人教版九年級數(shù)學(xué)上冊單元試卷合集

《第21章一元二次方程》

一、單項選擇題：（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的，將此選項的字母填在答題卡上）

1.用配方法解一元二次方程x?-6x-4=0,下列變形正確的是（）

A.（x-6）2=-4+36B.（x-6）2=4+36C.（x-3）2=-4+9D.（x-3）2=4+9

2.若一元二次方程x2+2x+a=0的有實數(shù)解，則a的取值范圍是（）

A.a<1B.aW4C.aW1D.aN1

3.將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積

為303cm3,則原鐵皮的邊長為（）

A.10cmB.13cmC.14cmD.16cm

4.若關(guān)于x的一元二次方程/+（2k-1）x+k'-HO有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.5k>—5C.k<—5D.kW?5

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5.已知關(guān)于x的一元二次方程/+mx+n=0的兩個實數(shù)根分別為xF-2,x2=4,則m+n的值是（）

A.-10B.10C.-6D.2

6.如圖，某小區(qū)有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的

面積之和為60米2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道.若設(shè)人行道的寬度為x米，則可以列

出關(guān)于x的方程是（）

ISm

A.X2^9X-8=0B.x2-9x-8=0C.x2-9x+8=0D.2x2-9x+8=0

7.下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是()

A.x2^x+1=0B.4X2+2X+1=0C.X2+12X+36=0D.X2+X-2=0

8.我省2013年的快遞業(yè)務(wù)量為1.4億件，受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素，快遞業(yè)務(wù)迅

猛發(fā)展，2014年增速位居全國第一.若2015年的快遞業(yè)務(wù)量達到4.5億件.設(shè)2014年與2013年這兩年

的平均增長率為x,則下列方程正確的是（）

A.1.4（1+x）=4.5B,1.4（1+2x）=4.5

C.1.4(1+x)2=4.5D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5

9.已知2是關(guān)于x的方程x2-2mx+3m=0的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是等腰三角形ABC的兩條

邊長，則三角形ABC的周長為()

A.10B.14C.10或14D,8或’0

10.用10米長的鋁材制成一個矩形窗框，使它的面積為6平方米.若設(shè)它的一條邊長為x米，則根據(jù)題

意可列出關(guān)于x的方程為()

A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=6

二、填空題：(本大題共10小題，每小題3分，共30分.把答案寫在題中的橫線上

11.設(shè)XnX2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩根，則x：+x2J.

12.若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一個根，則m的值為__.

13.若實數(shù)a、b滿足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,則a+b=__.

14.將x?+6x+3配方成(x+m)之+n的形式，則m=.

15.§x2+x+m=(x-3)(x+n)對x恒成立，貝ljn=__.

16.若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則M—.

17.一個容器盛滿純藥液40L,第一次倒出若干升后，用水加滿；第二次又倒出同樣體積的溶液，這時容

器里只剩下純藥液10L,則每次倒出的液體是—L.

18.一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一個根為0,則a=__.

19.關(guān)于x的方程kx2-4x->|=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是—.

20.已知若分式的值為0,則x的值為一.

x+1

三、解答題

21.某地區(qū)2013年投入教育經(jīng)費2500萬元，2015年投入教育經(jīng)費3025萬元.

(1)求2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率；

(2)根據(jù)(1)所得的年平均增長率，預(yù)計2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費多少萬元.

22.已知關(guān)于x的方程x?+2x+a-2=0.

(1)若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根.

23.白溪鎮(zhèn)2012年有綠地面積57.5公頃，該鎮(zhèn)近幾年不斷增加綠地面積，2014年達到82.8公頃.

(1)求該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長率；

(2)若年增長率保持不變，2015年該鎮(zhèn)綠地面積能否達到100公頃？

24.為落實國務(wù)院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建設(shè)力度.2013年市政府共

投資3億元人民幣建設(shè)了廉租房12萬平方米，2015年投資6.75億元人民幣建設(shè)廉租房，若在這兩年內(nèi)每

年投資的增長率相同.

(1)求每年市政府投資的增長率；

(2)若這兩年內(nèi)的建設(shè)成本不變，問2015年建設(shè)了多少萬平方米廉租房？

25.某校在基地參加社會實踐話動中，帶隊老師考問學(xué)生：基地計劃新建一個矩形的生物園地，一邊靠舊

墻(墻足夠長)，另外三邊用總長69米的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個寬為3米的出入口，

(1)設(shè)AB=x米(x>0),試用含x的代數(shù)式表示BC的長;

(2)請你判斷誰的說法正確，為什么？

a+21-a-4

26.先化簡，再求值：(一「二十”-----)a,其中a滿足a2-4a-1=0.

a'-2a/-4a+4a

27.已知關(guān)于x的一元二次方程mx?-(m+2)x+2=0.

(1)證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；

(2)m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根.

28.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣

出20件,已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應(yīng)將銷

售單價定位多少元？

29.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m2-2m=0有一個實數(shù)根為-1,求m的值及方程的另一實根.

《第21章一元二次方程》

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：(本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的，將此選項的字母填在答題卡上)

1.用配方法解一元二次方程X2-6X-4=0,下列變形正確的是()

A.(x-6)2=-4+36B.(x-6)2=4+36C.(x-3)2=-4+9D.(x-3)2=4+9

【考點】解一元二次方程-配方法.

【分析】根據(jù)配方法，可得方程的解.

【解答】解：x?-6x-4=0,

移項,得x?-6x=4,

配方,得(x-3)2=4+9.

故選：D.

【點評】本題考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移項、二次項系數(shù)化為1,配方，開

方.

2.若一元二次方程x?+2x+aR的有實數(shù)解，則a的取值范圍是()

A.a<1B.aW4C.aW1D.a21

【考點】根的判別式.

【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有實數(shù)解，則根的判別式△》()，據(jù)此可以列出關(guān)于a的不等式，通

過解不等式即可求得a的值.

【解答】解：因為關(guān)于x的一元二次方程有實根，

所以△=b?-4ac"4aM,

解之得aW1.

故選C.

【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#=0,a,b,c為常數(shù))根的判別式.當△>(),方程有兩

個不相等的實數(shù)根；當方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<(),方程沒有實數(shù)根.

3.將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積

為300cm3,則原鐵皮的邊長為()

A.10cmB.13cmC.14cmD.16cm

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】幾何圖形問題.

【分析】設(shè)正方形鐵皮的邊長應(yīng)是x厘米，則做成沒有蓋的長方體盒子的長、寬為(x-3X2)厘米，高

為3厘米，根據(jù)長方體的體積計算公式列方程解答即可.

【解答】解：正方形鐵皮的邊長應(yīng)是x厘米，則沒有蓋的長方體盒子的長、寬為(x-3X2)厘米，高為3

厘米，根據(jù)題意列方程得，

(x-3X2)(x-3X2)X3=300,

解得x〔二16,x2=-4(不合題意，舍去)；

答：正方形鐵皮的邊長應(yīng)是16厘米.

故選：D.

【點評】此題主要考查長方體的體積計算公式：長方體的體積二長X寬X高，以及平面圖形折成立體圖形

后各部分之間的關(guān)系.

4.若關(guān)于x的一元二次方程x?+(2k-1)x+k2-1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是()

RRRC

A.k2aB.k>—C.k<—D.

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【考點】根的判別式.

【專題】計算題.

【分析】先根據(jù)判別式的意義得到△二(2k-1)2-4(k2-1)20,然后解關(guān)于k的一元一次不等式即可.

【解答】解:根據(jù)題意得△二(2k-1)2-4(k2-1)20,

解得kW?.

4

故選D.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a羊0)的根與△=b?-4ac有如下關(guān)系：當^

>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△<()時，方程

無實數(shù)根.

2

5.已知關(guān)于x的一元二次方程x+mx+n=0的兩個實數(shù)根分別為x,=-2,x2=4,則m+n的值是()

A.-10B.10C.-6D.2

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出-2+4=-m,-2X4=n,求出即可.

?

【解答】解：.?關(guān)于x的一元二次方程x?+mx+n=O的兩個實數(shù)根分別為7=-2,x2=4,

-2+4=-m,-2X4=n,

解得：m=-2,n=-8,

.*.m+n=-10,

故選A.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出-2+4=-m,-2X4』是解此題

的關(guān)鍵.

6.如圖，某小區(qū)有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的

面積之和為60米2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道.若設(shè)人行道的寬度為x米，則可以列

出關(guān)于x的方程是()

18w

A.X24-9X-8=0B.x2-9x-8=0C.x2-9x+8=0D.2x2-9x+8=0

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】幾何圖形問題.

【分析】設(shè)人行道的寬度為x米，根據(jù)矩形綠地的面積之和為60米2,列出一元二次方程.

【解答】解：設(shè)人行道的寬度為x米，根據(jù)題意得，

(18-3x)(6-2x)=60,

化簡整理得，X2-9X+8=0.

故選C.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，利用兩塊相同的矩形綠地面積之和為60米？得出等

式是解題關(guān)鍵.

7.下列方程有兩個相等的實數(shù)根的是()

A.X24-X+1=0B.4X2+2X+1=0C,X2+12X+36=0D.X2+X-2=0

【考點】根的判別式.

【分析】由方程有兩個相等的實數(shù)根，得到△<),于是根據(jù)△=()判定即可.

【解答】解：A、方程x?+x+1=0,VA=1-4<0,方程無實數(shù)根；

B、方程4x?+2x+1=0,■.,△=4-16V0,方程無實數(shù)根；

G方程，+12x+36=0,"."△=144-144=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；

D、方程X2+X-2=0,-/△=1+8>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；

故選C.

【點評】本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

(D△>()=方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)△=()=方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)△<()=方程沒有實數(shù)根

8.我省2013年的快遞業(yè)務(wù)量為1.4億件，受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素，快遞業(yè)務(wù)迅

猛發(fā)展，2014年增速位居全國第一.若2015年的快遞業(yè)務(wù)量達到4.5億件.設(shè)2014年與2013年這兩年

的平均增長率為x,則下列方程正確的是()

A.1.4(1+x)=4.5B.1.4(1+2x)=4.5

C.1.4(1+x)2=4.5D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】增長率問題.

【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：2013年的快遞業(yè)務(wù)量X(1+增長率)2=2015年的快遞業(yè)務(wù)量，根據(jù)等量

關(guān)系列出方程即可.

【解答】解：設(shè)2014年與2013年這兩年的平均增長率為x,由題意得：

1.4(1+x)2=4.5,

故選：C.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握平均變化率的方法，若設(shè)變化前的

量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b.

9.已知2是關(guān)于x的方程x2-2mx+3m=0的一個根，并且這個方程的兩個根恰好是等腰三角形ABC的兩條

邊長，則三角形ABC的周長為()

A.10B.14C.10或14D.8或，0

【考點】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【分析】先將x=2代入x2-2mx+3"0,求出m=4,則方程即為x?-8x+12=0,利用因式分解法求出方程的根

x尸2,X2=6,分兩種情況：①當6是腰時，2是等邊；②當6是底邊時，2是腰進行討論.注意兩種情況都

要用三角形三邊關(guān)系定理進行檢驗.

【解答】解：:二是關(guān)于x的方程x2-2mx+3m=0的一個根，

.,.22-4m+3m=0,m=4,

x2_8x+12=0,

解得X[=2,X2—6.

①當5是腰時，2是底邊，此時周長=6+6+2=14；

②當5是底邊時，2是腰，2+2V6,不能構(gòu)成三角形.

所以它的周長是14.

故選3.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程-因式分解法，三角形三邊關(guān)系定理以及等

腰三角形的性質(zhì)，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關(guān)系定理檢驗.

10.用10米長的鋁材制成一個矩形窗框，使它的面積為6平方米.若設(shè)它的一條邊長為x米，則根據(jù)題

意可列出關(guān)于x的方程為()

A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=6

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】幾何圖形問題.

【分析】一邊長為x米，則另外一邊長為：5-x,根據(jù)它的面積為6平方米，即可列出方程式.

【解答】解：一邊長為x米，則另外一邊長為：5-x,

由題意得：x(5~x)=6,

故選：B.

【點評】本題考查了由實際問題抽相出一元二次方程，難度適中，解答本題的關(guān)鍵讀懂題意列出方程式.

二、填空題：(本大題共10小題，每小題3分，共30分.把答案寫在題中的橫線上

222

11.設(shè)X1，x2是一元二次方程x-2x-3=0的兩根，則x1+x2=ip.

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】計算題；實數(shù).

【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系確定出原式的值即可.

【解答】解：TX1,X?是一元二次方程x?-2x-3=。的兩根，

==-

X1+X22,X1X23,

2

則原式二(xt+x2)-2X1X2=4+6=10,

故答案為：10

【點評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

12.若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一個根，則m的值為-3.

【考點】一元二次方程的解.

【分析】將x=1代入方程得到關(guān)于m的方程，從而可求得m的值.

【解答】解：將x=1代入得：1+2+m=0,

解得：m=-3.

故答案為：-3.

【點評】本題主要考查的是方程的解(根)的定義，將方程的解(根)代入方程得到關(guān)于m的方程是解題

的關(guān)鍵.

13.若實數(shù)a、b滿足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,則a+b=-；或1.

【考點】換元法解一元二次方程.

【分析】設(shè)a+b=x,則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，通過解該一元二次方程來求x即(a+b)的值.

【解答】解：設(shè)a+b=x,則由原方程，得

4x(4x-2)-8=0,

整理，得16x2-8x-8=0,即2x2-x-1=0,

分解得：(2x+1)(x-1)=0,

解得：x2=1.

則a+o的值是一2或1.

故答案是：-*或1.

【點評】本題主要考查了換元法，即把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換.

14.將x?+6x+3配方成(x+m)4n的形式，則m=3.

【考點】配方法的應(yīng)用.

【專題】計算題.

【分析】原式配方得到結(jié)果，即可求出m的值.

【解答】解：X2+6X+3=X2+6X+9-6=(x+3)2-6=(x+m)2+n,

則m=3,

故答案為：3

【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

15.若g(x-3)(x+n)對x恒成立，貝I]n:4.

【考點】因式分解-十字相乘法等.

【分析】利用多項式乘法去括號，得出關(guān)于n的關(guān)系式進而求出n的值.

【解答】解：x2+x+m=(x-3)(x+n),

x2+x+m=x2+(n-3)x-3n,

故n-3=1,

解得：n=4.

故答案為：4.

【點評】此題主要考查了多項式乘以多項式，正確去括號得出是解題關(guān)鍵.

16.若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m=?.

【考點】根的判別式.

【分析】根據(jù)題意可得△=(),據(jù)此求解即可.

【解答】解：?.?方程x2-3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，

.'.△=9-4m=0,

解得：m=?.

4

故答案為：-y.

4

【點評】本題考查了根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是掌握當時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根.

17.一個容器盛滿純藥液40L,第一次倒出若干升后，用水加滿；第二次又倒出同樣體積的溶液，這時容

器里只剩下純藥液10L,則每次倒出的液體是，2L.

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

40-x

【分析】設(shè)每次倒出液體xL,第一次倒出后還有純藥液（40-x）,藥液的濃度為蘭片，再倒出xL后,

40

40—x40一x

倒出純藥液利用40-x-Mf?x就是剩下的純藥液10L,進而可得方程.

4040

【解答】解：設(shè)每次倒出液體xL,由題意得：

解得：x=60（舍去）或x=20.

答：每次倒出20升.

故答案為：20.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程.

18.一元二次方程（a+1）乂2-酬+/-仁0的一個根為0,則a:1.

【考點】一元二次方程的定義.

【專題】計算題；待定系數(shù)法.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義得到a+1且a2-1=0,然后解不等式和方

程即可得到a的值.

【解答】解：二一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-k0的一個根為0,

.*.a+1=#0Ka2-1=0,

.'.a=1.

故答案為：1.

【點評】本題考查了一元二次方程的定義：含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫一元

二次方程，其一般式為ax?+bx+cR（aHO）.也考查了一元二次方程的解的定義.

19.關(guān)于x的方程kx2-4x-￡=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是k2-6.

【考點】根的判別式；一元一次方程的解.

【分析】由于k的取值不確定，故應(yīng)分k=0（此時方程化簡為一元一次方程）和k于。（此時方程為二元一

次方程）兩種情況進行解答.

【解答】解：當k=0時，-4x-~|■二0,解得x二-

當k手。時，方程kx?-4x-是一元二次方程，

0

9

根據(jù)題意可得：△=16-4kX（-看）云0,

解得<2-6,k=#O,

綜上《2-6,

故答案為k2-6.

【點評】本題考查的是根的判別式，注意掌握一元二次方程ax，bx+c=O（a羊0）的根與△=b?-4ac有如下

關(guān)系：①當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△=（）時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③

當AVO時，方程無實數(shù)根.同時解答此題時要注意分k=0和k：#0兩種情況進行討論.

20.已知若分式>2-3的值為0,則x的值為3.

x+1

【考點】分式的值為零的條件；解一元二次方程-因式分解法.

Y2—Oy-3二n

【分析】首先根據(jù)分式值為零的條件，可得X；然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程的步驟,

?x+1盧0

求出X的值為多少即可.

【解答】解：?.?分式x2—2x3的值為0,

x+1

./x2-2x-3=0

x+l#0

解得x=3,

即x的值為3.

故答案為：3.

【點評】（1）此題主要考查了分式值為零的條件，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：分式值為零

的條件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不為零”這個條件不能少.

（2）此題還考查了因式分解法解一元二次方程問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確因式分解法

解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;

③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

三、解答題

21.某地區(qū)2013年投入教育經(jīng)費2500萬元，2015年投入教育經(jīng)費3025萬元.

（1）求2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率；

(2)根據(jù)(1)所得的年平均增長率，預(yù)計2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費多少萬元.

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】增長率問題.

【分析】(1)一般用增長后的量二增長前的量X(1+增長率)，2014年要投入教育經(jīng)費是2500(1+x)萬

元，在2014年的基礎(chǔ)上再增長x,就是2015年的教育經(jīng)費數(shù)額，即可列出方程求解.

(2)利用(1)中求得的增長率來求2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費.

【解答】解：設(shè)增長率為x,根據(jù)題意2014年為2500(1+x)萬元，2015年為2500(1+x)2萬元.

則2500(1+x)2=3025,

解得x=0.1=10%,或x=-2.1(不合題意舍去).

答：這兩年投入教育經(jīng)費的平均增長率為10%.

(2)3025X(1+10%)=3327.5(萬元).

故根據(jù)(1)所得的年平均增長率，預(yù)計2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費3327.5萬元.

【點評】本題考查了一元二次方程中增長率的知識.增長前的量X(1+年平均增長率)年再增長后的量.

22.已知關(guān)于x的方程x?+2x+a-2=0.

(1)若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根.

【考點】根的判別式；一元二次方程的解；根與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】(1)關(guān)于x的方程x2-2x+a-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，即判別式△:b2-4ac>0.即可得到

關(guān)于a的不等式，從而求得a的范圍.

(2)設(shè)方程的另一根為X1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出方程組，求出a的值和方程的另一根.

【解答】解：(1)Vb2-4ac=(2)2-4X1X(a-2)=12-4a>0,

解得：a<3.

?,.a的取值范圍是a<3；

(2)設(shè)方程的另一根為5,由根與系數(shù)的關(guān)系得：

'1+勺=-2

]2’

a=-1

解得：1O>

則a的值是-1,該方程的另一根為-3.

【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

（1）△>（）=方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）△Ro方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3）△V0=方程沒有實數(shù)根.

23.白溪鎮(zhèn)2012年有綠地面積57.5公頃，該鎮(zhèn)近幾年不斷增加綠地面積，2014年達到82.8公頃.

（1）求該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長率；

（2）若年增長率保持不變，2015年該鎮(zhèn)綠地面積能否達到100公頃？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】增長率問題.

【分析】（1）設(shè)每綠地面積的年平均增長率為x,就可以表示出2014年的綠地面積，根據(jù)2014年的綠地

面積達到82.8公頃建立方程求出x的值即可；

（2）根據(jù)（1）求出的年增長率就可以求出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)綠地面積的年平均增長率為x,根據(jù)意，得

57.5（1+x）2=82.8

解得：X[=0.2,乂2=-2.2（不合題意，舍去）

答：增長率為20%；

（2）由題意，得

82.8（1+0.2）=99.36公頃,

答：2015年該鎮(zhèn)綠地面積不能達到100公頃.

【點評】本題考查了增長率問題的數(shù)量關(guān)系的運用，運用增長率的數(shù)量關(guān)系建立一元二次方程的運用，一

元二次方程的解法的運用，解答時求出平均增長率是關(guān)鍵.

24.為落實國務(wù)院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建設(shè)力度.2013年市政府共

投資3億元人民幣建設(shè)了廉租房12萬平方米，2015年投資6.75億元人民幣建設(shè)廉租房，若在這兩年內(nèi)每

年投資的增長率相同.

(1)求每年市政府投資的增長率；

(2)若這兩年內(nèi)的建設(shè)成本不變，問2015年建設(shè)了多少萬平方米廉租房？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】增長率問題.

【分析】(1)設(shè)每年市政府投資的增長率為x,由3(1+x)2=2015年的投資，列出方程，解方程即可；

(2)2015年的廉租房=12(1+50%)2,即可得出結(jié)果.

【解答】解：G)設(shè)每年市政府投資的增長率為x,根據(jù)題意得：

3(1+x)2=6.75,

解得：x=0.5,或x=-2.5(不合題意，舍去)，

?*.x=0.5=50%,

即每年市政府投資的增長率為50%；

(2)?「12(1+50%)2:27,

.??2015年建設(shè)了27萬平方米廉租房.

【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用；熟練掌握列一元一次方程解應(yīng)用題的方法，根據(jù)題意找出等量

關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵.

25.某校在基地參加社會實踐話動中，帶隊老師考問學(xué)生：基地計劃新建一個矩形的生物園地，一邊靠舊

墻(墻足夠長)，另外三邊用總長69米的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個寬為3米的出入口，

如圖所示，如何設(shè)計才能使園地的面積最大？下面是兩位學(xué)生爭議的情境：

請根據(jù)上面的信息，解決問題：

(1)設(shè)AB=x米(x>0),試用含x的代數(shù)式表示BC的長；

(2)請你判斷誰的說法正確，為什么？

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】(1)設(shè)AB=x米，根據(jù)等式x+x+BC=69+3,可以求出BC的表達式;

(2)得出面積關(guān)系式，根據(jù)所求關(guān)系式進行判斷即可.

【解答】解：(1)設(shè)AB=x米，可得BC=69+3-2x=72-2x；

(2)小英說法正確；

矩形面積S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648,

V72-2x>0,

.'.x<36,

/.0<x<36,

???當x=18時,S取最大值，

此時xW72-2x,

?.?面積最大的不是正方形.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，借助二次函數(shù)解決實際問題.其中在確定自變量取值范圍時要結(jié)

合題目中的圖形和長>寬的原則，找到關(guān)于x的不等式.

a+21-aa—4,

26.先化簡，再求值：(/五.產(chǎn)京)其中a滿足a-a-仁。.

【考點】分式的化簡求值.

【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再根據(jù)a滿足a?-4a-1=0得出(a-2)2=5,再代

入原式進行計算即可.

-

(a+2)(a2)+a(l-a)a

【解答】解:原式二

a(a-2)2a-4

1

由a滿足a2-4a-1=0(a-2)2=5,

故原式:言.

5

【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵.

27.已知關(guān)于x的一元二次方程mx?-(m+2)x+2=0.

(1)證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；

(2)m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根.

【考點】根的判別式；解一元二次方程-公式法.

【專題】證明題.

【分析】（1）求出方程根的判別式，利用配方法進行變形，根據(jù)平方的非負性證明即可;

（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根，根據(jù)題意求出m的值.

【解答】（1）證明:△二(m+2)-8m

=m2-4n1+4

=（m-2）2,

?.?不論m為何值時，(m-2)2對,

.,.△20,

方程總有實數(shù)根；

m+2±(m-2)

（2）解：解方程得,

二.方程有兩個不相等的正整數(shù)根，

或2,m=2不合題意，

??m^l?

【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的應(yīng)用，掌握一元二次方程根的情況與判別式

△的關(guān)系：△＞（）=方程有兩個不相等的實數(shù)根；4RO方程有兩個相等的實數(shù)根；△V0Q方程沒有實數(shù)

根是解題的關(guān)鍵.

28.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣

出20件.已知商品的進價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應(yīng)將銷

售單價定位多少元？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】銷售問題.

【分析】設(shè)降價x元，表示出售價和銷售量，列出方程求解即可.

【解答】解：降價x元，則售價為（60-x）元，銷售量為（300+20x）件，

根據(jù)題意得，（60-X-40）（300+20x）=6080,

解得x1二1,x?=4,

又顧客得實惠，故取x=4,即定價為56元，

答：應(yīng)將銷售單價定位56元.

【點評】本題考查了一元二次方程應(yīng)用，題找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確的列出方程是解決問題的

關(guān)鍵.此題要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

29.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m?-2m=0有一個實數(shù)根為-1,求m的值及方程的另一實根.

【考點】一元二次方程的解；根與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】把代入已知方程列出關(guān)于m的新方程，通過解該方程來求m的值；然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)

系來求方程的另一根.

【解答】解：設(shè)方程的另一根為X2,則

解得x2=0.

把x=T代入x2+x+m2-2m=0,得

(-1)2+(-1)+m2-2m=0,即m(m-2)=0,

解得叫=0,m2=2.

綜上所述，m的值是0或2,方程的另一實根是0.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程

左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立.

第23章《旋轉(zhuǎn)》單元測試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

2.以下圖的右邊緣所在直線為軸將該圖案向右翻折后，再繞中心旋轉(zhuǎn)180。，所得到的圖形是（）

ABCD

3.用數(shù)學(xué)的方式理解“當窗理云鬢，對鏡貼花黃”和“坐地日行八萬里”（只考慮地球的自轉(zhuǎn)），其中蘊含的圖

形運動是（）

A.平移和旋轉(zhuǎn)B.對稱和旋轉(zhuǎn)C.對稱和平移D.旋轉(zhuǎn)和平移

4.已知點A（a,2013）與點A，（?2014,b）是關(guān)于原點O的對稱點，則a+b的值為（）

A.1B.5C.6D.4

5.在平面直角坐標系中，若點P（m,m-n）與點Q（-2,3）關(guān)于原點對稱，則點M（m,n）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.如圖是一個標準的五角星，若將它繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定角度后能與自身重合，則至少應(yīng)將它旋轉(zhuǎn)的度數(shù)

是（）

A.60°B.72°C.90°D.144°

7.如圖，將AOAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80?，得到AOCD,若NA=2ND=IOO。，則Na的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.40°D.30°

8.在平面直角坐標系xOy中，A點坐標為（3,4）,將0A繞原點0順時針旋轉(zhuǎn)180。得到OA-則點A，的

坐標是（）

A.（-4,3）B.（-3,-4）C.（-4,-3）D.（-3,4）

9如圖,將RtZXABC（其中NB=30。，NC=90。）繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△ABQ的位置,使得點B、

A、Bi在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角等于（）

A.30°B.60°C.90°D.180°

10.如圖，在AABC中，ZACB=90°,將ZxABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到aADE,連接BD,若AC=3,

DE=1,則線段BD的長為（）

A.2A/5B.C.4D.2V10

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

11?如圖，ZXABC中，ZC=30°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得4ADE，AE與BC交于F，

則/AFB=°.

12.如圖，把Rt^ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)44。，得到RtZ\AB，C,點C恰好落在邊AB上，連接BB，，則N

BB'C=________

13.如圖，在平面直角坐標系中，將AABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到△ABiG的位置，點B、O分別落在點出、

G處，點Bi在x軸上，再將△ABC1繞點Bi順時針旋轉(zhuǎn)到△AIBICZ的位置，點C?在x軸上，將△AiBCz

繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)到AAzB2c2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去....若點A（上，0）,B（0,2）,

2

則點B2016的坐標為.

14.如圖，直線y二■亭x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，把AAOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。后得到△

15.時鐘上的時針不停地旋轉(zhuǎn)?，從上午8時到上午11時，時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角是.

16.在等腰三角形ABC中，ZC=90°,BC=2cm,如果以AC的中點O為旋轉(zhuǎn)中心，將AABC旋轉(zhuǎn)180。，

點B落在B，處，則BB，的長度為.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（本題8分）如圖，說出這個圖形的旋轉(zhuǎn)中心，它繞旋轉(zhuǎn)中心至少旋轉(zhuǎn)多大角度才能與原來圖形重合?

18.（本題8分）將下圖所示的圖形面枳分成相等的兩部分.（圖中圓圈為挖去部分）

19.（本題8分）19?（8分）直角坐標系第二象限內(nèi)的點P（x?+2x，3）與另一點Q（x+2，y）關(guān)于原點對

稱?試求x+2y的值.

20.(本題8分)如圖，已知AD=AE,AB=AC.

(1)求證：ZB=ZC；

(2)若NA=50。，問AADC經(jīng)過怎樣的變換能與4AEB重合?

21.(本題8分)如圖，在平面直角坐標系中，已知點B(4,2),BA_Lx軸，垂足為A.

(1)將點B繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。后記作點C,求點C的坐標；

(2)△CTAB，與AOAB關(guān)于原點對稱，寫出點B\A，的坐標.

22.(本題10分)當m為何值時

(1)點A(2,3m)關(guān)于原點的對稱點在第三象限；

(2)點B(3m?1,0.5m+2)到x軸的距離等于它到y(tǒng)軸距離的一半？

23.(本題10分)直角坐標系中，已知點P(-2,-1),點T(l,0)是x軸上的一個動點.

(1)求點P關(guān)于原點的對稱點P的坐標；

(2)當【取何值時，△PTO是等腰三角形？

24.(本題12分)等邊aOAB在平面直角坐標系中，已知點A(2,0),將aOAB繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)

a°(0<a<360)得△OAiB].

(1)求出點B的坐標；

(2)當Ai與Bi的縱坐標相同時，求出a的值；

(3)在(2)的條件下直接寫出點Bi的坐標.

第23章《旋轉(zhuǎn)》單元測試卷解析

一、選擇題

1.【答案】A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、是中心對稱圖形，故本選項正確；

D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

故選：C

2.【答案】以圖的右邊緣所在的直線為軸將該圖形向右翻轉(zhuǎn)180。后，黑圓在右上角，

再按順時針方向旋轉(zhuǎn)180。，黑圓在左下角.故選：A.

3.【答案】根據(jù)對稱和旋轉(zhuǎn)定義可知：“當窗理云鬢，對鏡貼花黃〃是對稱；“坐地日行八萬里”是旋轉(zhuǎn).故

選B.

4.【答案】???點A(a,2013)與點A，(-2014,b)是關(guān)于原點O的對稱點，

Aa=2014,b=-2013,則a+b的值為:2014-2013=1.故選：A.

5.【答案】根據(jù)平面內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)，

.?.m=2且m-n=-3,/.m=2?n=5,?,?點M(m,n)在第一象限，故選A.

6.【答案】如圖，設(shè)O的是五角星的中心，

女DC

???五角星是正五角星，/.ZAOB=ZBOC=ZCOD=ZDOE=ZAOE,

???它們都是旋轉(zhuǎn)角，而它們的和為360。，

:?至少將它繞中心順時針旋轉(zhuǎn)360+5=72。，才能使正五角星旋轉(zhuǎn)后與自身重合.故選：B.

7.【答案】V^AOAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°,AZA=ZCZAOC=80°

工ZDOC=80°-a,ZD=100°VZA=2ZD=100°,ZD=50°

VZC+ZD+ZDOC=180°,,1000+50°+80°-a=180°解得a=50°,故選A

8.【答案】根據(jù)題意得，點A關(guān)于原點的對稱點是點At???A點坐標為(3,4),

，點A，的坐標(-3,-4).故選B.

9.【答案】???B、A、Bi在同一條直線上，???NBAB尸180。，???旋轉(zhuǎn)角等于180。.故選D.

10.【答案】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BC=DE=I,AB=AD,

'??在RTZXABC中，AC=3,BC=1,ZACB=90%.??由勾股定理得：AB=AD=V10

又旋轉(zhuǎn)角為90。，AZBAD=90%???在RTZ\ADB中，BD=2百

即：BD的長為20故：選A

二、填空題

11.【答案】90。

12.【答案】???RtZ\ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)40。得到Rt4ABXT,

.\AB-ABS/BAB-44。，

在△ABB'中，ZABBz=i(1800-ZBAB9=-(180°-44°)=68°,

22

VZAC,B,=ZC=90°,???BC_LAB,

:.NBB'C'=90°-NABB'=90°-68'=22°.故答案為：22°.

13.【答案】VAO=-,BO=2,AAB=-,

22

/.OA+ABI+BIC2=6,???B2的橫坐標為：6,且B2c2=2,

???B4的橫坐標為：2X6=12,

，點B2(H6的橫坐標為：20164-2X6=6048.，點B2016的縱坐標為：2.

，點B2016的坐標為:(6048,2).故答案為：(6048,2).

14.【答案】令y=0,則-*x+2=0,解得x=2jj，

令x=0,則y=2,???點A(25/3.0),B(0,2),、OB=2,

AZBAO=30°,AAB=2OB=2X2=4,

VAAOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。后得到△ACTB，，

/.ZBAB*=60°,NOAB'=30?+60°=90°,

???AB」x軸，工點■(26,4).故答案為：(2百，4).

15.【答案】???時針從上午的8時到11時共旋轉(zhuǎn)了3個格，每相鄰兩個格之間的夾角是30。，

，時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角=30°X3=90。.故答案為：90°.

16.【答案】如圖所示：在直角AOBC中，OCJAC=，BC=lcm,則OB=J5(cm),

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