)＝π(cm)，S扇形ABC＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)×π×3＝eq\f(3,2)π(cm2)16．(2024·昆明)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是邊AC上的一點，連接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經(jīng)過點D.(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若∠A＝60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．(結(jié)果保留根號和π)解：(1)連接OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠BDO，∴∠DOC＝2∠1＝∠A.在Rt△ABC中，∠A＋∠C＝90°，即∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC，∴AC為圓O的切線(2)當∠A＝60°時，在Rt△OCD中，有∠C＝30°，OD＝r＝2，∴∠DOC＝60°，CD＝2eq\r(3)，S△ODC＝eq\f(1,2)OD·DC＝2eq\r(3)，S扇形＝eq\f(60πr2,360)＝eq\f(2,3)π，∴S陰影＝S△ODC－S扇形＝2eq\r(3)－eq\f(2,3)π17．如圖，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點E落在CB的延長線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG.(1)求證：EF∥CG；(2)求點C，A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的eq\o(AC,\s\up8(︵))，eq\o(AG,\s\up8(︵))與線段CG所圍成的陰影部分的面積．解：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°，∵△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG(2)∵AB＝2，E是AB的中點，∴FB＝BE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2＝1，∴AF＝eq\r(AB2＋BF2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).由平行四邊形的性質(zhì)，△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S陰影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝eq\f(90×π×22,360)＋eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)×(1＋2)×1－eq\f(90×π×（\r(5)）2,360)＝eq\f(5,2)－eq\f(π,4)

第2課時圓錐的側(cè)面積與全面積1．圓錐是由一個__側(cè)___面和一個底面圍成的，連接圓錐的__頂點___和底面圓上任一點的線段叫做圓錐的母線．2．圓錐的側(cè)面綻開圖是一個__扇___形，扇形的半徑為圓錐的__母線___長，扇形的弧長即為圓錐底面圓的__周長___．3．圓錐的全面積＝S側(cè)＋S__底___．學問點1：圓錐的側(cè)面積1．用如圖所示的扇形紙片制作一個圓錐的側(cè)面，要求圓錐的高是4cm，底面周長是6πcm，則扇形的半徑為(B)A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm,第1題圖),第2題圖)2．(2024·淮安)如圖，圓錐的母線長為2，底面圓的周長為3，則該圓錐的側(cè)面積為(B)A．3πB．3C．6πD．63．圓錐的底面半徑為6cm，母線長為10cm，則圓錐的側(cè)面積為__60π___cm2.4．圓錐的側(cè)面積為6πcm2，底面圓的半徑為2cm，則這個圓錐的母線長為__3___cm.5．圓錐的底面半徑是1，側(cè)面積是2π，則這個圓錐的側(cè)面綻開圖的圓心角為__180°___．6．已知圓錐的母線AB＝6，底面半徑r＝2，求圓錐的側(cè)面綻開圖的扇形的圓心角．解：設(shè)圓心角為n°，則有2πr＝eq\f(nπ,180)·AB，∴4π＝eq\f(nπ,180)×6，∴n＝120，故扇形的圓心角α＝120°學問點2：圓錐的全面積7．一個圓錐的側(cè)面綻開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的全面積為(C)A．5πB．4πC．3πD．2π8．已知直角三角形ABC的一條直角邊AB＝12cm，另一條直角邊BC＝5cm，則以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圓錐的表面積是(A)A．90πcm2B．209πcm2C．155πcm2D．65πcm29．一個幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖所示，求該幾何體的全面積(即表面積)是多少？(結(jié)果保留π)解：圓錐的母線長是eq\r(32＋42)＝5，圓錐的側(cè)面積是eq\f(1,2)×8π×5＝20π，圓柱的側(cè)面積是8π×4＝32π，幾何體的下底面面積是π×42＝16π，所以該幾何體的全面積(即表面積)是20π＋32π＋16π＝68π

10．一個圓錐的底面半徑是6cm，其側(cè)面綻開圖為半圓，則圓錐的母線長為(B)A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm11．(2024·襄陽)用一個圓心角為120°，半徑為3的扇形作一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為(B)A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．212．小明用圖中所示的扇形紙片作一個圓錐的側(cè)面，已知扇形的半徑為5cm，弧長是6πcm，那么這個圓錐的高是(A)A．4cmB．6cmC．8cmD．2cm,第12題圖),第13題圖)13．(2024·南京)如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝2cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長l為__6___cm.14．一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面綻開圖扇形的圓心角是__180___°.15．已知圓錐的側(cè)面綻開圖是一個半徑為12cm，弧長為12πcm的扇形，求這個圓錐的側(cè)面積及高．解：側(cè)面積為eq\f(1,2)×12×12π＝72π(cm2)．設(shè)底面半徑為r，則有2πr＝12π，∴r＝6cm.由于高、母線、底面半徑恰好構(gòu)成直角三角形，依據(jù)勾股定理可得，高h＝eq\r(122－62)＝6eq\r(3)(cm)16．如圖①是某校存放學生自行車的車棚的示意圖(尺寸如圖所示，單位：m)，車棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其綻開圖是矩形，如圖②是車棚頂部截面的示意圖，eq\o(AB,\s\up8(︵))所在圓的圓心為點O，車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e．(不考慮接縫等因素，計算結(jié)果保留π)解：連接OB，過點O作OE⊥AB，垂足為E，交eq\o(AB,\s\up8(︵))于F，由垂徑定理，知E是AB的中點，F(xiàn)是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，從而EF是弓形的高，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝2eq\r(3)m，EF＝2m．設(shè)半徑為Rm，則OE＝(R－2)m．在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝(R－2)2＋(2eq\r(3))2，解得R＝4，∴OE＝4－2＝2(m)．在Rt△AEO中，AO＝2OE，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))的長為eq\f(120×4π,180)＝eq\f(8π,3)(m)，故帆布的面積為eq\f(8π,3)×60＝160π(m2)17．如圖，圓錐的底面半徑為5，母線長為20，一只蜘蛛從底面圓周上一點A動身沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點A的最短路程是(D)A．5eq\r(2)B．10eq\r(2)C．15eq\r(2)D．20eq\r(2)18．如圖，有一個直徑是1m的圓形鐵皮，圓心為O，要從中剪出一個圓心角是120°的扇形ABC，求：(1)被剪掉陰影部分的面積；(2)若用所留的扇形ABC鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐底面圓的半徑是多少？解：(1)連接OA，OB，OC，由SSS可證△ABO≌△ACO，∵∠BAC＝120°，∴∠BAO＝∠CAO＝60°，又OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，可知AB＝eq\f(1,2)m，點O在扇形ABC的eq\o(BC,\s\up8(︵))上，∴扇形ABC的面積為eq\f(120,360)π·(eq\f(1,2))2＝eq\f(π,12)(m2)，∴被剪掉陰影部分的面積為π·(eq\f(1,2))2－eq\f(π,12)＝eq\f(π,6)(m2)(2)由2πr＝eq\f(120,180)π·eq\f(1,2)，得r＝eq\f(1,6)，即圓錐底面圓的半徑是eq\f(1,6)m

專題訓練(八)平面圖形的運動及不規(guī)則圖形面積問題一、求動態(tài)中弧長或扇形面積1．已知一個半圓形工件，未搬動前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動時為了愛護圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50m，半圓的直徑為4m，則圓心O所經(jīng)過的路途長是__(2π＋50)m___．(結(jié)果用π表示),第1題圖),第2題圖)2．如圖，在直角坐標系中放置一個邊長為1的正方形ABCD，將正方形ABCD沿x軸的正方向無滑動地在x軸上滾動，當點A離開原點后第一次落在x軸上時，點A運動的路徑線與x軸圍成圖形的面積為(C)A.eq\f(π,2)＋eq\f(1,2)B.eq\f(π,2)＋1C．π＋1D．π＋eq\f(1,2)3．如圖，正六邊形ABCDEF是邊長為2cm的螺母，點P是FA延長線上的點，在A，P之間拉一條長為12cm的無伸縮性細線，一端固定在點A，握住另一端點P拉直細線，把它全部緊緊纏繞在螺母上(纏繞時螺母不動)，求點P運動的路徑長．解：點P運動的路徑長為eq\f(60π×12,180)＋eq\f(60π×10,180)＋eq\f(60π×8,180)＋eq\f(60π×6,180)＋eq\f(60π×4,180)＋eq\f(60π×2,180)＝eq\f(π,3)(12＋10＋8＋6＋4＋2)＝14π(cm)4．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點A1位置時，求點A經(jīng)過的路途長．解：如圖，A″C1＝eq\r(32＋42)＝5，eq\o(AA′,\s\up8(︵))＝eq\f(90π×3,180)＝eq\f(3,2)π，A′A″⌒＝eq\f(90π×4,180)＝2π，A″A1⌒＝eq\f(90π×5,180)＝eq\f(5,2)π，則點A第一次翻滾到點A1位置時，點A經(jīng)過的路途長為eq\o(AA′,\s\up8(︵))＋A′A″⌒＋A″A1⌒＝eq\f(3,2)π＋2π＋eq\f(5,2)π＝6π5．如圖，把Rt△ABC的斜邊AB放在直線l上按順時針方向在l上轉(zhuǎn)動兩次，使它轉(zhuǎn)動到三角形A″B′C′的位置．若BC＝1，AC＝eq\r(3)，當頂點A運動到點A″的位置時．(1)求點A所經(jīng)過的路途長；(2)求點A所經(jīng)過的路途與l所圍成的圖形的面積．解：點A所經(jīng)過的路途圖略．(1)在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝2，∴∠BAC＝30°，則∠ABC＝60°，∴∠ABA′＝120°，∴eq\o(AA′,\s\up8(︵))的長為eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3).又∵∠A′C′A″＝90°，∴A′A″⌒的長為eq\f(90π×\r(3),180)＝eq\f(\r(3),2)π，∴點A所經(jīng)過的路途長為eq\f(4,3)π＋eq\f(\r(3),2)π(2)S扇形BAA′＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×2＝eq\f(4π,3)，S扇形C′A′A″＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3)π,2)×eq\r(3)＝eq\f(3π,4)，S△A′BC′＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∴點A經(jīng)過的路途與l所圍成的圖形的面積是eq\f(4,3)π＋eq\f(3,4)π＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(25,12)π＋eq\f(\r(3),2)

二、求不規(guī)則圖形面積問題6．(用割補法)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E，交AD的延長線于點F，設(shè)DA＝2.(1)求線段EC的長；(2)求圖中陰影部分的面積．解：(1)在矩形ABCD中，AB＝2DA，DA＝2，∴AB＝AE＝4，∴DE＝eq\r(AE2－AD2)＝2eq\r(3)，∴EC＝CD－DE＝4－2eq\r(3)(2)在Rt△DEA中，∵eq\f(AD,AE)＝eq\f(1,2)，∴∠DEA＝30°，∴∠DAE＝60°，∴S陰影＝S扇形EAF－S△DAE＝eq\f(60π×42,360)－eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝eq\f(8,3)π－2eq\r(3