專題03 分式及其運(yùn)算（4大考點(diǎn)）（原卷版）

第一部分?jǐn)?shù)與式

專題03分式及其運(yùn)算

核心考點(diǎn)一分式的概念

核心考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)三分式的運(yùn)算

核心考點(diǎn)四分式的化簡(jiǎn)求值

新題速遞

核心考點(diǎn)一分式的概念

21221x1

例1（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（）

5x243xx2

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

1

例2（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若代數(shù)式x1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

x

___________．

2a26a9

例3（2022·湖北黃石·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：1，從-3，-1，2中選擇合適的a

a1a1

的值代入求值．

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知識(shí)點(diǎn)：分式的概念

一般地,如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母,那么式子A叫做分式，其中A叫做分式

B

的分子，B叫做分式的分母。

注意

A

（1）分式有意義的條件:分母不為零，即B01.分式可以表示兩個(gè)整式相除，其中分子為

B被除式，分母為除式，分?jǐn)?shù)線起除號(hào)和括號(hào)

的作用。

（2）分式值為零：分子為零，且分母不為零。即A

B2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含

（A0且B0）字母，但分母中必須含有字母，這是區(qū)別分

式和整式的重要依據(jù)。

3.在任何情況下，分式的分母的值都不為0，

否則分式無意義。

xx2－1

【變式1】（2022·河北石家莊·一模）關(guān)于代數(shù)式M=1－，下列說法正確的是（）

x＋1x2＋2x＋1

1

A．當(dāng)x=1時(shí)，M的值為0B．當(dāng)x=﹣1時(shí)，M的值為﹣

2

C．當(dāng)M=1時(shí)，x的值為0D．當(dāng)M=﹣1時(shí)，x的值為0

2

【變式2】（2022·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）若a（m為正整數(shù)），且a、b互為相反數(shù)，b、c互為倒

1(1)m

數(shù)，則abbm(bc)2m的值為（）

A．0B．1C．2D．0或2

【變式3】（2022·廣東·華南師大附中三模）把代數(shù)式3x36x2y3xy2分解因式，結(jié)果正確的是___________；

x12

若分式的值為零，則x的值為___________；若代數(shù)式x26xb可化為xa1，則ba的值是

x1

___________．

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【變式4】（2022·廣東·華南師大附中三模）把代數(shù)式3x36x2y3xy2分解因式，結(jié)果正確的是___________；

x12

若分式的值為零，則x的值為___________；若代數(shù)式x26xb可化為xa1，則ba的值是

x1

___________．

【變式5】（2022·廣東佛山·二模）平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)一次函數(shù)y1，y2，其中y1的圖象與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為2且經(jīng)過點(diǎn)1,2，y2mx2．

(1)求函數(shù)y1的關(guān)系式；

1122

(2)當(dāng)y2的圖象經(jīng)過兩點(diǎn),n和n,1時(shí)，求的值；

22nm

(3)當(dāng)x1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有y1y2，求m的取值范圍．

核心考點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)

例1（2020·河北·中考真題）若a1b，則下列分式化簡(jiǎn)正確的是（）

1

a

a2aa2aa2aa

A．B．C．D．2

21

b2bb2bbbbb

2

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2x8

例2（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）分式與的最簡(jiǎn)公分母是_______，方程

x2x22x

2x8

1的解是____________．

x2x22x

x34x2

例3（2021·廣西梧州·中考真題）計(jì)算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．

x2

知識(shí)點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)

分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。

AACAAC

,（C0），其中A、B、C是整式。利用分式的基本性質(zhì)可以進(jìn)行約分、

BBCBBC

通分。

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的約去，叫做分式的約分，約

分通常是把分式化成最簡(jiǎn)分式或整式。

利用分式的基本性質(zhì)，把異分母分式化成分式，叫做分式的通分。

符號(hào)法則：改變分子、分母及整個(gè)分式三者中任意兩個(gè)的符號(hào)，分式的值不變，即

AAAA

BBBB

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a

【變式1】（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)ba1．則下列各式中比的值大的是（）

b

2aa2a1a1

A．B．C．D．

2bb2b1b1

2a

【變式2】（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不變，那么分式應(yīng)（）

a3b

A．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b擴(kuò)大3倍B．a(chǎn)，b同時(shí)擴(kuò)大3倍

C．a(chǎn)擴(kuò)大2倍，b縮小3倍D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍

112x3xy2y

【變式3】（2022·湖北襄陽·一模）已知4，則分式的值為______．

yxx2xyy

【變式4】（2021·湖南·一模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＝ab＝c，有下列結(jié)論：

11

①若c≠0，則＝1；

ab

②若a＝3，則b＋c＝9；

③若a＝b＝c，則abc＝0；

④若a，b，c中只有兩個(gè)數(shù)相等，則a＋b＋c＝8.

其中正確的是____．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)

【變式5】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）（1）不改變分式的值，把下列分子和分母的最高次的系數(shù)都化為正

4n2

數(shù)________．

n32

x0.2y

（2）不改變分式的值，把下列分子和分母的中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)_______．

0.5x0.3y

2x3

（3）若分式的值是整數(shù)，求整數(shù)x的值．

x1

2

1x

（4）已知x2，求的值．

xx4x21

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核心考點(diǎn)三分式的運(yùn)算

m2n22m

例1（2022·山東濟(jì)南·中考真題）若m－n＝2，則代數(shù)式的值是（）

mmn

A．－2B．2C．－4D．4

4a4a2

例2（2022·山東菏澤·中考真題）若a22a150，則代數(shù)式a的值是________．

aa2

a10

4a2

例（內(nèi)蒙古通遼中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，請(qǐng)從不等式組的整

32022··a24a5

aa1

3

數(shù)解中選擇一個(gè)合適的數(shù)求值．

知識(shí)點(diǎn)：分式的運(yùn)算

1、分式的運(yùn)算法則

acac

分式乘法分子的積作積的，用分母的積作積的分母

bdbd

acadad

分式除法將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式

bdbcbc

aan

分式乘方分子、分母分別()n

bbn

abab

同分母分式加減分母不變,分子

ccc

acadbcadbc

異分母分式加減先，變?yōu)橥帜傅姆质胶笤傧嗉訙p。bdbdbdbd

分式的混合運(yùn)算：

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分式的混合運(yùn)算，有多項(xiàng)式的，一般先因式分解，能約分的進(jìn)行約分；有括號(hào)的先算括號(hào)，

有乘方的先算乘方；先乘除后加減。異分母相加減，先通分，化為同分母，再加減。

a35

例：a2分式化簡(jiǎn)中的誤區(qū)

a22aa2

a3a2a25

1.注意分式混合運(yùn)算順序

aa2a2a2

a3a292.分式化簡(jiǎn)不同于解分式方程,化簡(jiǎn)過程中不能去分

aa2a2母.

a3a2

aa2a3a33.分?jǐn)?shù)線有除號(hào)和括號(hào)兩重作用,同分母分式相加減

1(分子是多項(xiàng)式),分子應(yīng)整體加括號(hào).

aa3

2mnn2m2n2

【變式1】（2022·云南·開遠(yuǎn)市教育科學(xué)研究所二模）化簡(jiǎn)m2的正確結(jié)果是（）

mmmn

11

A．m－nB．m+nC．D．

mnmn

3a41

【變式2】（2022·河北保定·一模）已知分式：(a)(■)的某一項(xiàng)被污染，但化簡(jiǎn)的結(jié)果等于a2，

a3a2

被污染的項(xiàng)應(yīng)為（）

a2a3

A．0B．1C．D．

a3a2

4aa2a1

【變式3】（2022·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知a為2a4范圍的整數(shù)，則的值

aa22aa24a4

是______．

AB2x6

【變式4】（2022·山東·臨清市教育和體育局教科研中心一模）已知，則

x12xx1x2

AB______．

【變式5】（2022·浙江舟山·二模）老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡(jiǎn)，規(guī)則是：每人只能

看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化簡(jiǎn)，過程如圖所示：

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(1)接力中，自己負(fù)責(zé)的一步出現(xiàn)錯(cuò)誤的是

A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁

(2)請(qǐng)你書寫正確的化簡(jiǎn)過程，并在“1,0,2，-2”中選擇一個(gè)合適的數(shù)求值．

核心考點(diǎn)四分式的化簡(jiǎn)求值

x3xy2

例1（2020·湖北孝感·中考真題）已知x51，y51，那么代數(shù)式的值是（）

xxy

A．2B．5C．4D．25

例2（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形PQMN，已知①

和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)矩形的面積都是5.AEa,DEb，且ab．

（1）若a，b是整數(shù)，則PQ的長是___________；

S四邊形ABCD

（2）若代數(shù)式a22abb2的值為零，則的值是___________．

S矩形PQMN

22(1)10|6|33

例3（2022·山東濰坊·中考真題）（1）在計(jì)算時(shí)，小亮的計(jì)算過程如下：

3tan30364(2)2(2)0

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22(1)10|6|33

解：

3tan30364(2)2(2)0

4(1)627

334220

41627

316

2

小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤，幫助小亮找出了3個(gè)錯(cuò)誤．請(qǐng)你找出其他錯(cuò)誤，參照①～③的格式寫在橫線上，

并依次標(biāo)注序號(hào)：

10

①224；②(1)1；③66；

____________________________________________________________________________．

請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過程．

21x23x

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是方程x22x30的根．

x3xx26x9

知識(shí)點(diǎn)：分式化簡(jiǎn)求值的一般步驟

(1)按運(yùn)算順序?qū)λo分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化為最簡(jiǎn)分式或整式；

(2)代入求值(代入求值時(shí)要注意使原分式及化簡(jiǎn)過程中出現(xiàn)的分式均有意義)。

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b2ab

【變式1】（2022·內(nèi)蒙古·科爾沁左翼中旗教研室模擬預(yù)測(cè)）若ab2，則代數(shù)式a的值為（）

aa

11

A．B．C．2D．－2

22

2abb2b2a2

【變式2】（2022·山東·昌樂縣教學(xué)研究室一模）如果a3b0，那么代數(shù)式a的值是

aa

（）

1111

A．B．C．D．

4242

aba3ab

【變式3】（2023·福建莆田·二模）已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足b，則的值等于__________．

2a12ab

【變式4】（2022·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三

角”，它具有一定規(guī)律性，從圖中取一列數(shù)：1，3，6，10，…，分別記為a11，a23，a36，a410，…，

1111

那么的值是______．

a1a2a3a10

【變式5】．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)在解分式的化簡(jiǎn)求值題時(shí)，發(fā)現(xiàn)所得

答案與參考答案不同．下面是他所解的題目和解答過程：

2x1

先化簡(jiǎn)（1），再將x＝5代入求值．

x2xx2x

2x12

解：原式1……第1步

x2xx2xx2x

22

第2步

x1x2x

2x2

第3步

xx1xx1

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2x2

第4步

xx1

2x1

第5步

xx1

2

第6步

x

2

當(dāng)x＝5時(shí)，原式第7步

5

(1)以上步驟中，第步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)果與答案不同，錯(cuò)誤的原因是；

(2)請(qǐng)你把正確的解答過程寫出來；

(3)請(qǐng)你提出一條解答這類題目的建議．

第11頁共15頁.

【新題速遞】

x24

1．（2022·山東·濟(jì)南市歷城區(qū)教育教學(xué)研究中心一模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

x22x

12

A．x2B．x-2C．D．

x2x+2

2x1

2．（2022·北京市三帆中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如果yx3，且xy，那么代數(shù)式的值為（）

x2y2yx

11

A．B．C．3D．3

33

ab

3．（2022·北京昌平·二模）若ab1，則代數(shù)式1的值為（）

ba2b2

A．2B．1C．1D．2

x21x1

4．（2022·廣東深圳·二模）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

2xx

2x1

A．x1B．x1C．D．

x12

2xx1

5．（2022·河北·育華中學(xué)三模）要比較A與B中的大?。▁是正數(shù)），知道AB的正負(fù)就可以

x12

判斷，則下列說法正確的是（）

A．ABB．A＞BC．ABD．A＜B

11

6．（2021·云南普洱·一模）若x＜0，x5，則x的值為（）

xx

A．﹣3B．﹣1C．1D．3

MN5x8

7．（2022·山東濟(jì)南·一模）若，則M，N的值分別為（）

2x13x26x2x2

1111

A．M2，N3B．M，NC．M3，N2D．M，N

2332

2

8．（2021·河南周口·二模）已知函數(shù)y，其中f(a)表示xa時(shí)的函數(shù)值，則

1x

111

ffff1f2f2020f2021的值為（）

202120202

A．2020B．2021C．4040D．4041

x2xy

9．（2022·貴州黔西·二模）已知，則______.

y3y

3xm

10．（2022·湖北黃石·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的方程4的解是負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是______．

x3

1aabb

11．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知：a與b互為相反數(shù)，且ab，則______．

2a2ab1

11a1

12．（2022·北京密云·二模）已知a22a20，則代數(shù)式的值為______．

a1a21a22a1

第12頁共15頁.

x22

13．（2022·湖北·廣水市教學(xué)研究室二模）對(duì)于實(shí)數(shù)x0，規(guī)定fx，例如f2，

x1213

1

111111

f2，那么計(jì)算fffff(1)f(2)f(3)f(2020)的

1

2132020201920182

2

結(jié)果是______．

14．（2022·重慶市育才中學(xué)二模）臨近端午，某粽子銷售商向市場(chǎng)推出白粽、豆沙粽和蛋黃粽三種粽子套餐．推

1

出市場(chǎng)的第一周，白粽套餐的銷量等于蛋黃粽套餐的銷量，豆沙粽套餐的銷量占白粽套餐銷量的，三種

9

粽子套餐的銷量之和不少于380份，不多于475份．每份蛋黃粽套餐的成本是每份白粽套餐與每份豆沙粽

套餐的成本之和，粽子銷售商準(zhǔn)備這三種套餐成本一共6132元，且準(zhǔn)備的套餐全部售出三種粽子套餐在第

一周推出后，廣受大眾歡迎，在第一周銷量的基礎(chǔ)上第二周三種粽子套餐銷量都有所增加，其中豆沙粽套

56

餐增加的銷量占總增加銷量的，豆沙粽套餐的總銷量達(dá)到三種粽子套餐總量的，此時(shí)白粽與豆沙粽總

1231

銷量之比為5：2，已知第二周每份白粽套餐的成本不變，白粽套餐每份售價(jià)為10元，而每份豆沙粽套餐的

8

成本下降了3元，每份蛋黃粽套餐的成本是第一周的倍，且準(zhǔn)備的套餐全部賣完，最后三種粽子套餐的

11

總利潤率為20%．則第二周銷售時(shí)豆沙粽套餐銷售額與蛋黃粽套餐的銷售額之和為_________元．（三種粽

子套餐的成本和售價(jià)均為正整數(shù)，售價(jià)大于成本）

a22a1a2a2

15．（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）先化簡(jiǎn)后求值，其中a3．

a21a1a

9a23a1

16．（2022·山東·濟(jì)南育英中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a52

a2