工科數(shù)學(xué)分析 上冊(cè)（第2版）課件：幾種特殊類型函數(shù)的積分

幾種特殊類型函數(shù)的積分

（幾種常見(jiàn)類型的積分）《工科數(shù)學(xué)分析》*幾種特殊類型函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分三角函數(shù)有理式的積分簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分小結(jié)有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之為有理函數(shù).一、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；

利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例兩類特殊的有理函數(shù)------部分分式(簡(jiǎn)單分式):說(shuō)明將一般的有理函數(shù)化為部分分式

之和，只出現(xiàn)三類情況：多項(xiàng)式；容易求得這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).討論積分令記先來(lái)考察部分分式(簡(jiǎn)單分式)的積分.湊微分則（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為（根據(jù)有理函數(shù)中分母的因式構(gòu)成）（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為難點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式(簡(jiǎn)單分式)之和.真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例2例3整理得例4

求積分解（例2)例5

求積分解(例3)例6

求積分解令三角函數(shù)有理式的定義：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之為三角函數(shù)有理式．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分令（萬(wàn)能置換公式）例7

求積分解由萬(wàn)能置換公式例8

求積分解（一）解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令解（三）可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中可先考慮其它手段,萬(wàn)能置換并不是唯一方法，只是一種可選方法.

萬(wàn)能置換并不萬(wàn)能。例9

求積分解討論類型解決方法作代換去掉根號(hào).例10

求積分解令三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分例11

求積分解令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例12

求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬(wàn)能置換公式）（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）四、小結(jié)理論上講，連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在，但有些函數(shù)的原函數(shù)并不是初等函數(shù)，它們的積分都不能用初等函數(shù)來(lái)表示，在初等函數(shù)的范圍內(nèi)被認(rèn)為是積不出來(lái)的。

例如：進(jìn)一步學(xué)習(xí)可以參見(jiàn)鏈接Erf.

其它幾個(gè)積分的原函數(shù)分別為指數(shù)積分函數(shù)Ei(x),參見(jiàn)ExponentialIntegral;正弦積分函數(shù)Si(x),參見(jiàn)SineIntegral;對(duì)數(shù)積分函數(shù)li(x),參見(jiàn)LogarithmicIntegral.在最后一個(gè)積分中，sinh-1(x)為反雙曲正弦函數(shù)，而F(x|m)為帶有參數(shù)m=k2的第一類型橢圓積分函數(shù)EllipticIntegraloftheFirstKind.我們看到，這里用來(lái)表達(dá)積分的實(shí)際上是用積分定義的函數(shù)了，它們都是非初等