2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)專題強化訓(xùn)練1排列組合的綜合應(yīng)用含解析新人教A版選修2-3

PAGE1-專題強化訓(xùn)練(一)排列、組合的綜合應(yīng)用(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．設(shè)4名學(xué)生報名參與同一時間支配的3項課外活動方案有a種，這4名學(xué)生在運動會上共同爭奪100米、跳遠、鉛球3項競賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則(a，b)為()A．(34,34) B．(43,34)C．(34,43) D．(Aeq\o\al(3,4)，Aeq\o\al(3,4))C[由題意知本題是一個分步乘法問題，首先每名學(xué)生報名有3種選擇，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理知4名學(xué)生共有34種選擇，每項冠軍有4種可能結(jié)果，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理知3項冠軍共有43種可能結(jié)果．故選C.]2．若Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(4,n)，則eq\f(n！,3！n－3！)的值為()A．1 B．20C．35 D．7C[若Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(4,n)，則eq\f(nn－1n－2,3×2×1)＝eq\f(nn－1n－2n－3,4×3×2×1)，可得n＝7，所以eq\f(n！,3！n－3！)＝eq\f(7！,3！4！)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.]3．在100件產(chǎn)品中，有3件是次品，現(xiàn)從中隨意抽取5件，其中至少有2件次品的取法種數(shù)為()A．Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,97) B．Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,97)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,97)C．Ceq\o\al(5,100)－Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,97) D．Ceq\o\al(5,100)－Ceq\o\al(5,97)B[依據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種狀況，“有2件次品”的抽取方法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,97)種，“有3件次品”的抽取方法有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,97)種，則共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,97)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,97)種不同的抽取方法，故選B.]4．若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種D[和為偶數(shù)共有3種狀況：取4個數(shù)均為偶數(shù)有Ceq\o\al(4,4)＝1種取法；取2奇數(shù)2偶數(shù)有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,5)＝60種取法；取4個數(shù)均為奇數(shù)有Ceq\o\al(4,5)＝5種取法，故共有1＋60＋5＝66種不同的取法．]5．登山運動員10人，平均分為兩組，其中熟識道路的有4人，每組都須要2人，那么不同的安排方法種數(shù)是()A．60 B．120C．240 D．480A[先將4個熟識道路的人平均分成兩組有eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))種．再將余下的6人平均分成兩組有eq\f(C\o\al(3,6)·C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))種．然后這四個組自由搭配還有Aeq\o\al(2,2)種，故最終安排方法有eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,6)＝60(種)．]二、填空題6．有8名男生和3名女生，從中選出4人分別擔(dān)當(dāng)語文、數(shù)學(xué)、英語、物理學(xué)科的課代表，若某女生必需擔(dān)當(dāng)語文課代表，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字作答)720[由題意知，從剩余10人中選出3人擔(dān)當(dāng)3個學(xué)科課代表，有Aeq\o\al(3,10)＝720種．]7．兩人進行乒乓球競賽，先贏3局者獲勝，決出輸贏為止，則全部可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不憐憫形)共有________種．20[分三種狀況：恰好打3局，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2Ceq\o\al(2,3)＝6種情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2Ceq\o\al(2,4)＝12種情形．全部可能出現(xiàn)的情形共有2＋6＋12＝20(種)．]8．某地奧運火炬接力傳遞路途共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．假如第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最終一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方法共有________種．(用數(shù)字作答)96[甲傳第一棒，乙傳最終一棒，共有Aeq\o\al(4,4)種方法．乙傳第一棒，甲傳最終一棒，共有Aeq\o\al(4,4)種方法．丙傳第一棒，共有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)種方法．由分類計數(shù)原理得，共有Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＝96(種)方法．]三、解答題9．現(xiàn)有5名老師要帶3個不同的愛好小組外出學(xué)習(xí)考察，要求每個愛好小組的帶隊老師至多2人，但其中甲老師和乙老師均不能單獨帶隊，求不同的帶隊方案有多少種？[解]第一類，把甲、乙看做一個復(fù)合元素，和另外的3人安排到3個小組中，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(種)，其次類，先把另外的3人安排到3個小組，再把甲、乙安排到其中2個小組，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(種)，依據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有18＋36＝54(種)．10．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進行一一測試，直至找出全部4件次品為止．(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才找到最終一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？(2)若恰在第5次測試后，就找出了全部4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？[解](1)先排前4次測試，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)種測法，再排余下4件的測試位置，有Aeq\o\al(4,4)種測法．所以共有不同測試方法Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝103680種．(2)第5次測試恰為最終一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以共有不同測試方法Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576種．1．從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為()A．300B．216C．180D．162C[分兩類：第一類，不取0，即從1,2,3,4,5中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝72(個)符合要求的四位數(shù)；其次類，取0，此時2和4只能取一個，再取兩個奇數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,3)·(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝108(個)符合要求的四位數(shù)．依據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，滿意題意的四位數(shù)共有72＋108＝180(個)，故選C.]2．某班班會打算從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參與，當(dāng)甲、乙同時參與時，他們兩人的發(fā)言不能相鄰，那么不同發(fā)言依次的排法種數(shù)為()A．360 B．520C．600 D．720C[依據(jù)題意，可分兩種狀況探討：①甲、乙兩人中只有一人參與，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(4,4)＝480(種)狀況；②甲、乙兩人都參與，有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(種)狀況，其中甲、乙兩人的發(fā)言相鄰的狀況有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)＝120(種)．故不同發(fā)言依次的排法種數(shù)為480＋240－120＝600.]3．將10個運動員名額分給7個班，每班至少1個，則不同的安排方案的種數(shù)為________．84[因為10個名額沒有差別，把它們排成一排，相鄰名額之間形成9個空隙．在9個空隙中選6個位置插隔板，可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個班．每一種插板方法對應(yīng)一種安排方案，則共有Ceq\o\al(6,9)＝Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84種安排方案．]4．某科技小組有六名學(xué)生，現(xiàn)從中選出三人去參觀展覽，至少有一名女生入選的不同選法有16種，則該小組中的女生人數(shù)為________．2[設(shè)男生人數(shù)為x，則女生有(6－x)人．依題意Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,x)＝16，即6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4，即女生有2人．]5．有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)．(1)共有幾種放法？(2)恰有2個盒子不放球，有幾種放法？[解](1)44＝256(種)．(2)恰有2個盒子不放球，也就是把4個不同的小球只放入2個盒子中，有兩類放法；第一類，1個盒子放3個小球，1個盒子放1個小球，先