《機(jī)械制圖與計(jì)算機(jī)繪圖》課件 第2章

第2章投影基礎(chǔ)2.1投影法

2.2物體的三面視圖

2.3幾何元素的投影

2.4幾何體的投影

2.5幾何體的軸測(cè)圖

2.1投

影

法

2.1.1投影法的基本概念

1．投影法的概念日光或燈光照射物體，在地面或墻面上會(huì)產(chǎn)生影子，這種現(xiàn)象就稱為投影。人們?cè)陂L(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐中對(duì)投影現(xiàn)象進(jìn)行了科學(xué)的研究與概括，總結(jié)出影子與物體形狀之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而產(chǎn)生了投影法。所謂投影法，就是用投射線通過(guò)物體，向選定的平面投射，并在該面上得到圖形的方法。根據(jù)投影法所得到的圖形，稱為投影；得到投影的平面，稱為投影面，如圖2－1所示。

圖2-1中心投影法

2．投影法的種類

1）中心投影法投射線匯交于一點(diǎn)的投影法，稱為中心投影法，如圖2-1所示。S點(diǎn)稱投射中心，SAa、SBb、SCc、SDd稱之為投射線，平面圖形abcd是空間平面ABCD在投影面上的投影。采用中心投影法繪制的圖樣（稱透視圖）直觀性強(qiáng)，符合人的視覺(jué)映像，常被用于表達(dá)建筑物的外觀形狀及用于藝術(shù)繪畫。用中心投影法得到的投影不能反映物體的真實(shí)形狀和大小，因此在機(jī)械圖樣中不被采用。

2）平行投影法假想把中心投影法中的投射中心S移至無(wú)限遠(yuǎn)，則投射線趨向于相互平行,投射線互相平行的投影方法，

稱為平行投影法，

如圖2-2所示。

圖2-2平行投影法(a)斜投影；

(b)正投影

在平行投影法中，按投射線相對(duì)投影面垂直與否，可分為正投影和斜投影。

(1）斜投影：投射線與投影面傾斜的平行投影法，如圖2-2(a)所示。

(2）正投影：投射線與投影面垂直的平行投影法，如圖2-2(b)所示。正投影法能全面、正確地反映物體的真實(shí)形狀和大小。作圖方便、準(zhǔn)確、度量性好，是繪制機(jī)械圖樣的基本方法，也是應(yīng)用最廣泛的一種圖示法。

2.1.2正投影的基本性質(zhì)

1.真實(shí)性

如圖2-3所示,當(dāng)空間直線與投影面平行時(shí)，其投影反映直線的真實(shí)長(zhǎng)度。當(dāng)空間平面與投影面平行時(shí)，

其投影反映平面的真實(shí)形狀。

這種投影特性稱為真實(shí)性。

圖2-3真實(shí)性

2.積聚性

如圖2-4所示,當(dāng)空間直線與投影面垂直時(shí)，其投影積聚成一點(diǎn)。當(dāng)空間平面與投影面垂直時(shí)，其投影積聚成一條直線。

這種投影特性稱為積聚性。

圖2-4積聚性

3.類似性

如圖2-5所示,當(dāng)空間直線與投影面傾斜時(shí)，其投影仍為直線。當(dāng)空間平面與投影面傾斜時(shí)，其投影仍為平面，但不反映原平面的實(shí)形，而是縮小了的類似形。這種投影特性稱為類似性。

圖2-5類似性

2.2物體的三面視圖

圖2-6一個(gè)視圖不能反映物體的形狀

2.2.1三視圖的形成

1．三投影面體系

互相垂直相交的三個(gè)投影面，稱為三投影面體系，如圖2-7所示。它們分別是：正立投影面：直立在觀察者正對(duì)面的投影面，簡(jiǎn)稱正面，用字母V表示；水平投影面：水平位置的投影面，簡(jiǎn)稱水平面，用字母H表示；側(cè)立投影面：直立在右側(cè)面的投影面，簡(jiǎn)稱側(cè)面，用字母W表示。

三個(gè)互相垂直相交的投影面之間的交線，稱為投影軸，它們分別是：

Ｘ軸:V面與H面的交線，沿X軸方向可以度量物體的長(zhǎng)度尺寸；

Y軸：H面與W面的交線，沿Y軸方向可以度量物體的寬度尺寸；

Z軸：V面與W面的交線，沿Z軸方向可以度量物體的高度尺寸。三根投影軸互相垂直相交，

交點(diǎn)稱為原點(diǎn)，

用字母“O”表示。

圖2-7三投影面體系

2．物體的三視圖

將物體置于三個(gè)投影面中，如圖2-8(a)所示，使物體處于觀察者與投影面之間，分別向三個(gè)投影面進(jìn)行投影，可得到三個(gè)視圖，它們分別是：主視圖：從物體的前方向后方投影，在V面上得到的視圖；俯視圖：從物體的上方向下方投影，在H面上得到的視圖；左視圖：

從物體的左方向右方投影，

在W面上得到的視圖。

圖2-8三視圖的形成及投影規(guī)律(a)三視圖的形成；(b)三視圖的展開(kāi)；(c)H、V、W面處在同一平面內(nèi)；

(d)三視圖的位置

3．三投影面展開(kāi)為了方便繪圖與讀圖，把互相垂直相交的三個(gè)投影面展開(kāi)攤平在同一個(gè)平面內(nèi)，展開(kāi)方法如圖2-8(b)所示。正面V保持不動(dòng)，將H面繞X軸向下旋轉(zhuǎn)90°，將W面繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)90°，使H面、W面與V面處于同一平面內(nèi)，如圖2-8(c)所示。由于視圖所表達(dá)的物體的形狀與投影面的大小無(wú)關(guān)（投影面大小可隨物體的大小變化）。與投影面之間的距離無(wú)關(guān)，因此機(jī)械圖樣上不畫投影面的邊框線和投影軸，如圖2-8(d)所示。2.2.2三視圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系將投影面展開(kāi)到一個(gè)平面上后，各視圖必須有規(guī)則的配置，并相互之間形成一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖2-9所示。

圖2-9三視圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

1．位置關(guān)系

以主視圖為準(zhǔn)，俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方。

畫三視圖時(shí)必須按以上的投影關(guān)系配置。

2．尺寸關(guān)系

物體有長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向的尺寸，每個(gè)視圖都能夠反映物體兩個(gè)方向尺寸：主視圖反映了物體的長(zhǎng)度和高度，俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度，左視圖反映了物體的寬度和高度。這樣主、俯視圖共同反映了物體的長(zhǎng)度尺寸；主、左視圖共同反映了物體的高度尺寸；俯、左視圖共同反映了物體的寬度方向尺寸。由此看出相鄰兩個(gè)視圖同一方向的尺寸相等，即：

主、俯視圖長(zhǎng)度相等，且對(duì)正；主、左視圖高度相等，且平齊；俯、左視圖寬度相等。簡(jiǎn)稱“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的“三等”關(guān)系，就是三視圖的投影規(guī)律。在畫圖、讀圖時(shí)，都要嚴(yán)格遵循這一規(guī)律。

3．方位關(guān)系空間的物體有上下、左右、前后六個(gè)方向的位置。主視圖反映了物體的上下、左右；俯視圖反映了物體的前后、左右；左視圖反映了物體的前后、上下。由于H投影面和W投影面在展開(kāi)攤平時(shí)各向下、向右旋轉(zhuǎn)了90°，因此俯視圖、左視圖的靠近主視圖的一側(cè)反映物體的后面，遠(yuǎn)離主視圖的一側(cè)反映物體的前面，如圖2-9所示。2.2.3三視圖的作圖方法和步驟畫三視圖時(shí)，需要根據(jù)正投影的原理、特性及三視圖間的投影規(guī)律，將理性認(rèn)識(shí)變?yōu)閳D示能力，在圖紙上畫出各個(gè)視圖。（1）確定主視圖，把物體上最能反映形狀特征的一面選為畫主視圖的方向，同時(shí)還要注意使俯視圖、左視圖上的虛線盡量少。（2）定出各視圖的位置，并注意各視圖之間須留有適當(dāng)?shù)木嚯x，畫出對(duì)稱中心線、軸線或主要邊線等一些主要基準(zhǔn)線。

（3）分析組成物體各表面的投影特性，一般宜先畫投影具有真實(shí)性或積聚性的那些表面。（4）畫圖順序一般先從主視圖開(kāi)始，然后按投影規(guī)律“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”同時(shí)繪制三個(gè)視圖，特別要注意“寬相等”的畫法，

如圖2-10所示。

圖2-10保持寬相等的三種畫法

例2-1以圖2-11所示物體為例，說(shuō)明畫三視圖的方法和步驟，如圖2-12所示。

圖2-11軸測(cè)圖

圖2-12三視圖的畫圖步驟(a)選主視圖，畫基準(zhǔn)線;(b)先從主視圖畫起;(c)根據(jù)尺寸關(guān)系，

逐一畫全三個(gè)視圖;(d)加深、

擦去作圖線，

完成三視圖

2.3幾何元素的投影

2.3.1點(diǎn)的投影

1.點(diǎn)的投影

設(shè)形體上有一點(diǎn)A，如圖2-13(a)所示，過(guò)點(diǎn)A向三個(gè)投影面作投射線。投射線與投影面的交點(diǎn)就是點(diǎn)A的投影，按規(guī)定空間的點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。即：點(diǎn)A在水平面H上的投影稱為水平投影，用a表示；點(diǎn)A在正面V上的投影稱為正面投影，用a′表示；點(diǎn)A在側(cè)面W上的投影稱為側(cè)面投影，用a″表示。圖2-13形體上點(diǎn)的投影(a)直觀圖;(b)投影圖

點(diǎn)的三面投影在形體視圖上的位置如圖2-13(b)所示。由上述可以看出，點(diǎn)A三個(gè)投影之間的投影關(guān)系與三視圖之間的三等關(guān)系是一致的，即：（1）點(diǎn)的水平投影a和正面投影a′的連線垂直于OX軸，即aa⊥OX；（2）點(diǎn)的正面投影a′和側(cè)面投影a″的連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ；（3）點(diǎn)的水平投影a到OX軸的距離等于其側(cè)面投影a″到OZ軸的距離。因此過(guò)a的水平線與過(guò)a″的垂直線必相交于過(guò)原點(diǎn)O的45°斜線。若將三投影面體系看作空間直角坐標(biāo)體系，以投影面為坐標(biāo)面，投影軸為坐標(biāo)軸，原點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)。則空間一點(diǎn)A至三個(gè)投影面的距離，可以用坐標(biāo)來(lái)表示，如圖2-14(a)所示。在投影圖上點(diǎn)A三面投影的位置也就可以根據(jù)坐標(biāo)來(lái)確定，如圖2-14(b)所示?？臻gA點(diǎn)至各投影面的距離與坐標(biāo)的關(guān)系如下：

A點(diǎn)到H面的距離Aa＝a’ax＝a″ay＝A點(diǎn)的z坐標(biāo)；

A點(diǎn)到Y(jié)面的距離Aa′＝aax＝a″az＝A點(diǎn)的y坐標(biāo)；

A點(diǎn)到W面的距離Aa″＝a′az＝aay＝A點(diǎn)的x坐標(biāo)。圖2-14點(diǎn)的三面投影(a)點(diǎn)投影的直觀圖;(b)展開(kāi)圖;(c)點(diǎn)的三面投影圖

由以上關(guān)系可知，點(diǎn)的每一投影可由其中的兩個(gè)坐標(biāo)所確定。例如a可由A點(diǎn)的x坐標(biāo)及y坐標(biāo)確定；a′可由A點(diǎn)的x坐標(biāo)及z坐標(biāo)確定；同樣a″可由A點(diǎn)的Y坐標(biāo)及z坐標(biāo)確定，即a和a′和a″反映了A點(diǎn)的x、

y、z三個(gè)坐標(biāo)值。因此,根據(jù)空間一點(diǎn)A的三個(gè)坐標(biāo)(x、y、

z)及投影規(guī)律，便可做出該點(diǎn)的投影圖。反之，如果已經(jīng)知道空間A點(diǎn)的兩個(gè)或三個(gè)投影，即可求得該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)。

2．畫和讀點(diǎn)的投影圖

例2-2

如圖2-15(a)所示，已知A點(diǎn)的正面投影a′和側(cè)面投影a″，求作其水平投影a。解根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，其作圖步驟如圖2-15(b)所示。

圖2-15求作點(diǎn)的水平投影

3．兩點(diǎn)間的相對(duì)位置兩點(diǎn)在空間的相對(duì)位置，可以由兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系來(lái)確定，如圖2-16(a)所示。兩點(diǎn)間的左右相對(duì)位置可由X坐標(biāo)確定，X坐標(biāo)大者在左。兩點(diǎn)間的前后相對(duì)位置可由Y坐標(biāo)確定，Y坐標(biāo)大者在前。兩點(diǎn)間的上下相對(duì)位置可由Z坐標(biāo)確定，Z坐標(biāo)大者在上。由兩點(diǎn)間的坐標(biāo)差，可以確定兩點(diǎn)間的偏移距離，如以A點(diǎn)為基準(zhǔn)，則B點(diǎn)在A點(diǎn)的右方6mm，前方5mm，上方11mm，

如圖2-16(b)所示。

圖2-16兩點(diǎn)間的相對(duì)位置

2.3.2直線的投影

1．直線投影的概念

直線的投影一般仍然是直線，兩點(diǎn)可以確定一條直線，因此，直線的投影實(shí)際上是直線上兩個(gè)端點(diǎn)，在同一投影面上投影的連線。如圖2-17所示，己知直線上兩個(gè)端點(diǎn)Ａ和Ｂ的三面投影，將它們的同面投影連接起來(lái)，即得到直線AB的三面投影。圖2-17直線的三面投影(a)兩點(diǎn)的投影；

(b)直線的投影

如圖2-18(a)所示,一個(gè)點(diǎn)若在直線上，則該點(diǎn)的投影必在直線的投影上；同理,一個(gè)點(diǎn)若在直線上，則該點(diǎn)的各面投影必在直線的同面投影上；反之，若一個(gè)點(diǎn)的各投影都在直線的同面投影上，則該點(diǎn)必在該直線上，如圖2-18(b)所示。即K點(diǎn)必定在直線CD上。圖2-18一般位置直線與直線上點(diǎn)的投影

2．各種位置直線的投影特征空間直線按其與投影面的相對(duì)位置，可分為一般位置直線和投影面的平行線、投影面的垂直線三種，后兩種稱為特殊位置直線。

1）一般位置直線同時(shí)傾斜于三個(gè)投影面的直線，稱為一般位置直線，如圖2-18所示的直線CD。一般位置直線的投影特性:在三個(gè)投影面上的投影都傾斜于投影軸，

且小于實(shí)長(zhǎng)。

2）投影面平行線平行于一個(gè)投影面而與另外兩個(gè)投影面傾斜的直線，稱為投影面平行線。投影面平行線又可分為三種，其投影圖及投影特性見(jiàn)表２-1。平行于V面，傾斜于H面及W面，簡(jiǎn)稱正平線。平行于H面，傾斜于V面及W面，簡(jiǎn)稱水平線。平行于W面，傾斜于H面及V面，簡(jiǎn)稱側(cè)平線。表2-1投影面平行線的投影特性

3）投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面的直線，稱為投影面垂直線。因三個(gè)投影面是互相垂直的，所以直線與一個(gè)投影面垂直，必定與另兩個(gè)投影面平行。投影面垂直線又可分為三種，其投影圖及投影特性見(jiàn)表２-2。垂直于V面，平行于H面及W面，簡(jiǎn)稱正垂線；垂直于H面，平行于V面及W面，簡(jiǎn)稱鉛垂線；垂直于W面，平行于H面及V面，簡(jiǎn)稱側(cè)垂線。表2-2投影面垂直線的投影特性

3．畫和讀直線的投影圖

例2-3

已知直線AB為正平線，長(zhǎng)度20mm，且B點(diǎn)在A點(diǎn)下方，完成其三面投影圖，如圖2-19(a)所示。

解：因直線AB為正平線，故在V面投影反映實(shí)長(zhǎng)。（1）過(guò)b點(diǎn)做X軸垂線稱為投影連線，b′必在該投影連線上；

(2)以A點(diǎn)為圓心、直線AB長(zhǎng)度20為半徑畫弧，與投影連線相交且滿足在a′下方的條件，即為b″,如圖2-19(b)所示。圖2-19作正平線的投影

例2-4如圖2-20所示，對(duì)照立體圖，分析三棱錐上各條棱線的空間位置。

解（1）按照三棱錐上每條棱線所標(biāo)的字母，在三視圖上將它們的投影分離出來(lái)。（2）根據(jù)不同位置直線投影圖的特征，判別各條棱線的空間位置是：

SA為一般位置線；AB為水平線；

SB為側(cè)平線；BC為水平線；

SC為一般位置線；

AC為側(cè)垂線。

圖2-20三棱錐上的棱線分析

2.3.3平面的投影

1．平面的投影平面在投影圖上一般是用平面圖形(如三角形、四邊形、圓等)來(lái)表示其空間位置的。如圖2-21所示，平面的投影一般仍然是平面。若求作三角形的投影時(shí)，可先作出三角形上三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的投影，然后將各頂點(diǎn)的同面投影連接起來(lái)，即得到該平面的投影。如△ABC在H面上的投影△abc即是將A、B、C三點(diǎn)的水平投影連接而成。由此可知，作平面的投影仍然是以點(diǎn)、線投影為基礎(chǔ)。圖2-21平面的投影

2．各種位置平面的投影特性

平面按其與投影面的相對(duì)位置，可分為一般位置平面和投影面垂直面、投影面平行面三種，后兩種稱為特殊位置平面。

1）一般位置平面傾斜于三個(gè)投影面的平面，稱為一般位置平面，如圖2-21所示。一般位置平面的投影特性：

在三個(gè)投影面上的投影都為原平面的類似形，

且小于原形。

2）投影面垂直面垂直于一個(gè)投影面，而與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面，稱為投影面垂直面。投影面垂直面又可分為三種，其投影圖及投影特性見(jiàn)表2-3。垂直于V面，傾斜于H面及W面，簡(jiǎn)稱正垂面；垂直于H面，傾斜于V面及W面，簡(jiǎn)稱鉛垂面；垂直于W面，傾斜于V面及H面，簡(jiǎn)稱側(cè)垂面。表2-3投影面垂直面的投影特性

3）投影面平行面平行于一個(gè)投影面的平面，稱為投影面平行面。因三個(gè)投影面是互相垂直的，所以平面與一個(gè)投影面平行，必定與另兩個(gè)投影面垂直。投影面平行面又可分為三種，其投影圖及投影特性見(jiàn)表2-4。平行于V面，垂直于H面及W面，簡(jiǎn)稱正平面；平行于H面，垂直于V面及W面，簡(jiǎn)稱水平面；平行于W面，垂直于V面及H面，簡(jiǎn)稱側(cè)平面。表2-4投影面平行面的投影特性

3．畫和讀平面的投影圖

例2-5

如圖2-22(a)所示，已知一平面形的兩面投影，求作第三面投影。

解由圖看到該面的正面投影積聚為線，并與軸線傾斜，根據(jù)平面的投影特性，可判斷是正垂面，因而其側(cè)面投影應(yīng)為水平投影的類似形。（1）求出平面各頂點(diǎn)在側(cè)面的投影；（2）

連接各點(diǎn)成為水平投影的類似形，如圖2-22(b)所示。

圖2-22完成平面的三面投影

4．在平面上點(diǎn)和直線

1）平面上的直線直線在平面上的幾何條件是：若一直線通過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)，則此直線必定在該平面上；或一直線通過(guò)平面上的一點(diǎn)，并且平行于平面上的另一直線，則此直線必定在該平面上。

2）平面上的點(diǎn)點(diǎn)在平面上的幾何條件是:點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線上，則該點(diǎn)必在該平面上。由此可知：要在平面上取點(diǎn)，必須先在平面上取一直線(輔助線)，然后再在此直線上取點(diǎn)。

例2-6

如圖2-23(a)所示，已知△ABC上K點(diǎn)的正面投影k′，求作其水平投影k。

解

K點(diǎn)既然在平面上，那么必定在平面內(nèi)過(guò)該點(diǎn)的任一直線上。因此，可過(guò)K點(diǎn)不要作一條輔助直線，K點(diǎn)的水平投影必在該直線上。（1）過(guò)c′k′作直線相交于m′，c′m′為直線CM的正面投影。（2）作出直線CM的水平面投影cm，則k必在cm上，如圖2-23(b)所示。圖2-23在平面上作輔助線取點(diǎn)

2.4幾何體的投影

機(jī)械零件的形狀雖是多種多樣的，但都可以看成是由一些簡(jiǎn)單的幾何體組成。如圖2－24所示的六角頭螺栓毛坯，就可看成是由正六棱柱和正圓柱組成的。這些簡(jiǎn)單的幾何體統(tǒng)稱為基本幾何體，

簡(jiǎn)稱基本體。

圖2-24六角頭螺栓毛坯

根據(jù)基本體表面的幾何性質(zhì)，它們可分為：

(1)平面立體：由若干平面圍成的立體，常見(jiàn)的有棱柱、棱錐等。

(2)曲面立體：由曲面或曲面與平面圍成的立體，其中最常見(jiàn)的曲面體是回轉(zhuǎn)體，如：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等。

2.4.1平面立體平面立體中最常見(jiàn)的形式是棱柱與棱錐，它們均由棱面和底面所圍成。相鄰兩棱面的交線稱為棱線，底面和棱面的交線稱為底邊。

1．棱柱

1）形體特征如圖2-25(a)所示，正六邊形的頂面和底面為兩個(gè)形狀、大小完全相同的互相平行的正六邊形，

其余六個(gè)棱面均為垂直六邊形平面的矩形。

圖2-25六棱柱投影圖及表面取點(diǎn)(a)直觀圖；(b)投影及表面取點(diǎn)

2）投影分析如圖2-25所示，正六棱柱的上、下底面為水平面，水平投影為正六邊形，反映實(shí)形，它們的正面和側(cè)面投影均積聚為一直線；六個(gè)棱面和六條棱線均垂直于水平面，其水平投影分別積聚在六邊形的六條邊和六個(gè)頂點(diǎn)上。六個(gè)棱面的正面和側(cè)面投影分別為三個(gè)和兩個(gè)可見(jiàn)矩形，各棱線的投影與矩形的邊重合。

3）表面取點(diǎn)棱柱上表面點(diǎn)可分為在棱線上或在平面上兩種情況，在棱線上的點(diǎn)找出所在棱線的三個(gè)投影，通過(guò)從屬關(guān)系即可求出點(diǎn)的各面投影。在平面上的點(diǎn)，找出點(diǎn)所在平面積聚性投影，

平面上點(diǎn)必定位于該投影上，

即可求出點(diǎn)的各面投影。

例2-7

如圖2-25(b)所示，已知六棱柱表面點(diǎn)K、M的正面投影，求其另兩面投影。分析：點(diǎn)K在棱線上，k、k″必定在該棱線的同面投影上；點(diǎn)M在棱面上，m必定落在其水平投影面的積聚性投影上，根據(jù)m′、m即求得m″，完成其三面投影。

作圖：如圖2-25(b)所示，注意k″所屬棱線在側(cè)視圖上不可見(jiàn)，故k″不可見(jiàn)。

2.棱錐

1）形體特征棱錐的底面為多邊形，各側(cè)面均為過(guò)錐頂?shù)娜切?。如圖2－26(a)所示，正三棱錐底面為等邊三角形，三個(gè)側(cè)面均為過(guò)錐頂?shù)牡妊切巍?/p>

圖2-26棱錐投影圖及表面取點(diǎn)(a)直觀圖；

(b)投影圖及表面取點(diǎn)

2)投影分析如圖2-26(a)所示，正三棱錐的底面△ABC為水平面，其水平投影△abc為等邊三角形，反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影都積聚為一水平線段。棱面△SAC為側(cè)垂面，所以側(cè)面投影積聚為一直線，水平和正面投影都是類似形。棱面△SAB和△SBC為一般位置平面，三面投影均為類似形。

3)表面取點(diǎn)棱錐上表面點(diǎn)一般情況與棱柱相同，若是一般位置平面，三個(gè)投影都沒(méi)有積聚性，則需要通過(guò)作輔助線取表面點(diǎn)。例2-8如圖2-26(b)所示，已知M點(diǎn)的正面投影m′，求其另兩面投影。分析點(diǎn)M所在棱面△SAB為一般位置平面，投影沒(méi)有積聚性。作圖：過(guò)s′m′作一條輔助在面線s′l′；求該線的水平投影sl，

m必在直線sl上，根據(jù)m′、m可求得m″，完成其三面投影。2.4.2曲面立體

1.圓柱

1)圓柱面的形成圓柱面可看成是一條直線繞與它平行的軸線回轉(zhuǎn)而成。如圖2－27所示，回轉(zhuǎn)中心稱為軸線，運(yùn)動(dòng)直線稱為母線，

任意位置的母線稱為素線。

圖2-27圓柱面的形成

2)投影分析如圖2-28(a)所示，圓柱上、下底面為水平面，其水平投影反映實(shí)形，正面與側(cè)面投影積聚成一直線。由于圓柱軸線與水平投影面垂直，圓柱面的水平投影積聚為一個(gè)圓周（重合在上下底面圓的實(shí)形投影上），其正面和側(cè)面投影為形狀大小相同的矩形。正面投影中，矩形左右兩邊c′c1′和a′a1′分別是圓柱面最左最右素線的投影，這兩條素線的側(cè)面投影與圓柱軸線的投影重合（不必畫出），也是前半個(gè)圓柱面與后半個(gè)圓柱面在主視圖上可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線，稱之為轉(zhuǎn)向輪廓線。圖2-28圓柱的投影及表面取點(diǎn)(a)直觀圖；

(b)投影及表面取點(diǎn)

3）表面取點(diǎn)圓柱上表面點(diǎn)可分為在轉(zhuǎn)向輪廓線上和在面上兩種情況，在轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，作圖關(guān)鍵是要找到該輪廓線的三個(gè)投影位置，即可通過(guò)從屬關(guān)系直接求出點(diǎn)的各個(gè)投影。在回轉(zhuǎn)面的點(diǎn)，找出其積聚性投影，點(diǎn)必定位于該投影上，即可求出點(diǎn)的各面投影。

例2-9

如圖2-28(b)所示，已知圓柱面上點(diǎn)M、N的正面投影m′和側(cè)面投影n″，求作兩點(diǎn)的另兩面投影。

分析由n″可知點(diǎn)N在最后邊的轉(zhuǎn)向輪廓線上，該輪廓線的正面投影與軸線投影重合，故n′不可見(jiàn)，n在中心線位置；點(diǎn)M在圓柱面上，該面的水平投影積聚成圓，故m必在該積聚性投影上，根據(jù)m′、m求得m″。

作圖如圖2-28(b)所示。

2.圓錐

1）圓錐面的形成圓錐面可看成是一條直線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成，如圖2-29(a)所示，

母線上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為緯圓。

圖2-29圓錐面的投影及表面取點(diǎn)(a)圓錐的形成；

(b)直觀圖；

(c)投影及表面取點(diǎn)

2）投影分析如圖2-29(b)所示，圓錐軸線垂直于水平面，底面位于水平位置，其水平投影反映實(shí)形，正面和側(cè)面投影積聚成一直線；圓錐面在三投影面中都沒(méi)有積聚性，水平投影與底面圓的水平投影重合，正面和側(cè)面投影為形狀大小相同的等腰三角形。正面投影中，左右兩邊s′c′、s′a′分別是圓錐面最左最右素線的投影，這兩條素線的側(cè)面投影與圓錐軸線的投影重合，也是前半個(gè)圓錐面與后半個(gè)圓錐面在主視圖上可見(jiàn)與不可見(jiàn)的轉(zhuǎn)向輪廓線。

3）表面取點(diǎn)圓錐上表面點(diǎn)可分為在輪廓線上或在圓錐面上兩種情況。在輪廓線上的點(diǎn)，作圖關(guān)鍵是要找出所在輪廓線的三個(gè)投影，通過(guò)從屬關(guān)系即可求出點(diǎn)的各面投影。由于圓錐面在三投影面中都沒(méi)有積聚性，在圓錐面上取點(diǎn)需要通過(guò)作輔助線的方法：

(1)素線法。由于圓錐面是直母線形成的，回轉(zhuǎn)面上過(guò)錐頂?shù)木€都是直線（素線），故作輔助素線求表面點(diǎn)與平面輔助線求點(diǎn)的方法相同。

(2)緯圓法。過(guò)已知點(diǎn)作輔助線（緯圓），依據(jù)緯圓所在的平面垂直于軸線，其半徑是輪廓線上的點(diǎn)到軸線距離，確定出緯圓的半徑和圓心。

例2-10

如圖2-29(c)所示，已知圓錐面上點(diǎn)G、Q的正面投影g′、q′，求作兩點(diǎn)的三面投影。

分析由g′可知點(diǎn)G在最左邊的轉(zhuǎn)向輪廓線上，該輪廓線的側(cè)面投影與軸線重合，g在中心線位置；點(diǎn)Q在圓錐面上，需要作緯圓法取點(diǎn)。作圖如圖2-29(c)所示，過(guò)程如下：

(1）過(guò)q′作直線與軸線垂直，并與轉(zhuǎn)向輪廓線相交，可得到緯圓的半徑；

(2）在水平投影上作與底圓同心的緯圓，則q必在該緯圓上；

(3）根據(jù)q′、q求得q″。

3.圓球

1）圓球面的形成圓球面可看成一個(gè)圓（母線）繞其直徑回轉(zhuǎn)而成，如圖2-30(a)所示。

圖2-30圓球的投影及表面取點(diǎn)(`a`)圓球的形成；

(`b`)直觀圖；

(`c`)投影及表面取點(diǎn)

2）投影分析圓球的三個(gè)視圖都是與圓球直徑相等的圓，均表示圓球面的投影，沒(méi)有積聚性；這三個(gè)圓也分別表示圓球面上三個(gè)不同方向的轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。如圖2-30(b)所示，主視圖中的圓1′，表示前半球與后半球的分界線，是平行于正面的前后方向轉(zhuǎn)向輪廓素線圓的投影，它在H和W面的投影與圓球的前后對(duì)稱中心線1、1″重合。

3）表面取點(diǎn)圓球面在輪廓線上的點(diǎn)，同樣需找出所在輪廓線的三個(gè)投影，通過(guò)從屬關(guān)系即可求出點(diǎn)的各面投影。圓球面在三投影面中都沒(méi)有積聚性，因圓球的母線是圓，因而圓球面上取點(diǎn)必須通過(guò)緯圓法。

例2-11

如圖2-30(c)所示，已知圓球面上點(diǎn)E、F的正面投影e′、f′，求作兩點(diǎn)的三面投影。

分析由f′可知點(diǎn)F在與正面平行的轉(zhuǎn)向輪廓線上，該輪廓線的水平和側(cè)面投影與中心線重合；點(diǎn)E在圓球面上，球面的投影沒(méi)有積聚性，故需要用緯圓法求e、e″。

作圖：如圖2-30(c)所示。

(1）過(guò)e′作直線與鉛垂方向中心線垂直，并與轉(zhuǎn)向輪廓線相交，可得到緯圓的半徑；

(2）在水平投影上作與輪廓圓同心的緯圓，則e必在該緯圓上；

(3）根據(jù)e′、e求得e″。2.5幾何體的軸測(cè)圖

2.5.1軸測(cè)投影的基本知識(shí)如圖2-31所示，將物體和確定其空間位置的直角坐標(biāo)系，按選定的某一方向，用平行投影法投影到某一選定的平面上，

所得到的圖形稱為軸測(cè)投影圖，簡(jiǎn)稱軸測(cè)圖。

圖2-31軸測(cè)投影的形成

1．軸間角和軸向變形系數(shù)

如圖2-31所示，空間坐標(biāo)軸X、Y、Z在軸測(cè)投影面上的投影X1、Y1

、Z1稱為軸測(cè)軸。相鄰兩軸測(cè)軸之間的夾角∠X1O1Y1、∠X1O1Z1、∠Y1O1Z1稱為軸間角。直角坐標(biāo)軸的軸測(cè)投影單位長(zhǎng)度與相應(yīng)直角坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度之比，稱為軸向變形系數(shù)。

X軸的軸向變形系數(shù)

Y軸的軸向變形系數(shù)

Z軸的軸向變形系數(shù)

顯然，軸向變形系數(shù)的大小與空間坐標(biāo)軸對(duì)軸測(cè)投影面的傾斜角度及投影方法有關(guān)。不同種類的軸測(cè)圖，其軸間角和變形系數(shù)也不相同，因此軸間角和軸向變形系數(shù)是繪制軸測(cè)圖的兩個(gè)重要參數(shù)。

2．軸測(cè)圖的投影特性軸測(cè)圖是用平行投影法得到的一種單面投影圖，因此軸測(cè)圖仍保持平行投影的投影特性。（1）物體上互相平行的線段，在軸測(cè)圖中仍互相平行；（2）物體上平行于坐標(biāo)軸的線段，在軸測(cè)圖中仍然與相應(yīng)的軸測(cè)軸平行，因此，其變形系數(shù)也一定與相應(yīng)坐標(biāo)軸的變形系數(shù)相等。

以上投影特性是繪制軸測(cè)圖的重要依據(jù)，應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用。物體上平行于各軸的線段，其線段的長(zhǎng)度尺寸必須沿軸測(cè)軸方向度量，這就是“軸測(cè)”二字的含義。物體上不平行于各軸的線段，則不能在圖上直接度量，而應(yīng)按線段上兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別做出端點(diǎn)的軸測(cè)投影，然后連線，即求得線段的軸測(cè)投影。在機(jī)械圖樣中，

最常用的軸測(cè)圖是正等測(cè)軸測(cè)圖。

2.5.2正等軸測(cè)圖

1．正等軸測(cè)圖的形成、軸間角和變形系數(shù)使物體上的三個(gè)坐標(biāo)軸與軸測(cè)投影面傾斜成相同角度，用正投影法所得到的軸測(cè)投影圖稱為正等軸測(cè)圖，簡(jiǎn)稱正等測(cè)。正等測(cè)圖的軸間角∠X1O1Y1=∠X1O1Z1=∠Y1O1Z1=120°，軸向變形系數(shù)，p=q=r≈0.82。如圖2-32所示，為簡(jiǎn)化作圖，常取軸向變形數(shù)系為：p=q=r=1。采用簡(jiǎn)化變形系數(shù)畫出的軸測(cè)圖，比軸向變形系數(shù)為0.82時(shí)畫出的軸測(cè)圖放大了1.22倍，但并不影響軸測(cè)圖的直觀效果。圖2-32正等測(cè)圖軸間角和變形系數(shù)