專題35 實際應(yīng)用題（5大類型）（原卷版）

模塊三重難點題型專項訓(xùn)練

專題35實際應(yīng)用題

考查類型一行程問題

考查類型二方案問題

考查類型考查類型三購買、銷售問題

考查類型四拋物線型問題

考查類型五其他類型

新題速遞

考查類型一行程問題

例1（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）中國人逢山開路，遇水架橋，靠自己勤勞的雙手創(chuàng)造了世界奇跡．雅

西高速是連接雅安和西昌的高速公路，被國內(nèi)外專家學(xué)者公認為全世界自然環(huán)境最惡劣、工程難度最大、

科技含量最高的山區(qū)高速公路之一，全長240km．一輛貨車和一輛轎車先后從西昌出發(fā)駛向雅安，如圖，

線段OM表示貨車離西昌距離y1(km)與時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系：折線OABN表示轎車離西昌距離y2(km)

與時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系，則以下結(jié)論錯誤的是（）

A．貨車出發(fā)1.8小時后與轎車相遇

B．貨車從西昌到雅安的速度為60km/h

C．轎車從西昌到雅安的速度為110km/h

D．轎車到雅安20分鐘后，貨車離雅安還有60km

例2（2020·重慶·統(tǒng)考中考真題）周末，自行車騎行愛好者甲、乙兩人相約沿同一路線從A地出發(fā)前往B

地進行騎行訓(xùn)練，甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發(fā)5分鐘．乙騎行25分鐘后，甲以原速

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8

的繼續(xù)騎行，經(jīng)過一段時間，甲先到達B地，乙一直保持原速前往B地．在此過程中，甲、乙兩人相距

5

的路程y（單位：米）與乙騎行的時間x（單位：分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，則乙比甲晚____分鐘到達B

地．

例3（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎

電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，到達A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時間忽

略不計）按原路原速前往C地，結(jié)果乙比甲早2分鐘到達C地，兩人均勻速運動，如圖是兩人距B地路程

y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象．

請解答下列問題：

(1)填空：甲的速度為______米/分鐘，乙的速度為______米/分鐘；

(2)求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值

范圍；

(3)出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請直接寫出答案．

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行程問題是反映物體勻速運動的應(yīng)用題。行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個物體的運動，

有的涉及兩個物體的運動，有的涉及三個物體的運動。涉及兩個物體運動的，又有“相向運動”（相遇

問題）、“同向運動”（追及問題）和“相背運動”（相離問題）三種情況。但歸納起來，不管是“一個

物體的運動”還是“多個物體的運動”，不管是“相向運動”、“同向運動”，還是“相背運動”，他們的

特點是一樣的，具體地說，就是它們反映出來的數(shù)量關(guān)系是相同的，都可以歸納為：速度×?xí)r間=路程。

【變式1】（2022·浙江麗水·一模）小張在一條筆直的綠谷跑道上以70米/分鐘的速度，從起點出發(fā)勻速健步

走．30分鐘后，他停下來休息了5分鐘，然后原地返回起點，全程總用時70分鐘．設(shè)小張離起點的距離為

y米，健步走的時間為x分鐘，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小張返回的速度是（）

A．60米/分鐘B．70米/分鐘C．75米/分鐘D．80米/分鐘

【變式2】（2021·重慶綦江·?？既＃┬±詈托⊥醴謩e從甲、乙兩地同時步行出發(fā)，勻速相向而行小李的

速度大于小王的速度，小李到達乙地后，小王繼續(xù)前行.設(shè)出發(fā)x小時后，兩人相距y千米，如圖所示，折

線表示從兩人出發(fā)至小王到達甲地的過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系．下列說法錯誤的是（）

A．點A的坐標意義是甲、乙兩地相距10千米

B．由點B可知0.25小時小李、小王共行走了2.5千米

C．點C表示小李、小王相遇，C點的橫坐標為0.75

D．線段DE表示小李到達乙地后，小王到達甲地的運動過程

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【變式3】（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）某日上午，甲、乙兩車先后從A地出發(fā)沿同一條公路勻速前往B地，

甲車8點出發(fā)，如圖是其行駛路程s（千米）隨行駛時間t（小時）變化的圖象．乙車9點出發(fā)，若要在當

天12點至13點之間（含12點和13點）追上甲車，則乙車的速度v（單位∶千米/小時）的范圍是_____．

【變式4】（2021·四川達州·?？家荒＃┯幸豢萍夹〗M進行了機器人行走性能試驗，在試驗場地有A、B、C

三點順次在同一筆直的賽道上，甲、乙兩機器人分別從A、B兩點同時同向出發(fā)，以各自速度勻速行走，各

自到達點C停止．甲機器人前3分鐘速度不變，3分鐘后與乙機器人的行走速度相同，甲、乙機器人各自

與B地之間的距離y（m）與各自的行走時間x（min）之間的函數(shù)圖象如圖所示：當甲、乙兩機器人相距

30m時，則x的取值范圍是____________________

【變式5】（2021·浙江寧波·?？既＃┤鐖D，有80名師生要到離學(xué)校若干千米的大劇院參加演出，學(xué)校只

有一輛能做40人的汽車，學(xué)校決定采用步行和乘車相結(jié)合的辦法：先把一部分人送到大劇院，車按原路返

回接到步行的師生后開往大劇院，其中車和人的速度保持不變．（學(xué)生上下車，汽車掉頭的時間忽略不計）．y

表示車離學(xué)校的距離（千米），x表示汽車所行駛的時間（小時）．請結(jié)合圖象解答下列問題：

(1)學(xué)校離大劇院相距千米，汽車的速度為千米/小時；

(2)求線段BC所在直線的函數(shù)表達式；

(3)若有一名老師因臨時有事晚了0.5小時出發(fā)，為了趕上學(xué)生，該老師選擇從學(xué)校打車前往，已知出租車

速度為80千米/小時，請問該老師能在學(xué)生全部達到前趕到大劇院嗎？并畫出相關(guān)圖象．

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考查類型二方案問題

例1（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動．某班同學(xué)

報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學(xué)去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360

元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（）

A．5B．6C．7D．8

例2（2021·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）某學(xué)校計劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購買獎品．已知購

買2個A種獎品和4個B種獎品共需100元；購買5個A種獎品和2個B種獎品共需130元．學(xué)校準備購買

2

A,B兩種獎品共20個，且A種獎品的數(shù)量不小于B種獎品數(shù)量的，則在購買方案中最少費用是_____元．

5

例3（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）某快遞公司為了加強疫情防控需求，提高工作效率，計劃購買A、

B兩種型號的機器人來搬運貨物，已知每臺A型機器人比每臺B型機器人每天少搬運10噸，且A型機器人

每天搬運540噸貨物與B型機器人每天搬運600噸貨物所需臺數(shù)相同．

(1)求每臺A型機器人和每臺B型機器人每天分別搬運貨物多少噸？

(2)每臺A型機器人售價1.2萬元，每臺B型機器人售價2萬元，該公司計劃采購A、B兩種型號的機器人共

30臺，必須滿足每天搬運的貨物不低于2830噸，購買金額不超過48萬元．

請根據(jù)以上要求，完成如下問題：

①設(shè)購買A型機器人m臺，購買總金額為w萬元，請寫出w與m的函數(shù)關(guān)系式；

②請你求出最節(jié)省的采購方案，購買總金額最低是多少萬元？

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方案選擇問題解決策略：

1、理順問題的數(shù)學(xué)思路

2、建立問題的數(shù)學(xué)模型

3、研究函數(shù)模型自變量的取值范圍

4、根據(jù)自變量的取值范圍，選擇最佳方案

【變式1】（2022·四川眉山·?？家荒＃┬±钔瑢W(xué)長大后當上了個體老板，一次他準備租用甲、乙兩種貨車

將200噸貨物運回眉山賣給廠家，兩種貨車的載貨量和租金如下表所示：

甲種貨車乙種貨車

載貨量（噸/輛）2520

租金（元/輛）20001800

請問：李老板最少要花掉租金（）．A．15000元B．16000元C．18000元D．20000

元

【變式2】（2021·河北保定·統(tǒng)考二模）超市有A，B兩種型號的瓶子，其容量和價格如表，小張買瓶子用來

分裝15升油（瓶子都裝滿，且無剩油）；當日促銷活動：購買A型瓶3個或以上，一次性返還現(xiàn)金5元，

設(shè)購買A型瓶x（個），所需總費用為y（元），則下列說法不一定成立的是（）

型號AB

單個盒子容量（升）23

單價（元）56

2

A．購買B型瓶的個數(shù)是5x為正整數(shù)時的值B．購買A型瓶最多為6個

3

C．y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yx30D．小張買瓶子的最少費用是28元

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【變式3】（2021·浙江杭州·校聯(lián)考二模）A城有種農(nóng)機30臺，B城有該農(nóng)機40臺，現(xiàn)要將這些農(nóng)機全部運

往C，D兩鄉(xiāng)，調(diào)運任務(wù)承包給某運輸公司．已知C鄉(xiāng)需要農(nóng)機34臺，D鄉(xiāng)需要農(nóng)機36臺，從A城往C，

D兩鄉(xiāng)運送農(nóng)機的費用分別為250元/臺和200元/臺，從B城往C，D兩鄉(xiāng)運送農(nóng)機的費用分別為150元/

臺和240元/臺．設(shè)A城運往C鄉(xiāng)該農(nóng)機x臺，運送全部農(nóng)機的總費用為W元，則W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式

為_______________．

【變式4】（2020·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“雙11”當天，重慶順風(fēng)快遞公司出動所有車輛分上午、下午兩批往

1

成都送件，該公司共有甲、乙、丙三種車型，其中甲型車數(shù)量占公司車輛總數(shù)的，乙型車輛是丙型車數(shù)

4

213

量的2倍，上午安排甲車數(shù)量的，乙車數(shù)量的，丙車數(shù)量的進行運輸，且上午甲、乙、丙三種車型

324

5

每輛載貨量分別為15噸，10噸，20噸，則上午剛好運完當天全部快件重量的；下午安排剩下的所有車

8

輛運輸完當天剩下的所有快件，且下午甲、乙、丙三種車型每輛載貨量分別不得超過20噸，12噸，16噸，

下午乙型車實際載貨量為下午甲型車每輛實際載貨量的2．已知同種貨車每輛的實際載貨量相等，甲、乙、

3

丙三種車型每輛車下午的運輸成本分別為50元/噸，90元/噸，60元/噸．則下午運輸時，一輛甲種車、一輛

乙種車、一輛丙種車總的運輸成本最少為_____元．

【變式5】（2022·河南信陽·?？家荒＃┯捎谝咔榈脑?，某公司決定為員工采購一批口罩（x包）和10瓶

消毒液，經(jīng)了解，購買4包口罩和3瓶消毒液共需185元；購買8包口罩和5瓶消毒液共需335元．

(1)求一包口罩和一瓶消毒液各需多少元？

(2)實際購買時，廠家有兩種優(yōu)惠方案：

方案一：消毒液不優(yōu)惠：購買口罩不超過20包時，每包都按九折優(yōu)惠，超過20包時，超過部分每包按七

折優(yōu)惠；

方案二：口罩、消毒液均按原價的八折優(yōu)惠．

①求兩種方案下所需的費用y（單位：元）與x（單位：包）的函數(shù)關(guān)系式；

②若該公司決定購買xx20包口罩和10瓶消毒液，請你幫該公司決定選擇哪種方案更合算．

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考查類型三購買、銷售問題

例1（2020·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）由于換季，商場準備對某商品打折出售，如果按原售價的七五折出

售，將虧損25元，而按原售價的九折出售，將盈利20元，則該商品的原售價為（）

A．230元B．250元C．270元D．300元

例2（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每

天賣出份數(shù)分別為40份、80份．該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種

快餐的利潤．售賣時發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每

提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是______

元．

例3．（2020·湖北黃岡·中考真題）網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式為了減少農(nóng)產(chǎn)品的庫存，我市

市長親自在某網(wǎng)絡(luò)平臺上進行直播銷售大別山牌板栗．為提高大家購買的積極性，直播時，板栗公司每天

拿出2000元現(xiàn)金，作為紅包發(fā)給購買者．已知該板栗的成本價格為6元/kg，每日銷售量y(kg)與銷售單價

x（元/kg）滿足關(guān)系式：y100x5000．經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，銷售單價不低于成本價格且不高于30元/kg．當

每日銷售量不低于4000kg時，每千克成本將降低1元設(shè)板栗公司銷售該板栗的日獲利為W（元）．

（1）請求出日獲利W與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式

（2）當銷售單價定為多少時，銷售這種板栗日獲利最大？最大利潤為多少元？

（3）當W40000元時，網(wǎng)絡(luò)平臺將向板栗公可收取a元/kg(a4)的相關(guān)費用，若此時日獲利的最大值為

42100元，求a的值．

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讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，體會數(shù)學(xué)的實用價值，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項很重

要的任務(wù)。生活在商品經(jīng)濟社會，學(xué)生掌握必要的商品銷售知識是現(xiàn)在和未來學(xué)生從事生產(chǎn)、生活的需要。

一、弄清幾個重要的概念、公式

（1）商品的進價是指商店購進商品時的價格（也稱采購價格）。

（2）商品的標價是指商店在銷售商品時用標簽標出的價格有時也叫定價（可以打折）。

（3）商品的銷售價是指商店銷售商品時買賣雙方的成交價格。

（4）折扣（打折）是指商店在銷售商品時售價占標價的百分數(shù)，一般地10%為一折。

（5）商品的利潤（盈利）=商品的銷售價-商品的進價。

（6）商品的標價（定價）=商品的進價+利潤+折扣價。

（7）商品的售價（銷售價格）=商品的標價x商品銷售折扣。

利潤問題常用公式如下:

(1)利潤=售價–成本價=標價×折扣–成本價.

售價-成本

(2)利潤率=100%

成本

(3)銷售額=銷售價×銷售量.

(4)銷售利潤=(銷售價–成本價)×銷售量

【變式1】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考二模）某超市將進價為40元件的商品按50元/件出售時，每月可售出500

件．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該商品售價每上漲1元，其月銷量就減少10件．超市為了每月獲利8000元，則每件應(yīng)

漲價多少元？若設(shè)每件應(yīng)漲價x元，則依據(jù)題意可列方程為（）

A．(5040x)(500x)8000B．(40x)(50010x)8000

C．(5040x)(50010x)8000D．(50x)(50010x)8000

【變式2】（2020·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某超市對進貨價為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進行統(tǒng)計，

發(fā)現(xiàn)每天銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．則最大利潤是（）

A．180B．220C．190D．200

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【變式3】2022·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考一模）某超市購進一批單價為8元的生活用品，如果按每件9元

出售，那么每天可銷售20件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活用品的銷售單價每提高1元，其銷售量相應(yīng)減少4件，

那么將銷售價定為__________元時，才能使每天所獲銷售利潤最大．

【變式4】（2021·山東青島·統(tǒng)考一模）網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某網(wǎng)絡(luò)平臺為一服裝廠直

播代銷一種服裝(這里代銷指廠家先免費提供貨源，待貨物銷售后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負責(zé)處理)．銷

售中發(fā)現(xiàn)每件售價為250元時，日銷售量為40件，當每件衣服每下降10元時，日銷售量就會增加8件．已

知每售出1件衣服，該平臺需支付廠家和其它費用共100元．設(shè)每件衣服售價為x(元)，該網(wǎng)絡(luò)平臺的日銷

售量為y(件)．則下列結(jié)論正確的是_______(填寫所有正確結(jié)論序號)．

4

①y與x的關(guān)系式是y=-x+240；

5

4

②y與x的關(guān)系式是y=x-160；

5

4

③設(shè)每天的利潤為W元，則W與x的關(guān)系式是W=-x2+320x-24000；

5

④按照廠家規(guī)定，每件售價不得低于210元，若該經(jīng)銷商想要每天獲得最大利潤，當每件售價定為210元

時，每天利潤最大，此時最大利潤為7920元．

【變式5】（2022·貴州遵義·三模）紅星公司銷售一種成本為40元/件的產(chǎn)品，若月銷售單價不高于50元/件.

一個月可售出5萬件；月銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少0.1萬件.其中月銷售單價不低于成本.設(shè)

月銷售單價為x（單位：元/件），月銷售量為y（單位：萬件）.

(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當月銷售單價是多少元/件時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少萬元？

(3)為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，該公司決定在某月每銷售件產(chǎn)品便向大別山區(qū)捐款a元，已知該公司捐款

當月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元，求a的值

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考查類型四拋物線型問題

例1（2021·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球運動

時間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論：①小球在空中經(jīng)過的路程是40m；②小球拋出3秒

后，速度越來越快；③小球拋出3秒時速度為0；④小球的高度h30m時，t1.5s．其中正確的是()

A．①④B．①②C．②③④D．②③

例2（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面

的高度h（米）與物體運動的時間t（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系h5t2mtn，其圖像如圖所示，物體運動

的最高點離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運動時間為3秒．設(shè)w表示0秒到t秒時h的值的“極差”（即0

秒到t秒時h的最大值與最小值的差），則當0t1時，w的取值范圍是_________；當2t3時，w的取

值范圍是_________．

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例3（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶

澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直

角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE3m，豎直高度

為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為

2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．

(1)若h1.5，EF0.5m；

①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；

③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的取值范圍；

(2)若EF1m．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出h的最小值．

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【變式1】（2021·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖

2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米．當噴射

出的水流距離噴水頭20米時．達到最大高度11米，現(xiàn)將噴灌架置于坡度為1：10的坡地底部點O處，草

坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度約為2.3米的石榴樹AB，因為剛剛被噴灑了農(nóng)藥，近期不能

被噴灌．下列說法正確的是（）

1

A．水流運行軌跡滿足函數(shù)y＝﹣x2﹣x+1

40

B．水流噴射的最遠水平距離是40米

C．噴射出的水流與坡面OA之間的最大鉛直高度是9.1米

D．若將噴灌架向后移動7米，可以避開對這棵石榴樹的噴灌

【變式2】（2022·北京海淀·校考一模）在特定條件下，籃球賽中進攻球員投球后，籃球的運行軌跡是開口

向下的拋物線的一部分．“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而

防守隊員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”．對于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上

升階段的水平距離越長，則被“蓋帽”的可能性越大．收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡化為

下述數(shù)學(xué)模型：如圖所示，該球員的投籃出手點為P，籃框中心點為Q，他可以選擇讓籃球在運行途中經(jīng)過

A，B，C，D四個點中的某一點并命中Q，忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”P的可能性最大的線路是（）

A．PAQB．PBQC．PCQD．PDQ

第13頁共27頁.

【變式3】（2022·浙江臺州·統(tǒng)考一模）斜拋小球，小球觸地后呈拋物線反彈，每次反彈后保持相同的拋物

線形狀（開口方向與開口大小前后一致），第一次反彈后的最大高度為h1，第二次反彈后的最大高度為h2，

2

第二次反彈后，小球越過最高點落在垂直于地面的擋板C處，且離地高度BCh，若

31

h

OB90dm,OA2AB，則2為________．

h1

【變式4】（2022·浙江舟山·校考一模）準備在一個“7”字型遮陽棚下安裝一個噴水裝置（如圖1），已知遮陽

棚DB與豎桿OB垂直，遮陽棚的高度OB＝3米，噴水點A與地面的距離OA＝1米（噴水點A噴出來的水

柱呈拋物線型），水柱噴水的最高點恰好是遮陽棚的C處，C到豎桿的水平距離BC＝2米（如圖2），此時

水柱的函數(shù)表達式為_____，現(xiàn)將遮陽棚BD繞點B向上旋轉(zhuǎn)45°（如圖3），則此時水柱與遮陽棚的最小距

離為____米．（保留根號）

【變式5】（2022·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃┤鐖D①，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，

為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖②，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象

為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖像，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE3m，

豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的

水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．若當h1.5m，EF0.5m時，

解答下列問題．

第14頁共27頁.

(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC．

(2)下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標為________．

(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍．

考查類型五其他問題

例1（2020江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖是王阿姨晚飯后步行的路程s(單位：m)與時間t(單位：min)的

函數(shù)圖象，其中曲線段AB是以B為頂點的拋物線一部分.下列說法不正確的是()

A．25min~50min，王阿姨步行的路程為800m

B．線段CD的函數(shù)解析式為s32t40（025t50）

C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快

D．曲線段AB的函數(shù)解析式為s（3t20）2120（05t20）

例2（2020·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）某快遞公司在甲地和乙地之間共設(shè)有29個服務(wù)驛站（包括甲站、

乙站），一輛快遞貨車由甲站出發(fā)，依次途經(jīng)各站駛往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站發(fā)往該站的貨

包各1個，又要裝上該站發(fā)往后面各站的貨包各1個．在整個行程中，快遞貨車裝載的貨包數(shù)量最多是_____

個．

第15頁共27頁.

例3（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）第24屆冬奧會（也稱2022年北京冬奧會）于2022年2月4日

至2月20日在中國北京舉行，北京成為了歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的城市．冬奧會上

跳臺滑雪是一項極為壯觀的運動．運動員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，一氣呵

成，如圖，某運動員穿著滑雪板，經(jīng)過助滑后，從傾斜角37的跳臺A點以速度v0沿水平方向跳出，若

忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變．同時，由于受重力作用，運動員沿豎直方向會加速下落，

因此，運動員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該運動員在B點著陸，AB150m，且

sin370.6．忽略空氣阻力，請回答下列問題：

(1)求該運動員從跳出到著陸垂直下降了多少m？

(2)以A為坐標原點建立直角坐標系，求該拋物線表達式；

(3)若該運動員在空中共飛行了4s，求他飛行2s后，垂直下降了多少m？

【變式1】（2021·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)?？级＃┦褂眉矣萌細庠顭_同一壺水所需的燃氣

量y（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（單位：度）(0°＜x≤90°)近似滿足函數(shù)關(guān)系yax2bxc(a≠0)．如

圖記錄了某種家用燃氣灶燒開同一壺水的旋鈕角度x與燃氣量y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可

推斷出此燃氣灶燒開一壺水最節(jié)省燃氣的旋鈕角度約為（）

A．18°B．36°C．41°D．58°

第16頁共27頁.

【變式2】（2022·山東聊城·統(tǒng)考三模）北方的冬天，人們酷愛冰雪運動，在這項運動里面，我們可以用數(shù)

學(xué)知識解決一些實際問題．如圖是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳

11

臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示，圖中的拋物線C:yx2x30近

14804

似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點O正上方50米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線

1

C:yx2bxc運動．當運動員運動到離A處的水平距離為60米時，離水平線的高度為60米．那

2120

么當運動員滑出點A后，運動員運動的水平距離為（）米時，運動員與小山坡C1的豎直距離為20米．

160200320

A．50B．C．D．

333

【變式3】（2020·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）小林家的洗手臺面上有一瓶洗手液（如圖1），當手按住頂部

A下壓時（如圖2），洗手液瞬間從噴口B流出，已知瓶子上部分的CE和FD的圓心分別為D，C，下部分

的視圖是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，點E到臺面GH的距離為14cm，點B距臺面GH的距離為

16cm，且B，D，H三點共線．如果從噴口B流出的洗手液路線呈拋物線形，且該路線所在的拋物線經(jīng)過C．E

兩點，接洗手液時，當手心O距DH的水平距離為2cm時，手心O距水平臺面GH的高度為_____cm．

【變式4】（2022·山東濟南·?？寄M預(yù)測）兩輛車A和B，從相同標記處同時出發(fā)，沿直線同方向行駛，并

1

且由出發(fā)點開始計時，行駛的距離x與行駛時間t的函數(shù)關(guān)系分別為：xt32t2和xt28t，求：

A3B

（1）它們剛離開出發(fā)點時，行駛在前面的一輛車是_____；

（2）它們出發(fā)后，B車相對A車速度為零的時刻是_____．

第17頁共27頁.

【變式5】（2022·河北保定·?？家荒＃┬滦徒ú模葱滦徒ㄖ牧希┦菂^(qū)別于傳統(tǒng)的磚瓦、灰砂石等建材

的建筑材料新品種，行業(yè)內(nèi)將新型建筑材料的范圍作了明確的界定，即新型建筑材料主要包括新型墻體材

料、新型防水保溫隔熱密封材料和裝飾裝修材料三大類，某開發(fā)商承建一精密實驗室，要求全部使用新型

建筑材料，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：新型建筑材料總成本包括裝飾裝修材料成本、新型墻體材料成本和新型防水保溫

隔熱密封材料成本，其中裝飾裝修材料成本固定不變?yōu)?00萬元，新型墻體材料成本與建筑面積x（m2）成

正比，新型防水保溫隔熱密封材料成本與建筑面積x（m2）的平方成正比，在建筑過程中，設(shè)新型建筑材料

總成本為y（萬元），獲得如下數(shù)據(jù)：

x（單位：m2）2050

y（單位：萬元）240600

(1)求新型建筑材料總成本為y（萬元）與建筑面積x（m2）的函數(shù)表達式；

(2)在建筑過型中，開發(fā)商測算出此時每平方米的平均成本為12萬元，求此時完成的建筑面積；

(3)設(shè)建設(shè)該廠房每平方米的毛利潤為Q（萬元）且有Q＝kx+b（k≠0），已知當x＝50時，Q為12.5萬元，

且此時開發(fā)商總純利潤W最大，求k、b的值．（純利潤＝毛利潤﹣成本）

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【新題速遞】

1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）某市體育館將舉辦明星足球賽，為此體育館推出兩種團體購票方案（設(shè)購票

張數(shù)為x張，購票總價為y元）．方案一：購票總價由圖中的折線OAB所表示的函數(shù)關(guān)系確定；方案二：提

供8000元贊助后，每張票的票價為50元．則兩種方案購票總價相同時，x的值為（）

A．80B．120C．160D．200

2．（2021秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）某口罩生產(chǎn)企業(yè)于2020年1月份開始了技術(shù)改造，其月利潤y（萬

元）與月份x之間的變化如圖所示，技術(shù)改造完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，技術(shù)改造完成后是一次函

數(shù)圖象的一部分，下列選項錯誤的是（）

A．4月份的利潤為45萬元

B．改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元

C．改造完成前后共有5個月的利潤低于135萬元

D．9月份該企業(yè)利潤達到205萬元

3．（2021秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）一座拱橋的示意圖如圖所示，當水面寬為12m時，橋洞頂部離

水面4m．已知橋洞的拱形是拋物線，以水平方向為x軸（向右為正向），若A為原點建立坐標系時，該拋

14

物線的表達式為yx2x,則B為原點建立坐標系時，該拋物線的表達式為（）

93

14141414

A．yx2xB．yx2xC．yx2xD．yx2x

93939393

第19頁共27頁.

4．（2022秋·浙江紹興·九年級新昌縣七星中學(xué)?？计谥校W(xué)校組織學(xué)生去紹興進行研學(xué)實踐活動，小王同

學(xué)發(fā)現(xiàn)在賓館房間的洗手盤臺面上有一瓶洗手液（如圖①）．于是好奇的小王同學(xué)進行了實地測量研究．當

小王用一定的力按住頂部A下壓如圖②位置時，洗手液從噴口B流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口B為

該拋物線的頂點．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形CGHD．小王同學(xué)測得∶洗手液瓶子的底面直徑

GH12cm，噴嘴位置點B距臺面的距離為16cm，且B、D、H三點共線．小王在距離臺面15.5cm處接洗手

液時，手心Q到直線DH的水平距離為3cm，若小王不去接，則洗手液落在臺面的位置距DH的水平面是

（）cm

A．123B．122C．63D．62

5．（2022春·九年級課時練習(xí)）某公司銷售一種藜麥，成本價為30元/千克，若以35元/千克的價格銷售，

每天可售出450千克．當售價每漲0.5元/千克時，日銷售量就會減少15千克．設(shè)當日銷售單價為x（元/

千克）（x30，且x是按0.5的倍數(shù)上漲），當日銷售量為y（千克）．有下列說法：

①當x36時，y420

②y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y30x1500

③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應(yīng)定為42元/千克

④若使日銷售利潤最大，銷售價格應(yīng)定為40元/千克

其中正確的是（）

A．①②B．①②④C．①②③D．②④

6．（2022秋·河北廊坊·九年級?？计谀┤鐖D，在水平地面點A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球

在地面上的落點為B，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，小明在直線AB上點C（靠點B一側(cè)）右側(cè)豎直向上擺

放若干個無蓋的、直徑為0.5米，高為0.3米的圓柱形桶（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計）．已知

AB4米，AC3米，網(wǎng)球飛行的最大高度OM3米，若要使網(wǎng)球能落入桶內(nèi)，則至少需擺放圓柱形桶（）．

第20頁共27頁.

A．4個B．5個C．6個D．7個

7．（2022春·九年級單元測試）如圖是王叔叔晩飯后步行的路程s（單位：m）與時間t（單位：min）的函

數(shù)圖像，其中曲線段AB是以B為頂點的拋物線的一部分．下列說法正確的是（）

A．線段CD的函數(shù)表達式為s30t40025t50

B．25min~50min，王叔叔步行的路程為2000m

2

C．曲線段AB的函數(shù)表達式為s3t2012005t20

D．5min~20min，王叔叔步行的速度由慢到快

8．（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝5cm，CD=3cm，AC⊥CD，點P從點

C出發(fā)，以1cm/s的速度沿C→D→A勻速運動，點M從點B出發(fā)，以相同的速度沿B→C勻速運動，其中

一點停止時，另一點隨之停止運動，圖2是△PMC的面積S（cm2）隨時間t（s）變化的函數(shù)圖象，若a秒

8

與b秒時△PMC的面積均為cm2，則b﹣a的值為（）

5

1685

A．B．C．3D．

532

第21頁共27頁.

9．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖所示，是某電信公司甲、乙兩種業(yè)務(wù)：每月通話費用y(元)與通話時間

x(分)之間的函數(shù)關(guān)系．某企業(yè)的周經(jīng)理想從兩種業(yè)務(wù)中選擇一種，如果周經(jīng)理每個月的通話時間都在100

分鐘以上，那么選擇________種業(yè)務(wù)合算．

10．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考階段練習(xí)）中秋將至，某公司為員工準備了五仁月餅、蓮蓉

蛋黃月餅和云腿月餅，已知五仁月餅、蓮蓉蛋黃月餅和云腿月餅的單價之和為22元，其中云腿月餅的單價

為10元．計劃購買五仁月餅、蓮蓉蛋黃月餅和云腿月餅的數(shù)量總共不超過200個．其中云腿月餅購買50

個，五仁月餅的數(shù)量不多于蓮蓉蛋黃月餅數(shù)量的一半，但至少購買30個．但在做計劃時，將五仁月餅和蓮

蓉蛋黃月餅的單價弄反了，結(jié)果在實際購買時，總費用比計劃多了80元．若五仁月餅和蓮蓉蛋黃月餅的單

價均為整數(shù)，則實際購買五仁月餅、蓮蓉蛋黃月餅和云腿月餅的總費用最多需要花費___________元．

11．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖是本地區(qū)一種產(chǎn)品30天的銷售圖象，圖①表示產(chǎn)品日銷售量y（單位：

件）與時間t（單位：天）的關(guān)系，圖②表示一件產(chǎn)品的銷售利潤z（單位，元）與時間t（單位：天）的關(guān)

系，已知日銷售利潤=日銷售量×一件產(chǎn)品的銷售利潤，下列正確結(jié)論的序號是_______．

①第24天的銷售量為200件；

②第10天銷售一件產(chǎn)品的利潤是15元；

③第12天與第30天這兩天的日銷售利潤相等；

④第30天的日銷售利潤是750元．

12．（2022秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖，水面寬AB與橋長CD均

為12m，在距離D點3m的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建

立平面直角坐標系．如圖2，橋面上方有3根高度均為5m的支柱CG、OH、DI，過相鄰兩根支柱頂端的

鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為2m，下面結(jié)論正確的是______(填寫正確結(jié)論序號)．

1

①圖1拋物線型拱橋的函數(shù)表達式y(tǒng)x2．

6

第22頁共27頁.

1

②圖2右邊鋼纜拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)(x3)22．

3

1

③圖2左邊鋼纜拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)(x3)22．

3

④圖2在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，彩帶長度的最小值是3m．

13．（2022秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）小林家的洗手臺上有一瓶洗手液（如圖1所示）．如圖2所示，

當手按住頂部A下壓位置時，洗手液瞬間從噴口B流出路線呈拋物線經(jīng)過C與E兩點．瓶子上部分是由CE

和FD組成的，其圓心分別為D，C，下部分是矩形CGHD，GH10cm，CG8cm，點E到臺面GH的

距離為14cm，點B距臺面的距離為16cm，且B，D，H三點共線．若手心距DH的水平距離為2cm去接洗

手液，則手心距水平臺面的高度為________cm．

14．（2023春·九年級單元測試）某市政府加大各部門和單位對口扶貧力度．某單位的幫扶對象種植的農(nóng)產(chǎn)

品在某月，（按30天計）的第x天（x為正整數(shù)）的銷售價格p（元/千克）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為

2

x40(0x20)

5

p，銷售量y（千克）與x之間的關(guān)系如圖所示．

1

x12(20x30)

5

第23頁共27頁.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y___________；

（2）若該農(nóng)產(chǎn)品當月的銷售額最大，最大銷售額是___________．（銷售額=銷售量×銷售價格）

15．（2022秋·福建廈門·九年級廈門市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某日6時至10時，某交易平臺上一種水

果的每千克售價、每千克成本與交易時間之間的關(guān)系分別如圖1、圖2所示（圖1、圖2中的圖象分別是線

段和拋物線，其中點P是拋物線的頂點）.在這段時間內(nèi)，出售每千克這種水果收益最大的時刻是_____，

此時每千克的收益是_________

16．（2022秋·四川達州·九年級校聯(lián)考期末）為了滿足社區(qū)居民強身健體的需要，政府準備采購若干套健身

器材免費提供給社區(qū)，經(jīng)過考察了解，飛躍公司有