高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化課筆記-武忠祥老師的強(qiáng)化班課程

21高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化課?武忠祥老師的強(qiáng)化班課程筆記

?武忠祥老師的強(qiáng)化班課程

?函數(shù)極限連續(xù)

?函數(shù)

?基本要素：定義域，對(duì)應(yīng)規(guī)則

?函數(shù)形態(tài)

?單調(diào)性判定

?定義

?導(dǎo)數(shù)，

①/(工)>0(<0)=>f(z)單調(diào)增(單調(diào)減)；

②f'Q)》0(40)0/(n)單調(diào)不減(單調(diào)不增).

?單調(diào)性應(yīng)用

?根的個(gè)數(shù)

?證明不等式

力十席功上)，。

jj?:0.襁今護(hù))>

?奇偶性判定

?定義

【注】(l)sinjr.tanx.arcsinx.arctanj.ln；,ln(x4/I+，).?/(x)—

/(—x)都是專品數(shù);工’，IxI,cosx,/(x)+/(—x)都是偶，，效.

?可導(dǎo)

(3)連續(xù)的奇函數(shù)其原函數(shù)都是偶函數(shù)；

連續(xù)的偶函數(shù)其原函數(shù)中有唯一一個(gè)是奇函數(shù).

?原函數(shù)奇函數(shù)>導(dǎo)函數(shù)偶函數(shù)

?原函數(shù)偶函數(shù)》導(dǎo)函數(shù)奇函數(shù)

?連續(xù)

(1)若/(幻是奇函數(shù)，則」/(￡)出是偶函數(shù)；

Jo

(2)若人外是偶函數(shù)，則'/(E)力是奇函數(shù).

Jo

?周期性判定

?定義

?可導(dǎo)的周期函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù)

?周期函數(shù)的原函數(shù)不一定為周期函數(shù)

?f(x)連續(xù)且以T為周期

F⑺是以T為周期的周期函數(shù)=0.

?周期函數(shù)的原函數(shù)是周期函數(shù)的充要條件是在一個(gè)周期上的積分為0

二/；"撲)及

?有界性判定

?定義

若/,|/(公|《“,則稱/包)在1上有界.

?閉區(qū)間連續(xù)

?開(kāi)區(qū)間連續(xù)，左端點(diǎn)右極限和右端點(diǎn)左極限存在

fCr)在.(a,b)上連續(xù)，且f(a+)和八方)存在

?導(dǎo)數(shù)

：4)/(工)在區(qū)間/(有限)上有界=/(外在I上有界.

?極限

?數(shù)列極限

limx?=a：Ve>0,3N(e)>0,當(dāng)時(shí)，有\(zhòng)xn—a\<e.

?極限值等于多少與數(shù)列前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)

?與項(xiàng)數(shù)無(wú)關(guān)

limz”=a㈡limzzi=lim以=Q.

ao卜4-DO

?函數(shù)極限

?趨于無(wú)窮

lim/(z)=A：V￡>0TX(￡)>0,當(dāng)|x|>X時(shí)，有|/(x)-A|<?.

【注】在函數(shù)極限中工一8是指|X|一+8,而在敗列極限中.”—8是指“f+8.

?趨于有限值

（1）極限lim/⑴=4'九＞07制￡）＞0,當(dāng)0＜；工一4|＜8時(shí),有|/包）一人l＜e.

?極限存在與該點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與該點(diǎn)的去心領(lǐng)域有關(guān)

【注】的數(shù)/（外在點(diǎn)工0處的極限是否存在，如果存在極限值等于多少僅,5/（工）在打點(diǎn)

的去心鄰瓏內(nèi)的西數(shù)值有關(guān)，而與人工》在4是否有定義,加果有定義的數(shù)值等于

多少無(wú)關(guān).

?分左右極限求

?分段函數(shù)在分段處極限，兩側(cè)極限不一樣

?特殊函數(shù)

（2）e°°型極限（如lime+jiml/imer）.

X—0H-OOX-^8

JJ

lime7=0,lime7=+8,則Hme；不存在；

一（T-o+L0

limer=0,limeT=+oo,則lime'不存在.

了―^-OOJf-^+oO1―＞8

「

e0°豐oote^'=+oc.-0.

?2

(3)arctanoo型極限(如limarctan—,limarctanx).

工—0Xx-??0

limarctan-=一1?limarctan-=則limarctan—不存在；

2-i2一“x2*-ox

limarctan工=--y,limarctanx--y,則limarctanx不存在.

■—O04?+oo4*9oo

arctanoo+,arctan(4-oo)=-y,arctanC-oo)7T

V

?性質(zhì)

?局部有界性

遍煦fg林今投班曲解

物私蒜，衣始珠渺峭

粉「二期小去機(jī)1^依）名］

巴咐姆面八處喇.

?保號(hào)性注意等號(hào)

設(shè)lim/（x）=A,則

一。

（1）若4〉0（或八＜0）=＞三＜5＞0,當(dāng)工6U（.xa,6）時(shí)JGr）＞0（或人6VO）.

（2）若觸＞0,當(dāng)工W加工。⑶時(shí)，/《工》》。（或人工）40）"*八》0（或八40）.

?無(wú)窮大

?常用無(wú)窮大比較指鬲對(duì)（大到?。?/p>

（1）當(dāng)N—+8時(shí),瓜2《〃《相（其中a>O,￡>O,a>l）.

（2）當(dāng)“f8時(shí),]n”《/《/《”！《〃"（其中a>O.S>O,a>1）.

?無(wú)窮大與無(wú)界變量

?無(wú)窮大=>無(wú)界變量

無(wú)窮大量一定是無(wú)界變量;但無(wú)界變量不一定是無(wú)窮大量.

n?ii為奇數(shù)

u,田》是無(wú)界變量，但不是無(wú)窮大?

i0，〃為偶數(shù)

?與無(wú)窮小互為倒數(shù)

?求極限方法

?有理運(yùn)算法則

若lim/Cz)=A,limg(x)=B,則

limff(z)±g(z)[=±limg(x)=A±B；

limf/(x)?g(x)]=lim/(x)?limg(x)=A?B；

lim』母=|嗎~(BW0).

g(N)hmg(NR)B

推論：(D若limf(z)=AK0,則

Iim/(z)g(x)=Alimg(x)；

（即：極限非零的因子的極限可先求出來(lái)）一

⑵若.留存在，且hmgG"。,則⑺=。；

(3)若lim=AW0,且lim/(x)=。,則limg(i)=0.

【注】若lim/(x)存在Jimg(z)不存在，則lim[/(x)土g(z)j一定不存在；

若lirn/(x)和liing(x)都不存在?則lim[/(x)±^(x)]不一定存在.

?基本極限

hm迎三lirn(1+')=ej

hlim(1-f-x)*—

上?0X\X/

lim------=Ina(a>0)；limy/n=1)

x*e0X

冊(cè)n—m

bm'

lim0口"?-----Faiz+a。

-bk+6丁1工“I+…+"工+仇0,n<m

8，n>m

0,1X|<1

0,x<0

8,IX|>1

；lime"=v+0°?x>0.

1,X=1A00

1,%=0

、不存在?x=-1

?三價(jià)無(wú)窮小

?常用

(1)N?sin工?tanx?arcsinx?arctanx~ln(l4-r)?e*-1,

優(yōu)-1?xlna.

x-ln(14-x)?專，

事實(shí)上由??—從而有

r-?inr*w—6?nrrtin($inr)—sinr=66?arcsinr-x**?

/；同理可由“一■《找得工一x?

oUnx?oarctanS

?積分情況

設(shè)f(工)和g(x)在工=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且lim=1,則

…g\x)

/〃)&?g(z)dr

00

?代換原則

?乘除直接換

1)乘、除關(guān)系可以換

若a?tn,夕?由，貝?。輑im告=lim號(hào)=lim呆=lim

PPPiPi

?加減有條件減不為正1,加不為-1

(1)若a~ai,B?，且lim詈—A卉1.則a—0?ai—6\.

(2)若a~a\，B?，且Hm誓=A工一1.則a+§?s+尺.

Pi

?洛必達(dá)

若(1)lim/(x)=limg(x)=0(oo)；

(2)/(x)和gCr)在死的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且/(工)WO；

(3)lim存在(或°°);

-Fg(工)

則lim/，個(gè)=lim

工一為g(土)lm°g(Rx)

【注】洛必達(dá)法則可用來(lái)求7種臭型不定式的極限，即,磴,8—8,0.8,廣，8。，0。，

其中料兩種w6接用洛必達(dá)法時(shí),后五鐘埼可化為前兩種.

(「

0OOJ0?8U,8.

0‘8][QO

OO-OO

?泰勒公式

定理(帶Pean。余項(xiàng)的泰勒公式)設(shè)人工)在工工工。處n階可導(dǎo)，則

/(x)=/(Xo)+/(Z9)(X—J^)+^y^(x—Xo)1+-+^^(x—x,)*+o<(x—x?),)

特別是當(dāng)4=0時(shí)，

/(x)=/(0)4-/(0)z+粵…+守…工?)

?常用

(l)eT=1+N+余+…+5+。(]”)?

2!n!

(2)sinx=x-yr+???+(-1尸73^——+o(x2"-

3!-D!

(3)cosx=1—今+…+(一])"、[+o(x2").

L!\Ln)J

(4)ln(l+x)=z—5+…+(—l)i—+o(x").

乙n

?夾逼

1-2.±_：二+曾<1+2+...+n]v1+2+???+力

n2+n&1/+1十/+2十+M+八5

?積分定義：先提取可愛(ài)因子再確定被積函數(shù)和積分區(qū)間

【注】由定積分定義可川?若將區(qū)間[0.1]〃手分，第左個(gè)子X(jué)間上的&取該子區(qū)間;6

地點(diǎn)?此時(shí)Ar,l,，&="，則

nn

J：—網(wǎng)&c,=!*?(；)?7-哈卻U)

?單調(diào)有界

?函數(shù)極限題型

?0/00比0型

型極限

常用的方法有三種

(1)洛必達(dá)法則；方

(2)等價(jià)無(wú)窮小代換；一

(3)泰勒公式.?-

以上三種方法使用的同時(shí)要注意將原式化簡(jiǎn)，常用的方法*極限非零的因子圾及先求

出來(lái)、有理化及變量代換等...…..一—

【注】當(dāng)工-*0時(shí)?，(1十工廠一1?az,這個(gè)結(jié)論推廣可捋，若a(x)-?O,a(x)^(x)-*?

0,時(shí)

(l+a(z))**H-1~a(x)/?(x)

由此可得(1+工廠-1~X*.

?拉格朗日中值定理

?加減X來(lái)湊常用等價(jià)無(wú)窮小

?無(wú)窮/無(wú)窮

?洛必達(dá)

?分子分母同時(shí)除以分子分母各項(xiàng)中最高階的無(wú)窮大

2.常用的一些無(wú)窮大的比較

(D當(dāng)zf+8時(shí).ln-x《/《a*(其中a>0,夕>0,?>1).

(2)當(dāng)〃?*co時(shí)JnF《"《a?《n!《n”(其中a>0,^>0,a>1).

?無(wú)窮一無(wú)窮

(1)通分化為9(適用于分式差)；

(2)根式有理化(適用于根式差)；

(3)提無(wú)窮因子，然后等價(jià)代換或變量代換、泰勒公式.

?0?無(wú)窮

常用的方法是化為“「型或“”型

?1的無(wú)窮次方

(1)類(lèi)基本極限lim.1+a(z)二六=e，其中l(wèi)im<p(x)=0(.(R)#0);

(2)改寫(xiě)成指數(shù)=lim/nw,用洛必達(dá)法則；

(3)利用結(jié)論：若lima(x)=0Jimj8(x)=8,且lima(工磔工)=A,則

lim[14-a(x)]Mx)=J

以上三種方法往往第三種方法簡(jiǎn)單，將其歸納為三步曲

第一步：寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)型原式=|im(l+a?;

第二步：求機(jī)限lim^3—Ai

第三步：寫(xiě)結(jié)果原式=5.

?無(wú)窮的。次方，0的無(wú)窮次方

這兩拜極案的函數(shù)一定是靠指函數(shù)，即lim[/《H)尸叫求解的方法是將其改寫(xiě)成指數(shù)

形式尸0—limE—,從而就化為“0?8”韁極R.

?數(shù)列極限

?不定式

?和求函數(shù)極限式一樣，但是不可以直接使用洛必達(dá)法則，在可以使用洛必達(dá)的地方，將數(shù)

列極限寫(xiě)成函數(shù)極限，再使用洛必達(dá)極限

?n項(xiàng)和的數(shù)列極限

?夾逼定理

?定積分定義

?級(jí)數(shù)求和

【例I】求極限!皿事十出十???+$).

【解】由于由《($+$十…十』標(biāo)』，

且四號(hào)二%』=1'則四「為+…

【例2】求極限則(事+$+..?+$).

n

【解】人—2-

'M+2?+…+

【注】(1)用定積分定義求極限的一種常用且有效的方法是先提“可愛(ài)因子”一?,然后

再分析被枳擊數(shù)和枳分區(qū)間,一種常見(jiàn)的極限式

㈣寡庶)=。⑺%

(2)以上兩個(gè)例題嘉是”友和的數(shù)列極限，但一個(gè)適合用央退原理,而另一個(gè)適合川定

積分定義.它們的本質(zhì)區(qū)病在哪兒呢？它們分母中的第一項(xiàng)都是產(chǎn)，不障看的變化而邙匕,

稱其為，而分號(hào)中的第二項(xiàng)是隨項(xiàng)的變化而變化，稱其2.［例I］中的

變化存分是由1變到“，*最大值”與“主體部分/相比較是次量蝮，即lim：=O；【例2】

n

中的變化部分是由1,變到"，其最大值/與其主體4分/相比較是同量級(jí).印lim彳

?-^on

=1工0：［上的逑，上里化一分的?大值Jg其主體。分相比電|決.o聞賓￡?建：番

當(dāng)變化部分的最大值與其主體/分相比較是同■名就用定積分定義

?常用結(jié)論

【例6】證明lim-；+Q；+…+a：=mjax{a},其中a->0(i=1，2.-,?m).

w-*uo1V，4?

【解】令max(aj=a,則

a=\/a^&J”；+*+…+a；&y/man—yfma

又limVrn=1,則由夾遍原理知

9t—8y

lim抽；+/H-------Fat—a=max{a,}

力-?8

?n項(xiàng)連乘的數(shù)列極限

?夾逼

?取對(duì)數(shù)化為n項(xiàng)和

?遞推關(guān)系

Ji—a，，”-/（］“）（〃=1.2,…）定義的數(shù)列

?數(shù)列存在單調(diào)性

?收斂（單調(diào)有界準(zhǔn)則）＞令極限取A＞帶回遞推關(guān)系取極限得到A

方法I：先證數(shù)列（工，｝收斂（常用單洞有界準(zhǔn)則）.然后令hm，=A,等式工加-/（X.）

兩選取極限得A=f（A）,由此求得極果A.

?數(shù)列不具有單調(diào)性或者單調(diào)性很難判定

?先令極限為A,帶回遞推關(guān)系得到A的值，最后再證明極限為A

方法2：先令limz,=A.然后等E一7（i.j兩墻取圾未解泮A,律。極下：

L8

果,最后再證明limz,=A.

ao

?單調(diào)性判定（直接，比值，函數(shù)）

（1）若工卡一二》o（4o）,則｛，｝單調(diào)增（單調(diào)減）；

⑵設(shè)｛4｝不變號(hào),

①若二＞0,則當(dāng)餐?21（41）時(shí)/占）單調(diào)增（單調(diào)減）；

②若二V0,則當(dāng)—21（41）時(shí)，｛三｝單調(diào)減（單調(diào)增）；

二

（3）設(shè)數(shù)列（工力由工1==/（x.Xn=1,2,…），n”W/所確定，

①若/（力在/上單調(diào)增，則

當(dāng)W與時(shí)，｛/.｝單調(diào)增；當(dāng)Xi，Z2時(shí)，｛工.｝單調(diào)減；

②若八戶在I上單調(diào)減，則｛九）不單調(diào).

?無(wú)窮小量階的匕徽

?洛必達(dá)

（1）洛必達(dá)法則（求導(dǎo)定?。?

若當(dāng)工-0時(shí)/（工）是無(wú)窮小量，且,（工）是工的A（/》0）階無(wú)窮小，則人工）是z-

0時(shí)的A+】階無(wú)窮小量.

?等價(jià)無(wú)窮小

（2）等價(jià)無(wú)窮小代換.

若當(dāng)工―0時(shí)/（x）是無(wú)窮小量,且/（x）-Ax'lAO.ft＞0）,ft/（x）是z-*0時(shí)

的k階無(wú)窮小量.

如當(dāng)x-*0.（1—cosx）sinx??1-x：?工，則當(dāng)z-*0時(shí).（1—cosx）sin工是工的3

，階無(wú)窮小.

（利用若他得=1,則I'）⑺d/?『，⑺市,其中網(wǎng)“幻=0）

?泰勒公式

?常用結(jié)論及舉例

【解5】（結(jié)論：苫〃外在工=0的某鄰域內(nèi)連續(xù),且當(dāng)工-0時(shí)/（力是工的，”階無(wú)窮小.

以外是工的n階無(wú)窮小,則當(dāng)工?0時(shí)FG0-「'/（八山是工的獻(xiàn)m+1）階無(wú)窮小〉

對(duì)于a=［嚴(yán)s=o,〃=1,則+1）=1；

fx：|

對(duì)于夕=tan〃ck,7n==2,則〃（m+1）=3；

Jo4

對(duì)于7=sin，d,m=3,〃=工，則〃（m+1）=2；

JoL

?連續(xù)

?連續(xù)

若lim/（z）=/Czo）（或lim&y=0）,則稱f（工）在土處連續(xù).

*一為2—0

左、右連續(xù)概念:若1加八外=/（“。）?則稱/（外在死處左連續(xù).

若lim/Q）=/（.□）,則稱f（.r）在一丁「處右連續(xù).

*-石

定理/（力連續(xù)Cf（外左連續(xù)且右連續(xù).

?間斷點(diǎn)

若/（X）在X。某去心鄰色有定義，但住，處不連續(xù)?則稱點(diǎn)工M為函數(shù)/（X）的間斷點(diǎn)

2.間斷點(diǎn)的分盤(pán)一—

我的根據(jù)左、右極限型否都"件把間斷點(diǎn)分為以下的卷：

（1）第一類(lèi)間斷點(diǎn):左、右極限均存在的間斷點(diǎn)

可去間斷點(diǎn)：左、右極限存在且相等的間斷點(diǎn)，

跳躍間斷點(diǎn)：左.右描限假在在但不相等的間斷點(diǎn).

（2）第二類(lèi)間斷點(diǎn):左、右極限中至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)

無(wú)窮間斷點(diǎn)：左、右極來(lái)中至少行個(gè)為無(wú)窮?如I-。為/（"-+的無(wú)窮間斷點(diǎn)，

次藩間斷點(diǎn)：如丁=0為/<r）-sin:的振蕩間斷點(diǎn).

?連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

①有界性：若八外在上用上連續(xù)，則/（x）在［a,6］上有界?

②量值性：若/<x）在［“］上連續(xù)，則/（x）在［a,6］上必有最大值和最小值.

③介值性：若八外在I。.*］上連續(xù)，且/⑷X/⑹，則對(duì)/（a）與，⑹之間任一數(shù)C

至少存在一lye熊,&》，使得/“）-c.

推論：若八外在［。?“］上連續(xù).則/（x）在［明必可取到介于最小值?與最大值M之間

的任何值.

（4）零點(diǎn)定理：若7（r）在［a同連續(xù),且/（a）./⑹V0,則必存在f6（。曲,使/（$）=0.

?連續(xù)題型

?討論連續(xù)性及間斷點(diǎn)類(lèi)型

?函數(shù)連續(xù)不代表可以取到整個(gè)實(shí)域的所有值

?如果題目中間是抽象函數(shù)，只給了條件，沒(méi)給具體函數(shù)，可以將函數(shù)令為簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)排

除選項(xiàng)，如函數(shù)等于1，岡等

?間斷點(diǎn)多為使得分母為0的點(diǎn)，分段函數(shù)的分界點(diǎn)，多注意無(wú)窮(正負(fù))，0點(diǎn)

?介值定理，最值定理，零點(diǎn)定理證明

?一元函數(shù)微分

?導(dǎo)數(shù)微分

?導(dǎo)數(shù)定義

設(shè)函數(shù)y=八公在工。的某鄰域內(nèi)有定義，如果極限

lim"=］而/(工。+△」)-/(ZQ)

?等價(jià)形式

小)=lim,小)=］而八工。土人口5)

x-*x01-Ro**0n

?注意分段函數(shù)

定理可導(dǎo)Q左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.

?微分定義

定義若43=八啟+2)一八4)=八》+08工3其中人為不依處于&r的常數(shù)，

則稱函數(shù)八工)在點(diǎn)工處可微，稱A2為函數(shù)八戶在點(diǎn)工。處相應(yīng)于自變！ft增宏Ar的微分，

記為dy=AAr.

定理函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)4處可微的充分必要條件是/(x＞在點(diǎn)工0處可導(dǎo)，且有

dy=f(工.＞2=/(xn)dx

?連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系

【拄】＜i＞連^t?可導(dǎo)，逢續(xù)—?可撤.經(jīng)典反例為r(x)-Ixh

(2)/(x)可導(dǎo)一?/(x)連埃,/(工)可導(dǎo)T*/Gr)連續(xù)，/(幻可導(dǎo)T*lim/(x)存在.例

L、

/sinLn/0

如/(x)=工比處可導(dǎo)?但limf(n)不存在，從而/(力在工=0處也不逢埃.

*-0

0,x=0

?求導(dǎo)公式

⑴(C)'=0；(2)(x*)Z=ari.

(3)(1)'=aTlna；(4)(e，)'=er;

(5)(1。&])'=—：---；⑹(In|x|)z=—?

xlnax

⑺(sinx)z=cosx;(8)(cosxY=-sinxi

(9)(tanxY=sec2(10)(cotxY=—csc2xi

(11)(seex);=seorlanz;(12)(csc工〉'——escxcotx;

(13)(arcsinxY=(14)(arccosxY--------.1j

1

(15)(arctanxY=]+工2(16)(arccotxY=--、■.

?求導(dǎo)法則

?有理運(yùn)算法則

設(shè)"=M(X)fV=V(X)在Z處可導(dǎo),則

(1)(M±v)f=〃'±J；(2)(?y)=IIV+UX)'；

(3)與，=在泮(叱0).

?復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

設(shè)u=「(外在工處nJ導(dǎo).y=/(?)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=/(?(x)＞在?r?處

可導(dǎo)，且

半半?半r(?v(x)

drdr/dr

?隱函數(shù)求導(dǎo)

設(shè)是由方程nJ?y)?。所確定的可學(xué)函數(shù)?為求得，，可在方程FGr，W=0

兩邊對(duì)工求導(dǎo)?可得到一個(gè)含有V的方程,從中解出y即可.

，也可由多元函致微分法中的照函數(shù)求學(xué)公式有一一歲洱到.

?反函數(shù)求導(dǎo)

若n=MW在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)?且W'(，)Ko?則箕反函數(shù)y-人力在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)

也可導(dǎo)，且

，“)=為或器=古

d?

?參數(shù)方程求導(dǎo)

設(shè)1yLy(力是由參數(shù)方程rQVzV汾確定的函數(shù).則

[y=

(1)若a⑴和3⑴都可導(dǎo)，且，⑺wo,則

d,_.

dx.⑺

(2)若6。和歐(D二階可導(dǎo)，且甲'⑺R。，則

d，_&/"Q).1____J'(Og'C)]—

di?dzlg(/)J,(￡)(p3(z)

?高階導(dǎo)數(shù)

⑴定義—=hm—.牛一尸《。)…￡二"付)一/-'5).

Ar-0△1l―工一工0

(2)常用公式

0(sinr)*"*=sin(r+ny)j②(cos=cos(x-bn-y)j

4L

■

③(U±/P-土齦；④(皿〉g=2C：U⑴u'i.

i-0

?對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則

?多個(gè)因式的乘除、乘幕構(gòu)成，或者幕指函數(shù)的形式，可以先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)

?題型：導(dǎo)數(shù)與微分的概念

?利用導(dǎo)數(shù)定義求極限

?利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)

?分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一般都要用定義求

?利用導(dǎo)數(shù)定義判定可導(dǎo)性

【注】由本盟的分析過(guò)甚也得到一條常用的結(jié)論；沒(méi)/<x>=夕工一.其夕(工>

在工=a處連續(xù),則/《工)在工=a處可導(dǎo)的充安條件是w(a)=0.

【注】在本題息砒上對(duì)的故/(X)和|八工)|可導(dǎo)桂之間的關(guān)系歸納如下：

1.八工)可導(dǎo)空If(力I可導(dǎo)?反例分別是八幻?工和"力"I：'1[I

2.設(shè)/Xz)連續(xù)，

若/(死)/0,則/(x)在工。處可導(dǎo)在]。處可導(dǎo)，

若/(x0)=。，則/'(?>)=0Q|f(H)|在備處可導(dǎo).

?導(dǎo)數(shù)幾何意義

?導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算

?復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

?導(dǎo)數(shù)與奇偶性

【例1】設(shè)f(z)=In(x4-J\+?),則//(0)=.

【解】應(yīng)填6

因?yàn)?(X)為奇函數(shù),，(N)為偶函數(shù),/'(工)為奇函數(shù)，則r(0>=0.

?復(fù)合函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值

(2)ity=/(n),u=g(x),u?一晨工15)，如果8'(A)和/'(右)都存在，則丁―/(晨工))

在4處可導(dǎo)，且興二=八為)-，如果Vg和.，(%)至少有一個(gè)不存在，好

y=/(g(r?4x)處并非一定不可導(dǎo)，此時(shí)，先求出復(fù)合函數(shù)y=f(gGr))的友達(dá)式，然

后再進(jìn)一步考察y?/(g(z))在工。處的可導(dǎo)性.

?乘積的極限不一定等于極限的乘積，當(dāng)兩個(gè)極限都存在的時(shí)候才可以

?高階導(dǎo)數(shù)

?公式

?一階二階之后歸納

?泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)

①泰勒級(jí)數(shù)

/(x)=+/(j?)(x-Xo)/----卜工一見(jiàn)尸-!-o((x—*?),)

?導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

?微分中值定理

圖2-4

?羅爾定理

羅爾定埋：設(shè)/（工）60，切上連續(xù).在（。.6）內(nèi)可尋.且八。）=八6），那么至少存在一個(gè)

$6（。,6）,使/（￡）=0.

?拉格朗日定理…建立函數(shù)在區(qū)間上的變化與該區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

拉格的日定理：設(shè)義工）在［＞.￡］上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，那么至少存在一個(gè)（a,6）.

便.=/（e）

b-a

?柯西定理

柯西定理：設(shè)義工）,式外在［a,盯上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),且g'（幻二0,那么至少存在

一個(gè)"（3使簿篇=謂

?泰勒定理（拉格朗日余項(xiàng)）

設(shè)義工）在區(qū)間I上n+1階可導(dǎo)，刈eI，那么Y工￡］,至少存在一個(gè)《使得

/（j）=/（Xo）+/^（x,）（x—Xo）\x-X0）1+???4-^\x-Jo）"+K.（i）

其中R.（--捍畏a-g）E，E在人與i之間.

?極值最值

?極值的必要條件

設(shè)》=/（x）在點(diǎn)名,處可導(dǎo)，且&為/（x）的極值點(diǎn)?則/（Xo）=c.

通常把導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).

?極值的充分條件

?第一充分條件1

設(shè)，（劭）=。（或/《外在”，處連續(xù)），且在右的某去心第域。（工0,冷內(nèi)可*

（D若工e一陽(yáng)工?時(shí),/（工）＞0,而工w（4+3）時(shí)/《力＜0,則/（x）在X.

處取得極大值；

（2）若工€（J?-a.x?）時(shí)，r（力V0?而z6Cr,，工。+8）時(shí)./（x）＞0?則/（x）在工.

處取得極小值；

（3）若工WU（,xt.3f時(shí)?/G）的符號(hào)保持不變,則/（x）在毛處沒(méi)有極值.

?第二充分條件

若r（xo＞?=o,ru）*o.wf（a）在x（處取得極值，其中當(dāng)r（6）＞o時(shí)極小，當(dāng)

r（］。）V。時(shí)極大.

?第三充分條件

若/（Xo）=fg-…=r-nU）=O./'^Xo）豐0,則

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)J（N）在斯處有極值?其中r'Gc）＞0時(shí)極小,廣°（馬）V。時(shí)極大；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)./G）在xo處無(wú)極值.

?凹向拐點(diǎn)

判定若在區(qū)間/上/'69＞0（＜0）,則曲線*=f（z）在I上是凹（凸）的.

定義如果連蟆曲線）-/（.r）在點(diǎn)（n,/（右））鄰近兩擲凹凸性相反，剜林點(diǎn)（，，

義工。））為曲線》=/（工）的拐點(diǎn).

?判定

?必要條件

（1）必要條件設(shè)》=/（1）在點(diǎn)及處二階可導(dǎo)?旦點(diǎn)Cr,JGO）為曲線y=〃力的拐點(diǎn)，

則fCto）=0.

?充分條件

（2）第一充分汆件設(shè)y=/（x）在點(diǎn)入的某去心鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且/*《工。）=。（或

八工）在々處連續(xù)）.

①若廣（工）在工。的左、右兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)（⑥?/（%））是曲線y=八工）的拐點(diǎn)；

②若/（X）在Q的左、右兩側(cè)同號(hào),則點(diǎn)（“,，/"（馬））不是曲線y-/（x）的拐點(diǎn).

（3）第二充分條件設(shè)y=/（x）在點(diǎn)的處三階可導(dǎo)，且＜（To）=0.

①若r（x0）#0,則點(diǎn)BJ（xo））是曲線y=/（X）的拐點(diǎn)；

②著r（xo）=o,則此方法不能判定（』，/（%））是否為曲線y-Ax）的拐點(diǎn).

（4）第三充分條件若尸（工。）=尸（工。）=…=/1"工。）=o,但/,,（工）工0（”之

3）,則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí).點(diǎn)（zoJGQ）是曲線y=/（x）的物點(diǎn)?當(dāng)”為倒數(shù)時(shí)，點(diǎn)（工。JQ。））

不是曲線y=/＜x＞的拐點(diǎn).

■漸近線

?水平漸近線

若limfCr）=A（或lim/Cr）=A,或lim/（x）=A）,那么y=A是T=/（z）的水平漸近線,

?-*00?一■8r???

?垂直漸近線

若lim/Q）—8（或lim/Xz）=8,或］而f（x）=8）,那么工=彩是y-/（x）的垂直漸

一、L二T

?斜漸近線

若lim-a,lim（/（x）-ax）=6（或z8或工-*4-oo）,那么y=az+b是

r--XA—

-/（x）的斜漸近線.

?方程的根的存在性及個(gè)數(shù)

?方法

1.存在性

方法1;零點(diǎn)定理；

方法2：羅爾定理.

2.根的個(gè)數(shù)

方法1：?jiǎn)握{(diào)性；

方法2：羅爾定理推論.

?注意把函數(shù)化到一邊來(lái)求零點(diǎn)

?將含有參數(shù)的式子參數(shù)分離出來(lái)

?羅爾定理

若在區(qū)間/上尸，7)聲0,則方程八為=0在，上最多〃個(gè)實(shí)根.

?證明函數(shù)不等式

?方式方法

?單調(diào)性

?最大最小值

?拉格朗日定理

拉格期日定理：設(shè)人力在[a,6]上連續(xù),在Q.6)內(nèi)可導(dǎo),那么至少存在一個(gè)EE(a,6).

使”小)工/(€).

。-a

?泰勒公式

設(shè);'(工)在區(qū)間I上n+1階可導(dǎo),工。G八那么VH￡I,至少存在一個(gè)？使得

/(X)=/(Xo)+/(Xo)(X-Xo)+^y^(X-Xo)t+-+^^<X-Xo)'+J?.(J)

其中R.G)?異畀0一工,尸'￡在"與工之間.

?凹凸性

?注意以及常用基本不等式

?不等式

:當(dāng)z>0時(shí)，丁卓一Vln(l+i)Vz.

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