河北省邢臺(tái)市部分重點(diǎn)高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2023—2024學(xué)年高二第一學(xué)期數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.2.已知某數(shù)列為，按照這個(gè)規(guī)律，則該數(shù)列第10項(xiàng)是（）A. B. C. D.3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，則（）A. B. C. D.4.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.5.現(xiàn)有一根4米長(zhǎng)的木頭，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木頭的，到第天時(shí)，共截掉了米，則（）A.5 B.6 C.7 D.86.已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.4 B.3 C.2 D.17.在等比數(shù)列中，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.-5 B.±5 C.5 D.258.已知是拋物線上的兩點(diǎn)，與關(guān)于軸對(duì)稱，，則的最小值為（）A.9 B. C. D.8二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則（）A. B.C. D.10.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，為優(yōu)弧上的一點(diǎn)（不包括），若，則的值可能為（）A.2 B.-4 C.1 D.-311.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.B.為等比數(shù)列C.D12.已知橢圓C：，直線與C交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)取值可以為（）A. B. C.3 D.4三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________.14.若點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3，請(qǐng)寫出一個(gè)的標(biāo)準(zhǔn)方程：__________.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.16.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則該數(shù)列的公比__________，的最大值為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比.（1）求；（2）若在與之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，試問在這5個(gè)數(shù)中是否存在3個(gè)數(shù)可以構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，找出這3個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.18.已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.（1）求方程；（2）若傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求.19.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線經(jīng)過兩點(diǎn).（1）求離心率；（2）若直線與交于兩點(diǎn)，且，求.21.已知點(diǎn)，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.例如，為線段的中點(diǎn)，則，.（1）設(shè)，證明：是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.22.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且A，B，C三個(gè)不同的點(diǎn)均在上.（1）若直線AB的方程為，且點(diǎn)F為的重心，求p的值；（2）設(shè)，直線AB經(jīng)過點(diǎn)，直線BC的斜率為1，動(dòng)點(diǎn)D在直線AC上，且，求點(diǎn)D的軌跡方程.2023—2024學(xué)年高二第一學(xué)期數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程和幾何性質(zhì)可得答案．【詳解】由雙曲線可得，，所以漸近線方程為.故選：B.2.已知某數(shù)列為，按照這個(gè)規(guī)律，則該數(shù)列的第10項(xiàng)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，代入即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列，可化為，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，所以該數(shù)列的第10項(xiàng)是.故選：D.3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由前項(xiàng)和公式代入得.【詳解】由題意得，則.故選：D.4.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用拋物線定義求得的值，得出焦點(diǎn)坐標(biāo)和，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，則，，所以直線的斜率為．故選：D5.現(xiàn)有一根4米長(zhǎng)的木頭，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木頭的，到第天時(shí)，共截掉了米，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】由題意，歸納出截掉的長(zhǎng)度和天數(shù)成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求解即可.【詳解】設(shè)第天截掉的木頭長(zhǎng)度為，則是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的前項(xiàng)和.由，得，得.故選：B.6.已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，得的最小值為大圓的半徑減去圓心距再減去小圓的半徑.【詳解】由題意得圓的圓心為，得，圓與圓的半徑之差為，所以圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，所以的最小值為.故選：C.7.在等比數(shù)列中，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.-5 B.±5 C.5 D.25【答案】A【解析】【分析】由題意可得，再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】由題意得，得，則.由，得.故選：A.8.已知是拋物線上的兩點(diǎn)，與關(guān)于軸對(duì)稱，，則的最小值為（）A.9 B. C. D.8【答案】B【解析】【分析】利用設(shè)的坐標(biāo)，表示，根據(jù)題意消去多余的未知量，利用函數(shù)求最值.【詳解】設(shè)，則，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式計(jì)算即可一一判定選項(xiàng).【詳解】由，得，故A、B正確；因?yàn)椋怨?故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD10.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，為優(yōu)弧上的一點(diǎn)（不包括），若，則的值可能為（）A.2 B.-4 C.1 D.-3【答案】CD【解析】【分析】由圓心到直線的距離，由結(jié)合，求出進(jìn)而求解.【詳解】由，得，取的中點(diǎn)，連接，如圖，則.由，得，則，所以圓心到直線的距離，得或，故C、D正確.故選：CD.11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.B.為等比數(shù)列C.D.【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，代入遞推關(guān)系可得；選項(xiàng)B，遞推關(guān)系變形可得，從而可得為等差數(shù)列；選項(xiàng)C，由錯(cuò)位相減法數(shù)列求和得，可得；選項(xiàng)D，將代入可得，令可求.【詳解】選項(xiàng)A，由題意得，A正確；選項(xiàng)B，將兩邊同時(shí)除以，得，即，則是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由，得，所以①，則②，①-②得，，，即，則，C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，D正確.故選：ACD.12.已知橢圓C：，直線與C交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值可以為（）A. B. C.3 D.4【答案】CD【解析】【分析】將點(diǎn)和點(diǎn)代入橢圓方程組成方程組，利用和點(diǎn)在直線上消去多余未知數(shù)，化簡(jiǎn)得到用表示的關(guān)系式，因?yàn)楸硎具^定點(diǎn)斜率為的直線，所以直線不與軸重合，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓性質(zhì)得到，從而解得范圍選出答案.【詳解】由，得．因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以消去得，解得．因?yàn)橹本€斜率存在為，所以，所以，顯然，解得．故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將交點(diǎn)代入橢圓，利用已知消元得到關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)的范圍求出的范圍.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)前項(xiàng)和的性質(zhì)可知，，代入數(shù)據(jù)即可.【詳解】由題意得.故答案為：414.若點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3，請(qǐng)寫出一個(gè)的標(biāo)準(zhǔn)方程：__________.【答案】（本題答案不唯一，任選一個(gè)即可）【解析】【分析】由拋物線的定義即可得拋物線方程.【詳解】由題意得拋物線的準(zhǔn)線可能為直線，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為.故答案為：（答案不唯一，中任選一個(gè)即可）.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【答案】46【解析】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)構(gòu)造等差數(shù)列，則由新數(shù)列的前兩項(xiàng)依次求解可得.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知成等差數(shù)列，即1，8，成等差數(shù)列，且公差為，所以，得.故答案為：.16.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則該數(shù)列的公比__________，的最大值為__________.【答案】①.##②.1024【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得，則，得.因?yàn)?，所?易得，則，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：；四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比.（1）求；（2）若在與之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，試問在這5個(gè)數(shù)中是否存在3個(gè)數(shù)可以構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，找出這3個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）36（2）存在，4，12，36【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，計(jì)算，再求出；（2）設(shè)該等差數(shù)列為，求出公差和插入的三個(gè)數(shù)，判斷是否存在3個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.【小問1詳解】由，得，所以.【小問2詳解】設(shè)這5個(gè)數(shù)組成的等差數(shù)列為，則，，得該數(shù)列的公差，所以，，.因?yàn)?，所以，，成等比?shù)列，即這3個(gè)數(shù)為4，12，36.18.已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.（1）求的方程；（2）若傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件確定的值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）涉及中點(diǎn)弦問題，可以考慮“點(diǎn)差法”解決問題.【小問1詳解】由題意可得，得，所以的方程為.小問2詳解】由題意得.設(shè)，，依題意可得，且，由得，則，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)在橢圓內(nèi).所以為所求.19.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可得答案；（2）利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，①得，②①-②得，即，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合，所以；【小問2詳解】由題意得，所以.20.已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上雙曲線經(jīng)過兩點(diǎn).（1）求的離心率；（2）若直線與交于兩點(diǎn)，且，求.【答案】（1）（2）或【解析】分析】（1）設(shè)雙曲線方程，由已知點(diǎn)坐標(biāo)代入待定系數(shù)，再由方程確定求出離心率；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達(dá)定理代入弦長(zhǎng)公式得關(guān)于的方程求解即可.【小問1詳解】由題意，設(shè)，由雙曲線經(jīng)過兩點(diǎn)，得，得，即，則，所以的離心率為.【小問2詳解】設(shè)，由，得，依題意可得，且，即.由韋達(dá)定理得，所以，整理得，解得或.21.已知點(diǎn)，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.例如，為線段的中點(diǎn)，則，.（1）設(shè)，證明：是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明；（2）利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)為，，則.由得，所以，即.因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，即，則，，…，，將以上各式相加得.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，也符合上式，故.22.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且A，B，C三個(gè)不同的點(diǎn)均在上.（1）若直線AB的方程為，且點(diǎn)F為的重心，求p的值；（2）設(shè)，直線AB經(jīng)過點(diǎn)，直線BC的斜率為1，動(dòng)點(diǎn)D在直線AC上，且，求點(diǎn)D的軌跡方程.【答案】（1）8；（2）（且）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角形重心坐標(biāo)公式用p表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入計(jì)算即得.（2）借助拋物線方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線方程求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，進(jìn)而確定點(diǎn)D的軌跡并求出方程即得.【