2024-2025學(xué)年天津市西青區(qū)高三上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年天津市西青區(qū)高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】分別求出集合，結(jié)合補(bǔ)集以及集合的交集、并集運(yùn)算，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】由題意可得，，故，A錯(cuò)誤;由于，故，，所以B正確，C錯(cuò)誤；，則不是A的子集，D錯(cuò)誤，故選：B2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域，及條件間的推出關(guān)系判斷充分、必要性.【詳解】由在上遞增，而，則，此時(shí)，充分性成立，若，則，假設(shè)時(shí)，無(wú)意義，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.若，則(

)A. B. C. D.【正確答案】C【分析】依次判斷與1和2的大小關(guān)系得到答案.【詳解】，即；；，故故選：本題考查了數(shù)值大小比較，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的靈活運(yùn)用.4.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再集合函數(shù)值的正負(fù)，以及取向，即可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)是奇函數(shù)，故排除A，且當(dāng)時(shí)，，故排除C，，當(dāng)時(shí)，，故排除D，滿足條件的只有B.故選：B5.若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則與相交【正確答案】C【分析】根據(jù)空間中線線、線面的位置關(guān)系判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，若，，則，或與相交，或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則或與相交，或與異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則，故C正確；對(duì)于D，若，，則與相交，或與異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.在中，a，b是∠A，∠B，所對(duì)的邊，已知，則的形狀是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【正確答案】D【分析】利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求解即得.【詳解】在中，由及正弦定理，得，則，而，因此或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故選：D7.下列三個(gè)關(guān)于函數(shù)命題：①只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位即可得到的圖象；②函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱；③函數(shù)在上單調(diào)遞增．其中，真命題的序號(hào)是（）A.① B.② C.③ D.以上皆不對(duì)【正確答案】C【分析】對(duì)于①，利用三角恒等變換得到，利用左加右減得到平移后的解析式，得到①錯(cuò)誤；對(duì)于②，計(jì)算出，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，求出，由于在上單調(diào)遞增，得到③正確.【詳解】對(duì)于①，，的圖象向右平移個(gè)單位得到，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，故圖象不關(guān)于對(duì)稱，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，③正確．故選：C8.已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先判斷球心在三棱錐的高線上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半徑即得.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，因底面邊長(zhǎng)均為，側(cè)棱長(zhǎng)均為，故球心在上，連接，設(shè)球的半徑為，則，由正弦定理，解得，在中，，則，在中，由，解得，則球的表面積為.故選：B.9.定義在R上偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)數(shù)形結(jié)合解題即可.【詳解】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)滿足，所以，從而函數(shù)的周期為4，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)的示意圖，關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個(gè)，從而滿足，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：C.本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性，奇偶性，周期性等函數(shù)性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)思想方法中非常重要的一個(gè)思想方法，平時(shí)在學(xué)習(xí)中注意理解消化吸收.二、填空題10.復(fù)數(shù)__________.【正確答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算即得.【詳解】依題意，.故11.在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為____________．【正確答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式可得，從而可求解.【詳解】由題意可得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以，故含的項(xiàng)的系數(shù)為80.故80.12.______．【正確答案】1【分析】結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故13.某公司有甲、乙兩家餐廳，小李第一天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐，如果第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為，如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為，則小李第二天去乙家餐廳的概率為________．【正確答案】##0.3【分析】先將事件用字母表示出來(lái)，再利用條件概率和全概率公式即可解決.【詳解】解：設(shè)A1＝“第1天去甲餐廳用餐“，B1＝“第1天去乙餐廳用餐”，A2＝“第2天去甲餐廳用餐”，B2＝“第2天去乙餐廳用餐”，根據(jù)題意得，,.則，，則，則，則.由全概率公式得：，即∴小李第二天去乙家餐廳的概率為．故．14.如圖，六面體的一個(gè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則該六面體的體積等于________，表面積等于______．【正確答案】①.6②.22【分析】根據(jù)，，均垂直于平面，所以，在上取，連接，從而根據(jù)線線平行可得故為三棱柱，為三棱柱，根據(jù)柱體體積公式即可得該六面體的體積，根據(jù)幾何體外表面的線線關(guān)系結(jié)合勾股定理、余弦定理、三角形面積公式、梯形面積公式、正方形面積公式，即可得幾何體的表面積.【詳解】如圖，在上取，連接，因?yàn)?，，均垂直于平面，所以，則，因?yàn)檎叫?，所以，又平面，所以平面，由可得四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槊鏋檎叫危瑒t，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，故為三棱柱，為三棱柱，則該六面體的體積；如圖，連接，又，，所以，則在四邊形中，由余弦定理得，所以，則，該六面體的表面積.故；.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定六面體的線線關(guān)系.關(guān)于求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．15.在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn)．設(shè)，，記，則__________；若，的面積為，則當(dāng)__________時(shí)，取得最小值．【正確答案】①.##0.5②.2【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面積公式得到，結(jié)合和平面向量數(shù)量積公式，基本不等式得到的最小值，此時(shí)，由余弦定理得到.【詳解】由題意得，故，故；由三角形面積公式得，故，其中，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，故.故，2三、解答題16.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且，，.（1）求角的大小；（2）求的面積；（3）求的值.【正確答案】（1）（2）5（3）【分析】（1）根據(jù)題意利用余弦定理運(yùn)算求解即可；（2）利用面積公式運(yùn)算求解即可；（3）利用余弦定理先求，利用倍角公式以及兩角和差公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，，由余弦定理可得，且，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）可得的面積.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，，，由余弦定理可得，且，則，可得，所以.17.在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，，平面，且．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大??；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）連結(jié)，設(shè)，設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，從而，由此能證明平面．（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的大?。?）利用向量法可求點(diǎn)到平面距離【小問(wèn)1詳解】連結(jié)，設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為中點(diǎn)．設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且．由已知，且，所以，．所以四邊形為平行四邊形．所以，即．因平面DEF，平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】由已知平面，所以，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），因?yàn)?，所以A0,0,0，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以．即直線與平面所成角為．【小問(wèn)3詳解】，平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查線面角大小的求法，考查點(diǎn)到面的距離的求法，屬中檔題．18.已知函數(shù)，其圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且的最小值為．（1）求的最小正周期和對(duì)稱中心坐標(biāo)；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍；（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【正確答案】（1），（2）（3）【分析】（1）由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，由題意得函數(shù)周期進(jìn)而得表達(dá)式，整體代入求解對(duì)稱中心即可.（2）由題意得，由此即可得解.（3）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性令，即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳D象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且的最小值為，所以函數(shù)的最小正周期為，得到．則，由，得，所以圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以即的取值范圍?【小問(wèn)3詳解】由，得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.19.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，求平面ADF與平面BDF夾角余弦值；（3）若線段上總存在一點(diǎn)，使得，求的最大值．【正確答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）設(shè)，連結(jié)，，證明為平行四邊形，得，然后由線面平行的判定定理得證；（2）以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角；（3）設(shè)，利用，用表示出，根據(jù)的范圍得出的范圍，從而得的最大值．【小問(wèn)1詳解】設(shè)，連結(jié)，，矩形中是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，所以，，所以為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】由題意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，面面，，面，所以面，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，是線段的中點(diǎn)，則，，，，從而，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取，得，易知平面的一個(gè)法向量是，,所以平面ADF與平面BDF夾角余弦值是；【小問(wèn)3詳解】在（2）的坐標(biāo)坐標(biāo)系中，，，，在上，設(shè)，，從而，因?yàn)?，所以，，又，則，即，所以的最大值是．結(jié)論點(diǎn)睛：若直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩異面直線所成的角為，；②直線與平面所成的角為，；③二面角的大小為，.20.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；（3）若，證明對(duì)任意恒成立．【正確答案】（1）；（2）極大值為，極小值為；（3）證明見解析.【分析】（1）把代入函數(shù)解析式，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，再求出，代入直線方程的點(diǎn)斜式，求切線方程；（2）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)，在內(nèi)是減函數(shù)，又，不妨設(shè)，則，于是等價(jià)于，即，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明其為減函數(shù)得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，故切線方程為：，整理得；（2）令，解得或，又，，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)，取極大