2024-2025學(xué)年上海靜安區(qū)高三上冊11月期中數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年上海靜安區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知集合，，且，則實數(shù)______．【正確答案】【分析】根據(jù)集合中元素的互異性求的值.【詳解】，或，由互異性，.故．2.已知扇形的半徑是3，弧長為6，則扇形圓心角的弧度數(shù)是__________.【正確答案】2【分析】利用扇形的弧長得到關(guān)于圓心角的方程，解之即可得解.【詳解】依題意，設(shè)扇形的圓心角為，因為扇形的半徑是，弧長為，所以由，得，則.故答案為.3.已知點是角終邊上一點，若，則_________.【正確答案】【分析】由任意角的三角函數(shù)定義即可求解.【詳解】，又，解得：，所以，故4.已知，向量與的夾角為.向量在方向上的數(shù)量投影為________.【正確答案】1【分析】由投影數(shù)量的公式求解即可.【詳解】向量在方向上的數(shù)量投影為.故15.已知直線，若，則實數(shù)的值為______.【正確答案】【分析】直接根據(jù)兩直線垂直的公式計算即可.【詳解】由，得，解得.故答案為.6.若有兩個復(fù)數(shù)，滿足，則_________.【正確答案】【分析】由題意得是方程的兩個虛根，由此計算即可.【詳解】，同理所以為方程的兩個虛根，解方程得所以.故7.重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源.甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從四個景點中隨機(jī)選擇一個景點游覽，甲、乙兩人恰好選擇同一景點的概率為______.【正確答案】##【分析】利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】甲、乙選擇的景點可能為：共16種可能；甲、乙兩人恰好選擇同一景點的可能為共4種可能；因此甲、乙兩人恰好選擇同一景點的概率為.故答案為.8.若，則_________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得f′x，然后令【詳解】對函數(shù)y=fx求導(dǎo)得，；令，得，整理得.因此，，故.故9.已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是_________.【正確答案】【分析】對符合函數(shù)進(jìn)行拆分，由外函數(shù)值域得出內(nèi)函數(shù)值域，再通過討論參數(shù)，列出不等式求得參數(shù)范圍.【詳解】令，則，要使得的值域為，則函數(shù)的值域滿足，當(dāng)時，即函數(shù)開口向上，且最小值小于等于0，∴，∴，當(dāng)時，滿足題意，綜上所述.故10.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋的中國古老民間藝術(shù)之一.已知某剪紙的裁剪工藝如下:取一張半徑為1的圓形紙片，記為，在內(nèi)作內(nèi)接正方形，接著在該正方形內(nèi)作內(nèi)切圓，記為，并裁剪去該正方形與內(nèi)切圓之間的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，，不斷重復(fù)上述裁剪操作，則被裁剪部分的面積之和的極限為_________.【正確答案】##【分析】設(shè)的半徑為，由題意可知，根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求.【詳解】設(shè)的半徑為，則，的半徑為，即，故，所以的面積為，又第次裁剪操作的正方形邊長為，故第次裁剪操作裁剪掉的面積為：，所以被裁剪掉的總面積為，所以被裁剪掉的總面積的極限為.故11.為雙曲線右支上兩不同點，則取值范圍是_________.【正確答案】【分析】方法一：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再求最值即可；方法二：設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再通過三角恒等變形化簡，再求最值即可；方法三：設(shè)出直線AB方程，直曲聯(lián)立消元，由韋達(dá)定理代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再求最值即可；方法四：雙曲線圖像與函數(shù)圖像全等，由，再求最值即可.【詳解】方法一：因為為雙曲線右支上兩不同點，設(shè)Ax1,y1則，取等號條件是，顯然該式可以取到無限大，所以取值范圍是.方法二：設(shè)，則，所以，取等號條件是，所以取值范圍是.方法三：設(shè)直線AB方程為與雙曲線右支交于兩點，聯(lián)立得，設(shè)Ax則即取值范圍是.方法四：雙曲線圖像與函數(shù)圖像全等，在上取兩點Ax1可知，時，取等號條件為，所以取值范圍是.12.，和的零點按從小到大順序可以分別構(gòu)成兩個等差數(shù)列，則所構(gòu)成的集合為_________.【正確答案】或【分析】求出的解，由等差數(shù)列的定義和定義域得到，再求出的解，分類討論的氛圍，驗證是否滿足方程得解能形成等差數(shù)列，然后得出取值范圍.【詳解】①令，則，即，∵當(dāng)取時，的值為：滿足等差數(shù)列，即，即即可.②令，則，時，，當(dāng)時，若，即時，則的解與相同，滿足題意；若，即時，令，即，則，則的解：，滿足等差數(shù)列；若，即時，因為時已存在至少三個解：，由三角函數(shù)圖像可知，在存在兩個解，且成等差數(shù)列，即，則，即，綜上所述：或.故或方法點睛：因為三角函數(shù)有界，所以討論是否大于1：大于1，則的解與相同；等于1，則求出和方程得根；小于1，結(jié)合三角函數(shù)圖像的對稱性和已有的解，得到成等差數(shù)列，得到方程的一個根，代回原方程求出的值.二、選擇題（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分）13.在中，若，則的形狀是A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不能確定【正確答案】A【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【詳解】因為在ΔABC中，滿足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因為C是三角形的內(nèi)角，所以，所以ΔABC為鈍角三角形，故選A.本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范圍是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.將某學(xué)校一次物理測試學(xué)生的成績統(tǒng)計如下圖所示，則估計本次物理測試學(xué)生成績的平均分為（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（）A.68 B.70 C.72 D.74【正確答案】C【分析】根據(jù)小矩形面積和為1解得的值，再根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)即可.【詳解】依題意，，解得，則平均分為.故選：C.15.設(shè)與是兩個不同的冪函數(shù)，記，則中的元素個數(shù)的可能是（）.A.0、1、2、 B.1、2、3 C.1、2、3、4 D.0、1、2、3【正確答案】B【分析】由冪函數(shù)的函數(shù)圖像及性質(zhì)可以得出結(jié)論.詳解】設(shè)，，由冪函數(shù)圖像可知，，故至少存在一個解；②若，在0處都有定義，則，故可能存在解，③若，同奇函數(shù)或者偶函數(shù)，由對稱性可知，或，故可能存在解，綜上所述：中的元素個數(shù)的可能是：1,2,3.故選:B.16.已知定圓，點A是圓所在平面內(nèi)一定點，點是圓上的動點，若線段的中垂線交直線于點，則點的軌跡可能是：(1)橢圓；(2)雙曲線；(3)拋物線；(4)圓；(5)直線；(6)一個點.其中所有可能的結(jié)果有（）.A2個 B.3個 C.4個 D.5個【正確答案】C【分析】作出圖像，通過橢圓，雙曲線，圓的定義和圓的性質(zhì)，判斷結(jié)論.【詳解】(1)橢圓（點A在圓內(nèi)，不包括圓心）如圖：∵，∴，即點的軌跡是以為焦點的橢圓.(2)雙曲線（點A在圓外）如圖：∵∵，∴，即點的軌跡是以為焦點的雙曲線.(4)圓（點A恰為圓心）當(dāng)與重合時，在中點，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.(6)一個點（點A在圓上）當(dāng)在圓上時，為弦，所以一定與重合，所以點的軌跡是點.故選.三、解答題.（本大題共5小題，滿分78分）17.如圖所示五面體中，四邊形為長方形，平面和是全等的等邊三角形.（1）求證：；（2）若已知，求該五面體的體積.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可求證；（2）將組合體分為四棱錐和后即可求解；【小問1詳解】五面體中，因為平面，平面，平面平面，所以.【小問2詳解】過點作，作，垂足分別為，過點作，作，垂足分別為，連接，如圖，取中點，連接，由對稱性可得，所以，因為，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面；因為，所以由、和以及圖形對稱性可得在底面中，所以在中，，可得，∴四棱錐和的體積均為，三棱柱的體積，所以，該五面體的體積為.18.設(shè)，，（常數(shù)）.（1）y=fx為上的嚴(yán)格增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，若對于任意，，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)的單調(diào)性得到在上恒成立，列不等式求解即可.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性得到在恒成立，再結(jié)合基本不等式求解即可.【小問1詳解】因為為上嚴(yán)格增函數(shù)，故在上恒成立，所以在上恒成立，所以等號不同時取到，故實數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】不妨設(shè)，由（1）可知函數(shù)在上嚴(yán)格增，故，此時，不等式等價于，令，，所以函數(shù)在是嚴(yán)格增函數(shù)，故在上恒成立，只需，求導(dǎo)可得因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，解得.19.仰暉樓有A、B兩部電梯.已知電梯每上一層需要5秒，電梯在某層樓停留時開門到關(guān)門所花時間為10秒（人員均能在電梯開關(guān)門時間內(nèi)完成進(jìn)出電梯和按樓層等操作）.某天清晨，樓上還沒有人，1樓已經(jīng)有若干人均欲乘坐電梯上樓，目的地分別是樓.現(xiàn)兩部電梯均恰好在1樓（兩部電梯互相獨立運(yùn)行，可以獨立開關(guān)門，在1樓按下按鈕后將同時打開門），且每部電梯容量足夠容納所有人.定義為：從A（B）電梯開門時刻算起，到電梯內(nèi)最后一人到達(dá)目標(biāo)樓層后A（B）電梯門關(guān)閉為止，所花時間.記"運(yùn)輸完成時間".（1）若所有人均乘坐一部電梯，求；（2）為了研究的最小值，我們需要對電梯的"乘坐安排"作出一些合理假設(shè).例如：假設(shè)兩部電梯都有人乘坐.理由：分開乘坐，比如去2層的人都坐電梯A，其余人坐電梯B，則均小于（1）中，故"運(yùn)輸完成時間"也小于（1）中，所以要使得最小，兩部電梯一定都有人乘坐.請你在此基礎(chǔ)上再提出1至2條關(guān)于電梯"乘坐安排"的合理假設(shè)，并簡述作出這些假設(shè)的理由（若有多條假設(shè)，請按重要性從高到低寫出最重要的兩條）；（3）求出最小值.【正確答案】（1）145秒（2）答案見解析（3）95秒【分析】（1）根據(jù)題意，知總時間包括開門的兩次及中途上樓的層數(shù)；（2）分目的地為同一層樓的人都坐同一部電梯，即A、B電梯所到樓層不重疊和不妨設(shè)A電梯到達(dá)10層，則可假設(shè)B電梯停留層數(shù)均小于A電梯停留層數(shù)，兩種情況討論，進(jìn)而可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意求出與的關(guān)系，進(jìn)而可得出答案.【小問1詳解】包括1樓，電梯共開關(guān)門10次數(shù)，上升9層，所以完成運(yùn)輸所花時間為秒；【小問2詳解】假設(shè)一：目的地為同一層樓的人都坐同一部電梯，即A、B電梯所到樓層不重疊.理由：將目的地為同一層樓的人調(diào)整到同一部電梯可以使得其中一部電梯至少節(jié)約10秒，這樣調(diào)整后方案的"運(yùn)輸完成時間"必然不大于原方案.假設(shè)二：不妨設(shè)A電梯到達(dá)10層，則可假設(shè)B電梯停留層數(shù)均小于A電梯停留層數(shù).理由：記B電梯最高到達(dá)樓，若存在A電梯到達(dá)樓，且的情況.兩部電梯交換這兩層的人，則不變，至少減少5秒，新方案"運(yùn)輸完成時間"必然不大于原方案；【小問3詳解】設(shè)A電梯到達(dá)樓層為層，，B電梯到達(dá)樓層為層，，，時，取得最小值95秒，即A電梯目的地為710層，B電梯目的地為層.20.如圖，已知橢圓經(jīng)過點，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓上任意點軸上一點，若的最小值為，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)是經(jīng)過右焦點的任一弦（不經(jīng)過點），直線與直線相交于點，記的斜率分別為，求證:成等差數(shù)列.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)長軸長和離心率求出，從而求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)，，討論對稱軸與定義域的關(guān)系即可得出答案.（3）先得到直線的斜率一定存在，設(shè)出直線的方程，求出，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，進(jìn)而表達(dá)出，從而得證.【小問1詳解】由題意，點在橢圓上得，可得

①又由，所以

②由①②聯(lián)立且，可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)，，令，對稱軸為，因為，當(dāng)，即，，故符合題意；當(dāng)，即，，所以，解得，不符合題意；當(dāng)，即，，解得；所以實數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】由（1）知，橢圓的方程為，可得橢圓右焦點坐標(biāo)，顯然直線斜率存在，設(shè)的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，易知，設(shè)，，則有，，由直線的方程為，令，可得，即，從而，，，又因為共線，則有，即有，所以，將，代入得，又由，所以，即，，成等差數(shù)列．方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知y=fx是定義在上的函數(shù)，滿足恒成立.數(shù)列滿足:，.（1）若函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍;（2）若函數(shù)y=fx是上的減函數(shù)，求證：對任意正實數(shù)，均存在，使得時，均有；（3）求證："函數(shù)y=fx是上的增函數(shù)"是"存在，使得"的充分非必要條件.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）將恒成立轉(zhuǎn)化為，然后求最值即可；（2）利用放縮的思路得到，然后利用累加法得到，最后取即可得證；（3）取特殊函數(shù)來證明非必要性，利用反證法的思路來證明充分性.【小問1詳解】由，即對一切恒成立，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以對任意，均有，綜上，實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】證明：由函數(shù)在上單調(diào)遞減，即對一切，均有，所以對一切，均有，可得:，所以:，對一切，對任意正實數(shù)，取，為表示為取整，當(dāng)時.【小問3詳解】非必要性:取，在上不是增函數(shù)，但，，，，，充分性:假設(shè)對一切，均有，所以，由遞推式，因為為增函數(shù)，所以，由可知:對一切均成立，記可知，當(dāng)時，上述不等式不成立，所以假設(shè)錯誤，即存在，使得.方法點睛：反證法的一般步驟：①反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；②歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；③結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立.【附加題】（共10分）22.世界上除了圓形的輪子之外，還有一些好事之徒制作了不少形狀的多邊形輪子.（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一個邊長為1的正方形，其初始位置為，，，D0,1.①將整個正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點首次旋轉(zhuǎn)到軸正半軸上停止：②再將整個正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點首次選擇到軸正半軸上停止；③再將整個正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點首次選擇到軸正半軸上停止；④再將整個正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，