2025屆河南豫南九校高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆河南豫南九校高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．2．不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋瑒t（）A．， B．，C．， D．，3．已知集合,，則A． B．C． D．4．第七屆世界軍人運(yùn)動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行，中國隊(duì)以133金64銀42銅位居金牌榜和獎(jiǎng)牌榜的首位.運(yùn)動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個(gè)運(yùn)動場地提供服務(wù)，要求每個(gè)人都要被派出去提供服務(wù)，且每個(gè)場地都要有志愿者服務(wù)，則甲和乙恰好在同一組的概率是（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣26．新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給，實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B．2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C．2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D．2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一7．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若，則實(shí)數(shù)a的值為()A． B．3 C． D．8．在中，，，分別為角，，的對邊，若的面為，且，則（）A．1 B． C． D．9．已知實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．10．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．11．已知盒中有3個(gè)紅球，3個(gè)黃球，3個(gè)白球，且每種顏色的三個(gè)球均按，，編號，現(xiàn)從中摸出3個(gè)球（除顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好不同時(shí)包含字母，，的概率為（）A． B． C． D．12．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為________．14．已知，，，且，則的最小值為___________．15．已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長，，成等差數(shù)列，則的離心率為__________.16．已知多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），定點(diǎn)，求的面積18．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，且過點(diǎn).求橢圓的方程；已知是橢圓的內(nèi)接三角形，①若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，原點(diǎn)為的垂心，求線段的長；②若原點(diǎn)為的重心，求原點(diǎn)到直線距離的最小值.19．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，，且．（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線的斜率都存在，且，求的值．20．（12分）某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以（單位：盒，）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場需求量，（單位：元）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.（1）根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）將表示為的函數(shù)；（3）以需求量的頻率作為各需求量的概率，求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.21．（12分）2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當(dāng)最大時(shí)，求的值．22．（10分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因?yàn)榛?所以，又因?yàn)?所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.2、D【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)，分析的幾何意義，可得的最小值，據(jù)此分析選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，不等式組其表示的平面區(qū)域如圖所示，其中，，

設(shè)，則，的幾何意義為直線在軸上的截距的2倍，

由圖可得：當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，即，當(dāng)過點(diǎn)原點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，即，故AB錯(cuò)誤；

設(shè)，則的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可得最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是對目標(biāo)函數(shù)幾何意義的認(rèn)識，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

因?yàn)?,所以,,故選D．4、A【解析】

根據(jù)題意，五人分成四組，先求出兩人組成一組的所有可能的分組種數(shù)，再將甲乙組成一組的情況，即可求出概率.【詳解】五人分成四組，先選出兩人組成一組，剩下的人各自成一組，所有可能的分組共有種，甲和乙分在同一組，則其余三人各自成一組，只有一種分法，與場地?zé)o關(guān)，故甲和乙恰好在同一組的概率是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用和概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦＝（1+2i）（1+ai）=，又因?yàn)閦∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：，正確；對于選項(xiàng)C：，故C不正確；對于選項(xiàng)D：，正確.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數(shù)據(jù)分析，題目較為簡單.7、B【解析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)周期，利用周期性和函數(shù)值，即可求得.【詳解】由已知可知，，所以函數(shù)是一個(gè)以4為周期的周期函數(shù)，所以，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期的求解，涉及對數(shù)運(yùn)算，屬綜合基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡求出的值，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由，得，∵，∴，即即，則，∵，∴，∴，即，則，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．9、C【解析】

利用不等式性質(zhì)可判斷，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解：對于實(shí)數(shù)，，不成立對于不成立．對于．利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出．對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì)，因此不成立．故選：．【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．10、A【解析】

算出集合A、B及，再求補(bǔ)集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.11、B【解析】

首先求出基本事件總數(shù)，則事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”的對立事件為“取出的3個(gè)球的編號恰好為字母，，”，記事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”為，利用對立事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：從9個(gè)球中摸出3個(gè)球，則基本事件總數(shù)為（個(gè)），則事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”的對立事件為“取出的3個(gè)球的編號恰好為字母，，”記事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”為，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了排列組合的知識，解答的關(guān)鍵在于正確理解題意，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡可得.∴解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解法一：曲線上任取一點(diǎn)，利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線的距離的最小值；解法二：曲線函數(shù)解析式為，由求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出切點(diǎn)到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，曲線上任意一點(diǎn)到直線距離的最小值為；解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線的函數(shù)解析式為，則，設(shè)過曲線上任意一點(diǎn)的切線與直線平行，則，解得，當(dāng)時(shí)，到直線的距離；當(dāng)時(shí)，到直線的距離.所以曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計(jì)算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離，也可以設(shè)曲線上的動點(diǎn)坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.14、【解析】

由，先將變形為，運(yùn)用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解：因?yàn)?，，，且，所以因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，所以令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡和運(yùn)算能力，屬于中檔題.15、【解析】

設(shè)，，，根據(jù)勾股定理得出，而由橢圓的定義得出的周長為，有，便可求出和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.【詳解】解：由已知，的三邊長，，成等差數(shù)列，設(shè)，，，而，根據(jù)勾股定理有：，解得：，由橢圓定義知：的周長為，有，，在直角中，由勾股定理，，即：，∴離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.16、【解析】

令可得各項(xiàng)系數(shù)和為，得出,根據(jù)第一個(gè)因式展開式的常數(shù)項(xiàng)與第二個(gè)因式的展開式含一次項(xiàng)的積與第一個(gè)因式展開式含x的一次項(xiàng)與第二個(gè)因式常數(shù)項(xiàng)的積的和即為展開式中含項(xiàng)，可得解.【詳解】令，則得，解得，所以展開式中含項(xiàng)為：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)展開式的系數(shù)和，二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)，賦值法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長，再求高，最后求的面積．【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為：，因?yàn)榍€的普通方程為：，曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18、；①；②.【解析】

根據(jù)題意列出方程組求解即可；①由原點(diǎn)為的垂心可得，軸，設(shè)，則，，根據(jù)求出線段的長；②設(shè)中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的重心，則，設(shè)：，，，則，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則到直線的距離為1，，由，則，，，得出，根據(jù)求解即可.【詳解】解：設(shè)焦距為，由題意知：，因此，橢圓的方程為：；①由題意知：，故軸，設(shè)，則，，，解得：或，，不重合，故，，故；②設(shè)中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的重心，則，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則到直線的距離為1；設(shè)：，，，則，，則，則：，，代入式子得：，設(shè)到直線的距離為，則時(shí)，；綜上，原點(diǎn)到直線距離的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程的知識點(diǎn)，結(jié)合運(yùn)用向量，韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離的知識，屬于難題.19、（1）（2）【解析】

（1）不妨設(shè)，，計(jì)算得到，根據(jù)面積得到，計(jì)算得到答案.（2）設(shè)，，，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到，，代入化簡計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由題意不妨設(shè)，，則，．∵，∴，∴．又，∴，∴，，故的方程為．（2）設(shè)，，，則．∵，∴，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得．∵在上，∴，∴上式可化為．∴，，，∴，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，定值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、（1），眾數(shù)為150；（2）；（3）【解析】

（1）由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率，由此能求出這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此能將表示為的函數(shù)；（3）利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率．【詳解】（1）由直方圖可估計(jì)需求量的眾數(shù)為150，由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：由直方圖可知的頻率為：∴估計(jì)需求量的平均數(shù)為：（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得∴開學(xué)季利潤不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求概率【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查函數(shù)解析式的求法，考查概率的估計(jì)，是中檔題，解題時(shí)要注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用．21、（1）分布列見解析,（1）【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù)，結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù)