專題02 整式加減及其運(yùn)算（6大考點(diǎn)）（解析版）

第一部分?jǐn)?shù)與式

專題02整式加減及其運(yùn)算（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一列代數(shù)式及代數(shù)式求值

核心考點(diǎn)二整式的有關(guān)概念及運(yùn)算

核心考點(diǎn)三乘法公式的應(yīng)用

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四整式的化簡求值

核心考點(diǎn)五因式分解

核心考點(diǎn)六規(guī)律探索題

新題速遞

核心考點(diǎn)一列代數(shù)式及代數(shù)式求值

4432234

例1（2022·貴州六盤水·中考真題）已知xya1xa2xya3xya4xya5y，則a1a2a3a4a5

的值是（）

A．4B．8C．16D．12

【答案】C

【分析】令x1,y1，代入已知等式進(jìn)行計(jì)算即可得．

【詳解】解：觀察所求式子與已知等式的關(guān)系，令x1,y1，

4

則a1a2a3a4a5(11)16，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，觀察得出所求式子與已知等式的關(guān)系是解題關(guān)鍵．

例2（2022·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知3ab2，求代數(shù)式

6a2b1的值．”可以這樣解：6a2b123ab12213．根據(jù)閱讀材料，解決問題：若x2是

關(guān)于x的一元一次方程axb3的解，則代數(shù)式4a24abb24a2b1的值是________．

【答案】14

【分析】先根據(jù)x2是關(guān)于x的一元一次方程axb3的解，得到2ab3，再把所求的代數(shù)式變形為

2

2ab22ab1，把2ab3整體代入即可求值．

【詳解】解：∵x2是關(guān)于x的一元一次方程axb3的解，

第1頁共66頁.

∴2ab3，

∴4a24abb24a2b1

2

2ab22ab1

32231

14．

故答案為：14．

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數(shù)式利用完全平方公式

變形是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖，學(xué)校勞動(dòng)實(shí)踐基地有兩塊邊長分別為a，b的正方形秧田A，B，

其中不能使用的面積為M．

(1)用含a，M的代數(shù)式表示A中能使用的面積___________；

(2)若ab10，ab5，求A比B多出的使用面積．

【答案】(1)a2M

(2)50

【分析】（1）利用正方形秧田A的面積減去不能使用的面積M即可得；

（2）先求出B中能使用的面積為b2M，再求出A比B多出的使用面積為a2b2，利用平方差公式求解即

可得．

【詳解】（1）解：A中能使用的面積為a2M，

故答案為：a2M．

（2）解：B中能使用的面積為b2M，

則A比B多出的使用面積為a2M(b2M)a2b2，

ab10，ab5，

a2b2(ab)(ab)10550，

答：A比B多出的使用面積為50．

第2頁共66頁.

【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式、平方差公式與圖形面積，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．

代數(shù)式及求值

(1)概念：用基本運(yùn)算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代

數(shù)式．單．獨(dú)．的．一．個(gè)．?dāng)?shù)．或．一．個(gè)．字．母．也．是．代．?dāng)?shù)．式．；．

(2)列代數(shù)式：找出數(shù)量關(guān)系，用表示已知量的字母表示出所求量的過程；

(3)代數(shù)式求值：把已知字母的值代入代數(shù)式中，并按原來的運(yùn)算順序計(jì)算求值．

【變式1】（2022·山東濟(jì)寧·三模）若m，n是方程2x24x70的兩個(gè)根，則2m23mn的值為（）

A．9B．8C．7D．5

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，求解即可．

【詳解】解：m，n是方程2x24x70的兩個(gè)根，

則2m24m70，mn2，

∴2m24m7，

2m23mn4m73mnmn79，

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識．

【變式2】（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谑袑W(xué)三模）十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉最先用記號fx的形式來表示關(guān)

于x的多項(xiàng)式，把x等于某數(shù)n時(shí)一的多項(xiàng)式的值用fn來表示．例如x1時(shí)，多項(xiàng)式fx2x2x3的

值可以記為f1，即f14．我們定義fxax33x22bx5．若f318，則f3的值為（）

A．18B．22C．26D．32

【答案】C

【分析】把x3代入多項(xiàng)式可以得27a6b4，把x3整體代入求解即可．

【詳解】fxax33x22bx5，

第3頁共66頁.

f327a6b518，得：27a6b4，

f327a392b3527a6b2242226，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查求代數(shù)式的值，整體代入是解題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·浙江麗水·一模）已知，實(shí)數(shù)m，n滿足mn3，m2nmn230．

（1）若mn，則mn_______；

（2）若np5，則代數(shù)式m2pn2pm3mn2的值是______________．

【答案】742或252##252或42

【分析】（1）將已知式子因式分解代入得出mn10，然后利用兩個(gè)完全平方公式之間的關(guān)系求解即可；

m5m2

（2）利用（1）中結(jié)論得出或，然后分兩種情況，將原式化簡代入求值即可．

n2n5

【詳解】解：（1）∵m+n=3，

∴m2nmn2mnmn30，

∴mn10，

22

∴mnmn4mn94049，

∴mn7，

∵m>n，

∴mn0，

∴mn7；

（2）m2pn2pm3mn2

(m2n2)pmm2n2

(m2n2)pm

mnmnpm，

mn3mn3

由（1）得或

mn7mn7

m5m2

解得：或

n2n5

第4頁共66頁.

當(dāng)m=5，n2時(shí)，

∵np5，

∴p3，

∴m+p=2，

∴原式52522

42；

當(dāng)m2，n=5時(shí)，

∵np5，

∴p10，

∴mp12，

∴原式252512

252；

∴代數(shù)式的值為42或252；

故答案為：①7；②42或252．

【點(diǎn)睛】題目主要考查因式分解的運(yùn)用，求代數(shù)式的值及完全平方公式與平方差公式，熟練掌握運(yùn)算法則

進(jìn)行變換是解題關(guān)鍵．

【變式4】（2022·福建省福州屏東中學(xué)模擬預(yù)測）已知m23na，n23ma，且mn，則代數(shù)式

m22mnn2的值是______．

【答案】9

【分析】先計(jì)算m2n2，利用平方差公式求出mn的值，再把m22mnn2化為完全平方式，代入求值即

可．

【詳解】解：m23na，n23ma，

m2n23na3ma．

∴（mn）（mn）（3nm）．

mn，

mn3．

m22mnn2（mn）2

（3）2

9．

第5頁共66頁.

故答案為：9．

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方式，代數(shù)式求值，掌握平方差公式和完全平方式的特點(diǎn)，利用

平方差公式求出mn的值，是解決本題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）閱讀下列材料，完成后面的問題．

材料1：如果一個(gè)四位數(shù)為abcd（表示千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d的四位

數(shù)，其中a為1～9的自然數(shù)，b，c，d為0～9的自然數(shù)），我們可以將其表示為：abcd1000a100b10cd；

材料2：把一個(gè)自然數(shù)（個(gè)位不為0）的各位數(shù)字從個(gè)位到最高位倒序排列，得到一個(gè)新的數(shù)．我們稱該數(shù)

為原數(shù)的兄弟數(shù)．如數(shù)“123”的兄弟數(shù)為“321”．

(1)四位數(shù)x5y5______；（用含x，y的代數(shù)式表示）

(2)設(shè)有一個(gè)兩位數(shù)xy，它的兄弟數(shù)比原數(shù)大63，請求出所有可能的數(shù)xy；

(3)求證：四位數(shù)abab一定能被101整除．

【答案】(1)1000x+10y+505

(2)18、29

(3)證明過程見詳解

【分析】（1）依據(jù)材料1的方法即可作答；

（2）先根據(jù)（1）的方法表示出xy和yx，在結(jié)合題意列出二元一次方程(10yx)(10xy)63，化簡得：

yx7，再根據(jù)x、y均是1至9的自然數(shù)即可求解；

（3）利用（1）的方法表示出abab101(10ab)，依據(jù)a為1～9的自然數(shù)，b為0～9的自然數(shù)，可得

10a+b必為整數(shù)，即命題得證．

(1)

根據(jù)題意有：x5y51000x100510y51000x10y505，

即答案為：1000x10y505；

(2)

∵xy10xy，yx10yx，

又∵yxxy63，

∴(10yx)(10xy)63，

∴yx7，

第6頁共66頁.

∵根據(jù)題意有x、y均是1至9的自然數(shù)，

∴滿足要求的x、y的數(shù)組有：（1,8）、（2,9），

∴xy可能的數(shù)有18和29；

(3)

證明：∵abab1000a100b10ab，

∴abab1000a100b10ab1010a101b101(10ab)，

∵a為1～9的自然數(shù)，b為0～9的自然數(shù)，

∴10a+b必為整數(shù)，

∴abab一定能被101整除，

命題得證．

【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式和求解二元一次方程的整數(shù)解的知識，充分理解材料1、2所給的新定義是解

答本題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)二整式的有關(guān)概念及運(yùn)算

例1（2021·四川綿陽·中考真題）整式3xy2的系數(shù)是（）

A．-3B．3C．3xD．3x

【答案】A

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)的定義求解即可．

【詳解】解：3xy2的系數(shù)為-3，

故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了單項(xiàng)式的系數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握單項(xiàng)式的系數(shù)的定義．

例2（2022·湖南長沙·中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，

它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威

力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中

小方格專門用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)

學(xué)知識，這200個(gè)方格可以生成2200個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對2200的理解如下：

YYDS（永遠(yuǎn)的神）：2200就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；

第7頁共66頁.

DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；

JXND（覺醒年代）：2200的個(gè)位數(shù)字是6；

103

QGYW（強(qiáng)國有我）：我知道21024,101000，所以我估計(jì)2200比1060大．

其中對2200的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是___________（填寫網(wǎng)名字母代號）．

【答案】DDDD

【分析】根據(jù)乘方的含義即可判斷YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用，將2200化為

(2100)2，再與2002比較，即可判斷DDDD（懂的都懂）的理解是錯(cuò)誤的；根據(jù)2的乘方的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律

即可判斷JXND（覺醒年代）的理解是正確的；根據(jù)積的乘方的逆用可得2200(210)20,1060(103)20，即可判

斷QGYW（強(qiáng)國有我）的理解是正確的．

【詳解】2200是200個(gè)2相乘，YYDS（永遠(yuǎn)的神）的理解是正確的；

2200(2100)22002，DDDD（懂的都懂）的理解是錯(cuò)誤的；

212,224,238,2416,2532，

2的乘方的個(gè)位數(shù)字4個(gè)一循環(huán)，

200450，

2200的個(gè)位數(shù)字是6，JXND（覺醒年代）的理解是正確的；

2200(210)20,1060(103)20，2101024,1031000，且210103

22001060，故QGYW（強(qiáng)國有我）的理解是正確的；

故答案為：DDDD．

【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的含義，冪的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵．

例3（2022·安徽·中考真題）觀察以下等式：

222

第1個(gè)等式：21122122，

222

第2個(gè)等式：22134134，

222

第3個(gè)等式：23146146，

222

第4個(gè)等式：24158158，

……

按照以上規(guī)律．解決下列問題：

第8頁共66頁.

(1)寫出第5個(gè)等式：________；

(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．

222

【答案】(1)2516101610

222

(2)2n1(n1)2n1(n1)2n，證明見解析

【分析】（1）觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；

222

（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個(gè)等式為2n1(n1)2n1(n1)2n，利用完全

平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．

（1）

222

解：觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個(gè)等式為：2516101610，

222

故答案為：2516101610；

（2）

222

解：第n個(gè)等式為2n1(n1)2n1(n1)2n，

證明如下：

2

等式左邊：2n14n24n1，

22

等式右邊：(n1)2n1(n1)2n

(n1)2n1(n1)2n(n1)2n1(n1)2n

(n1)4n11

4n24n1，

222

故等式2n1(n1)2n1(n1)2n成立．

【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)

鍵．

第9頁共66頁.

整式及有關(guān)概念

(1)單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的_次

數(shù)，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)．單．獨(dú)．的．?dāng)?shù)．、．字．母．也．是．單．項(xiàng)．式．；

(2)多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù)，一

個(gè)多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；

(3)整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式；

(4)同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)；所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類

項(xiàng)．

整式的運(yùn)算

1．同底數(shù)冪的乘法法則：amanamn（m,n都是正整數(shù)）

同．底．?dāng)?shù)．冪．相．乘．，．底．?dāng)?shù)．不．變．，．指．?dāng)?shù)．相．加．。

mnmn

2．冪的乘方法則：(a)a（m,n都是正整數(shù)）

冪．的．乘．方．，．底．?dāng)?shù)．不．變．，．指．?dāng)?shù)．相．乘．。

冪的乘方法則可以逆用：即amn(am)n(an)m

nnn

3．積的乘方法則：(ab)ab（n是正整數(shù)）。

積．的．乘．方．，．等．于．各．因．?dāng)?shù)．乘．方．的．積．。

4．同底數(shù)冪的除法法則：amanamn（a0,m,n都是正整數(shù)，且mn)

同．底．?dāng)?shù)．冪．相．除．，．底．?dāng)?shù)．不．變．，．指．?dāng)?shù)．相．減．。

0

5．零指數(shù)：任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。即a1（a．≠．0．）

6．負(fù)整數(shù)指數(shù)：任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個(gè)數(shù)的p次冪的倒數(shù),即

1

p

ap

a(．a(chǎn)．≠．0．,．p．是．正．整．?dāng)?shù)．)．。

7．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同

它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

8．單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，

即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是單項(xiàng)式)。

第10頁共66頁.

9．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加。

10．單項(xiàng)式的除法法則：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含

有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

11．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的

的商相加。

12．添括號法則：

括號前面是+號，放進(jìn)括號里面的每一項(xiàng)都不變號。

括號前面是—號，放進(jìn)括號里面的每一項(xiàng)都要變號。

【變式1】（2022·河南南陽·二模）下列運(yùn)算正確的是（）

A．(a2)2a22a4B．(x2)3x6

C．2a3b5abD．x2x2x4

【答案】B

【分析】分別根據(jù)完全平方公式，冪的乘方運(yùn)算法則，合并同類項(xiàng)運(yùn)算法則化簡各項(xiàng)后再進(jìn)行判斷即可得

到結(jié)論．

【詳解】解：A.(a2)2a24a4，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B.(x2)3x6，計(jì)算正確，符合題意；

C.2a與3b不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.x2x22x2，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，冪的乘方，合并同類項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是解答本

題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·重慶文德中學(xué)校二模）我們知道，三個(gè)正整數(shù)a、b、c滿足a2b2c2，那么，a、b、c

成為一組勾股數(shù)；如果一個(gè)正整數(shù)m能表示成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)x、y的平方和，即mx2y2，那么稱m為廣

義勾股數(shù)，則下面的結(jié)論：

①7是廣義勾股數(shù)；②13是廣義勾股數(shù)；③兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)；

④兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)：⑤若xm2n2，y2mn，zm2n2，其中x，y，z，m，n是正

第11頁共66頁.

整數(shù)，則x，y，z是一組勾股數(shù)；

其中正確的結(jié)論是（）．

A．①③④⑤B．②④C．②③⑤D．②④⑤

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股數(shù)、廣義勾股數(shù)的定義，再結(jié)合整式的運(yùn)算，反證法逐項(xiàng)判斷即可．

【詳解】①7無法表示成mx2y2（x、y為非負(fù)整數(shù)），故7不是廣義勾股數(shù)，①錯(cuò)誤；

②132232，故13是廣義勾股數(shù)，②正確；

③兩個(gè)廣義勾股數(shù)10212，51222，

即和為61502122212，

但是6無法表示成mx2y2（x、y為非負(fù)整數(shù)），

故6不是廣義勾股數(shù)，即兩個(gè)廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù)的說法錯(cuò)誤，③錯(cuò)誤；

④設(shè)兩個(gè)廣義勾股數(shù)為mx2y2，np2q2，

則：mnx2y2p2q2x2p2y2q2x2q2y2p2，

22

即mnx2p22xypqy2q2x2q22xypqy2p2xpyqxqyp，

即mn是廣義勾股數(shù)，

則兩個(gè)廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù)，④正確：

⑤若xm2n2，y2mn，zm2n2，其中x，y，z，m，n是正整數(shù)，

則：x2m42m2n2n4，y24m2n2，z2m42m2n2n4，

即有：x2y2z2，

則x，y，z是一組勾股數(shù)，⑤正確，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，整式的運(yùn)算等知識，根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行變形是解答本題的關(guān)鍵．

【變式3】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）若單項(xiàng)式2ax2yn1與3axmy4的差是ax2y4，則2m3n____．

【答案】13

【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義，列出關(guān)于m、n的等式即可求解．

【詳解】解：單項(xiàng)式2ax2yn1與3axmy4的差是ax2y4，

m2，n14

第12頁共66頁.

解得：m2，n3，

把m2，n3代入2m3n13，

故答案為：13

【點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)，同類項(xiàng)定義中的兩個(gè)“相同”：所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同，相同字母

的指數(shù)相同是易混點(diǎn)．

AB2x6

【變式4】（2022·山東·臨清市教育和體育局教科研中心一模）已知，則

x12xx1x2

AB______．

【答案】6

【分析】根據(jù)分式、整式加減運(yùn)算，以及二元一次方程組的性質(zhì)計(jì)算，求得A與B的值，即可得到答案．

ABA(x2)B(x1)

【詳解】，

x12x(x1)(x2)(x1)(x2)

A(x2)B(x1)2x6

∴，

(x1)(x2)(x1)(x2)

∴A(x2)B(x1)2x6，

即(AB)x(2AB)2x6．

AB2

∴，

2AB6

A4

解得：

B2

∴A的值為4，B的值為2．

∴AB6

故答案為6．

【點(diǎn)睛】本題考查了分式、整式加減運(yùn)算、二元一次方程組的知識；熟練掌握分式加減運(yùn)算、整式加減運(yùn)

算、二元一次方程組的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學(xué)一模）現(xiàn)有甲乙兩個(gè)矩形，其邊長如圖所示（a＞0），周

長分別為C甲和C乙，面積分別為S甲和S乙．

(1)用含a的代數(shù)式表示C甲＝；C乙＝；S甲＝；S乙＝．

第13頁共66頁.

(2)通過觀察，小明發(fā)現(xiàn)“甲、乙兩個(gè)矩形的周長相等，與a值無關(guān)”；小亮發(fā)現(xiàn)“a值越大，甲、乙兩個(gè)矩形

的面積之差越大”．你認(rèn)為兩位同學(xué)的結(jié)論都正確嗎？如果不正確，請對錯(cuò)誤同學(xué)的結(jié)論說明理由．

【答案】(1)4a+24；4a+24；a212a27；a212a35；

(2)小明的結(jié)論正確，小亮的結(jié)論錯(cuò)誤，見解析

【分析】（1）根據(jù)周長和面積公式計(jì)算即可；

（2）利用（1）的結(jié)論解答即可．

（1）

解：C甲＝2（a+9+a+3）=4a+24；C乙＝2（a+7+a+5）=4a+24；

22

S甲＝（a+9）（a+3）=a12a27；S乙=（a+7）（a+5）=a12a35；

故答案為：4a+24；4a+24；a212a27；a212a35；

（2）

由（1）知C甲C乙；

22

S乙S甲a12a35a12a278，

∴甲、乙兩個(gè)矩形的周長相等，與a值無關(guān)；甲、乙兩個(gè)矩形的面積之差為定值8，與a值無關(guān)，

故小明的結(jié)論正確，小亮的結(jié)論錯(cuò)誤．

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的計(jì)算，整式的加減法，整式的乘除法，正確掌握整式的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)三乘法公式的應(yīng)用

例1（2022·江蘇南通·中考真題）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2n22mn，則(2m3n)2(m2n)(m2n)的

最大值為（）

4416

A．24B．C．D．4

33

【答案】B

2

【分析】先將所求式子化簡為107mn，然后根據(jù)mnm2n22mn0及m2n22mn求出

2

mn，進(jìn)而可得答案．

3

第14頁共66頁.

【詳解】解：(2m3n)2(m2n)(m2n)

4m212mn9n2m24n2

5m212mn5n2

52mn12mn

107mn；

2

∵mnm2n22mn0，m2n22mn，

∴2mn2mn0，

∴3mn2，

2

∴mn，

3

44

∴107mn，

3

44

∴(2m3n)2(m2n)(m2n)的最大值為，

3

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，正確對所求式子化簡并求出mn的

取值范圍是解題的關(guān)鍵．

例2（2022·江蘇泰州·中考真題）已知a2m2mn,bmn2n2,cm2n2(mn)用“＜”表示a、b、c的

大小關(guān)系為________.

【答案】b<c<a

【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再與0比較大小即可求解．

【詳解】解：由題意可知：a-b=(2m2-mn)-(mn-2n2)=(m2+n2-2mn)+m2+n2=(m-n)2+m2+n2，

∵mn，

∴(m-n)2+m2+n2>0，

∴ba；

n3n

a-c=(2m2-mn)-(m2-n2)=m2-mn+n2=(m-)2+n2，當(dāng)且僅當(dāng)m-=0且n=0時(shí)取等號，此時(shí)

242

mn0與題意mn矛盾，

n3

∴(m-)2+n2>0

24

∴ca；

第15頁共66頁.

n3

c-b=(m2-n2)-(mn-2n2)=m2-mn+n2=(m-)2+n2，同理bc，

24

故答案為：b<c<a．

【點(diǎn)睛】本題考查了兩代數(shù)式通過作差比較大小，將作差后的結(jié)果配成完全平方式，利用完全平方式總是

大于等于0的即可與0比較大?。?/p>

例3（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史

的一個(gè)里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何

給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中．

(1)我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，（下面

各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對應(yīng)公式的序號）

公式①：abcdadbdcd

公式②：abcdacadbcbd

2

公式③：aba22abb2

2

公式④：aba22abb2

圖1對應(yīng)公式______，圖2對應(yīng)公式______，圖3對應(yīng)公式______，圖4對應(yīng)公式______；

(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式ababa2b2的方法，如圖5，請寫出

證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）

第16頁共66頁.

(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)

重合），過點(diǎn)E作EGBC于點(diǎn)G，作EHADF點(diǎn)H過點(diǎn)B作BF//AC交EG的延長線于點(diǎn)F．記△BFG

與△CEG的面積之和為S1，△ABD與△AEH的面積之和為S2．

S

①若E為邊AC的中點(diǎn)，則1的值為_______；

S2

②若E不為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

【答案】(1)①，②，④，③

(2)證明見解析

(3)①2

②結(jié)論仍成立，理由見解析

【分析】（1）觀察圖形，根據(jù)面積計(jì)算方法即可快速判斷；

（2）根據(jù)面積關(guān)系：矩形AKHD面積=矩形AKLC面積+矩形CLHD面積=矩形DBFG面積+矩形CLHD面

積=正方形BCEF面積－正方形LEGH面積，即可證明；

（3）①由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設(shè)

BD=a，從而用含a的代數(shù)式表示出S1、S2進(jìn)行計(jì)算即可；②由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG

都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設(shè)BD=a，DG=b，從而用含a、b的代數(shù)式表示出S1、S2進(jìn)

行計(jì)算即可．

（1）

解：圖1對應(yīng)公式①，圖2對應(yīng)公式②，圖3對應(yīng)公式④，圖4對應(yīng)公式③；

故答案為：①，②，④，③；

（2）

解：由圖可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，

第17頁共66頁.

∴S矩形AKLCS矩形DBFGaab，

∵S矩形AKHDS矩形AKLCS矩形CLHD，

22

∴S矩形AKHDS矩形DBFGS矩形CLHDS正方形BCEFS正方形LEGHab，

又∵S矩形AKHDabab，

∴ababa2b2；

（3）

解：①由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，

設(shè)BDa，

113

∴ADBDa，AHHEDGa，EGCGa，F(xiàn)GBGa，

222

2

∴1321152，

S1S△BFGS△CEG(a)aa

22224

2

121152，

S2S△ABDS△AEHaaa

2228

S

∴12；

S2

故答案為：2；

②成立，證明如下：

由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，

設(shè)BDa，DGb，

∴ADBDa，AHHEDGb，EGCGab，F(xiàn)GBGab，

121222

∴SS△S△(ab)abab，

1BFGCEG22

1212122

S2S△ABDS△AEHabab，

222

S

∴12仍成立．

S2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了公式的幾何驗(yàn)證方法，矩形和正方形的判定與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想，觀察圖

形，通過圖形面積解決問題是解題的關(guān)鍵．

第18頁共66頁.

乘法公式

22

1．平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。即(ab)(ab)ab

2．完全平方和公式：兩個(gè)數(shù)的和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，再加上這兩個(gè)的積的2倍。即：（．a(chǎn)．+．b．）．

2．=．a(chǎn)．2．+．b．2．+．2．a(chǎn)．b．

3.完全平方差公式：兩個(gè)數(shù)的差的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和，再減上這兩個(gè)的積的2倍。即：（．a(chǎn)．-．b．）．

2．=．a(chǎn)．2．+．b．2．-．2．a(chǎn)．b．

(ab)2a22abb2

完．全．平．方．公．式．的．口．訣．：．首．平．方．，．尾．平．方．，．首．尾．2．倍．中．間．放．，．符．號．和．前．一．個(gè)．樣．。

【變式1】（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)模擬預(yù)測）若整式4x2M1是完全平方式，下列不滿足要求

的是（）

A．M1B．M4xC．M4x4D．M0

【答案】D

【分析】根據(jù)完全平方公式的要求進(jìn)行判斷即可．

【詳解】∵M(jìn)1，

∴4x2M1=4x2114x2(2x)2，是完全平方式，

∴A不符合題意；

∵M(jìn)4x，

∴4x2M1=4x24x1(2x1)2，是完全平方式，

∴B不符合題意；

∵M(jìn)4x4，

∴4x2M1=4x24x41(2x21)2，是完全平方式，

∴C不符合題意；

∵M(jìn)0，

∴4x2M1=4x21，不是完全平方式，

∴D符合題意；

故選D．

第19頁共66頁.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的要求是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·山東山東·三模）如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和

諧數(shù)”．如83212，165232，即8，16均為“和諧數(shù)”．在不超過2022的正整數(shù)中，所有“和諧數(shù)”之和

等于（）

A．255054B．255064C．250554D．255024

【答案】D

3

【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2022，解得n≤252，可得在不超過2022的正整數(shù)中，“和諧數(shù)”共

4

有252個(gè)，依此列式計(jì)算即可求解．

【詳解】解:由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2022，

3

解得：n≤252，

4

則在不超過2027的正整數(shù)中，

所有的“和諧數(shù)”之和為32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032=5052﹣12=255024．

故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，弄清題中“和諧數(shù)”的定義是解答本題的關(guān)鍵．

3x22xy12y247

【變式】（浙江麗水一模）已知，滿足方程組，

32022··xy22

2xxy8y36

（1）代數(shù)式x24y2的值是_____．

11

（2）代數(shù)式的值是______．

x2y

5

【答案】17

4

【分析】（1）令x24y2m，xyn，將原方程組可化為關(guān)于m、n的二元一次方程組，進(jìn)行求解即可；

11

（2）先根據(jù)完全平方公式求出x2y5，再將通分進(jìn)行計(jì)算即可．

x2y

【詳解】（1）令x24y2m，xyn，

3m2n47

原方程組可化為，

2mn36

m17

解得，

n2

即x24y217，xy2，

第20頁共66頁.

故答案為：17；

（2）(x2y)2x24y24xy17825，

x2y5

11x2y5

，

x2y2xy4

5

故答案為：．

4

【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，完全平方公式的變形，異分母分式相加等，熟練掌握知識點(diǎn)并運(yùn)

用整體代入法是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2022·江蘇南通·二模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足ab4，a2b216c，當(dāng)1c2時(shí)，多項(xiàng)式

11

a2abb2的最大值為m，最小值為n，則mn______．

22

【答案】16

1212

【分析】根據(jù)已知等式求得ab44c2，設(shè)yaabb，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù)，根據(jù)二次函

22

數(shù)的性質(zhì)求得m,n的值，即可求解．

【詳解】解：∵ab4，a2b216c，abab16c

∴ab4c

ab4

ab4c

a2c2

解得

b22c

ab44c2

1112

設(shè)ya2abb2a2b2ab8cab4c28c44c1

222

對稱軸為直線x1，開口向下，頂點(diǎn)為1,0，

當(dāng)1c2時(shí)，112,211

2

x1時(shí)，y取得最小值，最小值為n41116

當(dāng)x=1時(shí)，y取得最大值，最大值為m=0，

當(dāng)1c2時(shí)，y最大值為m，最小值為n，

m0，n16

第21頁共66頁.

mn16

故答案為：16

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，將多項(xiàng)式表示成關(guān)于c的二次函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）已知：整式An21，B2n，Cn21，整式C0．

(1)當(dāng)n1999時(shí)，寫出整式AB的值______（用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果）；

(2)求整式A2B2；

(3)嘉淇發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)，你認(rèn)為嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由．

【答案】(1)4106

(2)(n21)2

(3)正確，理由見解析

2

ABn212nn1

【分析】（1）根據(jù)題意可得，，把n1999代入計(jì)算應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法表示方法進(jìn)

行計(jì)算即可得出答案；

22

（2）把An21，B2n，代入A2B2中，可得n212n，應(yīng)用完全平方公式及因式分解的方法進(jìn)行

計(jì)算即可得出答案；

222

（3）先計(jì)算B2C22nn21，計(jì)算可得n21，應(yīng)用勾股定理的逆定理即可得出答案．

（1）

2

解：ABn212nn1，

當(dāng)n1999時(shí)，

2

原式19991

20002

4106；

故答案為：4106；

（2）

22

A2B2n212n

2

n22n214n2

2

n22n21

第22頁共66頁.

(n21)2；

（3）

嘉淇的發(fā)現(xiàn)正確，理由如下：

22

B2C22nn21

2

4n2n22n21

2

n21，

B2C2A2，

當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)，整式A、B、C滿足一組勾股數(shù)．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握勾股定理及逆定理，科學(xué)記數(shù)法的計(jì)

算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)四整式的化簡求值

例1（2022·西藏·中考真題）下列計(jì)算正確的是（）

A．2ab﹣ab＝abB．2ab+ab＝2a2b2

C．4a3b2﹣2a＝2a2bD．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2

【答案】A

【詳解】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，選項(xiàng)正確，符合題意；

B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C、4a3b2與﹣2a不是同類項(xiàng)，不能合并，選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D、﹣2ab2與﹣a2b不是同類項(xiàng)，不能合并，選項(xiàng)不正確，不符合題意．

故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減．在計(jì)算的過程中，把同類項(xiàng)進(jìn)行合并，不能合并的直接寫在結(jié)果中即可．

例2（2022·青海西寧·中考真題）3x22xy3=_________

【答案】6x3y3

【分析】根據(jù)積的乘方法則計(jì)算即可．

【詳解】解：3x22xy3=6x3y3，

第23頁共66頁.

故答案為：6x3y3．

【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．

1

例3（2022·廣西·中考真題）先化簡，再求值xyxyxy22xyx，其中x1,y．

2

【答案】x2-2y，0

【分析】首先運(yùn)用平方差公式計(jì)算，再運(yùn)用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算，最后合并同類項(xiàng)，即可化簡，然后把x、

y值代入計(jì)算即可．

【詳解】解：xyxyxy22xyx

=x2-y2+y2-2y

=x2-2y

11

當(dāng)x=1，y=時(shí)，原式=12-2×=0．

22

【點(diǎn)睛】本題考查整式化簡求值，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

合并同類項(xiàng)

（1）定義：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)．

（2）合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．

（3）合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：

①要掌握同類項(xiàng)的概念，會辨別同類項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；

字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過合并同類項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會減少，達(dá)到化

簡多項(xiàng)式的目的；

③“合并”是指同類項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)

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不變．

【變式1】（2022·河北唐山·三模）在化簡3a2bab2a2bab◆2ab題中，◆表示＋，－，×，÷四個(gè)運(yùn)

算符號中的某一個(gè)．當(dāng)a2，b1時(shí)，3a2bab2a2bab◆2ab的值為22，則◆所表示的符號為（）

A．B．C．＋D．－

【答案】B

【分析】根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)，依次代入原式，進(jìn)行化簡求值，即可得到答案．

22

【詳解】解：A．若◆所表示的符號為，則原式=3abab2abab2ab=3a2b3aba1，當(dāng)a2，

b1時(shí)，原式=7，不符合題意；

22

B．若◆所表示的符號為，則原式=3abab2abab2ab=3a2b3ab4a3b24a2b2，當(dāng)a2，b1

時(shí)，原式=22，符合題意；

2