高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)題6 直線(xiàn)與圓壓軸小題（解析版）新課標(biāo)試卷

專(zhuān)題6直線(xiàn)與圓壓軸小題

一、單選題

1.(2021?江西南昌?高三開(kāi)學(xué)考試.新課標(biāo)試卷(理))已知函數(shù)=,若/(。)+/9)>0,若點(diǎn)(。力)

e

不可能在曲線(xiàn)C上，則曲線(xiàn)C的方程可以是()

A.(J-1)2+(J-1)2=2B.(X-1)2+/=2

C.x2+y2=2D.f+(y-l)2=2

【答案】C

【分析】

將函數(shù)變形/(X)="-/r在R上單調(diào)遞清，并且關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，結(jié)合已知條件可知。+匕>2,說(shuō)明曲線(xiàn)

。的圖像恒在直線(xiàn)XI)Y2的區(qū)域，再判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系即可得解.

【詳解】

函數(shù)/%)=《/=--/T,顯然函數(shù)“X)在R上單調(diào)遞增，

2x2<2x)2xx

又f(2-X)=e--e--=e--e=-f(x),即/(2-x)+/(x)=0

所以〃力關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱(chēng)，且"1)=0

故/(〃)+/e)>0,則°+>>2,

點(diǎn)(4b)不可能在曲線(xiàn)C上，說(shuō)明曲線(xiàn)C的圖像恒在直線(xiàn)x+y42的區(qū)域，

對(duì)于A,表示圓心(1,1),半徑「二夜的圓，圓心(U)在直線(xiàn)x+y=2上，即直線(xiàn)與圓相交，不符合題意；

對(duì)于B,表示圓心(1,0),半徑,?=忘的圓，圓心到直線(xiàn)的距離4=專(zhuān)<四,即直線(xiàn)與圓相交，不符合題意；

對(duì)于C,表示圓心(0,0),半徑r=夜的圓，圓心到直線(xiàn)的距離d=&=&,即直線(xiàn)與圓相切，并且圓的

圖像恒在直線(xiàn)x+y=2下方，符合題意；

對(duì)于D,表示圓心(0,1),半徑r=&的圓，圓心到宜線(xiàn)的距離〃=專(zhuān)<應(yīng)，即直線(xiàn)與圓相交，不符合題意；

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)暗：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的

對(duì)稱(chēng)性，推出。+6>2,說(shuō)明曲線(xiàn)C的圖像恒在直線(xiàn)x+y?2的區(qū)域，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于難題.

2.(2021?浙江省寧海中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知平面非零向量a,Ac,d滿(mǎn)足

{a,5}c{tt||tt-2l=ii-2},c€|v|(v-a)(v-5)=o|,則對(duì)于任意的d使得(2-2)/小-2)()

A.舸廬.小0恒有解B.(即1)0鄧0恒有解

C.(口卜2)1.小0恒無(wú)解D.(同-3廬.小0恒無(wú)解

【答案】B

【分析】

設(shè)O￡j=Z=(r,O),0t/=〃=(x,y),其中/?>(),記礪=￡,0方=反反=G

則有《(x-rf+V=療,即(1一r)/-2加+/+丁=。，然后分r=1,。<r<1,廠(chǎng)>1三種情況討論，再根

據(jù)直線(xiàn)A8是過(guò)點(diǎn)。的直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)E的兩個(gè)不同的交點(diǎn)和點(diǎn)C在以A8為直徑的圓M匕分析網(wǎng)”與

相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的位置關(guān)系，即可求解.

【詳解】

解：設(shè)Oz5=2=(r,O),OU=w=(x,y),其中r>0,i[\OA=a,OB=b,OC=c

則有、&_r)2+)，2=療,即。一r)f-2次+/+y2=。

若r=l,則點(diǎn)U的軌跡是拋物線(xiàn)，方程為E：y2=2x-\,點(diǎn)。恰為拋物線(xiàn)E的焦點(diǎn)，

則AB是過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)E的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓M上，

此時(shí)"ZNO.

若0<"1,則點(diǎn)U的軌跡是橢圓，方程為氏色琪-卜一子力、上=丁=],

點(diǎn)。為橢圓石的左焦點(diǎn)，y軸是橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)，A3是過(guò)點(diǎn)。的直線(xiàn)與橢圓E的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)C在以

A5為直徑的圓“上，此時(shí)圓M與準(zhǔn)線(xiàn)相離，故-Z>0.

若r>l,則點(diǎn)U的軌跡是雙曲線(xiàn)，方程為E：IT[——二丫_廠(chǎng)二ly2=i，

r4I1-r2Jr4

點(diǎn)。為雙曲線(xiàn)E的右焦點(diǎn)，y軸是雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)，48是過(guò)點(diǎn)。的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)E的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)

。在以A8為宜徑的圓M上，此時(shí)圓M與準(zhǔn)線(xiàn)相交，故32可正，可負(fù)，可零.

所以，當(dāng)Ovrvl時(shí)，恒有(即(34>0,故4錯(cuò)誤;

當(dāng)時(shí),(|j|-2)(cJ)<0,與(國(guó)-3卜自小0均有解,故C,。錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用坐標(biāo)法，設(shè)罰=[=(/?,0),南=G=(x,y),其中r>0,記3s=￡,而=反反=2則有

小工一力+產(chǎn)二次,即-2n+/+/=0,然后分〃=[,0<r<l,,>1三種情況討論，將原問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為判斷圓M與準(zhǔn)線(xiàn)的位置關(guān)系，從而解決問(wèn)題.

3.(2021?重慶?西南大學(xué)附中高三月考)已知定義在R上的函數(shù)/(')滿(mǎn)足如下條件：①函數(shù)〃刈的圖象關(guān)于

軸對(duì)稱(chēng)；②對(duì)于任意xwR,fM=f(2-x).③當(dāng)xe[O,l]時(shí)，/(x)=^x；④g(x)=/(4x).若過(guò)點(diǎn)(一1,0)

的直線(xiàn)/與函數(shù)g(1)的圖象在xe[0,2]上恰有8個(gè)交點(diǎn)，則直線(xiàn)/斜率k的取值范圍是()

A.(0,搞)B.C.(0,1)D.(o.

【答案】A

【分析】

結(jié)合①②可知/*)是周期為2的函數(shù)，再結(jié)合④可知g(x)是周期為g的函數(shù)，結(jié)合③作出g(x)在02]上的

圖像，然后利用數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng)，所以為偶函數(shù)，即〃x)=〃-x),

又因?yàn)閷?duì)于任意xsR，/(X)=/(2-X),所以/(x)=/(2-x)=/(—x),

從而J3=〃X+2),即/⑶是周期為2的函數(shù)，

因?yàn)間@)=f(4幻,則g(x)圖像是/㈤的圖像的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到，

4

故g(?也是偶函數(shù)，且周期為2x：=g,

當(dāng)x時(shí)，易知g(%)=]即4宗)，則直線(xiàn)M4的斜率鐮=孑一=-

4242，.(-1)11

4

過(guò)點(diǎn)(TO)的直線(xiàn)/與函數(shù)g。)的圖象在xw[O,2]上恰有8個(gè)交點(diǎn),

4,即直線(xiàn)/斜率2的取值范圍是(。，號(hào)6)

則只靠OvZv^WA

故選：A.

4.(2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)A(-2,0),3(2,0),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足|產(chǎn)廠(chǎng)+|尸8「W16,若直線(xiàn)

小/6=°上存在點(diǎn)Q使得/尸°。=奈則實(shí)數(shù)&的取值范圍為()

A.[Y64匈B.-00,-4&卜14"+00)

y/5x/5

-00,一,+8

C.D.~T'~2

【答案】C

【分析】

由|/嘴+|尸8「$16可得|。”<2,由正弦定理得出|OQ|=2|OHsinNQPOK4,再根據(jù)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離小于

等于4即可求出2的范圍.

【詳解】

2222

設(shè)P(.r,y)，則|PA|+|P@2=(x+2)+y+(x-2)+/<16,

整理可得/+/44,故|0月42,

在“0。中，園二四，

sinZQPOsinZPQO

..\OP\sinZQPO..

則|0Q|=?J=2\OP\sinNQPO42x2x1=4,

設(shè)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為d,則需滿(mǎn)足d?4,

???d=Y=<4,解得小正或心立.

，公+122

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本版多音食笠中咨數(shù)也出的求例，解腮的關(guān)M是得出|。。|-2|O/]sin/QPON4,利用原點(diǎn)到直線(xiàn)的距禽小

于等于4求解.

5.(2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系屹)，中，給定兩點(diǎn)MQ2),N(3,4),點(diǎn)尸在工軸的正半軸

上移動(dòng)，當(dāng)NM/W取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()

A.-B.-C.3D.—

233

【答窠】C

【分析】

由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)過(guò)M、N兩點(diǎn)的圓與x軸相切時(shí)，切點(diǎn)即為所求點(diǎn)人再由切割線(xiàn)定理可求得點(diǎn)產(chǎn)

的橫坐標(biāo).

【詳解】

當(dāng)過(guò)M、N兩點(diǎn)的圓與不軸相切時(shí)，切點(diǎn)即為所求點(diǎn)尸.

易得過(guò)M、N兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y=x+l：其與x軸交點(diǎn)為A(T,O),易得|AM|=2&,|AN|=4>/L由切

割線(xiàn)定理得|AP|2=|AM|.|AN|=2&X4&=16,所以|AP|=4,進(jìn)而可得P(3,O),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是確定點(diǎn)尸的位置.

6.(2021?安徽省懷寧中學(xué)高三月考(理))己知拋物線(xiàn)G：/=2p)，(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3，點(diǎn)

。(天,為)在拋物線(xiàn)G上，點(diǎn)A8在圓。2：/+,，2一4+3=0上，直線(xiàn)。AOB分別與圓G僅有1個(gè)交點(diǎn)，且

與拋物線(xiàn)G的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q,若直線(xiàn)PQ的傾斜角為120。，則/=()

A.土昱B.一石或@C.或也D.±6

333

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意求得p=g,得到f=y,設(shè)過(guò)點(diǎn)。與圓。2相切直線(xiàn)的斜率為攵，得到切線(xiàn)方程匕-y+石-5=0,

利用忖*/=],結(jié)合韋達(dá)定理，求得4+內(nèi)=2%5；2）,聯(lián)立方程組[『'+%一"=°,取得

Vi+F毛-1l<=y

k=x+x^得到與=人一/,々二22一X0，

結(jié)合kpQ=$列出方程，即可求解.

【詳解】

由拋物線(xiàn)Q:x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3,可得"=；,

所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為d=y,

又由G：/+y2—4y+3=0,可得圓心坐標(biāo)為G（0,2）,半徑r=l,

設(shè)過(guò)點(diǎn)。（加先）與圓c2相切的直線(xiàn)的斜定為k,

可得方程為即=即6一y+君一5=。，

則圓心到直線(xiàn)的距離為上竺二3=1,

整理得（4-1*+（4/-24》+片一4片+4=0,可得k}+k2=2%手：2）,

蒼一

聯(lián)立方程組已一>+飛一5一°，可得F-履-X：+5=0,

x=y

2

g|Jk（x-x0）=x-xlt所以2=x+/,

所以怎》=&i-%o,=k?一%,

因?yàn)橹本€(xiàn)PQ的傾斜角為120。，所以kpQ=Y

-r田/_XQ~XP_,_>_2/（片-2）_-2x_A

可用kpQ===%+%=k]+右—o2/=2j2/=-0-=—，3,

XQ—與"0—”p/—1#—1

解得飛=V5或/=.

故選：C.

*A

7.（2D21?云南師大附中高三月考（文））已知6,，是平面向量，，與方是單位向量，且萬(wàn)_LG,向量5

滿(mǎn)足4斤-8-5+3=0，則|萬(wàn)-胸的最大值與最小值之和是（）

A.272B.2x/JC.4D.26

【答案】A

【分析】

將4戶(hù)一路5+3=0變形為（潺—刃?（25-3菊=0,從而可得（5—￡|_L（5-與設(shè)2=（1，0）,由向量減法及

數(shù)量積可知■的終點(diǎn)在以（1，。）為圓心，以3為半徑的圓周上，結(jié)合圓的性質(zhì)可得答案.

【詳解】

由4b2-8e-^+3=0W（2b-e）?（2b-3e）=0,*,?^-1^1.

不妨設(shè)巨=（i,o）,則5的終點(diǎn)在以。，0）為圓心，以3為半徑的圓周上.

因?yàn)?與萬(wàn)是單位向量，所以|1-刈的最大值是（0,1）與圓心距離加,

即a+最小值是（0，1）與圓心距離減即血-；，故和為2&-

故選：A.

8.(2021?云南?峨山彝族自治縣第一中學(xué)高三月考(文))已知ABCC是矩形，且滿(mǎn)足人8=3.8。=4其所在

平面內(nèi)點(diǎn)M,N滿(mǎn)足：3BM=MC,BN=2NC,則而.癡的取值范圍是()

A.[y,y]B.殍40]C.[^4,44]D,[-10.40]

【答案】B

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得到點(diǎn)M,N的軌跡方程，然后作出圖形，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)

算得到答案.

【詳解】

如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(0,0),C(4,0),0(4,3),A(0,3)

設(shè)M(x,y),由38M=MC,所以3次”=而可萬(wàn)，化簡(jiǎn)得：

/\2

[+/=(,記為圓C1,

設(shè)N(ag),MBN=2NC,所以+/=而_4/+J,化簡(jiǎn)得：

(a*J+從吟，記為圓C2，即為卜*J+V*，

兩圓圓心距為：IGGI=?+:=^，半徑和為：/+與=1+?=§，

32623o

所以IGGI>{+&,則兩圓相離，

如圖所示,對(duì)圓G，令尸0,得：E(-2,0),產(chǎn)(1,0),

令圓G，令尸0,得：G停0),H(8,0),

所以宓=(|,o),晶=(10,0),乂啟=(4,0)，

ff//5、20

結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義可知，筋.癡的最小值為4>FG=(4,0)C，0J=T，

A￡).MN的最大值為ADEH=(4,0)(10,0)=40.

故選：B.

9.(2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))己知?jiǎng)又本€(xiàn)/與圓V+y2=4相交于人，B兩點(diǎn),且滿(mǎn)足|A臼=2,點(diǎn)C為直

線(xiàn)/上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足CB=1CA,若M為線(xiàn)段A8的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則元.兩的值為()

A.3B.273C.2D.-3

【答窠】A

【分析】

先利用圓的方程和弦長(zhǎng)判定AQAB為等邊三角形，設(shè)出符合條件的一條直線(xiàn)，再利用平面向量共線(xiàn)得到點(diǎn)的

坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解.

【詳解】

動(dòng)直線(xiàn)/與圓0：/+丁=4相交于人，B兩點(diǎn),

且滿(mǎn)足|AB|=2,則“MA為等邊三角形，

所以不妨設(shè)動(dòng)直線(xiàn)/為丁=任+2,

根據(jù)題意可得8(-2,0),A(-l,73),

設(shè)C(x,y),???瓦=|區(qū)

-27=|(_j)

-v=|(73-y)

故選：A.

10.(2021?全國(guó)?高三月考?)已知函數(shù)“X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，/(x+l)=/(l-x),當(dāng)0W1時(shí)，

/(X)=3-V1^7,則函數(shù)g“)=3-口與函數(shù)產(chǎn)”力交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.6B.7C.12D.14

【答案】D

【分析】

由/(?奇偶性可知函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)稱(chēng)性可知〃力關(guān)于直線(xiàn)工=1對(duì)稱(chēng)，周期性可知/(X)的周期為2,于是

可以得出只需要知道x>0時(shí)〃X)和g(x)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)便可，又根據(jù)直線(xiàn)和圓的關(guān)系判斷出x>0時(shí)交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)，便可求出在定義域?yàn)镽上/(x)和ga)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

解：由題意得

???/(力是偶函數(shù)，且當(dāng)0W1時(shí)，/(X)=3-V17?

???當(dāng)TWxWO時(shí)，=/(x)=/(-x)=3-Vl-x2,整理得f+(y_3)2=l

又???〃x+l)=〃lr)

工/(力關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，/(%)的周期為2

故當(dāng)1<X<2時(shí),〃x)=3-Jl-(x-2，,即(x?2『+(y-3)2=l,

在5<xW6時(shí)，/(X)=3-7H^-6/?BP(x-6)2+(y-3)2=l,

???/?)與g(x)均為偶函數(shù)

???直線(xiàn)丁=3-^過(guò)點(diǎn)(6,2),且點(diǎn)(6,2)也在f(x)上，當(dāng)以點(diǎn)(6,3)為圓心，1為半徑的部分圓(x?5,6])與直

6

線(xiàn)y=or+3相切時(shí)，滿(mǎn)足小照彳=1,解得〃=顯然不符合題意)

???在/>0時(shí)，有7個(gè)交點(diǎn)

，共14個(gè)交點(diǎn)

故選：D.

11.(2021?陜西榆林市第十中學(xué)高三月考(理))已知加(3,4)是半徑為1的動(dòng)圓C上一點(diǎn)，尸為圓O：d+>2=1

上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,8,則當(dāng)|A8|取最大值時(shí)，△RS的外接圓的方程為()

A.x2+y2-3x-4y-6=0B.x2+y2-3x-4y+6=0

C.x2+y2-3x-4y=0D.x2+y2-4x-3y=0

【答案】A

【分析】

由題設(shè)，確定c的軌跡方程，結(jié)合已知可得3〈|pq?7,再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理及面積法得到卜河關(guān)

于|PC|的關(guān)系式且△期“的外接圓以線(xiàn)段PC為直徑，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系及其動(dòng)點(diǎn)距離最值情況，寫(xiě)出外

接圓的方程.

【詳解】

由|阿=1,則動(dòng)圓心。的軌跡方程為(X-3)2+(y—4)2=1.

產(chǎn)為圓O:/+y2=i上的動(dòng)點(diǎn)，又|OM=5,

：.3<\PC]<7,

V|PC|-|AB|=2|AC|-|E4|,|AC|=1,|PC|2=|RA|2+|AC|2,

?,?當(dāng)|PC|最小時(shí),|明最小,當(dāng)|PC|最大時(shí)，|崗最大.

當(dāng)|Pq=|OM|+2=7時(shí)，|A四取最大值,△Q48的外接圓以線(xiàn)段PC為直徑，而PC中點(diǎn)，即OM中點(diǎn)為《，2

???外接圓方程為。:-式+（一）2=手，即爐+y2-3x-4y-6=0.

12.（2021?山東青島?高三開(kāi)學(xué)考試-新課標(biāo)試卷）將函數(shù)丁=而二7-2（xe［-3,3］）的圖象繞點(diǎn)（-3,0）逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)a（0WaW。），得到曲線(xiàn)C,對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角〃，曲線(xiàn)C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則。最大時(shí)的正切值

為（）

32

A.—B.—C.ID.G

【答案】B

【分析】

先畫(huà)出函數(shù),，=而二7-234-3,3］）的圖象，然后根據(jù)由圖可知當(dāng)此圓弧繞點(diǎn)（-3,0）逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角大

于NM43時(shí)、曲線(xiàn)C都不是一個(gè)函數(shù)的圖象，求出此角即可.

【詳解】

解：由尸5/13-寸一2（工€［-3,3］），得了2。，

f+（y+2）2=13,則函數(shù)的圖像是以M（0,-2）為圓心的圓的一部分,

先畫(huà)出函數(shù)）,=V13-X2一2（xe［-3,3］）的圖象，

這是一個(gè)圓弧AB,圓心為MQ-2）,如圖所示，

由圖可知當(dāng)此圓弧繞點(diǎn)（-3,0）逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角大于NM48時(shí)，

曲線(xiàn)c都不是?個(gè)函數(shù)的圖象，

即當(dāng)圓心Af（0.-2）在X軸上時(shí)，

所以e最大值即為ZMAB,

22

tanNM45=（,所以。最大時(shí)的正切值為.

故選：B.

13.（2021?山東肥城?模擬預(yù)測(cè)）已知瓦'是圓C：/+y2-2x—4y+3=0的一條弦，且CE_LCF,尸是EF的

中點(diǎn)，當(dāng)弦EF在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)/』7-3=0上存在兩點(diǎn)A8,使得4尸825恒成立，則線(xiàn)段48長(zhǎng)

度的最小值是（）

A.372+1B.4夜+2C.4石+1D.46+2

【答案】B

【分析】

根據(jù)已知條件先確定出點(diǎn)P的軌跡方程，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“以AB為直徑的圓要包括圓

2）2=1"，由此利用圓心C0,2）到直線(xiàn)/的距離結(jié)合點(diǎn)P的軌跡所表示圓的半徑可求解出A8的

最小值.

【詳解】

由題可知：OC;(人一1)2十(y一2)2=2,圓心。(1,2),半徑r=&,

又CELCF,『是所的中點(diǎn)，所以CP=g痔=1,

所以點(diǎn)P的軌跡方程。-1)2+(5-2)2=1,圓心為點(diǎn)C(l,2),半徑為R=l,

若直線(xiàn)/：N-3=0上存在兩點(diǎn)AB，使得ZAPB2］恒成立,

則以AB為直徑的圓要包括圓(x-1)?+(y-2)2=1,

點(diǎn)C(l,2)到直線(xiàn)/的距離為d二J/二=2&,

所以A5長(zhǎng)度的最小值為2(d+l)=4a+2,

故選:B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛?：解答本題的關(guān)鍵在于點(diǎn)尸軌跡方程的求解以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，根據(jù)弦中點(diǎn)以及線(xiàn)段長(zhǎng)度可求

7T

點(diǎn)尸軌跡方程，其次“4”82萬(wàn)恒成立”轉(zhuǎn)化為“以A8為直徑的圓包括P的軌跡“，結(jié)合圓心到直線(xiàn)的距離

加上半徑可分析AB的最小值.

］一切，|小一引《|兇一方|

14.(2021?北京?模擬預(yù)測(cè))在平面直坐標(biāo)系中，點(diǎn)爪不凹),6(巧,必)，定義d和

|凹一必|，歸-引>|凹一必|

為點(diǎn)4,鳥(niǎo)之間的極距，己知點(diǎn)尸是直線(xiàn)1：2x+y-9=0上的動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)Q是圓O:d+y2=5上的動(dòng)點(diǎn),

則P,。兩點(diǎn)之間距離最小時(shí)，其極距為()

A.IB.苧C.D.>/5

【答案】C

【分析】

先分析出極距的含義，"牝就是直角三角形耳氏打中較小的直角邊的大小.先用幾何法求出尸。的最小值，再

求P，。兩點(diǎn)之間的極距.

【詳解】

如圖示：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，4(3,))6(9,月)，作出宜角三角形阜則

由極距的定義知，d牝就是直角三角形［R巴中較小的直角邊的大小.

因?yàn)辄c(diǎn)P是直線(xiàn)/：2x+y-9=0上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓O:V+y2=5上的動(dòng)點(diǎn)，要使尸。最小,

|0+0-9|

則PQ=OP-有最小,此時(shí)PQ二O尸一石二代孚

二!在直角三角形尸R2中，孔

RPOB2

Q兩點(diǎn)之間的極距即為RQ,

設(shè)RQ4，則RP=2九所以「+(2，『

44

解得：t=~,即RQ=—，所以P,Q兩點(diǎn)之間的距離最小時(shí)的極距為工4

555

故選：c

【點(diǎn)睛】

(1)數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：

①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對(duì)對(duì)應(yīng)知識(shí)進(jìn)行再遷移.

(2)距離的最值的計(jì)算方法有兩類(lèi)：

①幾何法：利用幾何圖形求最值；②代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.

15.(2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)(理))已知曲線(xiàn)丁=爐在點(diǎn)(放)處的切線(xiàn)/與圓(1-/)2+()、+1)2=/(r>0)也

相切，當(dāng)半徑「最大時(shí)圓的方程是()

A.(x-l)2+(y+l)2=lB.(x-l)2+(y+l)2=2

C.V+(y+iy=lD.f+(y+l)2=2

【答案】D

【分析】

首先利用導(dǎo)數(shù)的兒何意義求得切線(xiàn)的方程，接著利用圓與直線(xiàn)相切得到「=*=,整理化簡(jiǎn)之后，利用

y/e2,+\

基本不等式求出，的最大值，進(jìn)而求得，的值，最后寫(xiě)出圓的方程.

【詳解】

因?yàn)?；=e'，所以y’=e，在處的取值為",

所以曲線(xiàn)丁="在點(diǎn)(，,?)處的切線(xiàn)/的方程為：y-e^e\x-t),

即e'x-y-￥(\-t)e'=0,

因?yàn)榍芯€(xiàn)與圓(不一爐+(y+1)2=/(，>。)也相切，

|k+l+(lT)e[_i+e'

所以

21

+1y/e+1

當(dāng)且僅當(dāng)f=o時(shí)，「有最大值夜,

此時(shí)圓的方程為：x24-（y+l）2=2,

故選：D

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的

考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.（2）利用導(dǎo)數(shù)

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；己知單調(diào)性，求參數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的

優(yōu)化問(wèn)題.（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.（2021?浙江省杭州第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）定義集合

C==｛（x，y）kcose+ysine=2,ec[0,2;r）｝,N=｛（乂）]國(guó)+?|式2｝,則下列判斷正確

的是（）

A.MnN=0

B.Q](A/DN)=0

R+引+ysin(6+?

C.若UgwM,<:xcose+ysin9=2,l2:xcos=2,

h:xcos=2,則由4,LG圍成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面積一定

相等

D.滿(mǎn)足P任M且PEN的點(diǎn)P構(gòu)成區(qū)域的面積為4（%-1）

【答案】C

【分析】

首先確定集合"和N所表示的區(qū)域，再數(shù)形結(jié)合判斷選項(xiàng)是否正確即可.

【詳解】

對(duì)于集合M=｛（x,y）|xcos+jsin=2,e[0,2^）｝,

2

原點(diǎn)到直線(xiàn)xcos。+ysin6=2的距離為d=z,==2,

Vcos-O+sin-。

所以集合”表示圓f+y2=4上所有點(diǎn)的切線(xiàn)上的點(diǎn)，

對(duì)于集合％={（蒼y）|W+|y|42},

當(dāng)時(shí),x+y?2表示圖中三角形4。。區(qū)域;

當(dāng)x?0,”0時(shí),-x+y?2表示圖中三角形AOB區(qū)域;

當(dāng)“KO,yVO時(shí),r-y42表示圖中三角形BOC區(qū)域;

當(dāng)時(shí),W2表示圖中三角形COD區(qū)域;

所以集合N={(xM|k|+3?2}表示圖中ABCO區(qū)域,

對(duì)于A選項(xiàng)，由圖可知McN={(x,)，)|(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2)},不是空集，故A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，^(MDN)表示圖中圓內(nèi)部挖去48co區(qū)域剩下的部分，不是空集，故B錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，/,：xcos6+ysin6=2表示在點(diǎn)(2cos0,2sin。)處的切線(xiàn)，

4：.“0$］。+?+何11(夕+與)=2表示在點(diǎn)(285(6+爭(zhēng),2411(。+爭(zhēng))處的切線(xiàn)，

/3：%85,4)+)"。-?=2表示在點(diǎn)(2cos(8-爭(zhēng),2sin(6-爭(zhēng))處的切線(xiàn)，三切點(diǎn)均在圓上，易知

三切點(diǎn)構(gòu)成正三角形，由對(duì)稱(chēng)性可知C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，尸位”且?任可則尸點(diǎn)在圓內(nèi)部挖去48C。區(qū)域剌下的區(qū)域內(nèi)，面積為44-8,

故D錯(cuò)；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，要善于數(shù)形結(jié)合，代數(shù)幾何化之后，可以輔助

我們解題，達(dá)到事半功倍的效果.

17.(2021,重慶八中模擬預(yù)測(cè))已知直線(xiàn)/：1-)，+4=0與_￥軸相交于點(diǎn)4過(guò)直線(xiàn)/上的動(dòng)點(diǎn)P作圓42+),2=4

的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為C,。兩點(diǎn)，記M是。。的中點(diǎn)，則|AM|的最小值為()

A.2及B.3&C.V17D.3

【答案】A

【分析】

設(shè)點(diǎn)P,什4）,。（百,乂），。（王，必），根據(jù)圓的切線(xiàn)的性質(zhì)可得G。在以。。為直徑的圓上，求得其圓

的方程，再由C,。在圓V+y2=4上，可得直線(xiàn)C。的方程，求得直線(xiàn)CO恒過(guò)定點(diǎn)。從而得M

在以0Q為直徑的圓，得出圓的方程可求得|AM|的最小值.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P（/，什4）,C（%,）［），D（X2,J2）,因?yàn)槭?。，PC是圓的切線(xiàn)，所以O(shè)￡>_LPROC_LPC,

所以c,。在以O(shè)P為直徑的圓上，其圓的方程為卜-+0一等）="（；），

又C,。在圓f+>2=4上，則將兩個(gè)圓的方程作差得直線(xiàn)CO的方程：次+（什4）>-4=0,即

f（x+y）+4（y—1）=0,所以直線(xiàn)CO恒過(guò)定點(diǎn)。（—1,1）,

又因?yàn)镺M_LCO,M,Q,C,D四點(diǎn)共線(xiàn)，所以，M2,即M在以O(shè)Q為直徑的圓卜+；

2

上，其圓心為。［g，g）,半徑為r二￥，

所以MM1=|AO[-r=JR+4J+出-￥=2a，

mhi所以|AM|的最小值為2&,

方法點(diǎn)睛：求直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)的方法:方法-（換元法）：根據(jù)直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式直線(xiàn)的方程變成y=Mx-a）+A,

將x帶入原方程之后，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（。，3；方法二（特殊引路法）：因?yàn)橹本€(xiàn)的中的機(jī)是取不同值

變化而變化，但是一定是圍繞一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，需要將兩條直線(xiàn)相交就能得到一個(gè)定點(diǎn).取兩個(gè)小的值帶入

原方程得到兩個(gè)方程，對(duì)兩個(gè)方程求解可得定點(diǎn).

18.（2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若實(shí)數(shù)—滿(mǎn)足1-44=2必7，則工最大值是（)

A.4B.18C.20D.24

【答窠】C

【分析】

當(dāng)x=O時(shí)，解得），=0：當(dāng)x>0,令，=心可得一設(shè)/⑺=一2后，gOJTI7,則

問(wèn)題等價(jià)于f（f）和g?）有公共點(diǎn)，觀(guān)察圖形可求解.

【詳解】

當(dāng)x=0時(shí)，解得尸0,符合題意；

當(dāng)”>0時(shí)，令，="，貝ijrzo,又x-y20,則工<&,即rc[o,4],

則原方程可化為-2,+]=>/^產(chǎn),

設(shè)〃?）=-2，+5,g。）=JXT?,Z€^0,x/xJ,

則f。）表示斜率為-2的直線(xiàn)，g"）表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為五的四分之一圓，

則問(wèn)題等價(jià)于/“）和g（。有公共點(diǎn)，觀(guān)察圖形可知，

當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)僅，五）時(shí)，3=0解得戶(hù)4,

因此,要使直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn),XG[4,20],

綜上，xe[4,20]u{0},故x的最大值為20.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題得關(guān)鍵是令工=4,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)/”）=-2+楙與圓有公共點(diǎn).

19.（2021.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)（理））設(shè)/合卜="-叱bN=[?），）"2'+（y-2）?=，}

（r>0）.當(dāng)McN有且只有一個(gè)元素時(shí).則正數(shù)〃的所有取值為（）

A.2+貶或20-2B.2<”2石

C.2<rW2小或r=2近-2D.2<r<2-j5^r=2yf2-2

【答案】c

【分析】

依題畫(huà)出滿(mǎn)足題意的圖形，因?yàn)镸cN有且只有一個(gè)元素，所以圓N和圓M只有一個(gè)交點(diǎn)，所以圓N的

位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，然后分析計(jì)算即可得解.

【詳解】

5="-犬，y20,即圓M：/+產(chǎn)=4的上半部分，如圖：

圓M的圓心坐標(biāo)為（0,0）,半徑為2,圓N的圓心坐標(biāo)為（2,2）,半徑為r,

因?yàn)镸cN有且只有一個(gè)元素，所以圓N和圓M只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，

①外切：d=2+r,d為圓心距,

2&=2+r，此時(shí)「=2-2&，

②介于圓（2）、圓（3）之間：圓（2）處的半徑r=2,

圓（3）處的半徑/=AN=26.

所以2<r42有,

綜上，正數(shù)r的所有取值為2<rW2石或廠(chǎng)=2&-2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是由因?yàn)镸cN有且只有一個(gè)元素，所以圓N和圓M只有一個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而分析

計(jì)算.

二、多選題

20.（2021?重慶市蜀都中學(xué)校高三月考）曼哈頓距離（或出租車(chē)幾何）是由十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)

的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ).例如，在半血上，點(diǎn)產(chǎn)（不）。和點(diǎn)Q（孫丹）的曼哈頓距

離為：L股=歸一百+|凹一%|.若點(diǎn)P（X，Y）為。：/+），2=4上一動(dòng)點(diǎn)，。（0丫2）為直線(xiàn)/：米一y-2攵-4

=0（%H-《,2］）上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)〃女）為尸，2兩點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值，則的可能取值有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】ABC

【分析】

直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)Q,-4）,畫(huà)出圖形，對(duì)出分類(lèi)討論并借助導(dǎo)數(shù)求出〃口的取值范圍即可作答.

【詳解】

直線(xiàn)/：丘一y-2A-4=0供e［_g,2］）恒過(guò)定點(diǎn)人（2,-4）,

122+4131

由點(diǎn)（0,0）到直線(xiàn)區(qū)一y—2&-4=0的距離5=V>2得攵>—=,即直線(xiàn)/:去一》一2攵—4=0（丘［—不2］）與

圓相離，

（1）當(dāng)【的斜率上滿(mǎn)足因<1時(shí)，作出一條縱截距為負(fù)數(shù)的直線(xiàn)平行于/,如圖：

要使得4Q最小，P應(yīng)位于切點(diǎn)處，作PC1X軸交直線(xiàn)/于點(diǎn)C,過(guò)。作直線(xiàn)。8_LPC于點(diǎn)8,

當(dāng)Q位于點(diǎn)。的左方時(shí)，^0=lPB\+\QB\>\PC^L^,當(dāng)。位于點(diǎn)C的右方時(shí)，同理也有￡叨>￡代，于

是有L(k)=Lpc,

設(shè)直線(xiàn)y=與圓相切，則有辭3=2=>￡=-2)［;淳，即切線(xiàn)的縱截距f=一2?^，而直線(xiàn)/的縱

截距為—2A-4,

L(k)=LK=-2V1+F-(-2攵-4)=2"2y1+公+4

r(^)=2—=2=k>0,〃&)在［-人1］上遞增，L⑴=6-2&,以一4I)=3-石：

J1+上22

(2)當(dāng)/的斜率2滿(mǎn)足Ac(l,2］時(shí)，作出一條縱截距為負(fù)數(shù)的直線(xiàn)平行于/,如圖:

要使得4Q最小，尸應(yīng)位于切點(diǎn)處，作尸C_Ly軸交直線(xiàn)/于點(diǎn)C,過(guò)Q作直線(xiàn)QB_LPC于點(diǎn)8,

當(dāng)。位于點(diǎn)C的左方時(shí)，當(dāng)。位于點(diǎn)C的右方時(shí)，同理也有(Q>%C,于

LPQ=\PB\+\QB\>\PC\=LPC,

是有L(k)=LPC,

設(shè)直線(xiàn)丁=履+，與圓相切，貝I」有點(diǎn)生=2n，=-27i7F,即切線(xiàn)的橫截距」=如1土￡,而直線(xiàn)/的橫

也+Hkk

4

截距為2+：,

k

L(k)=L=2+----------

pckk

4221

〃伏)=下+&2"+&2=謨(J"r一2"。，L/)在［1,2］上遞減，L(1)=6—20,L(2)=4-逐,

綜上得L伏)e［3-逐,6-2加］,則選項(xiàng)ABC滿(mǎn)足.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：處理直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線(xiàn)的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程

中含有參數(shù)，或圓心到直線(xiàn)的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法.

21.（2021.廣東茂名.高三月考）已知曲線(xiàn)C：MX+y|H=l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線(xiàn)x+y=o與曲線(xiàn)。沒(méi)有公共點(diǎn)

B.直線(xiàn)與曲線(xiàn)C最多有三個(gè)公共點(diǎn)

C.當(dāng)直線(xiàn)工+尸加與曲線(xiàn)C有且只有兩個(gè)不同公共點(diǎn)/?（5,凹），g（孫先）時(shí)，x也的取值范圍為卜8,）

D.當(dāng)直線(xiàn)x+y=加與曲線(xiàn)。有公共點(diǎn)時(shí)，記公共點(diǎn)為由芍,封（他*）.則￡>的取值范圍為（o,忘）

【答案】ACD

【分析】

由題設(shè)討論乂y的符號(hào)得到曲線(xiàn)。的不同方程，結(jié)合所得方程對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合直線(xiàn)%+y=。、=機(jī)

并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，判斷它們與曲線(xiàn)c的交點(diǎn)情況，并根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的不同求交點(diǎn)橫坐標(biāo)之積或和的

范圍.

【詳解】

x2+y2=l（x>0,y>0）

由題設(shè)得：曲線(xiàn)C為b2_y2=i">o,y<o）,

/-x2=l（x<0,y>0）

A：由X+y=0是f-y2=1和y2-X2=1的漸近線(xiàn)，且x+y=o與f+y2=］（%之0,丁之0）沒(méi)有公共點(diǎn)，故正確：

B：由A中的分析知：x+y=，〃與曲線(xiàn)C最多有兩個(gè)公共點(diǎn)，故錯(cuò)誤；

c：由圖可知，若x+y二”與曲線(xiàn)c有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)ovmv夜時(shí)，/+>=陽(yáng)與曲線(xiàn)c有兩個(gè)公共點(diǎn)出方方），6（七,％），

由對(duì)稱(chēng)性知，片（玉,凹），鳥(niǎo)（孫先）關(guān)于直線(xiàn)，=?*■對(duì)稱(chēng)，貝巾凹一出，

（1）當(dāng)0cm<1時(shí)，-oovx/2<0.

22i

（2）當(dāng)iwmvjl時(shí)，由百，芍，則=f<為；、'=、?

（3）當(dāng)m=0時(shí)，直線(xiàn)/與曲線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合題意.

（4）當(dāng)利〉正或加40時(shí)，直線(xiàn)/與曲線(xiàn)C無(wú)公共點(diǎn)，

綜上可知，C正確;

D：由C的分析，0vm<a時(shí)x+y=/n與曲線(xiàn)C有且只有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則￡耳=%+9=內(nèi)+乂=用

即0<￡為〈應(yīng).

/=1

（等，白）.此時(shí)￡玉=日武0,\/5）.故正確.

“Im=應(yīng)時(shí)，x+y=〃?與曲線(xiàn)c只有一個(gè)公共點(diǎn)，此點(diǎn)為

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

x2+j2=l（x>0,j>0）

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先討論x，y的符號(hào)得到曲線(xiàn)c為卜_y2=i（x>0,）Y0）,再由各曲線(xiàn)的性質(zhì)，研究與直線(xiàn)

y2-x2=1（x<0,y>0）

x+y=m的其交點(diǎn)情況.

22.（2021?重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試-新課標(biāo)試卷）如圖，P為橢圓G：￡+[=]上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作

OO

橢圓G的切線(xiàn)交圓&：/+產(chǎn)=24于M,N,過(guò)M,N作G切線(xiàn)交于。，則（)

A.SeQPQ的最大值為石

B.的最大值為苧

2

C.。的軌跡方程是工+匕-

36

482

D.。的軌跡方程是工+2_-

96

72

【答案】AD

【分析】

設(shè)出產(chǎn)（%X）,Q（孫〃），根據(jù)橢圓和圓的方程分別寫(xiě)出MN所在的直線(xiàn)方程，從而求出〃i-3%〃-4必，代入

橢圓方程即可求出。的軌跡方程是《+上=1;根據(jù)尸到直線(xiàn)@2的距離求出△OPQ的面積，從而利用基本

7296

不等式求最值.

【詳解】

設(shè)?（卬Y），Q（〃?，〃），則切點(diǎn)弦MN所在的直線(xiàn)方程為mx+ny=24,

又因?yàn)镻為橢圓上的一點(diǎn)，所以切線(xiàn)MN所在的直線(xiàn)方程為誓十歲=1,

OO

,即切=3內(nèi)，〃=4,，

8'246

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