專題26 概率（4大考點(diǎn)）（原卷版）

第七部分統(tǒng)計(jì)與概率

專題26概率

核心考點(diǎn)一事件的分類及概率的意義

核心考點(diǎn)二頻率與概率

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)三概率的計(jì)算

核心考點(diǎn)四統(tǒng)計(jì)與概率結(jié)合

新題速遞

核心考點(diǎn)一事件的分類及概率的意義

例1（2021·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某數(shù)學(xué)老師將1~10共十個(gè)整數(shù)依次寫(xiě)在十

張不透明的卡片上（每張卡片上只寫(xiě)一個(gè)數(shù)字，每一個(gè)數(shù)字只寫(xiě)在一張卡片上，而且把寫(xiě)有數(shù)字的那一面

朝下）．他先像洗撲克牌一樣打亂這些卡片的順序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同學(xué)叫到講臺(tái)上，隨機(jī)

地發(fā)給每位同學(xué)兩張卡片，并要求他們把自己手里拿的兩張卡片上的數(shù)字之和寫(xiě)在黑板上，寫(xiě)出的結(jié)果依

次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根據(jù)以上信息，下列判斷正確的是（）

A．戊同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是8和9

B．丙同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是9和7

C．丁同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是3和4

D．甲同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是2和9．

例2（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)黃球，現(xiàn)放若干個(gè)紅球，它們與黃球

除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出兩個(gè)球，使得P（摸出一紅一黃）＝P（摸出兩紅），則放入的紅球

個(gè)數(shù)為_(kāi)_．

例3（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）某醫(yī)院計(jì)劃選派護(hù)士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護(hù)士積

極報(bào)名參加，其中甲是共青團(tuán)員，其余3人均是共產(chǎn)黨員．醫(yī)院決定用隨機(jī)抽取的方式確定人選．

(1)“隨機(jī)抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；

A．不可能B．必然C．隨機(jī)

(2)若需從這4名護(hù)士中隨機(jī)抽取2人，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護(hù)士都是共產(chǎn)黨員的概

率．

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1.確定事件與隨機(jī)事件：

（1）確定事:事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能

事件，必然事件和不可能事件都是確定的．

（2）隨機(jī)事件:在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件．

（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）=1；

②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）=0；

③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0＜P（A）＜1．

2.可能性的大小：

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法：

3.概率的意義：

m

（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率P(A)，會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這

n

個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p．

（2）概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．

（3）概率取值范圍：0≤p≤1．

（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）=0．

（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．

【變式1】（2021·福建廈門·校考一模）下列說(shuō)法不正確的是（）

A．選舉中，人們通常最關(guān)心的數(shù)據(jù)是眾數(shù)

22

B．若甲組數(shù)據(jù)的方差s甲0.05，乙組數(shù)據(jù)的方差s乙0.1，則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定

C．要了解一批煙花的燃放時(shí)間，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方法

D．某游戲的中獎(jiǎng)率是60%，說(shuō)明參加該活動(dòng)10次就有6次會(huì)中獎(jiǎng)

【變式2】（2022·湖北咸寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)不透明的袋子中，裝有6個(gè)大小和形狀一樣的小球，其

中2個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球，它們已在口袋中被攪勻，現(xiàn)在有一個(gè)事件：從口袋中任意摸出n個(gè)球，

在這n個(gè)球中，紅球、白球、黑球至少各有一個(gè)，則當(dāng)n_________時(shí)，這個(gè)事件必然發(fā)生．

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【變式3】（2022·江西萍鄉(xiāng)·校考模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)藍(lán)色不透明的盒子中放三張分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3的卡

片，在一個(gè)綠色不透明的盒子中放兩張分別寫(xiě)有數(shù)字4，5，6的卡片，所有卡片除數(shù)字外完全相同．現(xiàn)按

下列要求抽取卡片．

(1)在________色盒子中抽到卡片是偶數(shù)的可能性更大，在藍(lán)色盒子中抽到卡片為合數(shù)是________事件；

(2)先從藍(lán)盒中隨機(jī)抽取一張卡片，再?gòu)木G盒中隨機(jī)抽取一張卡片，求兩張卡片上數(shù)字之和是奇數(shù)的概率．

核心考點(diǎn)二頻率與概率

例1（2020·遼寧營(yíng)口·中考真題）某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績(jī)記錄如下：

射擊次數(shù)20801002004001000

“射中九環(huán)以上”的次數(shù)186882168327823

“射中九環(huán)以上”的頻率（結(jié)果保留兩位小數(shù)）0.900.850.820.840.820.82

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“射中九環(huán)以上”的概率約是（）

A．0.90B．0.82C．0.85D．0.84

例2（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）在一個(gè)不透明的袋中裝有若干個(gè)紅球，為了估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)，

小明在袋中放入3個(gè)黑球（每個(gè)球除顏色外其余都與紅球相同），搖勻后每次隨機(jī)從袋中摸出一個(gè)球，記下

顏色后放回袋中，通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.85左右，則袋中紅球約有_____

個(gè)．

例3（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)不透明的箱子里裝有3個(gè)紅色小球和若干個(gè)白色小球，每個(gè)小

球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子里，通

過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右．

（1）請(qǐng)你估計(jì)箱子里白色小球的個(gè)數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個(gè)小球，求兩次摸出的小球

顏色恰好不同的概率（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法）．

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1.利用頻率估計(jì)概率

（1）大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻

率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．

（2）用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．

（3）當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通

過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率．

【變式1】（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，小紅在一張長(zhǎng)為6m，寬為5m的長(zhǎng)方形紙上畫(huà)了一個(gè)老虎圖

案，他想知道該圖案的面積大小，于是想了這樣一個(gè)辦法，朝長(zhǎng)方形的紙上扔小球，并記錄小球落在老虎

圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長(zhǎng)方形紙外不計(jì)試驗(yàn)結(jié)果），他將若干次有效試驗(yàn)的結(jié)果整理成統(tǒng)計(jì)表，由

此他估計(jì)此圖案的面積大約為（）

試驗(yàn)次數(shù)m60120180240300360420480

小球落在圖案內(nèi)的次數(shù)n22386583102126151168

n

0.370.320.360.350.340.350.360.35

小球落在圖案內(nèi)的頻率m

A．11.1m2B．10.5m2C．9.6m2D．9m2

【變式2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）國(guó)慶節(jié)期間，小紅的媽媽經(jīng)營(yíng)的玩具店進(jìn)了一紙箱除顏色外都相同

的散裝塑料球共1000個(gè)，小紅將紙箱里面的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下其顏色，把它放回紙箱中；

攪勻后再隨機(jī)摸出一個(gè)球記下其顏色，把它放回紙箱中；…多次重復(fù)上述過(guò)程后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率逐

漸穩(wěn)定在0.3，由此可以估計(jì)紙箱內(nèi)紅球的個(gè)數(shù)約是______個(gè)．

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【變式3】（2023·廣西南寧·廣西大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考一模）黔東南州某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展摸球試驗(yàn)，具

體操作如下：在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的小球共4個(gè)，這些球除顏色外無(wú)其它差別，將

球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，然后再把它放回盒子里攪勻，再隨機(jī)摸出一球記下顏色，不斷重

復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)．下表是這次活動(dòng)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)n1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)m263850127197251

m

0.2600.2530.2500.2540.2460.251

摸到白球的頻率n

(1)請(qǐng)你根據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)：從不透明的盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是白球的概率約為

___________（精確到0.01）；

(2)試估算盒子里有多少個(gè)白球？

(3)根據(jù)第（2）題的估算結(jié)果，若從盒子里隨機(jī)摸出兩球，請(qǐng)畫(huà)樹(shù)狀圖或列表求“摸到兩個(gè)顏色相同小球”的

概率．

核心考點(diǎn)三概率的計(jì)算

例1（2021·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）連接正六邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，并將中間的六邊形涂成黑色，制

成如圖所示的鏢盤．將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在黑色區(qū)域的概率為（）

1113

A．B．C．D．

4323

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例2（2022·遼寧錦州·中考真題）若關(guān)于x的方程x23xm0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且m3，則從

滿足條件的所有整數(shù)m中隨機(jī)選取一個(gè)，恰好是負(fù)數(shù)的概率是____________．

例3（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）教育部在《大中小學(xué)勞動(dòng)教育指導(dǎo)綱要（試行）》中明確要求：初中生

每周課外生活和家庭生活中，勞動(dòng)時(shí)間不少于3小時(shí)．某走讀制初級(jí)中學(xué)為了解學(xué)生勞動(dòng)時(shí)間的情況，對(duì)

學(xué)生進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，如圖：

平均每周勞動(dòng)時(shí)間的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表

勞動(dòng)時(shí)間小時(shí)頻數(shù)

t＜39

3≤t＜4a

4≤t＜566

t≥515

請(qǐng)根據(jù)圖表信息，回答下列問(wèn)題．

(1)參加此次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是______人，頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表中a＝______；

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D組所在扇形的圓心角度數(shù)是______°；

(3)該校準(zhǔn)備開(kāi)展以“勞動(dòng)美”為主題的教育活動(dòng)，要從報(bào)名的2男2女中隨機(jī)挑選2人在活動(dòng)中分享勞動(dòng)心

得，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

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概率的計(jì)算公式是：P(A)=m/n，“(A)”表示事件，“m”表示事件（A）發(fā)生的總數(shù)，“n”是總事件發(fā)生

的總數(shù)。概率的計(jì)算需要具體情況具體分析，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的萬(wàn)能公式。

【變式1】（2021·廣西百色·統(tǒng)考一模）有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成如圖所示的幾個(gè)扇形，

游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，游戲者就配成了紫色，下

列說(shuō)法正確的是（）

A．兩個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出藍(lán)色的概率一樣大

B．如果A轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么B轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出藍(lán)色的可能性變小了

C．先轉(zhuǎn)動(dòng)A轉(zhuǎn)盤再轉(zhuǎn)動(dòng)B轉(zhuǎn)盤和同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，游戲者配成紫色的概率不同

1

D．游戲者配成紫色的概率為

6

【變式2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）一個(gè)密碼鎖的密碼由四個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字都是0~9這十個(gè)數(shù)字

中的一個(gè)，只有當(dāng)四個(gè)數(shù)字與所設(shè)定的密碼相同時(shí)，才能將鎖打開(kāi)，粗心的小張忘記了后兩個(gè)數(shù)字，他一

次就能打開(kāi)該鎖的概率是__________．

【變式3】（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃鹃喿x理解】某市電力公司對(duì)居民用電設(shè)定如下兩種收費(fèi)方

式：

方式一：“分檔”計(jì)算電費(fèi)（見(jiàn)表一），按電量先計(jì)算第一檔，超過(guò)的部分再計(jì)算第二檔，依次類推，最后求

和即為總電費(fèi)；

方式二：“分檔+分時(shí)”計(jì)算電費(fèi)（見(jiàn)表一、表二），即總電費(fèi)等于“分檔電費(fèi)、峰時(shí)段增加的電費(fèi)、谷時(shí)段減

少的電費(fèi)的總和”．

表一：分檔電價(jià)

居民用電分格用電量x（度）電價(jià)（元/度）

第一檔0x2300.5

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第二檔230x4200.55

第三檔x4200.8

表二：分時(shí)電價(jià)

峰時(shí)段電價(jià)差領(lǐng)（元/段）

0.03

峰時(shí)段（08：00-22：00）

（每度電在各檔電價(jià)基礎(chǔ)上加價(jià)0.03元）

谷時(shí)段（22：00-次日08：00）0.2（每度電在各占電價(jià)基礎(chǔ)上降低0.2元）

如：某用戶該月用電總量500度，其中峰時(shí)段用電量300度，谷時(shí)段用電量200度，若該用戶選擇方式二

繳費(fèi)，則總電費(fèi)為：2300.54202300.555004200.83000.032000.2252.5（元）．

【問(wèn)題解決】已知小明家4月份的月用電量相當(dāng)于全年的平均月用電量，現(xiàn)從他家4月份的日用電量數(shù)據(jù)

中隨機(jī)抽取7天作為樣本，制作成如圖表：

(1)若從上述樣本中隨機(jī)抽取一天，求所抽取的日用電量為15度以上的概率；

(2)若每月按30天計(jì)，請(qǐng)通過(guò)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算月用電費(fèi)，幫小明決定選擇哪一種方式繳費(fèi)合算？

日用電量峰點(diǎn)占比統(tǒng)計(jì)表

編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7

每日峰時(shí)段用電量占比80%20%50%10%20%50%60%

當(dāng)日峰時(shí)段用電盤

注：每日峰時(shí)段用電量占比=100%

當(dāng)日用電量

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核心考點(diǎn)四統(tǒng)計(jì)與概率結(jié)合

m個(gè)0n個(gè)1

例1（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）第1組數(shù)據(jù)為：0、0、0、1、1、1，第2組數(shù)據(jù)為：、，

0,0,,01,1,,1

其中m、n是正整數(shù)．下列結(jié)論：①當(dāng)mn時(shí)，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等；②當(dāng)mn時(shí)，第1組數(shù)據(jù)的平

均數(shù)小于第2組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；③當(dāng)mn時(shí)，第1組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于第2組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；④當(dāng)mn時(shí)，

第2組數(shù)據(jù)的方差小于第1組數(shù)據(jù)的方差．其中正確的是（）

A．①②B．①③C．①④D．③④

例2（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩隊(duì)參加“傳承紅色基因，推動(dòng)綠色發(fā)展”為主題的合唱比賽，

2

每隊(duì)均由20名隊(duì)員組成．其中兩隊(duì)隊(duì)員的平均身高為x甲x乙160cm，身高的方差分別為s甲10.5，

2

s乙1.2．如果單從隊(duì)員的身高考慮，你認(rèn)為演出形象效果較好的隊(duì)是________．（填“甲隊(duì)”或“乙隊(duì)”）

例3（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）一只不透明的袋子中裝有3個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球，球面

上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個(gè)球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再?gòu)拇又腥我饷?/p>

出1個(gè)球，記下數(shù)字．

(1)第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是______；

(2)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法求兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率．

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【變式1】（2022·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)校考二模）數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)做了估算π的實(shí)驗(yàn)．方法如下：

第一步：請(qǐng)全校同學(xué)隨意寫(xiě)出兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y（x、y可以相等），且它們滿足：0＜x＜1，0＜y＜1；

第二步：統(tǒng)計(jì)收集上來(lái)的有效數(shù)據(jù)，設(shè)“以x，y，1為三條邊長(zhǎng)能構(gòu)成銳角三角形”為事件A；

第三步：計(jì)算事件A發(fā)生的概率，及收集的本校有效數(shù)據(jù)中事件A出現(xiàn)的頻率；

第四步：估算出π的值．

為了計(jì)算事件A的概率，同學(xué)們通過(guò)查閱資料得到以下兩條信息：

①如果一次試驗(yàn)中，結(jié)果落在區(qū)域D中每一個(gè)點(diǎn)都是等可能的，用A表示“試驗(yàn)結(jié)果落在區(qū)域D中一個(gè)小

M

區(qū)域M中”這個(gè)事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝；

D

②若x，y，1三個(gè)數(shù)據(jù)能構(gòu)成銳角三角形，則需滿足x2＋y2＞1．

根據(jù)上述材料，社團(tuán)的同學(xué)們畫(huà)出圖，若共搜集上來(lái)的m份數(shù)據(jù)中能和“1”成銳角三角形的數(shù)據(jù)有n份，則

可以估計(jì)π的值為（）

4n2m2n

A．B．

mm

4n4m4n

C．D．

mm

【變式2】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A在⊙O上，BAC60，以A為圓心，AB為半徑的扇形ABC

內(nèi)接于⊙O．某人向⊙O區(qū)域內(nèi)任意投擲一枚飛鏢，則飛鏢恰好落在扇形ABC內(nèi)的概率為_(kāi)_____．

【變式3】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）某村深入貫徹落實(shí)習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想，認(rèn)真踐行“綠

水青山就是金山銀山”理念．在外打工的王大叔返回江南創(chuàng)業(yè)，承包了四座荒山，各栽100棵小棗樹(shù)，發(fā)現(xiàn)

成活率均為97%，現(xiàn)已掛果，經(jīng)濟(jì)效益初步顯現(xiàn)，為了分析收成情況，他任意選了兩座山（記作甲山、乙

山），從兩山上隨意各采摘了4棵樹(shù)上的小棗，每棵的產(chǎn)量如折線統(tǒng)計(jì)圖所示．

第10頁(yè)共18頁(yè).

(1)直接寫(xiě)出甲山4棵小棗樹(shù)產(chǎn)量的中位數(shù)；

(2)分別計(jì)算甲、乙兩座山小棗樣本的平均數(shù)，并判斷哪座山的樣本的產(chǎn)量高；

(3)用樣本平均數(shù)估計(jì)四座荒山小棗的產(chǎn)量總和；

(4)用樹(shù)狀圖或表格分析王大叔選中甲、乙兩座山的概率．

第11頁(yè)共18頁(yè).

【新題速遞】

1．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，現(xiàn)通過(guò)抽簽決定出場(chǎng)順序，則他們?nèi)说谋荣?/p>

順序恰好是甲、乙、丙的概率為（）

1111

A．B．C．D．

6384

2．（2023·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）把標(biāo)有號(hào)碼1、2、3、4、5的5個(gè)乒乓球放在一個(gè)箱子中，搖勻后，從中

任意取一個(gè)，記下號(hào)碼后，放回?fù)u勻，再?gòu)闹腥我馊∫粋€(gè)，則兩號(hào)碼之和大于2的概率是（）

1172324

A．B．C．D．

25252525

3．（2023·山西忻州·統(tǒng)考一模）2023年春節(jié)期間，全國(guó)各地迎來(lái)了旅游熱潮，小麗和小希計(jì)劃趁著寒假在

省內(nèi)結(jié)伴游玩．出發(fā)之前，兩人用隨機(jī)抽卡片的方式來(lái)決定去哪個(gè)景點(diǎn)旅游，于是兩人制作了四張材質(zhì)和

外觀完全一樣的卡片，每張卡片的正面繪有一張景點(diǎn)圖，將這四張卡片背面朝上洗勻，小麗隨機(jī)抽取一張

后放回，小希再隨機(jī)抽取一張，則兩人抽到的景點(diǎn)相同的概率是（）

1111

A．B．C．D．

241216

4．（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）如圖，A，B兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個(gè)面積相等的扇形（除數(shù)字

不同外，其他完全相同），A轉(zhuǎn)盤上的數(shù)字分別為3，1，2，B轉(zhuǎn)盤上的數(shù)字分別為4，5，6，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩

個(gè)轉(zhuǎn)盤（規(guī)定：若指針恰好停留在分界線上，則重新轉(zhuǎn)一次），則轉(zhuǎn)出的數(shù)字之積為正數(shù)的概率是（）

1452

A．B．C．D．

3993

5．（2022·廣東中山·校聯(lián)考一模）在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色

外其他完全相同，小明通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，則口

袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是（）

A．24B．18C．16D．6

第12頁(yè)共18頁(yè).

6．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）孔明給弟弟買了一些糖果，放到一個(gè)不透明的袋子里，這些糖果除了口

味和外包裝的顏色外其余都相同，袋子里各種口味糖果的數(shù)量統(tǒng)計(jì)如圖所示，他讓弟弟從袋子里隨機(jī)摸出

一顆糖果．則弟弟恰好摸到蘋(píng)果味糖果的概率是（）．

1114

A．B．C．D．

23515

7．（2022·河北·一模）如圖①為三等分的圓形轉(zhuǎn)盤，圖②為裝有小球（小球除顏色不同外，其他均相同）的

不透明口袋，隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，然后再?gòu)牟煌该鞯目诖须S機(jī)摸出一個(gè)球，則指針指向區(qū)域的顏色和摸

出的球的顏色均為藍(lán)色的概率是（）

1211

A．B．C．D．

9932

8．（2022·浙江衢州·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法不正確的是（）

2

A．從兩名男生和兩名女生中隨機(jī)選兩人當(dāng)志愿者，則兩人恰好是一男一女的概率是．

3

B．不透明袋子中裝有除顏色外都一樣的3個(gè)黑球和2個(gè)白球，從中任意摸出3個(gè)球，則摸出的3個(gè)球中至

少有1個(gè)黑球是必然事件．

C．若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4，極差是4．

D．如圖是一張矩形紙板，連接各邊中點(diǎn)得到菱形，再連接菱形各邊中點(diǎn)得到一個(gè)小矩形．若從圖中隨機(jī)取

1

點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是．

4

第13頁(yè)共18頁(yè).

9．（2023·河南周口·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程k2x22x10．從﹣4，﹣2，0，2，4中任選

一個(gè)數(shù)字作為k代入原方程，則選取的數(shù)字能令方程有實(shí)數(shù)根的概率為_(kāi)____．

10．（2023·天津河?xùn)|·天津市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）把一副普通撲克牌中的13張黑桃牌洗勻后正面向下放

在桌子上，從中任意抽取一張，抽出的牌點(diǎn)數(shù)小于5的概率是_________．

11．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）有背面完全相同，正面分別畫(huà)有等腰三角形、矩形、菱形、

正方形的卡片4張，現(xiàn)正面朝下放置在桌面上，將其混合后，一次性從中隨機(jī)抽取兩張，則抽中卡片上正

面的圖形都是中心對(duì)稱圖形的概率為_(kāi)_____．

12．（2020·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，DB=90°，AB4，BC3，O是Rt△ABC的

內(nèi)切圓，若隨機(jī)向Rt△ABC內(nèi)投擲一顆石子，則石子落在陰影部分的概率為_(kāi)__________（結(jié)果保留）．

13．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考一模）在一個(gè)不透明的袋子里裝有4張數(shù)字卡片，數(shù)字分別是1，-3，0，2，它們

除數(shù)字外其他均相同．充分搖勻后，先摸出1張不放回，再摸出1張．如果把第一次摸出的數(shù)字作為橫坐

標(biāo)，第二次摸出的數(shù)字作為縱坐標(biāo)，那么組成的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的概率是____________．

14．（2022·重慶·重慶八中校考三模）不透明的袋子里裝有除標(biāo)號(hào)外完全一樣的四個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有

－1，2，3，4四個(gè)數(shù)，從袋子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記標(biāo)號(hào)為k，不放回，將袋子搖勻，再隨機(jī)抽取一個(gè)

b

小球，記標(biāo)號(hào)為b，兩次抽取完畢后，則直線ykx與反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)的象限相同的概率為

x

______．

15．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）甲、乙兩位同學(xué)玩抽卡片游戲，游戲規(guī)則如下：在大小和形狀完全相同的

4張卡片上分別標(biāo)上數(shù)字2、4、4、5，將這4張卡片放入一個(gè)不透明盒子中攪勻，參與者每次從中隨機(jī)抽

取一張卡片，記錄數(shù)字，然后將卡片放回?cái)噭颍?/p>

(1)甲同學(xué)從這4張卡片中隨機(jī)抽取一張，則抽到標(biāo)有數(shù)字4的卡片的概率是；

(2)甲、乙兩位同學(xué)各抽取卡片一次，若取出的兩張卡片數(shù)字之和為3的倍數(shù)，則甲勝；否則乙勝．請(qǐng)用列

表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平．

第14頁(yè)共18頁(yè).

16．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）某班為調(diào)查班級(jí)學(xué)生對(duì)A、B、C、D四項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)情況，對(duì)全班同學(xué)

進(jìn)行了調(diào)查，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)最喜歡的運(yùn)動(dòng)，并把調(diào)查結(jié)果繪制成了統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．

男、女生最喜愛(ài)的體育運(yùn)動(dòng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)表

目標(biāo)ABCD

男生（人數(shù)）12m35

女生（人數(shù)）10112n

運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目頻數(shù)頻率

A22d

Bae

C50.1

Dbf

總計(jì)gh

根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題：

(1)a________，n________；

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中A所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為_(kāi)_________；

(3)從喜歡C的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的5名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生參加演講，求所選取的2名學(xué)生中恰好有一名男生、

一名女生的概