2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第九章概率與統(tǒng)計(jì)第3講幾何概型含解析

PAGE1-第3講幾何概型1．(2024年重慶一中模擬)在[－2,3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則(x＋1)(x－3)≤0的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)2．(2024年遼寧鐵嶺模擬)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)3．(2024年湖北武漢武昌調(diào)研)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事務(wù)“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)4．(2024年陜西)設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為()A.eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π)B.eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)C.eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)D.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)5．(2024年福建)如圖X9-3-1，在矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()圖X9-3-1A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)6．(2024年湖南長(zhǎng)沙聯(lián)考)如圖X9-3-2，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚(yú)缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚(yú)缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚(yú)缸的缸底上，現(xiàn)在向魚(yú)缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚(yú)食，則“魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)的圓錐外面的魚(yú)吃到”的概率是()圖X9-3-2A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,4)D．1－eq\f(π,12)7．(2024年山東)在[－1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事務(wù)“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為_(kāi)_______．8．(2024年廣東廣州調(diào)研)在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)部任取一點(diǎn)M，則滿(mǎn)意∠AMB>90°的概率為_(kāi)_______．9．已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC的概率是__________________．10．如圖X9-3-3所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，則BM<1的概率為_(kāi)_______．圖X9-3-311．(2024年重慶檢測(cè))在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好落在其次象限的概率為_(kāi)_______．12．圖X9-3-4為中國(guó)古代劉徽的《九章算術(shù)注》中探討“勾股容方”問(wèn)題的圖形，圖中△ABC為直角三角形，四邊形DEFC為它的內(nèi)接正方形，記正方形為區(qū)域Ⅰ，圖中陰影部分為區(qū)域Ⅱ，在△ABC上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的概率分別記為p1，p2，則()圖X9-3-4A．p1＝p2B．p1<p2C．p1≤p2D．p1≥p213．小李從網(wǎng)上購(gòu)買(mǎi)了一件商品，快遞員安排在下午5：00～6：00之間送貨上門(mén)，已知小李下班到家的時(shí)間為下午5：30～6：00.快遞員到小李家時(shí)，假如小李未到家，則快遞員會(huì)打電話聯(lián)系小李．若小李能在10分鐘之內(nèi)到家，則快遞員等小李回來(lái)，否則，就將商品存放在快遞柜中，則小李須要去快遞柜收取商品的概率為()A.eq\f(1,9)B.eq\f(8,9)C.eq\f(5,12)D.eq\f(7,12)

第3講幾何概型1．D解析：由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由幾何概型得所求概率為eq\f(4,5).2．C解析：如圖D266，當(dāng)BE＝1時(shí)，∠AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B，E點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時(shí)，∠BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(不包含F(xiàn)點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形．∴△ABD為鈍角三角形的概率為eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).圖D2663．D解析：∵log0.5(4x－3)≥0，∴0<4x－3≤1，即eq\f(3,4)<x≤1，∴所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4).故選D.4．C解析：z＝(x－1)＋yi?|z|＝eq\r(x－12＋y2)≤1?(x－1)2＋y2≤1，如圖D267可求得A(1,1)，B(1,0)，陰影面積等于eq\f(1,4)π×12－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2).若|z|≤1，則y≥x的概率為eq\f(\f(π,4)－\f(1,2),π×12)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).故選C.圖D2675．B解析：由已知，得B(1,0)，C(1,2)，D(－2,2)，P(0,1)，A(－2,0)，則矩形ABCD的面積為3×2＝6，陰影部分面積為eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).故該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).6．A解析：魚(yú)缸底面正方形的面積為22＝4，圓錐底面圓的面積為π.∴“魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)的圓錐外面的魚(yú)吃到”的概率是1－eq\f(π,4).故選A.7.eq\f(3,4)解析：直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，須要滿(mǎn)意圓心到直線的距離小于半徑，即d＝eq\f(|5k|,\r(1＋k2))<3.解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4).而k∈[－1,1]，∴所求概率P＝eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).8.eq\f(π,8)解析：如圖D268，假如M點(diǎn)位于以AB為直徑的半圓內(nèi)部，則∠AMB>90°；否則，M點(diǎn)位于半圓上及空白部分，則∠AMB≤90°.∴∠AMB>90°的概率p＝eq\f(\f(1,2)×π×12,22)＝eq\f(π,8).圖D2689.eq\f(7,8)解析：由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面以下時(shí)，滿(mǎn)意VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC，故使得VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC的概率：P＝eq\f(大三棱錐的體積－小三棱錐的體積,大三棱錐的體積)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).10.eq\f(2,5)解析：∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，∴BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.記事務(wù)N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事務(wù)N發(fā)生．由幾何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).11.eq\f(2,9)解析：畫(huà)出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))圖D269表示的平面區(qū)域(如圖D269中陰影部分所示)，∵S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,4)，S△AOD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，∴點(diǎn)P恰好落在其次象限的概率為eq\f(S△AOD,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2),\f(9,4))＝eq\f(2,9).12．C解析：方法一，設(shè)△ABC兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，其內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為x，由eq\f(x,a)＝eq\f(b－x,b)得x＝eq\f(ab,a＋b)，則p1＝eq\f(2ab,a＋b2)，p2＝1－p1＝1－eq\f(2ab,a＋b2)＝eq\f(a2＋b2,a＋b2)≥eq\f(2ab,a＋b2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))．方法二(特別法)，設(shè)BC＝1，AC＝2，CD＝x，則x＝eq\f(2,3)，故p1＝eq\f(4,9)，p2＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)，從而解除A、D，當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)p1＝p2，解除B.故選C.13．D解析：設(shè)快遞員到達(dá)的時(shí)間為x，小李到家的時(shí)間為y，則eq\b\lc\{\rc\(