連續(xù)介質力學第二章

第二章張量的基本理論

§2-1張量代數(shù)§2-2張量分析§2-3張量應用1.1指標記法1.1.1求和約定、啞指標§2-1張量代數(shù)顯然，指標i,j,k與求和無關，可用任意字母代替。為簡化表達式，引入Einstein求和約定：每逢某個指標在一項中重復一次，就表示對該指標求和，指標取遍正數(shù)1，2，…，n。這樣重復的指標稱為啞標。于是是違約的，求和時要保留求和號n表示空間的維數(shù)，以后無特別說明，我們總取n=3。例題雙重求和簡寫成展開式（9項）三重求和（27項）1.1.2自由指標例如指標i在方程的各項中只出現(xiàn)一次，稱之為自由指標。一個自由指標每次可取整數(shù)1,3,…,n，與啞標一樣，無特別說明總取n=3。于是，上式表示3個方程的縮寫：i為自由指標，j為啞標表示i為自由指標，j為啞標表示i，j為自由指標，k為啞標表示9個方程：……例外：出現(xiàn)雙重指標但不求和時，在指標下方加劃線以示區(qū)別，或用文字說明（如i不求和）。規(guī)定：這里i相當于一個自由指標，而i只是在數(shù)值上等于i，并不與i

求和。又如，方程用指標法表示，可寫成i

不參與求和，只在數(shù)值上等于i1.2Kronecker

符號在卡氏直角坐標系下，Kronecker

符號定義為：其中i，j為自由指標，取遍1，2，3；因此，可確定一單位矩陣：若是相互垂直的單位矢量，則，但而，故注意：是一個數(shù)值，即的作用：1）換指標；2）選擇求和。例1：思路：把要被替換的指標i變成啞標，啞標能用任意字母，因此可用變換后的字母k表示例2：例3：個數(shù)，項的和。求特別地，1.3置換符號i,j,k,為1，2，3的偶排列(順序輪換)i,j,k,為1，2，3的奇排列(反序輪換)i,j,k,不是1，2，3的排列(兩個以上角標同)例如：可見：也稱為三維空間的排列符號。若是右手卡氏直角坐標系的單位基矢量則常見的恒等式(i)(ii)(iii)(iv)證明：令即得（i），將（i）作相應的指標替換，展開化簡，將得其余三式。指標任意排列，經過行列調整總可用右邊表示，兩個置換符號分別反映行、列調換及指標重復時的正、負及零二維置換符號其中從三維退化得到有下列恒等式關鍵公式：二維關鍵公式：1.4指標記法的運算1.4.1代入設(1)(2)把（2）代入（1）mnorelse3個方程，右邊為9項之和1.4指標記法的運算1.4.2乘積設則不符合求和約定1.4指標記法的運算1.4.3因式分解考慮第一步用表示有換指標的作用所以即1.4指標記法的運算1.4.4縮并使兩個指標相等并對它們求和的運算稱為縮并。如各向同性材料應力應變關系縮并啞標與求和無關，可用任意字母代替為平均應力應變之間的關系1.4指標記法的運算1.4.5例題——熟悉指標記法和普通記法的轉換求和約定同樣適用于微分方程。不可壓縮牛頓流體的連續(xù)性方程：其普通記法或1.4指標記法的運算1.4.5例題——熟悉指標記法和普通記法的轉換不可壓縮牛頓流體的Navier-Stokes方程：寫出其普通記法1.4指標記法的運算1.4.5例題——熟悉指標記法和普通記法的轉換彈性力學平衡方程方程：寫出其指標記法1.5張量的定義1.5.1坐標系的變換關系（卡氏右手直角坐標系）舊坐標系：新舊基矢量夾角的方向余弦：單位基矢量：新坐標系：單位基矢量：1.5.1坐標系的變換關系舊新圖解（二維）：在解析式中記：1.5.1坐標系的變換關系從坐標變換的角度研究標量、矢量和張量（對i求和，i’為自由指標）1.5.2標量（純量Scalar）在坐標變換時其值保持不變，即滿足如數(shù)學中的純數(shù)，物理中的質量、密度、溫度等。時間是否標量？1.5.3矢量（Vector）設a為任意矢量，其在新、舊坐標系下的分量分別為即（對i’求和）（對i求和）滿足以下變換關系的三個量定義一個矢量1.5.3矢量（Vector）啞標換成k

比較上式兩邊，得即該變換是正交的1.5.4張量（Tensor）對于直角坐標系，有九個量按照關系變換成中的九個量則此九個量定義一個二階張量。將矢量定義加以推廣：（增加指標和相應的變換系數(shù)）張量的性質張量的定義—張量是與坐標系有聯(lián)系的一組量，并滿足一定的坐標變換規(guī)律。張量的性質—任何兩個張量相乘所得到的新張量的階數(shù)等于原張量階數(shù)之和；—兩個張量間的比例系數(shù)一般是一個張量，其階數(shù)等于原張量階數(shù)之和；—張量的變換規(guī)律與坐標乘積的變換規(guī)律相同；—變換矩陣與二階張量的區(qū)別1.6張量的分量

設ei為卡氏直角坐標系xi軸的單位基矢量，a為任一矢量，其分量為ai，于是

對于一個二階張量T，它可以將a變換成另一個矢量b，即

稱為二階張量T的分量

令可理解為矢量T·ej在ei上的分量，即

因此，有下面三種等價的表達式：

其中稱為在基矢量組{e1,e2,e3}下二階張量T的矩陣。注意：矢量a、b及張量T本身與坐標系無關，但其分量ai,bi,Tij

通過基矢量組{e1,e2,e3}與坐標系相關。

1.7.1張量的加法和減法

設T、S均為二階張量，將它們的和、差用下式表示：

仍為二階張量。若a為一矢量，則

其分量為：

其矩陣形式為：

1.7.2張量和標量的乘積

設T為二階張量，為一標量，它們的乘積記為，則

仍為二階張量。因為根據(jù)坐標變換，有

可見，為二階張量。

1.7.3并矢積、并矢記法、基張量

矢量a和矢量b的并矢積ab

定義為按下列規(guī)則變換任意矢量的變換：

二階張量

一階

零階

關于是二階張量的證明：

即證明滿足張量的定義：——是一個線性變換。

設有任意矢量，及標量，則由并矢積定義

可見：滿足張量的定義。

關于基矢量組的分量：

有些文獻把寫成

矩陣形式：

基矢量的并矢積：

…于是，二階張量可以表示成：即這種并矢記法可以推廣到任意階張量，例如三階張量：

一階基張量二階基張量n階基張量

可用上述并矢記法表示基張量：一階張量

二階張量

n階張量

于是，有等號右邊稱為廣義標量記法。

到此為止，我們已有四種張量記法：不變性（符號，抽象）記法分量（指標）記法

并矢記法

廣義標量記法

1.7.4張量的并積

設分別為m和n階張量，它們的并積為，則

可見，其結果張量是m+n階的。

1.7.5張量的點積

矢量a,b的點積：

換指標1.7.5張量的點積

張量T,S（設為二階）的點積：

矩陣形式：

設均為二階張量，用基張量表示點積，并證明

（作業(yè)）一般地，任意個二階張量依次點積，結果仍為二階張量，即張量的雙重點積：

若A為三階張量，B為二階張量，則

結果為一階張量。

張量的雙重點積：

若S，T均為二階張量，則

結果為零階張量。

1.7.6張量的叉積

兩個矢量a，b的叉積：

三個矢量a，b，c

的叉積：

已知，則

三個矢量a，b，c

的叉積：

即試驗證（作業(yè)）：

三個矢量的混合積：即幾何意義：以為邊的棱柱體積，有向。換指標兩個任意張量的叉積：

1.7.7二階張量的跡

矢量a,b

并矢ab

的跡定義為：

任意二階張量T的跡：

T的主對角線之和。

例：在直角坐標系下，各向同性牛頓流體的本構方程為：

應力張量

靜水壓力

粘性系數(shù)

變形速率張量

試寫出它的不變式和跡。

九、張量概念及其基本運算

1、張量概念◆張量分析是研究固體力學、流體力學及連續(xù)介質力學的重要數(shù)學工具。◆張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。

◆任一物理現(xiàn)象都是按照一定的客觀規(guī)律進行的，它們是不以人們的意志為轉移的。

◆分析研究物理現(xiàn)象的方法和工具的選用與人們當時對客觀事物的認識水平有關，會影響問題的求解與表述。

◆

所有與坐標系選取無關的量，統(tǒng)稱為物理恒量?！?/p>

在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明的物理量，統(tǒng)稱為標量。例如溫度、質量、功等?！?/p>

在一定單位制下，除指明其大小還應指出其方向的物理量，稱為矢量。例如速度、加速度等。

◆

絕對標量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需三個分量來確定。

◆

若我們以r表示維度，以n表示冪次，則關于三維空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表示成：◆

現(xiàn)令n為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物理量為張量。

◆

二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義，但它做為物理恒量，其分量間可由坐標變換關系式來解決定義。當n=0時，零階張量，M=1，標量；當n=1時，一階張量，M=3，矢量；、、、當取n時，n階張量，M=3n?！?/p>

在張量的討論中，都采用下標字母符號，來表示和區(qū)別該張量的所有分量。

◆

不重復出現(xiàn)的下標符號稱為自由標號。自由標號在其方程內只羅列不求和。以自由標號的數(shù)量確定張量的階次?！?/p>

重復出現(xiàn)，且只能重復出現(xiàn)一次的下標符號稱為啞標號或假標號。啞標號在其方程內先羅列，再不求和。2.下標記號法◆

本教程張量下標符號的變程，僅限于三維空間，即變程為3。3.求和約定

關于啞標號應理解為取其變程N內所有數(shù)值，然后再求和，這就叫做求和約定。例如：★

關于求和標號，即啞標有：◆

求和標號可任意變換字母表示?！?/p>

求和約定只適用于字母標號，不適用于數(shù)字標號。

◆

在運算中，括號內的求和標號應在進行其它運算前優(yōu)先求和。例：

★

關于自由標號：

◆在同一方程式中，各張量的自由標號相同，即同階且標號字母相同?！糇杂蓸颂柕臄?shù)量確定了張量的階次。★關于Kroneckerdelta（）符號：

是張量分析中的一個基本符號稱為柯氏符號（或柯羅尼克爾符號），亦稱單位張量。其定義為：

的作用與計算示例如下：4.張量的基本運算

A、張量的加減：

張量可以用矩陣表示，稱為張量矩陣，如：

凡是同階的兩個或幾個張量可以相加(或相減)，并得到同階的張量，它的分量等于原來張量中標號相同的諸分量之代數(shù)和。即：其中各分量（元素）為：B、張量的乘積◆

對于任何階的諸張量都可進行乘法運算。

◆

兩個任意階張量的乘法定義為：第一個張量的每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量，它們所組成的集合仍然是一個張量，稱為第一個張量乘以第二個張量的乘積，即積張量。積張量的階數(shù)等于因子張量階數(shù)之和。例如：◆

張量乘法不服從交換律，但張量乘法服從分配律和結合律。例如：

C、張量函數(shù)的求導：◆

一個張量是坐標函數(shù)，則該張量的每個分量都是坐標參數(shù)xi的函數(shù)。

◆

張量導數(shù)就是把張量的每個分量都對坐標參數(shù)求導數(shù)。

◆

對張量的坐標參數(shù)求導數(shù)時，采用在張量下標符號前