廣東清遠(yuǎn)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

2025屆清遠(yuǎn)市普通高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間150分鐘。2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡的相應(yīng)位置。3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效。4．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。5．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。1．若集合，則（）A． B． C． D．2．已知i是虛數(shù)單位，若，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A．4 B．2 C． D．3．已知向量，且，則的值為（）A． B．6 C． D．4．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．55．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．記函數(shù)，設(shè)，甲：；乙：，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知，則A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要承。全部選對(duì)的得6分．部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期是B．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．函數(shù)的圖象在區(qū)間上單調(diào)遞增10．現(xiàn)有一組各不相同且從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A．的下四分位數(shù)為B．的中位數(shù)為C．的平均數(shù)小于的平均數(shù)D．的方差是的方差的4倍．11．設(shè)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于對(duì)稱，在上單調(diào)遞減，且，則（）A．為偶函數(shù) B．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C． D．的極小值為3三、填空題：本大題共3小題，每小題5分．共15分。12．?市高三年級(jí)1萬(wàn)名男生的身高（單位：cm）近似服從正態(tài)分布，則身高超過180cm的男生約有____________人．（參考數(shù)據(jù)：，，）13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)．，則____________；當(dāng)時(shí)，____________．（第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）14．已知函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為____________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知．（1）求的值；（2）求的面積．16．（本小題滿分15分）已知每門大炮擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)有門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次．（1）當(dāng)時(shí)，求給好擊中目標(biāo)2次的概率（精確到0.01）；（2）如果使目標(biāo)至少被擊中一次的概率超過，至少需要多少門大炮？（）17．（本小題滿分15分）如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，．點(diǎn)分別在棱上，．（1）若，證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為．（1）求和的值；（2）若對(duì)于任意的，很有植成立。求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（本小題滿分17分）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，過圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，延長(zhǎng)與圓交于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)與四交于另一點(diǎn)。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)向量的夾角為，定義：．（ⅰ）證明：；（ⅱ）求的取值范圍．

2025屆清遠(yuǎn)市普通高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）·高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號(hào)12345678答案CDBDBAAC二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．題號(hào)91011答案ACDBCDAB1．C因?yàn)?，故，故選C．2．D由題得．故選D．3．B由得，故選B．4．D，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選D．5．B由題可知C、D是奇函數(shù)，故排除；對(duì)于選項(xiàng)A，圖像是開口向下的拋物線，在上單調(diào)遞減，故排除；對(duì)于選項(xiàng)B，，所以函數(shù)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故選B．6．A在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得（也可以用求導(dǎo)解得），故選A．7．A由題得，乙：．因?yàn)榧祝海剩?；所以，故甲是乙的充分條件；令，則．故，故，故，因此甲不是乙的必要條件，因此甲是乙的充分不必要條件，故選A．8．C，構(gòu)造，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，故，即，，而，其中，所以，即，又，所以，故，故．故選C．9．ACD函數(shù)的最小正周期是，所以A正確；函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到的圖像，所以B錯(cuò)誤；，所以C正確；由，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間是，令，得到增區(qū)間，因?yàn)?，所以D正確，故選ACD．10．BCD下四分位數(shù)足第25百分位數(shù)，的下四分位數(shù)為，所以A錯(cuò)誤；共有21個(gè)數(shù)據(jù)，中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)的第11項(xiàng)，所以B正確；因?yàn)閿?shù)據(jù)是從小到大排列，成立，所以C正確；，的方差是的方差的倍，所以D正確．故選BCD．11．AB因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，則為偶函數(shù)，A正確；由得，，兩邊取導(dǎo)數(shù)得，，即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；由上可知，，又，所以，所以，則，所以8為的周期，則，C錯(cuò)誤；由在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱可知，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增，由周期性可知，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，為，D錯(cuò)誤，故選AB．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．230，身高超過180cm的男生的人數(shù)約為．13．；當(dāng)，．14．6由函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，得，故．又因?yàn)椋?，所以或，所以或，又因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，故，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．解：（1）根據(jù)正弦定理得，．由余弦定理，得，，（負(fù)值舍去），．（2），．，．6．解：（1）5門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次，設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為，則，故恰好擊中目標(biāo)2次的概率為．（2）由題意，門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次，擊中0次的概率為，則至少擊中一次的概率為，則，即，解得，因?yàn)?，所以如果使目?biāo)至少被擊中一次的概率超過，至少需要3門大炮．17．解：（1）由題得，在直叫棱柱中，，所以，所以，又因?yàn)?，故．又因?yàn)椋云矫嫫矫妫?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，則．設(shè)平而的法向量，則，令，得．，又，．故直線與平面所成角的正弦值為．18．解：（1）由，可得，令，得，因?yàn)楹瘮?shù)圖像的對(duì)稱中心為，因此，解得．（2）由（1）可知，對(duì)于任意的，都有恒成立，即恒成立．令，可得，令，即，即，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，則，則在上單調(diào)遞增，，符合題意；③當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在1：?jiǎn)握{(diào)遞增，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，不合題意；綜上所述，．19．解：（1）橢圓，短軸長(zhǎng)為2，所以，離心率，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（ⅰ）證明：設(shè)，①當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)過與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得，，由題意可得，整理可得，設(shè)直線的斜率分別為，所以，又，所以，，即為圓的直徑，．．②當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，則直線的方程為，所以，也滿足，所以，綜上，。（ⅱ）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，