高考數(shù)學(xué)（文）專題五 概率與統(tǒng)計(jì)

專題五概率與統(tǒng)計(jì)

小題增分專項(xiàng)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率

命I題I分I析

卷全國(guó)卷3年高考

年份全國(guó)I卷全國(guó)II卷全國(guó)川卷

古典概型概率的實(shí)際意

2020樣本方差

回歸分析義應(yīng)用?14

古典概型.14

2019系統(tǒng)抽樣16樣本的頻率與樣本的頻率(3

概率?》4

互斥事件的概

統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別

2018古典概型?15率工

與分析

抽樣方法?TM

修命題規(guī)律

統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率的選擇題、填空題涉及的內(nèi)容較為簡(jiǎn)

單，主要有概率、抽樣方法、統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用、用樣本的數(shù)字特

征估計(jì)總體的數(shù)字特征、線性回歸及統(tǒng)計(jì)案例。試題屬基礎(chǔ)題，

分值一般為5分。

明?考點(diǎn)考點(diǎn)整合?_____________________扣.要點(diǎn)

一、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

1.抽樣方法

抽樣方法包括簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣，三種抽

樣方法都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽樣的公平性，但又各有其特點(diǎn)

和適用范圍。

2.統(tǒng)計(jì)中的四個(gè)數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)。

(2)中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的

數(shù)據(jù)。如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為

中位數(shù)U

(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即1=：(汨+乃+…+

光〃)。

(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差。

S2=~[(X1—~X)2+(X2-T)2H-----\-(Xn~~X)2]，

AZ

S=y：[(X1-1)2+(m-1)2-1-----|-(心-H)2]o

3.直方圖的兩個(gè)結(jié)論

(1)小長(zhǎng)方形的面積=組距><頻薪率=頻率。

(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于k

4.回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)回歸直線￡=猿+2經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(工，J),若x取某

一個(gè)值代入回歸直線方程;=樂+3中，可求出y的估計(jì)值。

(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)。

對(duì)于取值分別是｛不，忿｝和｛》，經(jīng)｝的分類變量X和丫，其樣

本頻數(shù)列聯(lián)表是:

y】為總計(jì)

X1aba+b

工2cdc+d

總計(jì)a+cb+dn

貝"心=(〃+勿(：篙%)3+0(其中+"c+d為樣本

容量)。

二、概率

1.古典概型的概率

小八T~八一A中所含的基本事件數(shù)

(1)A式：P(A)-n-基本事件總數(shù)。

(2)古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)：所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限

個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

2.幾何概型的概率

⑴P(A)=

構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)

試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)°

(2)幾何概型應(yīng)滿足兩個(gè)條件：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果

(基本事件)有無限多個(gè)：②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

3.概率的性質(zhì)及互斥事件的概率

(1)概率的取值范圍：O〈P(A)W1。

(2)必然事件的概率：P(A)=1。

(3)不可能事件的概率：P(A)=Oo

(4)若A,B互斥,則尸(AU3)=P(A)+P(B),特別地P(4)+

P(A)=lo

精析精研重點(diǎn)攻關(guān)__________________________e考向探究e

考向一抽樣方法

【例1】(1)某機(jī)構(gòu)對(duì)青年觀眾是否喜歡跨年晚會(huì)進(jìn)行了調(diào)

查，人數(shù)如下表所示：

不喜歡喜歡

男性青年觀眾3010

女性青年觀眾3050

現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取〃人作進(jìn)

一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了6人,

則n等于()

A.12B.16

C.20D.24

解析由題意得，30+]0+3o+5o=員=不解得〃=24°

答案D

(2)某校高三科創(chuàng)班共48人，班主任為了解學(xué)生高考前的心

理狀況，將學(xué)生按1至48的學(xué)號(hào)用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進(jìn)行調(diào)

查，若抽到的最大學(xué)號(hào)為48,則抽到的最小學(xué)號(hào)為。

解析由系統(tǒng)抽樣方法從學(xué)號(hào)為1到48的48名學(xué)生中抽取

8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，把48人分成8組，抽到的最大學(xué)號(hào)為48,它

是第8組的最后一名，則抽到的最小學(xué)號(hào)為第一組的最后一名6

號(hào)。

答案6

方法悟通

系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中的計(jì)算

(1)系統(tǒng)抽樣

①總體容量為M樣本容量為〃，則要將總體均分成〃組，

每組那個(gè)(有零頭時(shí)要先去掉)。

②若第一組抽到編號(hào)為k的個(gè)體，則以后各組中抽取的個(gè)體

NN

編號(hào)依次為Z+],…，k+(n—l)—o

(2)分層抽樣

按比例抽樣，計(jì)算的主要依據(jù)是：各層抽取的數(shù)量之比=總

體中各層的數(shù)量之比。

【變式訓(xùn)練1](1)福利彩票“雙色球”中紅球的號(hào)碼可以

從01,02,03,…，32,33這33個(gè)兩位號(hào)碼中選取，小明利用如下

所示的隨機(jī)數(shù)表選取紅色球的6個(gè)號(hào)碼，選取方法是從第1行第

9列的數(shù)字開始，從左到右依次讀取兩位數(shù)字，則第四個(gè)被選中

的紅色球號(hào)碼為()

8147236863931790126986816293506091337585613985

0632359246225410027849821886704805468815192049

A.12B.33

C.06D.16

解析被選中的紅色球號(hào)碼依次為17,12,33,06,32,22,所以第

四個(gè)被選中的紅色球號(hào)碼為06。故選C。

答案C

(2)某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)其某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)

行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20000人，其中各種態(tài)度對(duì)應(yīng)的人數(shù)

如下表所示：

最喜愛喜愛一般不喜歡

4800720064001600

電視臺(tái)為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽選100

人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查，為此要進(jìn)行分層抽樣，那么在分層抽樣

時(shí)，每類人中應(yīng)抽選的人數(shù)分別為()

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

解析因?yàn)槌闃颖葹橥趵?4,所以每類人中應(yīng)抽選的人

數(shù)分別為4800X^=24,7200X=36,6400X^7=32,1

^yJxJ^\J\J

600X200=8°故選D。

答案D

(3)某班共有學(xué)生56人，學(xué)號(hào)依次為1,2,3,…，56,現(xiàn)用系

統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知學(xué)號(hào)為2,30,44的同

學(xué)在樣本中，則樣本中還有一位同學(xué)的學(xué)號(hào)為o

解析由題意得，將56人按學(xué)號(hào)從小到大分成4組，則分段

間隔為14,所以抽取的學(xué)號(hào)依次為2,16,30,44,故還有一位同學(xué)

的學(xué)號(hào)為16o

答案16

考向二用樣本估計(jì)總體

【例2】（l）ETC的中文翻譯是電子不停車收費(fèi)系統(tǒng)。2019

年3月，李克強(qiáng)總理在《政府工作報(bào)告》中提出，兩年內(nèi)基本取

消全國(guó)高速公路省界收費(fèi)站，實(shí)現(xiàn)不停車快捷收費(fèi)。如圖是

2015—2019年中國(guó)ETC累計(jì)用戶數(shù)量情況統(tǒng)計(jì)圖。則下面結(jié)論

中錯(cuò)誤的是（

A.2015—2019年中國(guó)ETC累計(jì)用戶數(shù)量與時(shí)間成正相關(guān)

B.2019年中國(guó)ETC累計(jì)用戶數(shù)量約是2015年的8.1倍

C.2019年中國(guó)ETC累計(jì)用戶數(shù)量呈爆發(fā)式增長(zhǎng)，較2018

年同比增長(zhǎng)約166.5%

D.2016—2018年，中國(guó)ETC每年新增用戶的數(shù)量成遞增數(shù)

列

解析對(duì)于A,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖得，2015—2019年中國(guó)ETC累

計(jì)用戶數(shù)量與時(shí)間成正相關(guān)，所以A正確。對(duì)于B,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖

2（）400

得于示■仁8.1,所以B正確。對(duì)于C,2019年中國(guó)ETC累計(jì)用戶

數(shù)量為20400萬輛，2018年中國(guó)ETC累計(jì)用戶數(shù)量為7656萬

輛，2019年較2018年同比增長(zhǎng)100%義——市八——^166.5%,

所以C正確。對(duì)于D,2016年的新增用戶數(shù)量為2006萬輛，2017

年的新增用戶數(shù)量為1379萬輛,2018年的新增用戶數(shù)量為1756

萬輛，易知每年新增用戶的數(shù)量不成遞增數(shù)列，所以D錯(cuò)誤。故

選D。

答案D

（2）（2020.天津高考）從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑（單

位：mm）,將所得數(shù)據(jù)分為9組：［5.31,5.33）,［5.33,5.35）,…，

［5.45,5.47）,［5.47,5.49］,并整理得到如下頻率分布直方圖，則在

被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間［5.43,5.47）內(nèi)的個(gè)數(shù)為（）

A.10B.18C.20D.36

解析由題知［5.43,5.45）與［5.45,5.47）所對(duì)應(yīng)的小矩形的高分

別為6.25,5.00,所以［5.43,5.47）的頻率為（6.25+5.00）X0.02=

0.225,所以直徑落在區(qū)間［5.43,5.47）內(nèi)的個(gè)數(shù)為80X0.225=18。

故選B。

答案B

?法悟通

（1）用頻率分布直方圖估計(jì)總體的數(shù)字特征應(yīng)注意幾點(diǎn)。

_頻率

①頻率分布直方圖的縱軸是猛，而不是頻率。

②在頻率分布直方圖中，每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積才是相應(yīng)區(qū)間

的頻率。

③最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)。

④平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)是中位數(shù)。

（2）對(duì)于其他的統(tǒng)計(jì)圖表，要注意結(jié)合問題背景分析其所表達(dá)

的意思，進(jìn)而解決所給問題。

【變式訓(xùn)練2]（1）某地氣象局把當(dāng)?shù)啬吃拢ü?0天）每一天

的最低氣溫作了統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖。假設(shè)該月溫

度的中位數(shù)為九.，眾數(shù)為mo,平均數(shù)為工，則（）

頻數(shù)

iOp

8

6.3

血曲行一

345678910溫度

==

A.mciriQ=xB.mcm（）<x

C.mc<m（）<xD.x

解析由題圖知眾數(shù)恤=5,由中位數(shù)的定義知，溫度的中

位數(shù)人是第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)的平均值，由題圖知將數(shù)據(jù)從小

到大排第15個(gè)數(shù)是5,第16個(gè)數(shù)是6,所以償=5.5,三=1X（2X3

V-/

+3X4+10X5+6X6+3X7+2X8+2X9+2X10）^5.97,所以

mo<mc<xo故選D。

答案D

（2）（202。南充市適應(yīng)性考試）某貧困村經(jīng)過一年的精準(zhǔn)扶貧，

該村農(nóng)民的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，全村已經(jīng)實(shí)現(xiàn)脫貧。

為更好地了解該村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該村精準(zhǔn)扶貧前

后農(nóng)民的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅狀圖：

精準(zhǔn)扶貧前經(jīng)濟(jì)精準(zhǔn)扶貧后經(jīng)濟(jì)

收入構(gòu)成比例收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.精準(zhǔn)扶貧后，種植收入減少

B.精準(zhǔn)扶貧后，其他收入增加了一倍以上

C.精準(zhǔn)扶貧后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.精準(zhǔn)扶貧后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)

濟(jì)收入的一半

解析設(shè)精準(zhǔn)扶貧前經(jīng)濟(jì)收入為加，則精準(zhǔn)扶貧后經(jīng)濟(jì)收入

為2m,精準(zhǔn)扶貧前養(yǎng)殖收入為0.25加，種植收入為0.7加，第三產(chǎn)

業(yè)收入為0.03加,其他收入為0.02加，精準(zhǔn)扶貧后養(yǎng)殖收入為0.5加,

種植收入為0.88機(jī)，第三產(chǎn)業(yè)收入為0.52機(jī)，其他收入為0.1根，

所以種植收入增加了，A錯(cuò)誤。

答案A

（3）已知樣本X”及，…，X2019的平均數(shù)和方差分別是1和4,

若y=0+僅i=l,2,…,2019）的平均數(shù)和方差也分別是1和4,

則ab=o

ci=1,ci=-1,

解析由題意得[,彳解得二八或7c所

[4G-=4,g=0[b=2,

b

以a=lo

答案1

考向三相關(guān)關(guān)系與獨(dú)立性檢驗(yàn)

【例3】（1）（202。南昌市模擬）已知一組樣本數(shù)據(jù)（即，y）,

（、2，竺），（工3，力），…，（%6，/），用最小二乘法得到其線性回歸

方程為$=—2x+4,若X”必如…，的平均數(shù)為1，貝(Jy+

h+y3H--------H,6=()

A.10B.12

C.13D.14

解析回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（1,7）,因?yàn)楣?i,所以

y=-2Xl+4=2,所以），］+刃+為+…+*=6義2=12。故選B。

答案B

⑵為了判斷高中生是否選修理科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查

了50名學(xué)生，得到如下的2X2列聯(lián)表:

選修理科選修文科總計(jì)

男131023

女72027

總計(jì)203050

50X(13X20-10X7)2

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到片的觀測(cè)值k=

23X27X20X30

Q4.844,若？（爛23.841）弋0.05,P（y25.024）~0.025,則認(rèn)為

高中生是否選修理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為（）

A.2.5%B.5%

C.1%D.10%

解析因?yàn)?.844>3.841,P（爛23.841戶0.05,所以認(rèn)為是

否選修理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為5%o

答案B

法悟通

（1）在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)

圖來確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系,

則可通過線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值；回歸直線過樣本點(diǎn)

的中心（工，7）,應(yīng)引起關(guān)注。

（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，要確定2X2列聯(lián)表中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，然

后代入心求解即可。

【變式訓(xùn)練3］（1）節(jié)能降耗是企業(yè)的生存之本，所以要樹

立一種“點(diǎn)點(diǎn)滴滴降成本，分分秒秒增效益”的節(jié)能意識(shí)，以最

好的管理來實(shí)現(xiàn)節(jié)能效益的最大化。為此某國(guó)企進(jìn)行節(jié)能降耗技

術(shù)改造，下面是該國(guó)企節(jié)能降耗技術(shù)改造后連續(xù)五年的生產(chǎn)利潤(rùn):

年號(hào)X12345

年生產(chǎn)利潤(rùn)w千萬元0.70.811.11.4

預(yù)測(cè)第8年該國(guó)企的年生產(chǎn)利潤(rùn)約為（）

（參考公式及數(shù)據(jù)：回歸直線6=%+?的斜率和截距的最小二

nn

X(^―)(y/~~y)Yxiyi—n'x'y

乘估計(jì)分別為￡=+-----------==--------------，a=J-^

E(X/-~X)2>?一1工2

5__5

x，xy=1.7,5x2=10)

A.1.88千萬元B.2.21千萬元

C.1.85千萬元D.2.34千萬元

.,.-1+2+3+4+5—

解析由已知可z仔x=-------------------=3,y=

0.7+0.8+1+1.1+1.4A1,7,A_A—

-------------5-------------=U。=元=0.17,則〃=y~bx=1—

0.17X3=0.49,所以年生產(chǎn)利潤(rùn)與年號(hào)的回歸方程為￡=0.17X+

0.49,當(dāng)無=8時(shí)，$=0.17X8+0.49=1.85。故選C。

答案C

（2）隨機(jī)采訪50名觀眾對(duì)某電視節(jié)目的滿意度，得到如下列

聯(lián)表:

單位：人

滿意不滿意總計(jì)

男102030

女15520

總計(jì)252550

附表和公式如下:

尸（心/）0.1000.0500.0100.001

2.7063.8416.63510.828

心=*八二八,其中n=a+b+c+d為樣本容

（a十b）（c-ra）（a-rc）（b十a(chǎn)）

量。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)可知（）

A.有95%的把握認(rèn)為對(duì)電視節(jié)目的滿意度與性別無關(guān)

B.有99%的把握認(rèn)為對(duì)電視節(jié)目的滿意度與性別無關(guān)

C.有99%的把握認(rèn)為對(duì)電視節(jié)目的滿意度與性別有關(guān)

D.有95%的把握認(rèn)為對(duì)電視節(jié)目的滿意度與性別有關(guān)

封“力50X（10X5-20X15）21

解析由于K?=等…2八乂”』,333>6.635,所以

ZjAZ3AJUAZU

有99%的把握認(rèn)為對(duì)電視節(jié)目的滿意度與性別有關(guān)，故選Co

答案C

考向四古典概型與幾何概型

【例4】（1）班主任要從甲、乙、丙、丁、戊這5個(gè)人中隨

機(jī)抽取3個(gè)人參加活動(dòng)，則甲、乙同時(shí)被抽到的暇率為（）

A工B1

105

「3卜2

C,10D,5

解析從5個(gè)人中隨機(jī)抽取3個(gè)人，所有的情況為（甲，乙，

丙），（甲，乙，?。?，（甲，乙，戊），（甲，丙，?。?，丙，戊），

（甲，丁，戊），（乙，丙，?。ㄒ?，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，

T,戊），共10種。記“甲、乙同時(shí)被抽到“為事件A,則A包

含的情況有（甲，乙，丙），（甲，乙，?。?，（甲，乙，戊），共3種，

3

故P（A）=正。

答案C

（2）（2020?福州市質(zhì)量檢測(cè)）2020年初，我國(guó)突發(fā)新冠肺炎疫

情。面對(duì)“突發(fā)災(zāi)難”，舉國(guó)上下一心，繼解放軍醫(yī)療隊(duì)于除夕

夜飛抵武漢，各省醫(yī)療隊(duì)也陸續(xù)增援，紛紛投身疫情防控與病人

救治之中。為分擔(dān)“逆行者”的后顧之憂，某校教師志愿者團(tuán)隊(duì)

開展“愛心輔學(xué)”活動(dòng)，為抗疫前線工作者子女在線輔導(dǎo)功課。

今欲隨機(jī)安排甲、乙2位志愿者為1位小學(xué)生輔導(dǎo)功課共4次，

每位志愿者至少輔導(dǎo)1次，每次由1位志愿者輔導(dǎo)，則甲恰好輔

導(dǎo)2次的概率為（）

A.B.

C.1D.,

解析由題意得所有不同方案有（甲，乙，乙，乙）,（乙，甲,

乙，乙），（乙，乙,甲，乙），（乙，乙,乙，甲），（甲,甲，乙，

乙）,（乙，乙，甲,甲）,（甲，乙，乙,甲）,（乙，甲,甲，乙），

（甲,乙，甲，乙）,（乙,甲，乙，甲）,（乙,甲，甲，甲），（甲,

乙，甲，甲），（甲,甲，乙，甲），（甲,甲，甲，乙），共14個(gè),

其中甲恰好輔導(dǎo)2次的方案有（甲，甲,乙，乙），（乙，乙，甲，

甲），（甲，乙，乙，甲），（乙，甲，甲,乙）,（甲，乙，甲，乙）,

號(hào)斗故選C。

（乙，甲，乙，甲），共6個(gè)，故所求的概率為

答案c

（3）（202。安徽江淮十校第一次聯(lián)考）勒洛三角形是定寬曲線

所能構(gòu)成的面積最小的圖形，它是德國(guó)機(jī)械學(xué)家勒洛首先進(jìn)行研

究的。其畫法是：先畫一個(gè)正三角形，再以正三角形每個(gè)頂點(diǎn)為

圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的

曲邊三角形就是勒洛三角形。如圖所示，現(xiàn)要在勒洛三角形中隨

機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)在正三角形A8C內(nèi)的概率為（）

A.2T

2（兀一小）

2兀一3小

D.2（兀+市）

兀X

解析可令BC=2,則以5為圓心的扇形面積S晶彩ABC=—^~

27r|

=父，ZVIBC的面積S&IBC=5X2X2X方-=小，由題圖可知，勒

洛三角形的面積為3個(gè)扇形ABC的面積減去2個(gè)正三角形ABC

的面積，3-2^/3=271-2^3,所以在勒洛三甬形中隨機(jī)取

一點(diǎn)，此點(diǎn)在正三角形A8C內(nèi)的概率是271yl5=2（7t故

選B。

答案B

法悟通

（1）求古典概型的概率，關(guān)鍵是正確求出基本事件的總數(shù)和所

求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)。計(jì)數(shù)時(shí)要正確分類，做到不重不

漏。

(2)計(jì)算幾何概型的概率，構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件

發(fā)生的區(qū)域的尋找是關(guān)鍵，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示

所需要的區(qū)域。

【變式訓(xùn)練4】(1)我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其

中的《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《數(shù)書九章》《緝古算

經(jīng)》有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)。這5

部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期。某中學(xué)擬從這

5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所

選2部專著中至少有1部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率

為()

3八9

A-5B-To

c?t

D?W

解析記這5部專著分別為4,B,C,D,E,其中4,B,

。產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期，則從這5部專著中選擇2部

的所有可能情況為(A,B),(A,Q,(A,￡>),(A,E),(B,Q,(B,

Q),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10種，所選的2部專

著都不是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的情況只有(3,4這1種,

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式可知所選2部專著中至少有1部是漢、

10

魏、晉、南北朝時(shí)期的^率為1一面=而。故選B。

答案B

(2)陽馬是底面為長(zhǎng)方形，有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐。

在陽馬P-A5c。中，PC為陽馬5co中最長(zhǎng)的棱，AB=1,AD

=2,PC=3,若在陽馬P-A5CD的外接球內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該

點(diǎn)位于陽馬內(nèi)的概率為()

14

A.B.

27Tl27Tl

C,2771

解析根據(jù)題意，可知PC即為陽馬P-ABCD的外接球的直

4

徑，故外接球的體積V球=鏟乂yo由題意知，%_L平面

ABCD,則《。=［必2+=52+4。2,所以3=7以2+1+22,所以

14

%=2,則陽馬尸-A3C。的體積丫陽馬P_A6CQ=WX1X2X2=1,所

4

38

以所求概率P=o="°故選Co

7712/兀

T

答案c

重點(diǎn)增分專練（十二）統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率

A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.（202。貴陽市適應(yīng)性考試）為了保障人民群眾的身體健康,

在防控新型冠狀病毒期間，貴陽市市場(chǎng)監(jiān)督管理局加強(qiáng)了對(duì)市場(chǎng)

的監(jiān)管力度，為了考察生產(chǎn)口罩的某工廠生產(chǎn)的600個(gè)口罩是否

合格，利用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)口罩進(jìn)行編號(hào)，

編號(hào)分別為001,002,…，599,600,再從中抽取60個(gè)樣本，如下

提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：

322118342978645407325242064438122343567735

78905642

844212533134578607362530073286234578890723

68960804

325678084367895355773489948375225355783245

77892345

若從表中第6行第6列開始向右依次讀取3個(gè)數(shù)字，則得到

的第5個(gè)樣本編號(hào)為（）

A.578B.324C.535D.522

解析從第6行的第6個(gè)數(shù)開始的三位數(shù)分別為

808,436,789,535,577,348,994,837,522,???,符合條件的編號(hào)分另U為

436,535,577,348,522,…，第5個(gè)樣本編號(hào)為522。

答案D

2.（2020,成都診斷性檢測(cè)謀校隨機(jī)抽取100名同學(xué)進(jìn)行“垃

圾分類”的問卷測(cè)試，測(cè)試結(jié)果顯示這100名同學(xué)的得分都在

[50/00]內(nèi),按得分分成5組：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這100名同學(xué)的得

分的中位數(shù)為（）

0.015

0.010

0.005

5060708090100得分

A.72.5B.75

C.77.5D.80

解析頻率分布直方圖中左邊第一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為

0.010X10=0.1,左邊第二個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為0.030X10=0.3o

設(shè)這100名同學(xué)的得分的中位數(shù)為x,則0-70）X0.040=0.5—0.3

-0.1,所以x=72.5。

答案A

3.（2020?合肥市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)

濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱，旨在積極發(fā)展我國(guó)與

沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包

容的命運(yùn)共同體。自2013年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著。

如圖是2013—2017年,我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口情況

統(tǒng)計(jì)圖，下列描述錯(cuò)誤的是（）

A.這五年，2013年出口額最少

B.這五年，出口總額比進(jìn)口總額多

C.這五年，出口增速前四年逐年下降

D.這五年，2017年進(jìn)口增速最快

解析由題圖可知，這五年，2013年出口額最少，出口總額

比進(jìn)口總額多，2017年進(jìn)口增速最快，故A,B?D正確；而這

五年，出口增速2013年到2014年是遞增的，故C錯(cuò)誤。故選C。

答案C

4.設(shè)。為正方形A8CQ的中心，在O,A,B,C,。中任

取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為()

解析根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，在0,A,B,C,D

中任取3點(diǎn)，有10種可能情況，分別為(。45),(。40,(OAD),

(OBO,(OBD),(OCO),(ABQ,(ABD),(ACD)f(BCD),其中

取至U的3點(diǎn)共線有(OA。和(08D)這2種可能情況，所以在O,A,

21

B,C,D中任取3點(diǎn)，則取至I的3點(diǎn)共線的概率為正=5。故選

Ao

答案A

5.(2020.沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(cè))沈陽市為推進(jìn)垃圾分類工作的實(shí)

施，開展了“垃圾分類進(jìn)小區(qū)”的評(píng)比活動(dòng)?，F(xiàn)對(duì)沈陽市甲、乙

兩個(gè)小區(qū)進(jìn)行評(píng)比，從中各隨機(jī)選出20戶家庭進(jìn)行評(píng)比打分，每

戶成績(jī)滿分為100分，評(píng)分后得到如下莖葉圖：

甲乙

954

8153

31636

7776631712455578889

6642081456

30934

通過莖葉圖比較甲、乙兩個(gè)小區(qū)成績(jī)的平均數(shù)及方差大小

()

A.九甲vx乙,s%<siB.x甲〉％乙,端vs%

C.x甲vx乙,s^>slD.x甲,x乙,昂>比

解析由莖葉圖知，乙小區(qū)成績(jī)低的戶數(shù)少于甲小區(qū)，且成

績(jī)大多高于甲小區(qū)，所以乙小區(qū)成績(jī)的平均數(shù)大于甲小區(qū)。因?yàn)?/p>

乙小區(qū)成績(jī)分布比較均勻，所以乙小區(qū)成績(jī)的方差比甲小區(qū)小。

故選C。

答案c

6.已知a￡{—2,0」,2,3},一{3,5},則函數(shù)/(%)=(/—2)e'

+〃為減函數(shù)的概率是()

3門3

A-ToB-5

C.ID.|

解析函數(shù)/(x)=(〃2—2)e，+Z?為減函數(shù)，則。2—2v0,

<a<y/29且與b無關(guān)。又{一2。1,2,3},故只有。=0,a=\

滿足題意，所以函數(shù)/(x)=(〃-2)8+匕為減函數(shù)的概率是|。故

選C。

答案C

7.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算盤書》中記載了一個(gè)有趣的

問題：已知一對(duì)兔子每個(gè)月全生一對(duì)兔子，而一對(duì)兔子出生后在

第三個(gè)月就開始生小兔子。假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對(duì)

數(shù)依次為1』,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…，這就是著名的斐波那

契數(shù)列，它的遞推公式是an=an-[+an-2(n^39n^N*),其中a\

=1,念=1。若從該數(shù)列的前100項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這

個(gè)數(shù)是偶數(shù)的概率為()

133

A-3Too

_67_

D,W0

解析由題意知，斐波那契數(shù)列從第1項(xiàng)起每3項(xiàng)有1個(gè)偶

數(shù)，且偶數(shù)是3項(xiàng)中的最后一項(xiàng)，所以前100項(xiàng)中有33個(gè)偶數(shù),

33

所以所求概率P=血。故選B。

答案B

8.如圖所示，在△ABC中，AB=AC=3,ZBAC=\20°9在

NR4C內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,則BMv小的概率為()

1

A

*4-

I

D.

2

解析由題易知N4BC=30。。當(dāng)時(shí)，在△A8M中,

AM=yjAB2+BM2-2AB-BMcos30°="+3-2義3乂6乂坐=

30。1

小,即BM=AM,則ZBAM=30°,故小的概率尸=而不=於

141/I

故選A。

答案A

9.如圖，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8,三角形內(nèi)的

空白部分是由三個(gè)半徑為3的扇形構(gòu)成，向該三角形內(nèi)隨機(jī)擲一

點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為（）

上

3兀「?3兀

A?石B.1一記

一3兀-43兀

C?yD?1-§■

解析因?yàn)橹苯侨切蔚拿娣e5A=1X6X8=24,又三個(gè)半

19兀9兀

徑為3的扇形的面積為5X71X32=7,所以S陰影=24一丁，則該

點(diǎn)落在陰影部分的概率P=~^=1-TTo

SAlo

答案B

10.（2020.江西紅色七校聯(lián)考）下表是鞋子的長(zhǎng)度與對(duì)應(yīng)碼數(shù)

的關(guān)系

長(zhǎng)度/cm2424.52525.52626.5

碼數(shù)383940414243

已知人的身高y（單位：cm）與腳長(zhǎng)x（單位：cm）線性相關(guān)且回

歸直線方程為$=7x—7.6。若某人的身高為173cm,據(jù)此模型，

估計(jì)其穿的鞋子的碼數(shù)為（）

A.40B.41

C.42D.43

173+7.6

解析當(dāng)y=173時(shí)，x=-亍二=25.8,對(duì)照表格可估計(jì)碼

數(shù)為42o

答案C

二、填空題

11.為了了解世界各國(guó)的早餐飲食習(xí)慣，現(xiàn)從由中國(guó)人、美

國(guó)人、英國(guó)人組成的總體中用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為m

的樣本進(jìn)行分析。若總體中的中國(guó)人有400人、美國(guó)人有300人、

英國(guó)人有300人，且所抽取的樣本中，中國(guó)人比美國(guó)人多10人，

則樣本容量m=o

解析根據(jù)分層抽樣的概念得到抽取的三個(gè)國(guó)家的人的比例

為4：3：3,設(shè)從中國(guó)人中抽取x人，則從美國(guó)人中抽取。-10)

Y4

人，從英國(guó)人中抽取。一10)人，根據(jù)比例得到士示=?即x=

40o則從中國(guó)人中抽取40人，從美國(guó)人中抽取30人，從英國(guó)人

中抽取30人，共100人。

答案100

12.某班40名學(xué)生參加普法知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)都在區(qū)間[40,100]

內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，則成績(jī)不低于60分的人數(shù)為

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

405060708090100成績(jī)/分

解析由題意可得40X(0.015+0.030+0.025+0.005)X10=

30,則成績(jī)不低于60分的人數(shù)為30。

答案30

13.某市去年外出務(wù)工返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員中有1000人收入(單位:

萬元)在區(qū)間[1,41]內(nèi)，從這1000人中隨機(jī)抽取100人，得到這

100人年收入的頻率分布直方圖如圖所示。這些數(shù)據(jù)區(qū)間是[1,5],

(5,9],…，(37,41]o調(diào)查發(fā)現(xiàn)這1000個(gè)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員中有600

人接受了職業(yè)技術(shù)教育，其中340人的個(gè)人年收入超過17萬元。

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成下列2X2列聯(lián)表;

已接受職業(yè)未接受職業(yè)

總計(jì)

技術(shù)教育技術(shù)教育

個(gè)人年收入超過17

340

萬元

個(gè)人年收入不超過

17萬元

總計(jì)6001000

⑵根據(jù)(1)中表格數(shù)據(jù)計(jì)算可知,.(填“有”或“沒

有”)99%的把握認(rèn)為該市返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員的收入與創(chuàng)業(yè)人員是否

接受職業(yè)技術(shù)教育有關(guān)。

n(ad—be?

附：心=,〃=a+O+c+d。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(爛2女0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解析(1)根據(jù)題意，這1000名返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員中年收入超過

17萬元的人數(shù)是1000X[1-(0.010+0.020+0.030+0.040)x4]=

600,其中已接受職業(yè)技術(shù)教育的人數(shù)是340,由此填寫2X2列

聯(lián)表如下:

已接受職業(yè)未接受職業(yè)

總計(jì)

技術(shù)教育技術(shù)教育

個(gè)人年收入

340260600

超過17萬元

個(gè)人年收入

260140400

不超過17萬元

總計(jì)6004001000

1OOPX(340X140-260X260)2

600X400X600X400

^6.944>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為該戶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員的收入

與創(chuàng)業(yè)人員是否接受職業(yè)技術(shù)教育有關(guān)。

答案（1）詳見解析（2）有

B級(jí)素養(yǎng)落實(shí)

14.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，

趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱

“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三

角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的）。類比“趙爽弦圖”，可

類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的

一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形。設(shè)=2AF=2,

若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概

率是（）

c今D.嘮

解析在△48。中，AO=3,BD=1,Zy4DB=120°,由余

弦定理，得AB=幣薩“爐工而筋嬴而二恒,所以%二

所以所求概率為鏟叱=偌。=今。

y/13S^ABCIW13

答案A

15.某城市為了了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)

量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期間月接待游客量

（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖。

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是o（填序號(hào)）

①月接待游客量逐月增加；

②年接待游客量逐年增加；

③各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份；

④各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)7月至12月，波動(dòng)性

更小，變化比較平穩(wěn)。

解析①折線圖整體體現(xiàn)了上升趨勢(shì)，但存在2017年9月接

待游客量小于2017年8月接待游客量的情況，故并不是逐月增加,

因此①錯(cuò)誤；②折線圖按照年份劃分，每年對(duì)應(yīng)月份作比較，可

發(fā)現(xiàn)同一月份接待游客數(shù)量逐年增加，可得年接待游客量逐年增

加，因此②正確；③根據(jù)折線圖可發(fā)現(xiàn)，每年的7,8月份接待游

客量明顯高于當(dāng)年其他月份，因此每年的接待游客高峰期大致在

7,8月份，因此③正確；④根據(jù)折線圖可知，每年1月至6月的極

差較小，同時(shí)折線波動(dòng)幅度較??；7月至12月極差明顯大于1月

至6月的極差，同時(shí)折線波動(dòng)幅度較大，說明1月至6月變化比

較平穩(wěn)，因此④正確。

答案②③④

大題增分專項(xiàng)概率與統(tǒng)計(jì)大題考向探究

命I題I分I析

卷全國(guó)卷3年高考

年份全國(guó)I卷全國(guó)II卷全國(guó)III卷

用樣本估計(jì)總

樣本頻率的計(jì)算、用樣本估計(jì)總

體、相關(guān)系數(shù)

2020平均值的計(jì)算和用體、獨(dú)立性檢

的計(jì)算、抽樣

樣本估計(jì)總體.27驗(yàn)，T18

方法?T18

用樣本估計(jì)總頻率分布直方

2019獨(dú)立性檢驗(yàn)?「7體、平均數(shù)與圖、樣本的平

標(biāo)準(zhǔn)差?口9均數(shù)?「7

頻率分布表、頻率

折線圖、線性莖葉圖的應(yīng)用

分布直方圖及用頻

2018回歸模型問及獨(dú)立性檢

率估計(jì)概率、平均

題?r8驗(yàn)工8

數(shù)的計(jì)算.「9

/命題規(guī)律

概率、統(tǒng)計(jì)的解答題多在第18或19題的位置，多以交匯性

的形式考查，交匯點(diǎn)主要有兩種：一是兩圖（頻率分布直方圖與莖

葉圖）擇一與概率、方差相交匯來考查；二是兩圖（頻率分布直方

圖與莖葉圖）擇一與線性回歸或獨(dú)立性檢驗(yàn)相交匯來考查，難度中

精析精研重點(diǎn)攻關(guān)

?？枷蛱骄縌

考向一用樣本估計(jì)總體

［例I］由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線

下的銷售受到影響，造成了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家

實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示。

0.00G20

0.00015

0.00003

200040006000800010000

月經(jīng)濟(jì)損失/元

(1)求。的值；

(2)求A地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失的眾數(shù)

以及中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)不經(jīng)過計(jì)算，直接給出A地區(qū)200家實(shí)體店月經(jīng)濟(jì)損失的

平均數(shù)工與6000的大小關(guān)系。

解(1)依題意，(0.00015+0.00020+^+0.00003X2)X2

000=1,

解得4=0.00009o

(2)由題圖可知，A地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)

損失的眾數(shù)為3000,

第一個(gè)小矩形的面積$=0.3,第二個(gè)小矩形的面積S2=0.4,

故所求中位數(shù)在［2000,4000)內(nèi)，得所求中位數(shù)為2000+

0.5—0.3

0.00020=3000°

(3)7<6000o

解決樣本估計(jì)總體問題的一般思路

(1)識(shí)圖，即發(fā)現(xiàn)已知頻率分布直方圖或莖葉圖中所包含的信

息U

(2)轉(zhuǎn)化，即對(duì)題設(shè)中文字語言所包含的信息深入分析，并對(duì)

圖中所包含的信息進(jìn)行提取分析。

(3)計(jì)算，結(jié)合相關(guān)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算。

【變式訓(xùn)練1］對(duì)參加某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的1000名選手的初賽

成績(jī)(滿分：100分)作統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖。

(1)根據(jù)直方圖完成以下表格:

成績(jī)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90J00]

頻數(shù)

(2)求參賽選手初賽成績(jī)的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)如果從參加初賽的選手中選取380人參加復(fù)賽，那么如何

確定進(jìn)入復(fù)賽選手的成績(jī)？

解(1)填表如下：

成績(jī)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)50150350350100

(2)平均數(shù)為55X0.05+65X0.15+75X0.35+85X0.35+

95X0.1=78,方差？=(-23)2X0.05+(-13)2