專題35 實(shí)際應(yīng)用題（5大類型）（解析版）

模塊三重難點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題35實(shí)際應(yīng)用題

考查類型一行程問題

考查類型二方案問題

考查類型考查類型三購買、銷售問題

考查類型四拋物線型問題

考查類型五其他類型

新題速遞

考查類型一行程問題

例1（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）中國人逢山開路，遇水架橋，靠自己勤勞的雙手創(chuàng)造了世界奇跡．雅

西高速是連接雅安和西昌的高速公路，被國內(nèi)外專家學(xué)者公認(rèn)為全世界自然環(huán)境最惡劣、工程難度最大、

科技含量最高的山區(qū)高速公路之一，全長(zhǎng)240km．一輛貨車和一輛轎車先后從西昌出發(fā)駛向雅安，如圖，

線段OM表示貨車離西昌距離y1(km)與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系：折線OABN表示轎車離西昌距離y2(km)

與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．貨車出發(fā)1.8小時(shí)后與轎車相遇

B．貨車從西昌到雅安的速度為60km/h

C．轎車從西昌到雅安的速度為110km/h

D．轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有60km

【答案】D

【分析】結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷，即可得出答案．

【詳解】解：由題意可知，

第1頁共76頁.

貨車從西昌到雅安的速度為：140460(km/h)，故選項(xiàng)B不合題意；

轎車從西昌到雅安的速度為：(24075)(31.5)110(km/h)，故選項(xiàng)C不合題意；

2

轎車從西昌到雅安所用時(shí)間為：2401102（小時(shí)），

11

299

32（小時(shí)），即A點(diǎn)表示h，

111111

設(shè)貨車出發(fā)x小時(shí)后與轎車相遇，根據(jù)題意得：

9

60x110x，解得x1.8，

11

貨車出發(fā)1.8小時(shí)后與轎車相遇，故選項(xiàng)A不合題意；

6020

轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安的距離為：60=40km，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意．

60

故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，能夠從函數(shù)圖象中獲取相關(guān)信息．

例2（2020·重慶·統(tǒng)考中考真題）周末，自行車騎行愛好者甲、乙兩人相約沿同一路線從A地出發(fā)前往B

地進(jìn)行騎行訓(xùn)練，甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發(fā)5分鐘．乙騎行25分鐘后，甲以原速

8

的繼續(xù)騎行，經(jīng)過一段時(shí)間，甲先到達(dá)B地，乙一直保持原速前往B地．在此過程中，甲、乙兩人相距

5

的路程y（單位：米）與乙騎行的時(shí)間x（單位：分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，則乙比甲晚____分鐘到達(dá)B

地．

【答案】12．

【分析】根據(jù)題意先求解乙的速度與甲的原速度，得到改變后的速度，由x86時(shí)，甲到達(dá)B地，再計(jì)算出

全程，從而可以得到乙與B地的距離，從而得到晚到的時(shí)間．

1500

【詳解】解：由圖及題意得：乙的速度為300米/分，

5

25300255v甲2500,

v甲250

即甲原速度為250米/分，

第2頁共76頁.

8

當(dāng)x=25后，甲提速為250400米/分，

5

當(dāng)x=86時(shí)，甲到達(dá)B地，

此時(shí)乙距B地為250（25-5）+400（86-25）-300×86=3600.

3600

t12,

300

即乙比甲晚12分鐘到達(dá)B地．

答案：12．

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)關(guān)于行程問題的應(yīng)用，從圖像中獲取信息得到與問題相關(guān)的：速度，時(shí)間，

全程是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎

電瓶車到C地，同時(shí)乙從B地騎摩托車到A地，到達(dá)A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時(shí)間忽

略不計(jì)）按原路原速前往C地，結(jié)果乙比甲早2分鐘到達(dá)C地，兩人均勻速運(yùn)動(dòng)，如圖是兩人距B地路程

y（米）與時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象．

請(qǐng)解答下列問題：

(1)填空：甲的速度為______米/分鐘，乙的速度為______米/分鐘；

(2)求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值

范圍；

(3)出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請(qǐng)直接寫出答案．

【答案】(1)300，800

(2)y800x2400（3x6）

618

(3)分鐘，分鐘，6分鐘

115

第3頁共76頁.

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象先求出乙的速度，然后分別求出乙到達(dá)C地的時(shí)間和甲到達(dá)C地的時(shí)間，進(jìn)而

可求甲的速度；

（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，根據(jù)題意可得自變量x的取值范圍；

（3）設(shè)出發(fā)t分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米，分兩種情況：①乙從B地到A地時(shí)，兩人相距600

米，②乙從A地前往C時(shí)，兩人相距600米，分別列方程求解即可．

（1）

解：由題意可得：乙的速度為：（800+800）÷（3－1）＝800米/分鐘，

∴乙到達(dá)C地的時(shí)間為：3＋2400÷800＝6分鐘，

∴甲到達(dá)C地的時(shí)間為：6＋2＝8分鐘，

∴甲的速度為：2400÷8＝300米/分鐘，

故答案為：300，800；

（2）

解：由（1）可知G（6，2400），

設(shè)直線FG的解析式為ykxbk0，

∵ykxb過F（3，0），G（6，2400）兩點(diǎn)，

3kb0

∴，

6kb2400

k800

解得：，

b2400

∴直線FG的解析式為：y800x2400，

自變量x的取值范圍是3x6；

（3）

解：設(shè)出發(fā)t分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米，

①乙從B地到A地時(shí)，兩人相距600米，

由題意得：300t＋800t＝600，

6

解得：t；

11

②乙從A地前往C時(shí)，兩人相距600米，

由題意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，

第4頁共76頁.

18

解得：t或6，

5

618

答：出發(fā)分鐘或分鐘或6分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米．

115

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．

行程問題是反映物體勻速運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用題。行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個(gè)物體

的運(yùn)動(dòng)，有的涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，有的涉及三個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)。涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的，又有

“相向運(yùn)動(dòng)”（相遇問題）、“同向運(yùn)動(dòng)”（追及問題）和“相背運(yùn)動(dòng)”（相離問題）三種

情況。但歸納起來，不管是“一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)”還是“多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)”，不管是“相向運(yùn)

動(dòng)”、“同向運(yùn)動(dòng)”，還是“相背運(yùn)動(dòng)”，他們的特點(diǎn)是一樣的，具體地說，就是它們反映

出來的數(shù)量關(guān)系是相同的，都可以歸納為：速度×?xí)r間=路程。

【變式1】（2022·浙江麗水·一模）小張?jiān)谝粭l筆直的綠谷跑道上以70米/分鐘的速度，從起點(diǎn)出發(fā)勻速健

步走．30分鐘后，他停下來休息了5分鐘，然后原地返回起點(diǎn)，全程總用時(shí)70分鐘．設(shè)小張離起點(diǎn)的距離

為y米，健步走的時(shí)間為x分鐘，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小張返回的速度是（）

A．60米/分鐘B．70米/分鐘C．75米/分鐘D．80米/分鐘

【答案】A

【分析】根據(jù)去時(shí)的速度和時(shí)間可以求出路程，然后用路程回時(shí)的時(shí)間即可求出返回時(shí)的速度．

【詳解】解：路程速度時(shí)間，即s70302100米，

返回時(shí)的時(shí)間為：703535分鐘，

2100

則返回時(shí)的速度60米/分鐘，

35

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，得出路程．

第5頁共76頁.

【變式2】（2021·重慶綦江·?？既＃┬±詈托⊥醴謩e從甲、乙兩地同時(shí)步行出發(fā)，勻速相向而行小李的

速度大于小王的速度，小李到達(dá)乙地后，小王繼續(xù)前行.設(shè)出發(fā)x小時(shí)后，兩人相距y千米，如圖所示，折

線表示從兩人出發(fā)至小王到達(dá)甲地的過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系．下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．點(diǎn)A的坐標(biāo)意義是甲、乙兩地相距10千米

B．由點(diǎn)B可知0.25小時(shí)小李、小王共行走了2.5千米

C．點(diǎn)C表示小李、小王相遇，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.75

D．線段DE表示小李到達(dá)乙地后，小王到達(dá)甲地的運(yùn)動(dòng)過程

【答案】C

【分析】根據(jù)已知及函數(shù)圖象，逐項(xiàng)判斷即可．

【詳解】點(diǎn)A表示x0時(shí)y10，即甲、乙兩地相距10千米，故A說法正確，不符合題意；

點(diǎn)B表示x0.25時(shí)y7.5，可知小李、小王共行走了107.52.5（千米），故B說法正確，不符合題意；

2.5

由0.25小時(shí)小李、小王共行走了2.5千米知二人速度和為10（千米/時(shí)），

0.25

點(diǎn)C表示小李、小王相遇，相遇的時(shí)間是10101（小時(shí)），即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是1，故C說法錯(cuò)誤，符

合題意；

由已知可得，線段DE表示小李到達(dá)乙地后，小王到達(dá)甲地的運(yùn)動(dòng)過程，故D說法正確，不符合題意；

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能正確識(shí)圖，理解圖中特殊點(diǎn)表示的意義．

【變式3】（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）某日上午，甲、乙兩車先后從A地出發(fā)沿同一條公路勻速前往B地，

甲車8點(diǎn)出發(fā)，如圖是其行駛路程s（千米）隨行駛時(shí)間t（小時(shí)）變化的圖象．乙車9點(diǎn)出發(fā)，若要在當(dāng)

天12點(diǎn)至13點(diǎn)之間（含12點(diǎn)和13點(diǎn)）追上甲車，則乙車的速度v（單位∶千米/小時(shí)）的范圍是_____．

第6頁共76頁.

【答案】75v80

【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象求出甲車的速度，再根據(jù)甲，乙兩車先后從A地出發(fā)沿同一條公路勻速前往B地，

甲車8點(diǎn)出發(fā)，乙車9點(diǎn)出發(fā)，若要在當(dāng)天12點(diǎn)至13點(diǎn)之間追上甲車，注意臨界點(diǎn)，乙再點(diǎn)12點(diǎn)時(shí)追上

甲和13點(diǎn)追上甲，解不等式即可．

【詳解】解：根據(jù)圖象可得，甲車的速度為60÷1=60（千米/時(shí)）．

460

v

3

由題意，得

560

v

4

解得75v80．

故答案為：75v80．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，路程、速度與時(shí)間關(guān)系的應(yīng)用，列一元一次不等式組解實(shí)際問題的

應(yīng)用，能夠根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（2021·四川達(dá)州·?？家荒＃┯幸豢萍夹〗M進(jìn)行了機(jī)器人行走性能試驗(yàn)，在試驗(yàn)場(chǎng)地有A、B、C

三點(diǎn)順次在同一筆直的賽道上，甲、乙兩機(jī)器人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā)，以各自速度勻速行走，各

自到達(dá)點(diǎn)C停止．甲機(jī)器人前3分鐘速度不變，3分鐘后與乙機(jī)器人的行走速度相同，甲、乙機(jī)器人各自

與B地之間的距離y（m）與各自的行走時(shí)間x（min）之間的函數(shù)圖象如圖所示：當(dāng)甲、乙兩機(jī)器人相距

30m時(shí)，則x的取值范圍是____________________

【答案】x=1或3≤x≤6.5

【分析】結(jié)合圖象得到A、B兩點(diǎn)之間的距離，甲機(jī)器人前3分鐘的速度；分前0~3分鐘、3~7分鐘時(shí)間段

第7頁共76頁.

解答．

【詳解】】解：如圖，

由圖象可知，A、B兩點(diǎn)之間的距離是60m，

甲機(jī)器人前3分鐘的速度為：（120+60）÷2=90（m/min），

乙機(jī)器人的速度為：420÷7=60（m/min）

由圖可知，2min時(shí)，甲追上乙，

所以設(shè)前3分鐘，甲xmin時(shí)與乙相距30m，

當(dāng)在0<x<2分鐘時(shí)，即甲追乙，甲與乙相距30m，則

90x+30=60+60x，

解之得：x=1．

當(dāng)在2<x≤3分鐘時(shí)，即乙追甲，甲與乙相距30m，則

90x-30=60+60x（m），

解得：x=3，

3分鐘后，甲到達(dá)C地時(shí)，甲、乙兩機(jī)器人速度都是60m/min．甲與乙都是相距30m，

甲到達(dá)C地時(shí)間為：（420-210）÷60+3=6.5（min），

∴在3<x≤6.5時(shí)，甲、乙兩機(jī)器人相距30m．

綜上，x的取值范圍是：x=1或3≤x≤6.5．

故答案為：x=1或3≤x≤6.5．

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，正確列出一元一次方程、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)

鍵．

【變式5】（2021·浙江寧波·校考三模）如圖，有80名師生要到離學(xué)校若干千米的大劇院參加演出，學(xué)校

只有一輛能做40人的汽車，學(xué)校決定采用步行和乘車相結(jié)合的辦法：先把一部分人送到大劇院，車按原路

返回接到步行的師生后開往大劇院，其中車和人的速度保持不變．（學(xué)生上下車，汽車掉頭的時(shí)間忽略不

計(jì)）．y表示車離學(xué)校的距離（千米），x表示汽車所行駛的時(shí)間（小時(shí)）．請(qǐng)結(jié)合圖象解答下列問題：

第8頁共76頁.

(1)學(xué)校離大劇院相距千米，汽車的速度為千米/小時(shí)；

(2)求線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)若有一名老師因臨時(shí)有事晚了0.5小時(shí)出發(fā)，為了趕上學(xué)生，該老師選擇從學(xué)校打車前往，已知出租車

速度為80千米/小時(shí)，請(qǐng)問該老師能在學(xué)生全部達(dá)到前趕到大劇院?jiǎn)幔坎嫵鱿嚓P(guān)圖象．

【答案】(1)15，60

105

(2)y60x

4

(3)該老師能在學(xué)生全部達(dá)到前趕到大劇院，圖象見解析

【分析】（1）由圖象直接可得學(xué)校與大劇院的距離，由路程除以時(shí)間可得汽車的速度；

15151511

（2）設(shè)步行速度為m千米/小時(shí)，可得：(m60)215，即可解得B(，)，從而可得C(，15)，用

3232816

105

待定系數(shù)法得線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y60x；

4

111511

（3）由學(xué)生全部達(dá)到大劇院時(shí)，x，出租車到達(dá)大劇院時(shí)，x0.5，知該老師能在學(xué)生全部達(dá)

168016

到前趕到大劇院，再畫出圖象即可．

【詳解】（1）解：由圖象可得，學(xué)校與大劇院相距15千米，

1

汽車的速度為1560（千米/小時(shí)），

4

故答案為：15，60；

（2）設(shè)步行速度為m千米/小時(shí)，

15

根據(jù)題意得：(m60)215，

32

解得m4，

1515

步行的路程為4（千米），

328

1515

B(，)，

328

第9頁共76頁.

151511

(15)60，

32816

11

C(，15)，

16

設(shè)線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為ykxb，

151511

將B(，)，C(，15)代入得：

32816

1515

kb

328

，

11

kb15

16

k60

解得105，

b

4

105

線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y60x；

4

（3）該老師能在學(xué)生全部達(dá)到前趕到大劇院，理由如下：

11

由（2）知，學(xué)生全部達(dá)到大劇院時(shí)，x，

16

1511

出租車到達(dá)大劇院時(shí)，x0.5，

8016

該老師能在學(xué)生全部達(dá)到前趕到大劇院，圖象如下：

【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，結(jié)合圖象，學(xué)會(huì)利用函數(shù)的思想求解

問題．

考查類型二方案問題

例1（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）國家“雙減”政策實(shí)施后，某校開展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)．某班同學(xué)

報(bào)名參加書法和圍棋兩個(gè)社團(tuán)，班長(zhǎng)為參加社團(tuán)的同學(xué)去商場(chǎng)購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費(fèi)360

元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（）

第10頁共76頁.

A．5B．6C．7D．8

【答案】A

【分析】設(shè)設(shè)購買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合

x，y均為正整數(shù)即可得出購買方案的數(shù)量．

【詳解】解：設(shè)購買毛筆x支，圍棋y副，根據(jù)題意得，

15x+20y=360，即3x+4y=72，

3

∴y=18-x．

4

又∵x，y均為正整數(shù)，

x4x8x12x16x20

∴或或或或，

y15y12y9y6y3

∴班長(zhǎng)有5種購買方案．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系“共花費(fèi)360元”，列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．

例2（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）某學(xué)校計(jì)劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購買獎(jiǎng)品．已知購

買2個(gè)A種獎(jiǎng)品和4個(gè)B種獎(jiǎng)品共需100元；購買5個(gè)A種獎(jiǎng)品和2個(gè)B種獎(jiǎng)品共需130元．學(xué)校準(zhǔn)備購買

2

A,B兩種獎(jiǎng)品共20個(gè)，且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不小于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的，則在購買方案中最少費(fèi)用是_____元．

5

【答案】330

【分析】設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，根據(jù)“購買2個(gè)A種獎(jiǎng)品和4個(gè)B種獎(jiǎng)品共需

100元；購買5個(gè)A種獎(jiǎng)品和2個(gè)B種獎(jiǎng)品共需130元”，即可得出關(guān)于A，B的二元一次方程組，在設(shè)購

2

買A種獎(jiǎng)品m個(gè)，則購買B種獎(jiǎng)品(20-m)個(gè)，根據(jù)購買A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的，即可得

5

出關(guān)于m的一元一次不等式，再結(jié)合費(fèi)用總量列出一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)果．

【詳解】解：設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元，

2x4y100

依題意，得：，

5x2y130

x20

解得：

y15

∴A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元，B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為15元．

設(shè)購買種獎(jiǎng)品個(gè)，則購買種獎(jiǎng)品個(gè)，根據(jù)題意得到不等式：

AmB(20-m)

第11頁共76頁.

240

m≥(20-m)，解得：m≥，

57

40

∴≤m≤20，

7

設(shè)總費(fèi)用為W，根據(jù)題意得：

W=20m+15(20-m)=5m+300，

∵k=5>0，

∴W隨m的減小而減小，

∴當(dāng)m=6時(shí)，W有最小值，

∴W=5×6+300=330元

則在購買方案中最少費(fèi)用是330元．

故答案為：330．

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式與一次函數(shù)．

例3（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）某快遞公司為了加強(qiáng)疫情防控需求，提高工作效率，計(jì)劃購買A、

B兩種型號(hào)的機(jī)器人來搬運(yùn)貨物，已知每臺(tái)A型機(jī)器人比每臺(tái)B型機(jī)器人每天少搬運(yùn)10噸，且A型機(jī)器人

每天搬運(yùn)540噸貨物與B型機(jī)器人每天搬運(yùn)600噸貨物所需臺(tái)數(shù)相同．

(1)求每臺(tái)A型機(jī)器人和每臺(tái)B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？

(2)每臺(tái)A型機(jī)器人售價(jià)1.2萬元，每臺(tái)B型機(jī)器人售價(jià)2萬元，該公司計(jì)劃采購A、B兩種型號(hào)的機(jī)器人共

30臺(tái)，必須滿足每天搬運(yùn)的貨物不低于2830噸，購買金額不超過48萬元．

請(qǐng)根據(jù)以上要求，完成如下問題：

①設(shè)購買A型機(jī)器人m臺(tái)，購買總金額為w萬元，請(qǐng)寫出w與m的函數(shù)關(guān)系式；

②請(qǐng)你求出最節(jié)省的采購方案，購買總金額最低是多少萬元？

【答案】(1)每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為100噸．

(2)①w0.8m60；②當(dāng)購買A型機(jī)器人17臺(tái)，B型機(jī)器人13臺(tái)時(shí)，購買總金額最少，最少金額為46.4

萬元．

【分析】（1）設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為（x+10）噸，然后

根據(jù)題意可列分式方程進(jìn)行求解；

（2）①由題意可得購買B型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)為30m臺(tái)，然后由根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系式；②由題意易

第12頁共76頁.

90m10030m2830

得，然后可得15m17，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．

0.8m6048

【詳解】（1）解：設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為（x+10）噸，

由題意得：

540600

，

xx10

解得：x90；

經(jīng)檢驗(yàn)：x90是原方程的解；

答：每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物為100噸．

（2）解：①由題意可得：購買B型機(jī)器人的臺(tái)數(shù)為30m臺(tái)，

∴w=1.2m+2(30-m)=-0.8m+60；

90m10030m2830

②由題意得：，

0.8m6048

解得：15m17，

∵-0.8＜0，

∴w隨m的增大而減小，

∴當(dāng)m=17時(shí)，w有最小值，即為w0.8176046.4，

答：當(dāng)購買A型機(jī)器人17臺(tái)，B型機(jī)器人13臺(tái)時(shí)，購買總金額最少，最少金額為46.4萬元．

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握分式方程

的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

方案選擇問題解決策略：

1、理順問題的數(shù)學(xué)思路

2、建立問題的數(shù)學(xué)模型

3、研究函數(shù)模型自變量的取值范圍

4、根據(jù)自變量的取值范圍，選擇最佳方案

第13頁共76頁.

【變式1】（2022·四川眉山·校考一模）小李同學(xué)長(zhǎng)大后當(dāng)上了個(gè)體老板，一次他準(zhǔn)備租用甲、乙兩種貨車

將200噸貨物運(yùn)回眉山賣給廠家，兩種貨車的載貨量和租金如下表所示：

甲種貨車乙種貨車

載貨量（噸/輛）2520

租金（元/輛）20001800

請(qǐng)問：李老板最少要花掉租金（）．A．15000元B．16000元C．18000元D．20000

元

【答案】B

20025x

【分析】設(shè)需要租用甲種貨車x輛，則租用乙種貨車輛，需要的費(fèi)用為y元，用x將y表示出來，

20

進(jìn)行判斷即可．

20025x

【詳解】解：設(shè)需要租用甲種貨車x輛，則租用乙種貨車輛，需要的費(fèi)用為y元，根據(jù)題意得：

20

20025x

y2000x1800250x18000，

20

∵20025x0，

∴x8，

∴當(dāng)x8時(shí)，y最小，最小值為：

25081800016000（元），

即李老板最少要花掉租金16000元，故B正確．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，列出一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2021·河北保定·統(tǒng)考二模）超市有A，B兩種型號(hào)的瓶子，其容量和價(jià)格如表，小張買瓶子用

來分裝15升油（瓶子都裝滿，且無剩油）；當(dāng)日促銷活動(dòng)：購買A型瓶3個(gè)或以上，一次性返還現(xiàn)金5元，

設(shè)購買A型瓶x（個(gè)），所需總費(fèi)用為y（元），則下列說法不一定成立的是（）

型號(hào)AB

單個(gè)盒子容量（升）23

單價(jià)（元）56

第14頁共76頁.

2

A．購買B型瓶的個(gè)數(shù)是5x為正整數(shù)時(shí)的值B．購買A型瓶最多為6個(gè)

3

C．y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yx30D．小張買瓶子的最少費(fèi)用是28元

【答案】C

2

【分析】設(shè)購買A型瓶x個(gè),B(5x)個(gè),由題意列出算式解出個(gè)選項(xiàng)即可判斷.

3

【詳解】設(shè)購買A型瓶x個(gè)，

∵買瓶子用來分裝15升油，瓶子都裝滿，且無剩油，

152x2

∴購買B型瓶的個(gè)數(shù)是5x,

33

∵瓶子的個(gè)數(shù)為自然數(shù),

222

∴x=0時(shí),5x=5;x=3時(shí),5x=3;x=6時(shí),5x=1;

333

2

∴購買B型瓶的個(gè)數(shù)是(5x)為正整數(shù)時(shí)的值，故A成立;

3

由上可知，購買A型瓶的個(gè)數(shù)為0個(gè)或3個(gè)或6個(gè)，所以購買A型瓶的個(gè)數(shù)最多為6，故B成立;

2

設(shè)購買A型瓶x個(gè)，所需總費(fèi)用為y元，則購買B型瓶的個(gè)數(shù)是(5x)個(gè)，

3

2

④當(dāng)0≤x<3時(shí)，y=5x+6×(5x)=x+30，

3

∴k=1>0，

∴y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值，最小值為30元;

2

②當(dāng)x≥3時(shí)，y=5x+6×(5x)-5=x+25，

3

∵.k=1>0隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值，最小值為28元;

綜合①②可得，購買盒子所需要最少費(fèi)用為28元.

故C不成立，D成立

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用,關(guān)鍵在于讀懂題意找出關(guān)系式.

【變式3】（2021·浙江杭州·校聯(lián)考二模）A城有種農(nóng)機(jī)30臺(tái)，B城有該農(nóng)機(jī)40臺(tái)，現(xiàn)要將這些農(nóng)機(jī)全部

運(yùn)往C，D兩鄉(xiāng)，調(diào)運(yùn)任務(wù)承包給某運(yùn)輸公司．已知C鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)34臺(tái)，D鄉(xiāng)需要農(nóng)機(jī)36臺(tái)，從A城往

C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為250元/臺(tái)和200元/臺(tái)，從B城往C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送農(nóng)機(jī)的費(fèi)用分別為150

第15頁共76頁.

元/臺(tái)和240元/臺(tái)．設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)該農(nóng)機(jī)x臺(tái)，運(yùn)送全部農(nóng)機(jī)的總費(fèi)用為W元，則W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式為_______________．

【答案】W140x12540

【分析】因?yàn)锳城運(yùn)往C鄉(xiāng)x臺(tái)農(nóng)機(jī)，則A城運(yùn)往D鄉(xiāng)（30﹣x）臺(tái)農(nóng)機(jī)，B城運(yùn)往C鄉(xiāng)（34﹣x）臺(tái)農(nóng)機(jī)，

B城運(yùn)往D鄉(xiāng)[40﹣（34﹣x）]臺(tái)農(nóng)機(jī)，就可以得到關(guān)系式．

【詳解】解：由題意得：因?yàn)锳城運(yùn)往C鄉(xiāng)x臺(tái)農(nóng)機(jī)，則A城運(yùn)往D鄉(xiāng)（30﹣x）臺(tái)農(nóng)機(jī)，B城運(yùn)往C鄉(xiāng)

（34﹣x）臺(tái)農(nóng)機(jī)，B城運(yùn)往D鄉(xiāng)[40﹣（34﹣x）]臺(tái)農(nóng)機(jī)

W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]

＝140x+12540，

故答案為：W＝140x+12540．

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，屬于一般的應(yīng)用題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出y與x的函數(shù)關(guān)系

式．

【變式4】（2020·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“雙11”當(dāng)天，重慶順風(fēng)快遞公司出動(dòng)所有車輛分上午、下午兩批往

1

成都送件，該公司共有甲、乙、丙三種車型，其中甲型車數(shù)量占公司車輛總數(shù)的，乙型車輛是丙型車數(shù)

4

213

量的2倍，上午安排甲車數(shù)量的，乙車數(shù)量的，丙車數(shù)量的進(jìn)行運(yùn)輸，且上午甲、乙、丙三種車型

324

5

每輛載貨量分別為15噸，10噸，20噸，則上午剛好運(yùn)完當(dāng)天全部快件重量的；下午安排剩下的所有車

8

輛運(yùn)輸完當(dāng)天剩下的所有快件，且下午甲、乙、丙三種車型每輛載貨量分別不得超過20噸，12噸，16噸，

下午乙型車實(shí)際載貨量為下午甲型車每輛實(shí)際載貨量的2．已知同種貨車每輛的實(shí)際載貨量相等，甲、乙、

3

丙三種車型每輛車下午的運(yùn)輸成本分別為50元/噸，90元/噸，60元/噸．則下午運(yùn)輸時(shí)，一輛甲種車、一輛

乙種車、一輛丙種車總的運(yùn)輸成本最少為_____元．

【答案】2700.

【分析】設(shè)重慶順風(fēng)快遞公司總共有x輛車，用表示各型車的數(shù)量，上午運(yùn)輸快遞重量，下午快遞重量，

2

設(shè)下午甲型車每輛實(shí)際載貨量為y噸，丙型車每輛實(shí)際載貨量為z噸，則乙型車每輛實(shí)際載貨量y噸，根

3

據(jù)題意列出y的不等式組，求得y的取值范圍，再用y的代數(shù)式表示：下午運(yùn)輸時(shí)，一輛甲種車、一輛乙種

車、一輛丙種車總的運(yùn)輸成本，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求最小值．

1211

【詳解】解：設(shè)重慶順風(fēng)快遞公司總共有x輛車，則甲型車有x輛，乙型車有1x＝x輛，丙型

4342

111

車有1x＝x輛，根據(jù)題意得，

344

第16頁共76頁.

21113135

上午運(yùn)貨總量為：15×x+10××x+20×＝x（噸），

3422444

355

全天運(yùn)貨總量為：x＝14x（噸），

48

521

下午運(yùn)貨總量為：14x?（1﹣）＝x（噸），

84

2

設(shè)下午甲型車每輛實(shí)際載貨量為y噸，丙型車每輛實(shí)際載貨量為z噸，則乙型車每輛實(shí)際載貨量y噸，根

3

據(jù)題意得，

111121121

xy+xy+xz＝x，

34223444

化簡(jiǎn)得，4y+z＝84，

∴z＝84﹣4y，

∵下午甲、乙、丙三種車型每輛載貨量分別不得超過20噸，12噸，16噸

y?20

2

∴y?12，

3

844y?16

∴17≤y≤18，

∴下午運(yùn)輸時(shí)，一輛甲種車、一輛乙種車、一輛丙種車總的運(yùn)輸成本為：

2

w＝50y+90×y+60（84﹣4y）＝﹣130y+5040，

3

∵﹣130＜0，

∴w隨y的增大而減小，

∴當(dāng)y＝18時(shí)，w有最小值為：﹣130×18+5040＝2700（元），

故答案為：2700．

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，掌握解不等式組的方法、一次函數(shù)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·河南信陽·?？家荒＃┯捎谝咔榈脑颍彻緵Q定為員工采購一批口罩（x包）和10瓶

消毒液，經(jīng)了解，購買4包口罩和3瓶消毒液共需185元；購買8包口罩和5瓶消毒液共需335元．

(1)求一包口罩和一瓶消毒液各需多少元？

(2)實(shí)際購買時(shí)，廠家有兩種優(yōu)惠方案：

方案一：消毒液不優(yōu)惠：購買口罩不超過20包時(shí)，每包都按九折優(yōu)惠，超過20包時(shí)，超過部分每包按七

折優(yōu)惠；

方案二：口罩、消毒液均按原價(jià)的八折優(yōu)惠．

第17頁共76頁.

①求兩種方案下所需的費(fèi)用y（單位：元）與x（單位：包）的函數(shù)關(guān)系式；

②若該公司決定購買xx20包口罩和10瓶消毒液，請(qǐng)你幫該公司決定選擇哪種方案更合算．

【答案】(1)一包口罩需20元，一瓶消毒液需35元；

18x350(0x20)

(2)①方案一：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y；方案二：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y16x280；

14x430(x20)

②當(dāng)20<x<75時(shí)，選擇方案二更合算；當(dāng)x=75時(shí)，兩種方案一樣；當(dāng)x>75時(shí)，選擇方案一更合算．

【分析】（1）根據(jù)購買4包口罩和3瓶消毒液共需要185元，購買8包口罩和5瓶消毒液共需要335元，

可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求得一包口罩和一瓶消毒液各需要多少元；

（2）①根據(jù)題意，可以寫出兩種方案下所需的費(fèi)用y與x的函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)題意和①中的函數(shù)關(guān)系可

以列出相應(yīng)的不等式，從而可以得到該公司決定選擇哪種方案更合算．

【詳解】（1）解：設(shè)一包口罩需x元，瓶消毒液各需y元，根據(jù)題意得：

4a3b185a20

，解得：，

8a5b335b35

答：一包口罩需20元，一瓶消毒液需35元；

（2）解：①方案一：當(dāng)0x20時(shí)，

y200.9x351018x350；

當(dāng)x20時(shí)，

y200.920200.7(x20)351014x430；

18x350(0x20)

綜上所述，方案一：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y；

14x430(x20)

方案二：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y200.8x35100.816x280；

②當(dāng)14x+430>16x+280時(shí)，解得x<75，

即當(dāng)20<x<75時(shí)，選擇方案二更合算；

當(dāng)14x+430=16x+280時(shí)，解得x=75，

即當(dāng)x=75時(shí)，兩種方案一樣；

當(dāng)14x+430<16x+280時(shí)，解得x>75，

即當(dāng)x>75時(shí)，選擇方案一更合算．

綜上，當(dāng)20<x<75時(shí)，選擇方案二更合算；當(dāng)x=75時(shí)，兩種方案一樣；當(dāng)x>75時(shí)，選擇方案一更合算．

第18頁共76頁.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是

明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．

考查類型三購買、銷售問題

例1（2020·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）由于換季，商場(chǎng)準(zhǔn)備對(duì)某商品打折出售，如果按原售價(jià)的七五折出

售，將虧損25元，而按原售價(jià)的九折出售，將盈利20元，則該商品的原售價(jià)為（）

A．230元B．250元C．270元D．300元

【答案】D

【分析】設(shè)該商品的原售價(jià)為x元，根據(jù)成本不變列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．

【詳解】解：設(shè)該商品的原售價(jià)為x元，

根據(jù)題意得：75%x+25=90%x-20，

解得：x=300，

則該商品的原售價(jià)為300元．

故選：D．

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．

例2（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤(rùn)分別為12元、8元，每

天賣出份數(shù)分別為40份、80份．該店為了增加利潤(rùn)，準(zhǔn)備降低每份A種快餐的利潤(rùn)，同時(shí)提高每份B種

快餐的利潤(rùn)．售賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤(rùn)每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤(rùn)每

提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤(rùn)最多是______

元．

【答案】1264

【分析】根據(jù)題意，總利潤(rùn)=A快餐的總利潤(rùn)＋B快餐的總利潤(rùn)，而每種快餐的利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×對(duì)應(yīng)總數(shù)量，

分別對(duì)兩份快餐前后利潤(rùn)和數(shù)量分析，代入求解即可．

【詳解】解：設(shè)A種快餐的總利潤(rùn)為W1，B種快餐的總利潤(rùn)為W2，兩種快餐的總利潤(rùn)為W，設(shè)A快餐的份

數(shù)為x份，則B種快餐的份數(shù)為120x份．

x40x12

據(jù)題意：W112x1220xx32x，

222

第19頁共76頁.

80120x12

W2=8120xx72x2400，

22

22

∴WW1W2x104x2400=x521264，

∵10，

∴當(dāng)x52的時(shí)候，W取到最大值1264，故最大利潤(rùn)為1264元，

故答案為：1264．

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意、通過具體問題找到變化前后的關(guān)系是解題關(guān)鍵點(diǎn)．

例3．（2020·湖北黃岡·中考真題）網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式為了減少農(nóng)產(chǎn)品的庫存，我市

市長(zhǎng)親自在某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上進(jìn)行直播銷售大別山牌板栗．為提高大家購買的積極性，直播時(shí)，板栗公司每天

拿出2000元現(xiàn)金，作為紅包發(fā)給購買者．已知該板栗的成本價(jià)格為6元/kg，每日銷售量y(kg)與銷售單價(jià)

x（元/kg）滿足關(guān)系式：y100x5000．經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)不低于成本價(jià)格且不高于30元/kg．當(dāng)

每日銷售量不低于4000kg時(shí)，每千克成本將降低1元設(shè)板栗公司銷售該板栗的日獲利為W（元）．

（1）請(qǐng)求出日獲利W與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，銷售這種板栗日獲利最大？最大利潤(rùn)為多少元？

（3）當(dāng)W40000元時(shí)，網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)將向板栗公可收取a元/kg(a4)的相關(guān)費(fèi)用，若此時(shí)日獲利的最大值為

42100元，求a的值．

100x25500x27000(6x10)

【答案】（）；（）當(dāng)銷售單價(jià)定為元時(shí)，日獲利最大，且最

1w2228

100x5600x32000(10x30)

大為46400元；（3）a2

【分析】（1）首先根據(jù)題意求出自變量x的取值范圍，然后再分別列出函數(shù)關(guān)系式即可；

（2）對(duì)于（1）得到的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式在其自變量取值范圍內(nèi)求出最大值，然后進(jìn)行比較，即可得到結(jié)果；

（3）先求出當(dāng)w40000，即100x25600x3200040000時(shí)的銷售單價(jià)，得當(dāng)w40000,20x36，

1

從而20x30，得w(x6a)(100x5000)2000，可知，當(dāng)x28a時(shí)，w42100元，從而有

12max

11

28a6a10028a5000200042100，解方程即可得到a的值．

22

【詳解】解：（1）當(dāng)y4000，即100x50004000，

x10．

∴當(dāng)6≤x≤10時(shí)，w(x61)(100x5000)2000

100x25500x27000

第20頁共76頁.

當(dāng)10x30時(shí)，w(x6)(100x5000)2000

100x25600x32000．

100x25500x27000(6x10)

w2

100x5600x32000(10x30)

（2）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，w100x25500x27000．

b550055

∵對(duì)稱軸為x10，

2a2(100)2

∴當(dāng)x10時(shí)，wmax54000200018000元．

當(dāng)10x30時(shí)，w100x25600x32000．

b5600

∵對(duì)稱軸為x28，

2a2(100)

∴當(dāng)x28時(shí)，wmax222200200046400元．

4640018000

∴綜合得，當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，日獲利最大，且最大為46400元．

（3）4000018000，

10x30，則w100x25600x32000．

令w40000，則100x25600x3200040000．

解得：x120,x236．

在平面直角坐