2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)高三上冊11月期中數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市楊浦區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.設(shè)集合，，則________．【正確答案】【分析】先化簡集合，再利用集合交集運(yùn)算求解.【詳解】解：因為集合，，所以故2.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），表示的共軛復(fù)數(shù)，則________.【正確答案】1【分析】先由復(fù)數(shù)除法求得，然后再計算．【詳解】，∴．故1本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，掌握復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則是解題基礎(chǔ)．本題還考查了共軛復(fù)數(shù)的概念．3.已知向量滿足：，與的夾角為，則__________.【正確答案】【分析】首先求出，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得；【詳解】解：因為，所以，又且與夾角為，所以，所以故4.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值，則的取值范圍是_______.【正確答案】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性和最值點，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可．【詳解】因為，所以當(dāng)時，則有，因為在區(qū)間內(nèi)有最大值，但無最小值，結(jié)合正弦函數(shù)圖象，得，解得，則的取值范圍是.故答案為.5.袋中有形狀和大小相同的兩個紅球和三個白球，甲、乙兩人依次不放回地從袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的結(jié)果，則乙摸出紅球的概率是___________．【正確答案】##0.4【分析】由古典概型概率公式計算即可.【詳解】有兩種情況：①甲摸到紅球乙再摸到紅球得概率為：②甲摸到白球乙再摸到紅球得概率為：，故乙摸到紅球的概率．故6.展開式中的系數(shù)為___________.（答案用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】先求二項式的展開式的通項公式，再由通項公式求展開式中的系數(shù).【詳解】二項式的展開式的通項公式為，，令，可得，所以展開式中含的項為第四項，其系數(shù)為，故答案為.7.已知，若，則______.【正確答案】或【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】因為且，所以或，解得或.故或8.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，，．則邊的長度為__________．【正確答案】4【分析】利用余弦定理化簡即可求解.【詳解】∵cosB＝，由余弦定理：42＝a2＋（2a）2－2a×2a×解得a＝2，從而c＝4故4.9.某同學(xué)6次測評成績的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，且總體的中位數(shù)為88，若從中任取兩次成績，則這兩次成績均不低于93分的概率為__________.【正確答案】##0.2【分析】根據(jù)題意有莖葉圖求出，再用古典概率結(jié)合組合計算即可.【詳解】依題可得只能，得，則不低于93分的成績有三次，從6次測評成績中任取兩次成繞共有種取法，其中兩次成績均不低于93分的只有3種情況，則所求概率為.故答案.10.已知過拋物線的焦點的直線與交于，兩點，線段的中點為，且．若點在拋物線上，動點在直線上，則的最小值為________．【正確答案】##【分析】利用拋物線的性質(zhì)，求得拋物線方程，先判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，然后設(shè)與拋物線相切且與平行的直線并求出來，根據(jù)兩平行線之間的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】由題知，設(shè)Ax則，，又，所以，拋物線方程，聯(lián)立，得，無解，則直線與拋物線沒有公共點，設(shè)與拋物線相切且與平行的直線為，則聯(lián)立，得，則，解得，則的最小值為.故11.已知函數(shù)，若存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】當(dāng)時，由可得出，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，由可得，則，令，其中，則，當(dāng)時，令，可得，列表如下：增極大值減且，，，，如圖所示：要使得存在唯一的負(fù)整數(shù)，使得，即，只需，即，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．12.已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為__________.【正確答案】【分析】先證明，進(jìn)而可得，設(shè)，則直線與橢圓有交點，聯(lián)立方程，則，即可得解.【詳解】由題意，，則，又，所以，即，設(shè)，則直線與橢圓有交點，聯(lián)立，得，則，解得，所以的最大值為.故答案為.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.已知，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列說法正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【正確答案】D【分析】根據(jù)空間中直線與平面，以及平面與平面的關(guān)系，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，若，，，則或者異面，故A錯誤，對于B，若，，且與，的交線垂直，才有，否則與不一定垂直，故B錯誤，對于C，若，，則或者，故C錯誤，對于D，若，，則，D正確，故選：D14.已知，，．求的最大值（）A. B. C.5 D.2【正確答案】B【分析】由基本不等式和題目條件得到，求出的最大值.【詳解】因為，，由基本不等式得，故，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為.故選：B15.設(shè)函數(shù)和的定義域為，若存在非零實數(shù)，使得，則稱函數(shù)和再上具有性質(zhì)．現(xiàn)有四組函數(shù)：①，；②，；③，；④，．其中具有性質(zhì)的組數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】①由得，符合題意；②構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性可知不具有性質(zhì)；③由可知具有性質(zhì)；④構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可知不具有性質(zhì).【詳解】①，令，解得(舍去)或，存在非零實數(shù)，使得.②，令結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，故無其他零點，不存在非零實數(shù)，使得.③，存在，使得.④，，在上單調(diào)遞增，又，故無其他零點，不存在非零實數(shù)，使得.故選：B.16.一般地，對于數(shù)列，如果存在一個正整數(shù)，使得當(dāng)取每一個正整數(shù)時，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個數(shù)列的一個周期．給出下列四個判斷：①對于數(shù)列，若，則為周期數(shù)列；②若滿足：，，則為周期數(shù)列；③若為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)，使得恒成立；④已知數(shù)列的各項均為非零整數(shù)，為其前項和，若存在正整數(shù)，使得恒成立，則為周期數(shù)列．其中所有正確判斷的序號是（）A.②③④ B.②④ C.②③ D.①②③④【正確答案】C【分析】對于①，舉例判斷；對于②，由數(shù)列的偶數(shù)項都相等，奇數(shù)項都相等判斷；對于③，由為周期數(shù)列，則一個周期能必存在最大值判斷；對于④，舉例判斷.【詳解】對于①，若為:，，滿足題意，但是數(shù)列不是周期數(shù)列，故①錯誤;對于②，由可知，，...，即數(shù)列的偶數(shù)項都相等，奇數(shù)項都相等，所以當(dāng)時，能使得當(dāng)取每一個正整數(shù)時，都有，故數(shù)列為周期數(shù)列，故②正確;對于③，若為周期數(shù)列，則一個周期內(nèi)必存在最大值，它是有界的，故存在正整數(shù)，使得恒成立，故③正確;對于④，首項為1，公比為2的等比數(shù)列:，，可任取一個符合題意的數(shù)，不妨取，滿足題意，但很明顯數(shù)列：不是周期數(shù)列，故④錯誤.故選：C.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）．17.在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，．（1）求證：；（2）當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）詳見解析；（2）【分析】（1）先論證平面PAD，從而，再由，得到平面PBC即可；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAB的一個法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，由求解.【小問1詳解】證明：因為底面是邊長為2的正方形，所以，又，且，所以平面PAD，又平面PAD，所以，又，且，所以平面PBC，又平面PBC，所以；【小問2詳解】由題意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面PAB的一個法向量為，則，即，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以.18.學(xué)校為了解學(xué)生對“公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)（1）現(xiàn)規(guī)定：同時選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人．學(xué)校還調(diào)查了這位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計男性

女性

總計

請完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，分析“公序良俗”達(dá)人與性別是否有關(guān)．（2）從這名學(xué)生中任選名，記表示這名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．附表見上圖．【正確答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關(guān)；（2）分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全列聯(lián)表，求得，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能有0，1，2，3，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【小問1詳解】這100位學(xué)生中，“公序良俗”達(dá)人有20人，由此補(bǔ)全列聯(lián)表如下：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計男性133043女性75057總計2080100零假設(shè)：“公序良俗”達(dá)人與性別無關(guān)，可得，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，我們可推斷不成立，即認(rèn)為“公序良俗”達(dá)人與性別有關(guān)．【小問2詳解】由題意，隨機(jī)變量的可能有，，，，可得，，，，所以的分布列如下：0123所以數(shù)學(xué)期望.19.已知數(shù)列和滿足，（為常數(shù)且）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）已知為數(shù)列的前項和，且，記，為數(shù)列的前項和，求使得取到最大值時的值．【正確答案】（1）證明見解析（2）或【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可判斷；（2）通過單調(diào)性即可判斷.【小問1詳解】證明：因為，（為常數(shù)，且），上述兩個等式相加可得，則，所以，，因為，則，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，所以，，則，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】解：因為為數(shù)列的前項和，且，則，由（1）可知，，所以，，所以，，則，由（1）可得，所以，，所以，，因為數(shù)列單調(diào)遞減，且當(dāng)且時，，且，所以，當(dāng)且時，，當(dāng)且時，，所以，數(shù)列從第項開始單調(diào)遞減，所以當(dāng)或使得取到最大值，.20.已知橢圓的離心率為，且過點．直線交于，兩點．點關(guān)于原點的對稱點為，直線的斜率為，（1）求的方程；（2）證明：為定值；（3）若上存在點使得，在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線AB的方程．【正確答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）由離心率及所過點求橢圓方程；（2）設(shè)點，且，得，點差法及斜率兩點式求，即可證；（3）設(shè)弦的中點，點重心,，聯(lián)立直線與橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理及重心坐標(biāo)性質(zhì)得坐標(biāo)與m的表達(dá)式，代入橢圓求參數(shù)，即可得直線方程.【小問1詳解】由已知，得，解得，則橢圓的方程為；【小問2詳解】依題意，可設(shè)點，且，點關(guān)于原點的對稱點為，點在上，，作差得，直線的斜率為，直線的斜率為，，即為定值；【小問3詳解】設(shè)弦的中點，點重心,，由，得，，且，的重心在軸上，，，則，在上的投影向量相等，則，且，則直線的方程為，，得，又點在上，，即又，則直線的方程為21.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的值；（3）記函數(shù)，設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，且恒成立，求實數(shù)的最大值．【正確答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線斜率，由解析式求得切點坐標(biāo)，從而得到切線方程；（2）由導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性，利用零點存在性定理可判斷出在上有零點，從而得到結(jié)果；（3）整理出，可知為的兩根，從而得到，；根據(jù)的范圍可確定的范圍后，將兩式代入進(jìn)行整理；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最小值，該最小值即為的最大值.【詳解】（1）由題意得：，曲線在處切線為：，即（2）由（1）知：當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增