專題36 圓的相關(guān)計(jì)算與證明（5大類型）（原卷版）

模塊三重難點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題36圓的相關(guān)計(jì)算與證明（5大類型）

考查類型一圓與銳角三角函數(shù)的綜合

考查類型二圓基本性質(zhì)的證明與計(jì)算

考查類型考查類型三與圓的切線有關(guān)的證明與計(jì)算

考查類型四圓與相似三角形的綜合

考查類型五扇形面積與圓錐側(cè)面積綜合

新題速遞

考查題型一圓與銳角三角函數(shù)的綜合

例1（2021·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是O的直徑，弦CDOA于點(diǎn)E，連結(jié)OC,OD．若O

的半徑為m,AOD，則下列結(jié)論一定成立的是（）

2

A．OEmtanB．CD2msinC．AEmcosD．SCODmsin

例2（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了環(huán)保低碳

理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點(diǎn)，則tan∠ABE

＝_____．

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例3（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖CD是O直徑，A是O上異于C，D的一點(diǎn)，點(diǎn)B是DC延

長線上一點(diǎn)，連接AB、AC、AD，且BACADB．

(1)求證：直線AB是O的切線；

(2)若BC2OC，求tanADB的值；

(3)在（2）的條件下，作CAD的平分線AP交O于P，交CD于E，連接PC、PD，若AB26，求AEAP

的值．

解題策略一：利用圓的有關(guān)性質(zhì)構(gòu)造直角三角形

如果圓中存在直徑，則可根據(jù)直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形，從而為使用三角函數(shù)創(chuàng)造條件.垂

徑定理和切線的性質(zhì)也是圓中構(gòu)造直角的重要依據(jù).

解題策略二：用圓周角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到直角三角形中

借助同孤或等弧所對的圓周角相等或其他相等關(guān)系，可把三角函數(shù)中涉及的銳角轉(zhuǎn)化為直角三角形中的銳

角，然后借助三角函數(shù)的定義解答.

總而言之，圓與三角函數(shù)都是初中數(shù)學(xué)知識的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，將這兩部分知識綜合考查時，難度相對較

大。其解題關(guān)鍵在于，找到相關(guān)的直角三角形。若沒有現(xiàn)成的直角三角形，則需根據(jù)所給的條件，合理構(gòu)

造直角三角形，或把角轉(zhuǎn)化到直角三角形中解答。

圓的內(nèi)容在考察的時候形式多樣，不管是哪一種類型都可以隨機(jī)結(jié)合，對于學(xué)生而言靈活變通能力要求較

高，所以在平時做題時需要多做總結(jié)和同類型整理，才能更快融會貫通。

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【變式1】（2022·江西·模擬預(yù)測）如圖，PA、PB分別與O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長與O交于

點(diǎn)C、D，若CD12，PA8，則sinADB的值為（）

4334

A．B．C．D．

5543

【變式2】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖，AB為O的直徑，延長AB到點(diǎn)P，過點(diǎn)P作☉O的切線PC，

1

PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接CD交AP于點(diǎn)M，連接BD，AD．若PC2，tanBDC，則AD的長為

2

（）

6535

A．B．C．2D．5

55

【變式3】（2022·廣東云浮·校聯(lián)考三模）如圖，AB是O的弦，半徑OCAB于點(diǎn)D，且ADODOD1，

OC2，則tanABC_____．

【變式4】（2022·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC，PD分別與O

相切于點(diǎn)C，D，連接AC，AD．若AB6，PC4，則cosCAD______．

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【變式5】（2022·山東濟(jì)寧·校考二模）如圖，點(diǎn)E是O中弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作O的直徑CD，P是O

上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作O的切線，與AB的延長線交于F，與CD的延長線交于點(diǎn)G，連接CP與AB交于點(diǎn)M．

(1)求證：FMFP；

3

若點(diǎn)是的中點(diǎn)，cosF，半徑長為，求長．

(2)PFG5O6EM

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考查題型二圓基本性質(zhì)的證明與計(jì)算

例1（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中．A60，AB//CD，DEAD交AB于

點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，DE為半徑，且DE6的圓交CD于點(diǎn)F，則陰影部分的面積為（）

9393

A．693B．1293C．6D．12

22

例2（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C，D在AB上，將CD沿弦CD折疊后恰

好與OA，OB相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．已知AOB120，OA6，則EF的度數(shù)為_______；折痕CD的長為_______．

例3（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，ODBC，垂足為D，過點(diǎn)

A作O的切線，與DO的延長線相交于點(diǎn)E．

(1)如圖1，求證BE；

(2)如圖2，連接AD，若O的半徑為2，OE3，求AD的長．

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知識點(diǎn)、圓的對稱性

（1）對稱中心

圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

將圓周繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心。將圓周繞圓心

旋轉(zhuǎn)任意一個角度都能與自身重合，這說明圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

1.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。

2.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都

分別相等。

3.將整個圓分為360等份，每一份的弧對應(yīng)1的圓心角，我們也稱這樣的弧為1的弧。圓心角的度數(shù)和它

所對的弧的度數(shù)相等．

（2）對稱軸

經(jīng)過圓心畫任意一條直線，并沿此直線將圓對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，所以圓是軸對稱圖

形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸，所以圓有無數(shù)條對稱軸。

（3）垂徑定理

1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

幾何語言：

垂徑定理的幾個基本圖形：

垂徑定理在基本圖形中的應(yīng)用：

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2．其它正確結(jié)論：

⑴弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

⑵平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?/p>

⑶圓的兩條平行弦所夾的弧相等．

3．知二推三：①直徑或半徑；②垂直弦；③平分弦；④平分劣?。虎萜椒謨?yōu)?。陨衔鍌€條件知二推三．

注意：在由①③推②④⑤時，要注意平分的弦非直徑．

4．常見輔助線做法：

⑴過圓心，作垂線，連半徑，造RT△，用勾股，求長度；

⑵有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．

【變式1】（2022·廣東廣州·廣州市第一中學(xué)校考三模）如圖，C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，連結(jié)AC，

BC，分別以AC，BC為邊向外作正方形ACDE，BCFG，DE，F(xiàn)G，AC，BC的中點(diǎn)分別是M，N，PQ若

MP+NQ=12，AC+BC=18，則AB的長為（）

90

A．92B．C．11D．15

7

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【變式2】（2022·福建福州·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，YABCD的三個頂點(diǎn)A、B、

D均在O上，且對角線AC過圓心O，BC與O相切于點(diǎn)B，若O的半徑為6，則?ABCD的面積為（）

384725

A．35B．543C．D．72+

55

【變式3】（2022·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEAB

于點(diǎn)E，延長DE交O于點(diǎn)F，若AC12，AE3，則O的直徑長為______．

【變式4】（2022·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC的

中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長是_______．

【變式5】（2022·貴州銅仁·模擬預(yù)測）已知：如圖，O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，BCBD，O的

切線BF與弦AD的延長線相交于點(diǎn)F.

(1)求證：CD∥BF；

3

(2)連接BC，若O的半徑為4，cosBCD，求線段AD，CD的長.

4

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考查題型三與圓的切線有關(guān)的證明與計(jì)算

例1（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是O的直徑，C為O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與AB的延長

線交于點(diǎn)P，若ACPC33，則PB的長為（）

3

A．3B．C．23D．3

2

例2（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）已知AB為⊙O的直徑且AB2，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)（不與A、

B重合），點(diǎn)D在半徑OB上，且ADAC，AE與過點(diǎn)C的⊙O的切線垂直，垂足為E．若EAC36，則

CD_____，OD_______．

例3（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，O是ABC的外接圓，EF與O相切于點(diǎn)D，EF∥BC分別交AB，

AC的延長線于點(diǎn)E和F，連接AD交BC于點(diǎn)N，ABC的平分線BM交AD于點(diǎn)M．

(1)求證：AD平分BAC；

(2)若AB:BE5:2，AD14，求線段DM的長．

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切線的定義是：一直線若與一圓有且只有一個交點(diǎn)，那么這條直線就是圓的切線。一般如果題目給出有切線，那么我們可以

考慮添加過切點(diǎn)的半徑，進(jìn)而連接圓心和切點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)和定理構(gòu)造出直角或直角三角形，從而使用勾股定理解出一

些邊角關(guān)系。

【變式1】（2022·四川綿陽·東辰國際學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，直線y3x33與x軸、y軸分別交于

A、B兩點(diǎn)，P1,0，P與y軸相切于點(diǎn)O，將P向上平移m個單位長度，當(dāng)P與直線AB第一次相切

時，則m的值是（）

A．232B．23C．333D．233

【變式2】（2022·浙江寧波·一模）如圖，RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=10，BC=24，點(diǎn)P是線

段CD上一動點(diǎn)，當(dāng)半徑為6的⊙P與ABC△的一邊相切時，CP的長為___________．

△

【變式3】（2022·廣東韶關(guān)·校考三模）如圖，AB是O的直徑，CD是ACB的平分線交O于點(diǎn)D，過D

作O的切線交CB的延長線于點(diǎn)E．若AB4，E75，則CD的長為______．

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1

【變式4】（2022·廣東廣州·?？级＃┤鐖D，已知ABC，tanC，A30．

3

(1)在AC邊上求作點(diǎn)P，連接PB，使PBA30（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

(2)在第（1）問圖中，若AB43，

①求SPBC；

②已知經(jīng)過點(diǎn)P的圓O與AB相切于點(diǎn)A，求扇形AOP的面積．

考查題型四圓與相似三角形的綜合

例1（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)（位

于AB下方），CD交AB于點(diǎn)E，若∠BDC＝45°，BC＝62，CE＝2DE，則CE的長為（）

A．26B．42C．35D．43

例2（2022·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在O中，AB為直徑，AB8，BD為弦，過點(diǎn)A的切線與

BD的延長線交于點(diǎn)C，E為線段BD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），且OEDE．

（1）若B35，則AD的長為______（結(jié)果保留）；

DE

（2）若AC6，則______．

BE

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例3（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線與⊙O相交于點(diǎn)

D，連接DB．△

(1)如圖1，設(shè)∠ABC的平分線與AD相交于點(diǎn)I，求證：BD=DI；

圖1

(2)如圖2，過點(diǎn)D作直線DE∥BC，求證：DE是⊙O的切線；

圖2

(3)如圖3，設(shè)弦BD，AC延長后交⊙O外一點(diǎn)F，過F作AD的平行線交BC的延長線于點(diǎn)G，過G作⊙O

的切線GH（切點(diǎn)為H），求證：GF=GH．

圖3

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我們知道在圓中隨便相連就可以形成很多三角形，而圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸，這就造成了圓的一些特殊性質(zhì)，

比如：

（1）直徑所對的圓周角為直角；

（2）平分一般弦（不是直徑）的直徑垂直于弦；

（3）圓的切線與過該點(diǎn)的半徑垂直等。

因此，圓中有非常多的直角三角形，且圓中三角形的相似一般是直角三角形的相似。

這些相似包括：A字相似（平行、不平行）；8字相似（平行、不平行）、攝影相似、母子相似等。

【變式1】（2021·貴州遵義·?？寄M預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，以對角線AC為直徑的O分別

交BC,CD于M，N．若AB13，BC14，CM9，則AN的長度為（）

168180

A．12B．15C．D．

1313

【變式2】（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作⊙O的

直徑CD，P是⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與AB延長線交于點(diǎn)F，與CD延長線交于點(diǎn)G，若點(diǎn)P

3

為FG中點(diǎn)，cosF，⊙O的半徑長為3則CE的長為（）

5

7834

A．B．C．D．

5523

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【變式3】（2023·廣西玉林·一模）如圖，點(diǎn)P在以MN為直徑的半圓上運(yùn)動(點(diǎn)P不與點(diǎn)M，N重合)，

MQ

PQMN于點(diǎn)Q，NE平分MNP，交PM于點(diǎn)E，交PQ于點(diǎn)F.若PN2PMMN，則______．

NQ

【變式4】（2022·陜西西安·校考三模）如圖O半徑為22，AB為直徑，弦AC=2，點(diǎn)P是半圓弧AB上

的動點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于點(diǎn)D，則△PCD面積的最大值為______．

【變式5】（2022·廣東云浮·校聯(lián)考三模）如圖1，⊙O是ABC的外接圓，AB是直徑，OD∥AC，OD交

⊙O于點(diǎn)E，且CBDCOD．

(1)求證：BD是⊙O的切線；

(2)若點(diǎn)E為線段OD的中點(diǎn)，判斷以O(shè)、A、C、E為頂點(diǎn)的四邊形的形狀并證明；

FG

(3)如圖2，作CFAB于點(diǎn)F，連接AD交CF于點(diǎn)G，求的值．

FC

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考查題型五扇形面積與圓錐側(cè)面積的綜合

例1（2022·寧夏·中考真題）把量角器和含30角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長直角邊重合，

移動量角器使外圓弧與斜邊相切時，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度2處，短直角邊過量角器外沿刻度120處（即

OC2cm，BOF120）．則陰影部分的面積為（）

2222

A．23cmB．83cm

33

8282

C．83cmD．163cm

33

例2（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，將線段DC繞點(diǎn)D

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AB上時，圖中陰影部分的面積是_____．

例3（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，∠C=90°，∠B=30°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，

點(diǎn)O在邊BC上，以點(diǎn)O為圓心的圓過頂點(diǎn)C，與邊△AB交于點(diǎn)D．

(1)求證：直線AB是⊙O的切線；

(2)若AC3，求圖中陰影部分的面積．

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知識點(diǎn)、弧長及扇形的面積

設(shè)⊙O的半徑為R，n圓心角所對弧長為l，

（一）弧長的計(jì)算

nR

（1）弧長公式：l.

180

（2）公式推導(dǎo)：在半徑為R的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對的弧長就是圓周長C2R，所以1的圓心

角所

2RRnR

對的弧長是,即,于是n的圓心角所對的弧長為l.

360180180

注意：（1）在弧長公式中，n表示1的圓心角的倍數(shù)，不帶單位。例如圓的半徑R6cm，計(jì)算20的圓

心角

206

所對弧長l時，不要錯寫成lcm.

180

（2）在弧長公式中，已知，l,n,R中的任意兩個量，都可以求出第三個量。

（二）扇形面積的計(jì)算

（1）扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫作扇形。

2

（）扇形的面積：nR1為扇形所在圓的半徑，為扇形的弧長。

2S扇形=lR,Rl

3602

（3）公式推導(dǎo)：

①在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積SR2，所以圓心角是1的扇

22

形面積是R于是圓心角為的扇形面積是nR

,nS扇形.

360360

21

②nRnR11即其中為扇形的弧長，為半徑。

S扇形=RlR,S扇形lR,lR

360180222

1

點(diǎn)撥：（1）扇形面積公式SlR與三角形的面積公式有些類似，只需把扇形看成一個曲邊三角形，把弧

2

長l看成底，半徑R看成高即可。

21

（）在求扇形面積時，可根據(jù)已知條件來確定是使用公式nR還是

2S扇形S扇形lR.

3602

（3）已知S扇形,l,R,n四個量中任意兩個，都可以求出另外兩個。

（4）公式中的“n”與弧長公式中的“n”的意義是一樣的，表示“1”的圓心角的倍數(shù)，計(jì)算時不帶單

位。

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知識點(diǎn)、圓錐的側(cè)面積與全面積

（1）圓錐的有關(guān)概念：圓錐是由一個底面和一個側(cè)面圍面的幾何體（如圖所示）。連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓

周上任意一點(diǎn)的線段叫作圓錐的母線，連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫作圓錐的母線，連接頂點(diǎn)與底面圓心

的線段叫作圓錐的高。

圓錐可以看作是一個直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形，故圓錐的母線l、

高h(yuǎn)、底面半徑r恰好構(gòu)成一個直角三角形，滿足r2h2l2。已知任意兩個量，可以求出第三個量。

（2）圓錐的側(cè)面展開圖（如圖1-49-4所示）：沿著圓錐的母線可把圓錐的側(cè)面展開，圓錐的側(cè)面展開圖是

扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長。

（3）圓錐的側(cè)面積就是弧長為圓錐底面圓的周長、半徑為圓錐的母線長的扇形面積，

1

計(jì)算公式為：S扇形l2rrl;

2

2

圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積之和，其計(jì)算公式為S全S側(cè)+S底=rl+rrlr。

【變式1】（2022·寧夏固原·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，C90，ACBC，點(diǎn)O在AB上，經(jīng)過

點(diǎn)A的O與BC相切于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，若CD3則圖中陰影部分面積為（）

33

A．3B．1C．3D．4

244

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【變式2】（2022·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，BC2，BAC30，斜邊AB的兩個端點(diǎn)

分別在相互垂直的射線OM和ON上滑動，給定下列命題，其中正確命題的序號是（）．

①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，則OA23；

②C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；

③若AB平分CO，則ABCO；

3

④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動路徑的長為．

2

A．①③④B．②③④C．①④D．①②

【變式3】（2022·四川遂寧·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC4，以A為圓心，AD長

為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，以C為圓心，CD長為半徑畫弧交CB的延長線于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積

是_____．

【變式4】（2022·山東泰安·校考二模）如圖，在扇形BOC中，BOC=60，OD平分BOC交BC于點(diǎn)D，

點(diǎn)E為半徑OB的中點(diǎn)．若OB=4，則陰影部分的面積為________．

【變式5】（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）石家莊市水上公園南側(cè)新建的摩天輪吸引了附近市民的目光．據(jù)工

作人員介紹，新建摩天輪直徑為100m，最低點(diǎn)距離地面1m，摩天輪的圓周上均勻地安裝了24個座艙（本

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題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），游客在距離地面最近的位置進(jìn)艙，運(yùn)行一圈時間恰好是13分14秒，寓意“一

生一世”．小明從摩天輪的底部出發(fā)開始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動1周．

(1)小明所在座艙到達(dá)最高點(diǎn)時距離地面的高度為m；

(2)在小明進(jìn)座艙后間隔3個座艙小亮進(jìn)入座艙（如圖，此時小明和小亮分別位于P、Q兩點(diǎn)），

①求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧PQ的長）；

②求此時兩人所在座艙距離地面的高度差；

(3)受周圍建筑物的影響，當(dāng)乘客與地面的距離不低于76m時，可視為最佳觀賞位置，求最佳觀賞時間有多

長（不足一分鐘按一分鐘記）．

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【培優(yōu)練習(xí)】

1．（2021·浙江·九年級自主招生）如圖所示，APB2ACB,APBP,PD3,PB4，求ADDC的值為

（）

A．4B．6C．7D．12

2．（2022·浙江·九年級自主招生）如圖，O是ABC的外接圓，AB是O的直徑，D是AC的中點(diǎn)，連接

BD交AC于點(diǎn)E，連接OE，且OEB45，若OB10，則OE的長為（）

A．6B．33C．25D．210

3．（2023秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將量角器和含30角的一塊直角三角板緊靠著放在同一平面

內(nèi)，使D、C、B在一條直線上，且DC2BC，過點(diǎn)A作量角器圓弧所在圓的切線，切點(diǎn)為E，則點(diǎn)E在

量角器上所對應(yīng)的銳角度數(shù)是（）

A．60B．45C．30D．50

4．（2023秋·河北承德·九年級統(tǒng)考期末）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)從四塊全等的等腰直角三角形紙

板上裁下四塊不同的紙板（陰影部分），使得陰影面積盡可能大，他們的具體裁法如下：

甲同學(xué)：如圖1所示裁下一個正方形，面積記為S1；

乙同學(xué)：如圖2所示裁下一個正方形，面積記為S2；

丙同學(xué)：如圖3所示裁下一個半圓，使半圓的直徑在等腰Rt△的直角邊上，面積記為S3；

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丁同學(xué)：如圖所示裁下一個內(nèi)切圓，面積記為S4；

則下列判斷正確的是（）

=

①S1S2；②S3S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小

A．①②B．②③C．①③D．①②③

5．（2022秋·河北滄州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，C90，AC6，BC23，半徑為1

的O在Rt△ABC內(nèi)平移（O可以與該三角形的邊相切），則點(diǎn)A到O上的點(diǎn)的距離的最大值為（）

A．27B．33C．271D．331

6．（2022秋·河北石家莊·九年級校聯(lián)考期末）如圖，已知ABC為等腰直角三角形，BAC90,AC2，

以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，點(diǎn)P為C上一動點(diǎn)，連接AP，并繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90得到AP，連接CP，

則CP的最小值是()

A．221B．221C．22D．2

7．（2023秋·安徽合肥·九年級校考期末）如圖，RtABC中，ABBC，AB6，BC4，P是平面內(nèi)一

動點(diǎn)，且APB90，取BC的中點(diǎn)E，連接PE，則線段PE的最大值為（）

A．213B．313C．210D．213

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8．（2023秋·河北秦皇島·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在半徑為2的O中，CD為直徑，弦ABCD且過半

徑OD的中點(diǎn)，E為O上一動點(diǎn)，CFAE于點(diǎn)F，當(dāng)E從點(diǎn)B出發(fā)順時針運(yùn)動到點(diǎn)D時，點(diǎn)F所經(jīng)過

的路徑長為（）

2333

A．3B．C．D．

323

9．（2022秋·四川廣元·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形紙片ABCD中，AD12cm，把它分割成正方形紙

片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側(cè)面和底面，

則該圓錐的高為______cm．

10．（2021·浙江·九年級自主招生）如圖，在RtABC中，ACB90，以該三角形的三條邊為邊向形外作

S1

正方形，正方形的頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M，N都在同一個圓上．記該圓面積為S1，ABC面積為S2，則的值

S2

是_________．

11．（2022·浙江·九年級自主招生）如圖，在半徑為1的O中，引兩條互相垂直的直徑AE和BF，在EF上

取點(diǎn)C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q，則四邊形APQB的面積為_________．

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12．（2021秋·河南信陽·九年級?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB1，BC2．將矩形ABCD繞點(diǎn)C

逆時針旋轉(zhuǎn)至矩形ABCD的位置，此時邊AD恰好經(jīng)過點(diǎn)