人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第三章3.2.1第1課時雙曲線及其標準方程課件

第1課時雙曲線及其標準方程第三章圓錐曲線的方程3.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標準方程整體感知[學習目標]

1．理解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程．(數(shù)學抽象、直觀想象)2．掌握雙曲線的標準方程及其求法．(數(shù)學運算)(教師用書)雙曲線是一種很優(yōu)美的曲線，就好像人的身形一樣婉轉婀娜．在實際生活中，雙曲線也有著廣泛的應用，例如很多工程建筑就是仿照雙曲線的外形特點而設計的，在兼具美學的情況下又保證了建筑物的堅實程度．我們已經(jīng)學習過橢圓的相關知識，那么雙曲線又有著怎樣的定義、方程與幾何性質(zhì)呢？讓我們慢慢揭開它的神秘面紗吧！[討論交流]

問題1．雙曲線的定義中有怎樣的限制條件？問題2．雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？[自我感知]

經(jīng)過認真的預習，結合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構探究1雙曲線的定義探究問題1做下面一個試驗．(1)取一條拉鏈，拉開一部分．(2)在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上．(3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線．試觀察這是一條什么樣的曲線？點M在運動過程中滿足什么幾何條件？[提示]

雙曲線、曲線上的點滿足條件：||MF1|－|MF2||＝常數(shù)＜|F1F2|．[新知生成]文字語言平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的__________等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡符號語言||MF1|－|MF2||＝2a(常數(shù))(2a＜|F1F2|)焦點定點______焦距________的距離差的絕對值F1，F(xiàn)2兩焦點間【教用·微提醒】

(1)常數(shù)要小于兩個定點的距離．(2)如果沒有絕對值，動點的軌跡表示雙曲線的一支．(3)當2a＝|F1F2|時，動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點)．(4)當2a>|F1F2|時，動點的軌跡不存在．(5)當2a＝0時，動點的軌跡為線段F1F2的垂直平分線．[典例講評]

1．已知點F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別是(

)A．雙曲線和一條直線B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條直線D．雙曲線的一支和一條射線√D

[依題意得|F1F2|＝10，當a＝3時，因為|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，故點P的軌跡為雙曲線的右支；當a＝5時，2a＝10＝|F1F2|，故點P的軌跡為一條射線．]反思領悟

在雙曲線的定義中，注意三個關鍵點：(1)在平面內(nèi)．(2)差的絕對值．(3)存在定值且定值小于兩定點間距離．在這三個條件中，缺少任何一個條件，動點軌跡就不是雙曲線．[學以致用]

1．已知F1(－8，3)，F(xiàn)2(2，3)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則點P的軌跡是(

)A．雙曲線 B．雙曲線的一支C．直線

D．一條射線√D

[F1，F(xiàn)2是定點，且|F1F2|＝10，所以滿足條件|PF1|－|PF2|＝10的點P的軌跡為一條射線．]探究2雙曲線的標準方程探究問題2回顧求橢圓標準方程的過程，有哪些經(jīng)驗值得借鑒？通過類比如何建立適當?shù)淖鴺讼?，得出雙曲線的標準方程？

探究問題3設雙曲線的焦點為F1和F2，焦距為2c，而且雙曲線上的動點P滿足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以經(jīng)過F1，F(xiàn)2兩點的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，此時，雙曲線的標準方程是什么？

[新知生成]雙曲線的標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程________________________________________焦點坐標F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)_____________________a，b，c的關系c2＝______

F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a2＋b2【教用·微提醒】

(1)焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型．“焦點跟著正項走”，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上，即x2，y2的系數(shù)異號．(2)標準方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線定形的條件，注意這里的b2＝c2－a2與橢圓中的b2＝a2－c2相區(qū)別．其中c＞a，c＞b，而a，b無大小要求．【鏈接·教材例題】例1已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，雙曲線上一點P與F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

試總結用待定系數(shù)法求雙曲線方程的步驟．[提示]

(1)定型：確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸．(2)設方程：根據(jù)焦點位置設出相應的標準方程的形式，若不知道焦點的位置，則進行討論，或設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)．(3)計算：利用題中條件列出方程組，求出相關值．(4)結論：寫出雙曲線的標準方程．【教用·備選題】已知圓C：(x＋3)2＋y2＝4及點A(3，0)，Q為圓周上一點，AQ的垂直平分線交直線CQ于點M，則動點M的軌跡方程為_______________．

[學以致用]

2．(源自湘教版教材)已知雙曲線兩個焦點分別為F1(0，－2)，F(xiàn)2(0，2)，并且雙曲線經(jīng)過點P(3，－2)，該雙曲線的標準方程為___________．

C

[由題意知(k－2)(5－k)＜0，即(k－2)(k－5)＞0，解得k＞5或k＜2．則實數(shù)k的取值范圍是k＞5或k＜2．故選C．]√[母題探究]若該方程表示焦點在x軸上的雙曲線，求實數(shù)k的取值范圍．

√

應用遷移23題號411．已知F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝4，則點P的軌跡是(

)A．雙曲線

B．雙曲線的一支C．不存在

D．一條射線√B

[F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝4．因為|F1F2|＝6＞4，則動點P的軌跡滿足雙曲線的定義．|PF1|－|PF2|＝4＞0，則點P的軌跡是雙曲線的一支．故選B．]23題號41

√

23題號41

√

23題號41

22

[由題意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝6，所以|PF2|＝22．]22

1．知識鏈：(1)雙曲線的定義．(2)雙曲線的標準方程及其推導．(3)雙曲線標準方程的識別．2．方法鏈：待定系數(shù)法、分類討論法．3．警示牌：(1)易忽略雙曲線的定義中的2a＜|F1F2|或把雙曲線的一支誤認為雙曲線的兩支．(2)易忽略對雙曲線焦點位置的判斷．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．雙曲線是如何定義的？請寫出它的標準方程．

課時分層作業(yè)(二十八)雙曲線及其標準方程題號135246879101112131415一、選擇題1．已知動點P到點M(1，0)，N(－1，0)的距離之差的絕對值為2，則點P的軌跡是(

)A．雙曲線

B．雙曲線的一支C．兩條射線

D．一條射線√C

[由題知||PM|－|PN||＝2，且|MN|＝2，則點P的軌跡是兩條射線，故選C．]題號135246879101112131415

√

題號352468791011121314151

√

題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號352468791011121314151二、填空題6．過點(3，2)且與橢圓3x2＋8y2＝24有相同焦點的雙曲線方程為____________．

題號352468791011121314151

±3

11題號352468791011121314151

題號352468791011121314151三、解答題9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實數(shù)，對于不同范圍的k值，分別指出方程所表示的曲線類型．

題號352468791011121314151

√√√

題號352468791011121314151題號35246879101112131415111．與圓x2＋y2＝4及圓x2＋y2－8x－6y＋24＝0都外切的圓的圓心在(

)A．一個橢圓上

B．雙曲線的一支上C．一條直線上

D．一個圓上√題號352468791011121314151B

[圓x2＋y2＝4的圓心F1(0，0)，半徑為2，圓x2＋y2－8x－6y＋24＝0可化為(x－4)2＋(y－3)2＝1，圓心F2(4，3)，半徑為1，設所求圓的圓心為P，半徑為r，由題意可知|PF1|＝r＋2，|PF2|＝r＋1，則|PF1|－|PF2|＝1＜|F1F2|，故由雙曲線的定義可知，所求圓的圓心的軌跡為雙曲線的一支．故選B．]題號352468791011121314151

√題號352468791011121314151

題號3524687910111213