人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章4-3-1第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用課件

第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的常用性質(zhì)，理解等比數(shù)列與項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．能靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，解決簡(jiǎn)單的數(shù)列問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)(教師用書)首先，我們先來看下面兩道小題：(1)若{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a7＝8，則a4a6＝________．(2)若{an}為等比數(shù)列，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝8，則a7＋a8＋a9＝________．大家試著做一做，你會(huì)發(fā)現(xiàn)我們可以用基本量a1，q完成計(jì)算，但計(jì)算過程比較麻煩，等比數(shù)列“繼承”了指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，計(jì)算量大，如果我們掌握一定的技巧，會(huì)不會(huì)更容易解決問題呢？[討論交流]

問題1．等比數(shù)列有哪些性質(zhì)？問題2．解決等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是什么？[自我感知]經(jīng)過認(rèn)真的預(yù)習(xí)，結(jié)合對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)知，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1等比數(shù)列的性質(zhì)探究問題1類比等差數(shù)列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列中相似的性質(zhì)？

[新知生成]1．推廣的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，則an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．2．等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝________．a(chǎn)p·aq

積

pq

[典例講評(píng)]

1．(1)在等比數(shù)列{an}中，a5＝8，a7＝2，an＞0，則an＝________．(2)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a4a8a12＝8，則log2a2＋log2a14＝________．(3)若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，滿足a1b1＝3，a5b5＝6，則a9b9＝________．[思路引導(dǎo)]利用等比數(shù)列的性質(zhì)，整體代換求解．

(3)易知{anbn}為等比數(shù)列，則有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)，即62＝3(a9b9)，∴a9b9＝12.]

[學(xué)以致用]

1．等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，前n項(xiàng)的積為Tn，若T13＝4T9，則a8a15＝________．2

[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由題意T13＝4T9，可得a1a2…a13＝4a1a2…a9，所以a10a11a12a13＝4.由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a8a15＝a10a13＝a11a12，所以a8·a15＝±2.又因?yàn)閧an}是遞減等比數(shù)列，所以q＞0，所以a8·a15＝2.]2探究2靈活設(shè)元解決等比數(shù)列問題【鏈接·教材例題】例3數(shù)列{an}共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132.求這個(gè)數(shù)列．分析：先利用已知條件表示出數(shù)列的各項(xiàng)，再進(jìn)一步根據(jù)條件列方程組求解．

[典例講評(píng)]

2．有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)之和為16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之和為12，求這四個(gè)數(shù)．

[學(xué)以致用]

2．有四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，將這四個(gè)數(shù)分別減去1，1，4，13成等差數(shù)列，則這四個(gè)數(shù)的和是________．

45探究3等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【鏈接·教材例題】例4用10000元購買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年．(1)若以月利率0.400%的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)月能獲得多少利息(精確到0.01元)?(2)若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于(1)中按月結(jié)算的利息(精確到10-5)?分析：復(fù)利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計(jì)算下一期的利息，所以若原始本金為a元，每期的利率為r，則從第一期開始，各期的本利和a(1＋r)，a(1＋r)2，…構(gòu)成等比數(shù)列．[解]

(1)設(shè)這筆錢存n個(gè)月以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列{an}，則{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝104(1＋0.400%)，公比q＝1＋0.400%，所以a12＝104(1＋0.400%)12≈10490.702.所以，12個(gè)月后的利息為10490.702－104≈490.70(元)．(2)設(shè)季度利率為r，這筆錢存n個(gè)季度以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列{bn}，則{bn}也是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)b1＝104(1＋r)，公比為1＋r，于是b4＝104(1＋r)4.因此，以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度后的利息為[104(1＋r)4－104]元．解不等式104(1＋r)4－104≥490.70，得r≥1.205%.所以，當(dāng)季度利率不小于1.205%時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息．[典例講評(píng)]

3．某人買了一輛價(jià)值13.5萬元的新車，專家預(yù)測(cè)這種車每年按10%的速度貶值．(1)用一個(gè)式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價(jià)值；(2)如果他打算用滿4年時(shí)賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？(精確到0.1)[解]

(1)從第一年起，每輛車的價(jià)值(萬元)依次設(shè)為a1，a2，a3，…，an，由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)，a3＝13.5×(1－10%)2，….由等比數(shù)列定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1.∴n年后車的價(jià)值為an＋1＝13.5×0.9n(萬元)．(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(萬元)，∴用滿4年時(shí)賣掉這輛車，大概能得到8.9萬元．反思領(lǐng)悟

等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，即將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問題，解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問題，最后注意數(shù)學(xué)問題再轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題作答．[學(xué)以致用]

3．某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為2000萬元，并在此基礎(chǔ)上，以后每年的資金投入均比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司需經(jīng)過________年其投入資金開始超過7000萬元．(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.049，lg2≈0.301，lg7≈0.845)12

243題號(hào)1應(yīng)用遷移√

23題號(hào)142．設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝(

)A．12 B．24C．30 D．32√

23題號(hào)14

23題號(hào)41√

243題號(hào)14．某工廠去年產(chǎn)值為a，計(jì)劃10年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長(zhǎng)10%，那么從今年起第________年這個(gè)工廠的產(chǎn)值將超過2a.8

[由題意知每年的產(chǎn)值構(gòu)成以1.1a為首項(xiàng)，1.1為公比的等比數(shù)列，則an＝a·1.1n.所以a·1.1n＞2a.因?yàn)?.17＜2，1.18＞2，所以n