專題2.3 有理數(shù)的乘除法【十大題型】（舉一反三）（人教版2024）（解析版）

專題2.3有理數(shù)的乘除法【十大題型】

【人教版2024】

【題型1利用有理數(shù)的乘法辨別符號】................................................................................................................2

【題型2利用有理數(shù)乘法運算律進行巧算】........................................................................................................3

【題型3倒數(shù)、絕對值、相反數(shù)的綜合求值】....................................................................................................5

【題型4有理數(shù)乘法的實際應用】........................................................................................................................7

【題型5有理數(shù)的混合運算】................................................................................................................................9

【題型6有理數(shù)四則運算的實際應用】..............................................................................................................13

【題型7利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】..........................................................................................................16

【題型8化簡分數(shù)】..............................................................................................................................................18

【題型9與有理數(shù)乘除有關的新定義問題】......................................................................................................20

【題型10有理數(shù)四則運算中的分類討論思想的運用】....................................................................................24

知識點1：有理數(shù)的乘法

1.有理數(shù)的乘法

有理數(shù)乘法法則：（下列法則中a、b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)）

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，積的絕對值兩乘數(shù)的絕對值的積。任何數(shù)同0相乘，都得0。

即：ab=ab；ab=ab；a(b)=-ab；；(a)b=-ab；；0c0。

有理數(shù)乘法的運算步驟：先確定積的符號，再確定積的絕對值。

多個有理數(shù)相乘：幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積

為負數(shù)，即“奇負偶正”。幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于0。

多個有理數(shù)相乘的運算步驟：先用上面的方法確定符號，再將各乘數(shù)的絕對值相乘作為積的絕對值。

2.有理數(shù)乘法運算律

乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變。即：abba。

乘法結合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變。

即：abcabca(bc)。

第1頁共26頁.

乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再

把積相加。即：a(bc)abac。

【題型1利用有理數(shù)的乘法辨別符號】

【例1】（23-24七年級·浙江紹興·階段練習）4個有理數(shù)相乘，積的符號是負號，則這4個有理數(shù)中，負數(shù)

有()

A．1個或3個B．1個或2個C．2個或4個D．3個或4個

【答案】A

【分析】本題考查了多個有理數(shù)的乘法運算．熟練掌握多個有理數(shù)相乘，奇負偶正是解題的關鍵．

根據(jù)多個有理數(shù)相乘，奇負偶正，進行作答即可．

【詳解】解：由多個不為0的數(shù)相乘，奇數(shù)個負數(shù)積為負數(shù)，偶數(shù)個負數(shù)積為正數(shù)可知，這4個有理數(shù)中，

負數(shù)有1個或3個，

故選：A．

【變式1-1】（23-24七年級·安徽合肥·階段練習）若???<0，??>0，那么這兩個數(shù)（）

A．都是正數(shù)B．都是負數(shù)C．一正一負D．符號不能確定

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，有理數(shù)的減法法則，即可解答．

【詳解】解：∵??>0，

∴a，b同號，

若a，b都是負數(shù)，存在???<0，

若a，b都是正數(shù)，同樣存在???<0，

∴這兩個數(shù)符號不能確定，

故選：D．

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法及有理數(shù)的加法，掌握有理數(shù)的乘法及有理數(shù)的減法是解題的關鍵．

【變式1-2】（23-24七年級·重慶江津·階段練習）已知?>?>?，且?+?+?=0，那么乘積??的值一定是

（）

A．正數(shù)B．負數(shù)C．0D．不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，判斷出?、?的正負，即可求解．

【詳解】解：∵?>?>?，且?+?+?=0，

第2頁共26頁.

∴?>0，?<0，即?與?異號，

則??的值一定是負數(shù)．

故選：B．

【點睛】此題考查了有理數(shù)乘法以及加法運算，解題的關鍵是正確判斷出?、?的正負．

【變式1-3】（23-24七年級·安徽宣城·期末）如圖，A，B兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a，b，下列式子成

立的是（）

A．??>0B．?+?>0C．(??1)(??1)>0D．(?+1)(??1)>0

【答案】B

【分析】先根據(jù)數(shù)軸確定a，b的取值范圍，再逐一判定即可解答．

【詳解】解：由數(shù)軸可得：?1<?<0<1<?，

∴??<0，?+?>0，(??1)(??1)<0，(?+1)(??1)<0，故B正確．

故選：B．

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸，有理數(shù)的乘法，解決本題的關鍵是根據(jù)數(shù)軸確定a，b的取值范圍．

【題型2利用有理數(shù)乘法運算律進行巧算】

13243520212023

【例2】（七年級全國假期作業(yè)）計算：(?1×2)×(?×)×(?×)×(?×)×…×(?×

23-24··22334420222022

20222024

)×(?×)．

20232023

2024

【答案】?

2023

【分析】此題考查了有理數(shù)的乘法運算，根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則計算即可，掌握有理數(shù)的運算法則是

解題的關鍵．

【詳解】解：原式=?×13×24×35×…×20212023×20222024

(1×2)2×23×34×42022×20222023×2023

1324352021202320222024

=?1×2×××××××…××××，

2233442022202220232023

2024

=?．

2023

57

【變式2-1】（七年級全國課后作業(yè)）計算15×，最簡便的方法是（）

23-24··716

5727110757

A．×B．×C．×D．×

15+71616?71671610+5716

【答案】B

第3頁共26頁.

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法運算法則逐項驗證即可得到答案．

577

【詳解】解：15×最簡便的計算方法是2×，

71616?716

故選：B．

【點睛】本題考查有理數(shù)乘法運算，熟練掌握有理數(shù)乘法運算法則是解決問題的關鍵．

【變式2-2】（23-24七年級·全國·隨堂練習）用簡便方法計算：

(1)(?7.5)×(+25)×(?0.04)；

1

(2)×1.25×．

?420(?8)

【答案】(1)7.5

1

40

(2)2

【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法，關鍵是熟記有理數(shù)乘法法則與運算定律．

（1）根據(jù)有理數(shù)乘法法則與乘法的結合律進行簡便運算；

（2）運用乘法的結合律與分配律進行簡便運算便可．

【詳解】（1）解：(?7.5)×(+25)×(?0.04)

=7.5×(25×0.04)

=7.5×1

=7.5；

1

（2）解：×1.25×

?420(?8)

1

=4×(1.25×8)

20

1

=4+×10

20

1

=40+

2

1

=40．

2

【變式2-3】（23-24七年級·江蘇鹽城·階段練習）用簡便方法計算：

17

19×；

(1)18(?9)

(2)0.618×97+3×0.618．

1

【答案】?179

(1)2

第4頁共26頁.

(2)61.8

【分析】本題考查有理數(shù)乘法的運算律，掌握利用乘法分配律進行計算是解題的關鍵．

（1）利用乘法分配律計算即可；

（2）利用乘法分配律計算即可．

1111

【詳解】（1）解：原式=×=20×?×=?180+=?179；

20?18(?9)(?9)18(?9)22

（2）原式=0.618×(97+3)=0.618×100=61.8．

知識點2：倒數(shù)

1）倒數(shù)的概念：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

2）倒數(shù)的性質：（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)。（2）0沒有倒數(shù)。（3）互為倒數(shù)的

兩個數(shù)的乘積一定是1，即a，b互為倒數(shù)，則ab1；反之亦然．

3）求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可。

（1）非零整數(shù)可以看作分母為1的分數(shù)后再求倒數(shù)；（2）帶分數(shù)一定要先化成假分數(shù)之后再求倒數(shù)。

【題型3倒數(shù)、絕對值、相反數(shù)的綜合求值】

【例3】（23-24七年級·重慶·期末）?1.5的倒數(shù)的絕對值的相反數(shù)為．

2

【答案】?

3

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義、相反數(shù)的定義、絕對值的定義解答即可．

3

【詳解】解：?1.5=?，

∵2

32

?的倒數(shù)是?，

∴23

22

?的絕對值是，

∴33

22

的相反數(shù)為?，

∴33

2

?1.5的倒數(shù)的絕對值的相反數(shù)為?，

∴3

2

故答案為?．

3

【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義，絕對值的定義，相反數(shù)的定義，掌握倒數(shù)的定義及相反數(shù)的定義是解題

的關鍵．

第5頁共26頁.

【變式3-1】（23-24七年級·浙江·階段練習）甲、乙兩同學進行數(shù)字猜謎游戲，甲說：一個數(shù)a的相反數(shù)是

它本身，乙說：一個數(shù)b的倒數(shù)也是它本身，則a-b=

【答案】±1.

【分析】利用相反數(shù)和倒數(shù)的定義求出a、b，然后相減即可.；

【詳解】解：a的相反數(shù)是它本身，說明a為0；一個數(shù)b的倒數(shù)也是它本身，說明b為±1；

那么a-b=a±1=0±1=±1

答案為：±1.

【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義，相反數(shù)的定義，熟記概念并確定出a、b的值是解題的關鍵.

1

【變式3-2】（七年級四川成都期末）若a，b互為相反數(shù)，?+1的倒數(shù)是?，則b的值為．

23-24··4

【答案】5

【分析】本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，互為倒數(shù)的兩個數(shù)的積為1，列式

計算即可．

1

【詳解】a，b互為相反數(shù)，?+1的倒數(shù)是?，

∵4

∴?+?=0，?+1=?4，

∴?=??，

∴??+1=?4，

解得?=5，

故答案為：5．

【變式3-3】（23-24七年級·內蒙古呼倫貝爾·期末）已知?，?互為相反數(shù)，?，?互為倒數(shù)，?的絕對值等于

4，?是數(shù)軸上原點表示的數(shù)．

(1)分別直接寫出?+?，??，?，?的值；

?+?

????++?的值是多少？

(2)??

【答案】(1)?+?=0，??=1，?=±4，?=0；

(2)3或?5

【分析】（1）本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、數(shù)軸，?，?互為相反數(shù)，得到?+?=0，根據(jù)?，?互為

倒數(shù)，得到??=1，根據(jù)?的絕對值等于4，所以?=±4，?是數(shù)軸上原點表示的數(shù)，所以?=0；

（2）本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、數(shù)軸，將?+?、??、?、?代入求解即可得到答案；

第6頁共26頁.

【詳解】（1）解：∵?，?互為相反數(shù)，

∴?+?=0，

∵?，?互為倒數(shù)，

∴??=1，

∵?的絕對值等于4，

∴?=±4，

∵?是數(shù)軸上原點表示的數(shù)，

∴?=0；

（2）解：①當?=4時，

?+?

∴????++?=0?1+0+4=3，

??

②當?=?4時，

?+?

∴????++?=0?1+0?4=?5，

??

?+?

∴????++?的值為3或?5．

??

【題型4有理數(shù)乘法的實際應用】

【例4】（23-24七年級·廣東廣州·開學考試）如圖，把A，B，C，D，E這五部分用四種不同的顏色著色，

且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色．那么，這幅圖一共有種不

同的著色方法．

【答案】96

【分析】

本題考查了有理數(shù)的乘法運算，按照A，B，C，D，E的順序依次著色，判斷各部分可以使用的顏色種樹即

可求解．

【詳解】解：由題意得：A有四種顏色可以選擇，B有三種顏色可以選擇，

則C有兩種顏色可以選擇，D有兩種顏色可以選擇，E有兩種顏色可以選擇，

∴這幅圖一共有著色方法：4×3×2×2×2=96（種）

第7頁共26頁.

故答案為：96

【變式4-1】（23-24七年級·黑龍江大慶·期末）某商店將一種取暖器先提價20%，然后宣傳打八五折銷售，

取暖器的現(xiàn)價（）

A．和原來一樣B．比原來降了C．比原來漲了D．無法判斷

【答案】C

【分析】假設取暖器原價為100元，則現(xiàn)價為100×(1+20%)×0.85%=102（元），進而可求；

【詳解】解：假設取暖器原價為100元，

則現(xiàn)價為100×(1+20%)×0.85%=102（元），

∵100<102，

∴取暖器的現(xiàn)價比原來漲了．

故選：C．

【點睛】本題主要考查有理數(shù)乘法的應用，列出算式并正確計算是解題的關鍵．

【變式4-2】（23-24·江西吉安·三模）《九章算術》是我國古代第一部數(shù)學專著，不僅最早提到分數(shù)問題，

也首先記錄了“盈不足”等問題，在第七章“盈不足”中有這樣一個問題：“今有蒲生一日，長三尺．蒲生日自

半”．其意思是“有蒲這種植物，蒲第一日長了3尺，以后蒲每日生長的長度是前一日生長的長度的一半”．根

據(jù)題意，第三日蒲生長的長度為尺．

【答案】3

4

【分析】本題主要考查利用有理數(shù)的運算解決實際問題的能力，關鍵是能根據(jù)實際問題準確列出算式．

根據(jù)蒲的增長規(guī)律計算第3天的長度即可．

113

【詳解】解：3××=（尺）

224

故答案為：3．

4

【變式4-3】（23-24七年級·山東臨沂·期末）某公園門票價格如下表，有28名中學生游公園，則最少應付

費元．（游客只能在公園售票處購票）

購票張數(shù)1～29張30～60張60張以上

每張票的價格20元18元16元

【答案】540

第8頁共26頁.

【分析】本題考查了有理數(shù)大小比較的運用，本題只需仔細分析圖表即可解決問題．根據(jù)公園門票價格規(guī)

定，通過計算得出應盡量設計的能夠享受優(yōu)惠的購票方案．

【詳解】解：解：28人買28張的話需付28×20=560（元），

買30張的話，付30×18=540（元），

所以最少應付費540元．

故買30張付540元是最少的付費方式．

故答案為：540．

知識點3：有理數(shù)的除法

1

1）有理數(shù)除法法則1：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即：a?ba×，(b10)。

b

有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值

的商。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

2）有理數(shù)除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。

有理數(shù)的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。

【題型5有理數(shù)的混合運算】

【例5】（23-24七年級·重慶九龍坡·階段練習）計算

2122

(1)?÷÷×

5?3?3553

1712

(2)1÷+÷

?83|5?3|

【答案】(1)?2

(2)?3

【分析】（1）先將帶分數(shù)化為假分數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)乘除法的運算法則按照同級運算從左到右的順序計算

即可得到答案；

（2）先算絕對值里面的，再根據(jù)乘除互化，將除法轉化為乘法，再結合有理數(shù)加法運算法則求解即可得到

答案．

2122

【詳解】（1）解：?÷÷×

5?3?3553

211717

=?÷?÷?×

5353

第9頁共26頁.

2517

=?×(?3)×?×

5173

=?2；

1712

（2）解：1÷+÷

?83|5?3|

7310

=1×(?8)+÷?

3|1515|

77

=1×(?8)+÷?

3|15|

77

=1×(?8)+÷

315

715

=1×(?8)+×

37

=?8+5

=?3．

【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，涉及絕對值運算，熟練掌握加減乘除運算法則及運算順序是解決問

題的關鍵．

【變式5-1】（23-24七年級·福建廈門·期中）下面是小明的計算過程，請仔細閱讀，并解答下面的問題．

13

計算：(?15)÷(?3?)×6

32

25

解：原式(?15)÷(?)×6第一步

=6……

=(?15)÷(?25)……第二步

3

?第三步

=5……

解答過程是否有錯，若有，錯在第幾步？錯誤原因是什么？最后請寫出正確的過程．

【答案】見解析

【分析】根據(jù)有理數(shù)的運算順序和運算法則判斷即可得；依據(jù)混合運算順序和運算法則判斷即可得；由乘

除同級運算應該從左到右依次計算和兩數(shù)相除同號得正判斷可得；先計算括號內的數(shù)，然后化除為乘再進

行有理數(shù)的乘法運算．

【詳解】解：解答過程有錯．錯在第二步和第三步．

第二步運算順序錯誤，乘除同級運算應該從左到右依次計算；

第三步有理數(shù)的除法法則運用錯誤，兩數(shù)相除，同號得正．

13

正確過程：(?15)÷(?3?)×6

32

第10頁共26頁.

25

解：原式(?15)÷(?)×6

=6

6

(?15)×(?)×6

=25

108

=5

【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則．

411414

【變式5-2】（23-24七年級·吉林白城·階段練習）計算：×2+×?1×．

?54?452?5

4

【答案】?

5

4

【分析】逆用乘法分配律，提出?，計算出括號內的值，而后相乘即得．

5

141

【詳解】4×2+1×?1×4

?54?452?5

491434

=?×+×??×?

544525

4913

=?×+?

5442

4

=?×1

5

4

=?．

5

【點睛】本題主要考查了乘法的分配律，熟練掌握乘法的分配律，有理數(shù)的加減法、乘法，是解決問題的

關鍵．

11

【變式5-3】（23-24七年級·河北石家莊·階段練習）老師布置了一道練習：計算÷×12．

(?16)4?3

嘉嘉和淇淇的解答過程如下：

嘉嘉的解答過程

淇淇的解答過程

解：原式=÷1×12（第

(?16)?1211

解：原式=÷?×12（第一步）

(?16)43

一步）

=?64?4（第二步）

=(?16)÷(?1)（第二步）

=?68（第三步）

=16（第三步）

(1)①嘉嘉解題過程中開始出現(xiàn)錯誤的是第______步；

②淇淇解題過程中開始出現(xiàn)錯誤的是第______步．

(2)把正確的解題過程寫出來．

第11頁共26頁.

315

(3)計算：×÷14．

(?24)4+6?8

【答案】(1)①二，②一

(2)見解析

1

?

(3)2

【分析】（1）①嘉嘉在第二步計算乘除混合運算時，應按照從左到右順序依次計算；②淇淇第一步計算

含有括號時，應該先計算括號里面的；

（2）按照有理數(shù)的混合運算法則進行，先計算括號里面的，再從左到右依次計算乘除．

（3）根據(jù)有理數(shù)的混合運算進行計算即可求解．

【詳解】（1）解：①嘉嘉解題過程中第二步計算有錯誤，

故答案為：二；

②淇淇解題過程中第一步有錯誤，

故答案為：一；

11

（2）解：÷×12

(?16)4?3

1

=(?16)÷?×12

12

=(?16)×(?12)×12

=192×12

=2304；

315

（3）×÷14

(?24)4+6?8

184151

=?24×+?×

24242414

71

=?24××

2414

1

=?．

2

【點睛】本題考查了有理數(shù)混合運算，在計算有理數(shù)混合運算時，有括號先計算括號里面的，再計算乘方，

然后計算乘除，最后計算加減，同級運算時從左往右依次進行計算，熟練掌握有理數(shù)混合運算法則是解題

關鍵．

第12頁共26頁.

【題型6有理數(shù)四則運算的實際應用】

【例6】（23-24七年級·山東威?！て谥校庀蠼y(tǒng)計資料表明：高山上的溫度每升高100米，平均氣溫下降

0.6℃．已知山腳的溫度是8℃．

(1)若這座山的高度是2千米，求山頂?shù)臏囟龋?/p>

(2)小明在上山過程中看到溫度計上的讀數(shù)是?1℃，此時他距山腳有多高？

【答案】(1)?4℃

(2)1500米

【分析】本題考查正數(shù)和負數(shù)及有理數(shù)運算的實際應用．

（1）根據(jù)題意列式計算即可；

（2）根據(jù)題意列式計算即可．

結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵．

【詳解】（1）解：8?2000÷100×0.6

=8?12

=?4(℃)，

即山頂?shù)臏囟葹?4℃；

（2）[8?(?1)]÷0.6×100

=9÷0.6×100

=1500（米），

即他距山腳1500米．

【變式6-1】（23-24七年級·貴州銅仁·階段練習）某服裝公司2017年四個季度的盈虧情況如下：第一季度

平均每月虧損1.5萬元，第二季度在全體員工的努力下，平均每月盈利2萬元，第三季度平均每月盈利1.7

萬元，第四季度平均每月虧損2.9萬元，那么這個公司2017年平均每月盈虧情況如何？

【答案】這個公司2017年平均每月虧損0.175萬元．

【分析】首先用這個公司去年每個季度的盈虧額乘3，求出每個季度的盈虧額分別是多少；然后把它們相加，

再除以12即可求解．

【詳解】解：(?1.5)×3+2×3+1.7×3+(?2.9)×3

=?4.5+6+5.1+(?8.7)

=?2.1（萬元）

第13頁共26頁.

?2.1÷12=?0.175（萬元）

答：這個公司2017年平均每月虧損0.175萬元．

【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，解答此題的關鍵是求出每個季度的盈虧額分別是多少．

【變式6-2】（23-24七年級·四川成都·期中）小張第一次用180元購買了8套兒童服裝，以一定價格出售.

如果以每套兒童服裝80元的價格為標準，超出的記作整數(shù)，不足的記作負數(shù)，記錄如下（單位：元）：

+12,?13,+15,+11,?17,?11,0,?13.

請通過計算說明：

（1）小張賣完這8套兒童服裝后是盈利還是虧損？盈利（或虧損）了多少錢？

（2）每套兒童服裝的平均售價是多少元？

（3）小張第二次用第一次的進價再次購買900元的兒童服裝，如果他預計第二次每套服裝的平均售價75

元，按他的預計第二次售價可獲利多少元？

【答案】（1）當他賣完這八套兒童服裝后是盈利了，盈利了444元；（2）每套兒童服裝的平均售價是78元；

（3）按他的預計第二次售價可獲利2100元.

【分析】（1）把所得的正負數(shù)相加，再同以55元售價售出的總價相加，求出買出的錢數(shù)，再同400元進

行比較，可知賺了還是虧了，進而求出賺或虧的錢數(shù)；

（2）用售出的總價除以8可求出平均售價是多少元，據(jù)此解答．

（3）根據(jù)利潤=售價-進價即可求得.

【詳解】(1)(+12)+(?13)+(+15)+(+11)+(?17)+(-11)+0+(?13)=?16.

80×8?16=640?16=624(元)

624>180，所以賺錢

624?180=444(元)

答：當他賣完這八套兒童服裝后是盈利了，盈利了444元；

(2)624÷8=78(元)

答：每套兒童服裝的平均售價是78元.

(3)每套衣服的進價為：180÷8=22.5元,

第二次可以購進服裝900÷22.5=40套，

75×40?900=2100.

答：按他的預計第二次售價可獲利2100元.

【點睛】考查了正數(shù)與負數(shù)的應用，得到總售價是解決問題的關鍵.

第14頁共26頁.

【變式6-3】（23-24七年級·四川成都·期中）居民生活中使用天然氣實行階梯式計價，用戶每月用氣量在20

立方米及以內的為第一級基數(shù)，按一級用氣價格收?。怀^20立方米且不超過30立方米的部分為第二級

氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.5倍收取：超過30立方米的部分為第三級氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.8

倍收取．為節(jié)約用氣量，小明記錄了1－7月份他家每月1號的氣表讀數(shù)．

1月2月3月4月5月6月7月

氣表讀數(shù)（立方米）433450468485500514535

（1）直接寫出小明家1月份的用氣量____________立方米及1－6月平均每月用氣量為_______立方米．

（2）已知小明家2月份的氣費為36元，試求他家6月份需交氣費多少元？

（3）7月份放暑假后，小明的爺爺、奶奶及表哥來到家里和小明一起生活，并多次請客，用氣量明顯增加，

比6月份多用氣12立方米，試求小明家7月份需交納氣費多少元？

【答案】（1）17；17；（2）43元；（3）80.8元

【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以得出小明家1月份的用氣量和1?6月份平均每月的用氣量

（2）根據(jù)小明家2月份的氣費為36元，可以計算出一級用氣價格，再根據(jù)小明家6月份的用氣量超過20立方

米且不超過30立方米，超過20立方米的部分按第二級氣量基數(shù)，結合題意，從而即可計算

（3）根據(jù)題意，可計算出小明家7月的用氣量，再結合題意，即可計算

【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可得：小明家1月份的用氣量為450?433=17立方米；

1?6月份平均每月的用氣量為：(535?433)÷6=17立方米

故答案為：17；17

（2）∵小明家2月份的氣費為36元，2月份的氣費量為：468?450=18<20

∴一級用氣價格為：36÷18=2（元/立方米）

∵6月份的用氣量為535?514=21立方米，氣量超過20立方米且不超過30立方米的部分按第二級氣量基

數(shù)，超出部分按一級用氣價格的1.5倍收取

∴6月份小明家需交氣費為：20×2+1×2×1.5=43元

（3）∵小明家6月份的用氣量為：21立方米，7月份的用氣量比6月份的多12立方米

∴7月份的用氣量為：21+12=33立方米

∵氣量超過20立方米且不超過30立方米的部分為第二級氣量基數(shù)，超出部分按一級用氣價格的1.5倍收取，

用氣量超過30立方米的部分為第三級氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.8倍收取費用

∴7月份小明家需交氣費為：20×2+10×2×1.5+3×2×1.8=80.8元

第15頁共26頁.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題關鍵是明確題意，求出相應的收費標準．

【題型7利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】

【例7】（23-24七年級·遼寧鞍山·階段練習）閱讀下列材料，并解答問題：

??1

材料一：乘積為的兩個數(shù)互為倒數(shù)，如和，即若設?÷?=?，則?÷?=；

1???

材料二：分配律：(?+?)?=??+??；

利用上述材料，請用簡便方法計算：1÷111．

?603?4+12

1

【答案】?

10

11

【分析】設?=?，?=111，先求得?÷?的值，再由倒數(shù)關系?÷?=即可解答；

603?4+12?÷?

1

【詳解】解：設?=?，?=111，

603?4+12

1111

?÷?=?+÷?

341260

111

=?+×(?60)

3412

111

=×(?60)+?×(?60)+×(?60)

3412

=?20+15?5

=?10，

∵?÷?和?÷?互為倒數(shù)，

11

∴?÷?==?，

?÷?10

1

∴1÷111=?；

?603?4+1210

【點睛】本題考查了倒數(shù)，乘法分配律，有理數(shù)的混合運算；當?÷?較難計算而?÷?較易計算時，可以利

用倒數(shù)關系來簡化運算．

【變式7-1】（23-24七年級·吉林長春·階段練習）我們學過了乘法分配律，但是在做除法運算時就不能使用

1

分配律．對于下面這道計算題：?÷1223，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的

426?7+3?14

1223112231223

倒數(shù)：÷?=×(?42)=?×42+×42?×42+×42＝﹣7+12﹣28+9

6?7+3?14426?7+3?1467314

11137

＝﹣14，所以原式＝﹣請你仿照以上小明的做法計算：÷

14?241?12?8+12

【答案】1

7

第16頁共26頁.

【分析】仿照小明的做法，計算即可求出所求．

1371

【詳解】解：先求原式的倒數(shù)=÷

1?12?8+12?24

＝（﹣1﹣37）（﹣）

1128+12×24

＝﹣24+36+9﹣14

＝7，

則原式＝1．

7

【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

【變式7-2】（23-24七年級·全國·隨堂練習）閱讀材料，回答問題．

計算：1÷11．

?155?3

1

解：方法一：原式=1÷35=1÷2=．

?1515?15?15?152

11

方法二：原式的倒數(shù)為：11÷1=11×=×?×=?3+5=2

5?3?155?3(?15)5(?15)3(?15)

1

故原式=．

2

用適當?shù)姆椒ㄓ嬎悖?÷2112．

?303?10+6?5

1

【答案】?

10

【分析】此題考查了有理數(shù)的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

求出原式的倒數(shù)，即可確定出原式的值．

【詳解】解：∵2112÷1

3?10+6?5?30

2112

=?+?×(?30)

31065

=?20+3?5+12

=?10，

1

原式=?．

∴10

【變式7-3】（23-24七年級·浙江杭州·階段練習）閱讀下列材料：

1

計算：÷111．

603?4+12

11111111111

解法：原式÷?÷+÷=×3?×4+×12=．

①=603604601260606060

第17頁共26頁.

14311111

解法②：原式=÷=÷=×6=．

6012?12+126066010

1111111111

解法③：原式的倒數(shù)為÷=×60=×60?×60+×60=20?15+5=10，

3?4+12603?4+123412

原式1

∴=10

11111

解法④：原式=÷=1÷=

60×603?4+12×60(20?15+5)10

(1)上述解法中，肯定有錯誤的解法．你認為解法是錯誤的；

13521

(2)在正確的解法中，選擇一種解法計算：?÷

427?14+3?6

【答案】(1)①

(2)?24

【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的運算法則以及運算順序觀察，由于除法沒有分配律，即可求解；

（2）選取解法中正確的一種解法進行解題即可．

【詳解】（1）解：解法①是錯誤的，除法沒有分配律；

故答案為：①．

35211

（2）原式的倒數(shù)為÷

7?14+3?6?42

3521

=?+?×(?42)

71436

3521

=×(?42)?×(?42)+×(?42)?×(?42)

71436

=?18+15?28+7

=?24，

1

原式=?

∴24

【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，乘法分配律，能夠根據(jù)題目中幾種方式進行計算是解題的關鍵．

【題型8化簡分數(shù)】

【例8】（23-24七年級·全國·專題練習）化簡下列分數(shù)：

?21；

(1)7

3；

(2)?36

?54；

(3)?8

第18頁共26頁.

?6．

(4)?0.3

【答案】(1)?3

1

?

(2)12

27

(3)4

(4)20

【分析】直接根據(jù)有理數(shù)的除法法則計算即可．

?211

【詳解】（）=?21÷7=?21×=?3；

177

311

（）=?3×=?；

2?363612

?54127

（3）=?54×=；

?8?84

?610

（4）=?6÷=?6×=20．

?0.3(?0.3)?3

【點睛】此題考查有理數(shù)的除法，解題關鍵是先明確式子的符號，再利用除一個數(shù)就是乘這個數(shù)的倒數(shù)的

計算法則計算．

【變式8-1】（23-24·上海楊浦·三模）下列分數(shù)中，能化為有限小數(shù)的是（）

．1．3．1．5

A12B12C15D15

【答案】B

【分析】本題考查分數(shù)和小數(shù)的互化，解題的關鍵是運用有理數(shù)的除法法則分別計算即可判斷．

1·

【詳解】解：．=0.083，故此選項不符合題意；

A12

3

．=0.25，故此選項符合題意；

B12

1·

．=0.06，故此選項不符合題意；

C15

5·

．=0.3，故此選項不符合題意．

D15

故選：B．

?1254?3?5

【變式8-2】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）化簡下列各分數(shù)：=，=，1=，

5?36?2?0.2

=．

第19頁共26頁.

1

【答案】?25；?；6；25．

9

【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法運算法則計算即可．

?125125

【詳解】解：=?=?25，

55

441

=?=?，

?36369

?33

1=1=6，

?22

?55

==25，

?0.20.2

1

故答案為：?25，?，6，25．

9

【點睛】此題考查了有理數(shù)除法運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)除法運算法則：兩數(shù)相除，同號得正，異

號得負，并把絕對值相除．

|?||??|

【變式8-3】（七年級全國專題練習）如果?<0<?，則化簡+．

23-24··???=

【答案】0

【分析】根據(jù)絕對值的意義及有理數(shù)乘除法運算法則進行分析化簡．

【詳解】解：∵?>0，

|?|

=1，

∴?

∵?>0,?<0，

|??|

，

∴??=?1

|?||??|

+，

∴???=1-1=0

故答案為：0．

【點睛】本題考查絕對值的化簡，有理數(shù)的乘除法運算，理解絕對值的意義，掌握有理數(shù)乘除法運算法則

是解題關鍵．

【題型9與有理數(shù)乘除有關的新定義問題】

【例9】（23-24七年級·河北石家莊·期中）在數(shù)軸上，把原點記作點?，表示數(shù)1的點記作點?．對于數(shù)軸

上任意一點?（不與點?，點?重合），將線段??與線段??的長度之比定義為點?的特征值，記作?，即?=

??

．例如：當點?是線段??的中點時，因為??=??，所以?=1．如圖，點,,為數(shù)軸上三個點，點

???1?2?3?1

1

表示的數(shù)為?，點表示的數(shù)與點表示的數(shù)互為相反數(shù)，點表示的數(shù)為2．

4?2?1?3

第20頁共26頁.

(1)點?2表示的數(shù)為：___________；

(2)求?1,?2,?3的值，比較?1,?2,?3的大小，并用“<”連接；

1

若數(shù)軸上有一點?滿足??=??，求?．

(3)3

【答案】1

(1)4

11

=，=，=2，?<?<?

(2)?15?23?3123

1或1

(3)24

【分析】（1）根據(jù)相反數(shù)的定義即可解答；

??

（）根據(jù)?=求出求?,?,?的值，再根據(jù)有理數(shù)大小比較的方法解答即可；

2??123

??

（）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式可知點?表示的數(shù)，再根據(jù)?=解答即可．

3??

1

【詳解】（）解：點表示的數(shù)為?，點表示的數(shù)與點表示的數(shù)互為相反數(shù)，

1∵?14?2?1

點表示的數(shù)為1，

∴?24

故答案為1；

4

1

（）解：點表示的數(shù)為?，點?表示的數(shù)為1，?表示原點，

2∵?14

11

?1?0??441

∴?==1=5=，

1?1?5

1??44

點表示的數(shù)為1，

∵?24