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函數的單調性

與極值《工科數學分析》函數的單調性函數的極值及其求法函數的最大值和最小值一、單調性的判別法定理這是單調的充分條件。證應用Lagrange定理,例1解注意:函數的單調性是一個區(qū)間上的性質，要用導數在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區(qū)間上的單調性．這是單調的必要條件。定理證二、單調區(qū)間求法問題:如例1，函數在定義區(qū)間上不是單調的，但在各個部分區(qū)間上單調．定義:若函數在其定義域的某個區(qū)間內是單調的，則該區(qū)間稱為函數的單調區(qū)間.導數等于零的點和不可導點，可能是單調區(qū)間的分界點．方法:例2解單調區(qū)間為例3解單調區(qū)間為注意:區(qū)間內個別點導數為零,不影響區(qū)間的單調性.例如,例4證三、小結單調性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論仍然成立.應用：利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數和證明不等式.

---可參見書中P134,例2，3，4函數的單調性函數的極值及其求法函數的最大值和最小值一、函數極值的定義定義函數的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.二、函數極值的求法定理1(必要條件)（費馬定理）定義注意:例如,定理2(第一充分條件)(是極值點情形)求極值的步驟:(不是極值點情形)通常會列表討論例5解列表討論極大值極小值圖形如下定理3(第二充分條件)證同理可證(2).例6解圖形如下注意:例7解注意:

函數的不可導點,也可能是函數的極值點.三、小結極值是函數的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點.函數的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)函數的單調性函數的極值及其求法函數的最大值和最小值一、最值的求法步驟:1.求駐點和不可導點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數值,比較大小,哪個大哪個就是最大值,哪個小哪個就是最小值;注意:如果區(qū)間內只有一個極值,則這個極值就是最值(最大值或最小值).二、應用舉例例8解計算比較得實際問題求最值應注意:(1)建立目標函數;(2)求最值;點擊圖片任意處播放\暫停例9解如圖,解得例10某房地產公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費．試問房租定為多少可獲得最大收入？解設房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高.最大收入為三、小結注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念

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