2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州省預(yù)賽及解析

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州省預(yù)賽注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、選擇題1.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且，則{an}的前15項之和S15等于（）A.15 B.16 C.30 D.322.方程組的解的組數(shù)是（）A.5 B.6 C.7 D.83.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=15，BC=20.則頂點B與斜邊各點的連線中(含邊AB、BC)長度為整數(shù)的線段條數(shù)是（）A.9 B.10 C.11 D.124.已知正三棱錐側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為，則此三棱錐的高h(yuǎn)與其內(nèi)切球半徑r之比是（）A.5 B.6 C.7 D.85.設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為，其焦距為2c.點在橢圓的內(nèi)部，點M是橢圓C上的動點，且恒成立，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題6.如圖，在△ABC中，AB=30，AC=20，S△ABC=210，D、E分別為邊AB、AC的中點，∠BAC的平分線分別與DE、BC交于點F、G，則四邊形BGFD的面積為________.7.已知函數(shù)，若m滿足，則實數(shù)m的取值范圍是____________.8.若半徑的空心球內(nèi)部裝有四個半徑為r的實心球，則r所能取得的最大值為____________.9.在△ABC中，.則____________.10.已知正項數(shù)列的前n項和為.若,均為公差為d的等差數(shù)列，則________.11.已知m∈{11，13，15，17，19}，n∈{2000，2001，…，2019}，則mn的個位數(shù)是1的概率為____________.12.已知方程的五個根分別為，f(x)=x2+1，則____________.13.若(a+b)n的展開式中有連續(xù)三項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，則最大的三位正整數(shù)n=____________.14.求平面區(qū)域的面積為____________.15.已知集合A={1，2，3，…，2019}，對于集合A的每一個非空子集的所有元素，計算它們乘積的倒數(shù).則所有這些倒數(shù)的和為____________.評卷人得分三、解答題16.我們知道，目前最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個洞(或數(shù)字)，其相對兩面之?dāng)?shù)字和必為七.顯然，擲一次六面骰，只能產(chǎn)生六個數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設(shè)計一個“十進制骰”，使其擲一次能產(chǎn)生0~9這十個數(shù)之一，而且每個數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣.請問：你能設(shè)計出這樣的骰子嗎?若能，請寫出你的設(shè)計方案；若不能，寫出理由.17.已知定長為4的線段AB的兩端點，分別在兩條相交直線x±2y=0上移動.（1）設(shè)線段AB的中點為G，求點G的軌跡C的方程；（2）若由點P向曲線C作出的兩條切線互相垂直，求證：動點P在定圓上.18.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求證：.

參考答案1.A【解析】1.因為等差數(shù)列{an}的公差d≠0，由，所以，進而，因此.所以有.故選：A.2.B【解析】2.如圖，分別畫出與的圖象，從中看出兩圖象有六個交點，故方程組解的組數(shù)有6組.故選：B.3.D【解析】3.因為頂點B到斜邊AC的距離為12，所以頂點B與斜邊各點的連線中長度為13、14、15的線段各有兩條，長度為12、16、17、18、19、20的線段各有一條，故滿足條件的線段共有2×3+6=12條.故選：D.4.C【解析】4.如圖，過正三棱錐V－ABC的側(cè)棱VC及高VG作截面交AB于點M，則內(nèi)切球O與側(cè)面相切的切點N在VM上.在△VGM中，，故，得到.故選：C.5.D【解析】5.由在橢圓的內(nèi)部，得，即，從而，得到，因此.因為0<e<1，所以3e2－4<0，故3e2<1，得到.又由恒成立，即恒成立，等價于，亦即，等價于，即，得到.綜上，得.故選：D.6.【解析】6.如圖，在△ABC中，由AG平分∠BAC知，故.又S△ABC=210，則.由D、E分別為邊AB、AC的中點知，所以△ADF∽△ABG.由，得到，故.故答案為：．7.【解析】7.由，得到f(－x)=f(x)，且x∈(0，+∞)時，f(x)是增函數(shù).又由得到.所以，故，得到.即m的取值范圍是.故答案為：．8.2【解析】8.當(dāng)半徑為r的四個實心球“最緊湊”時，即此四個球兩兩相切且內(nèi)切于空心球時，r取得最大值.此時，小球的四個球心連線構(gòu)成棱長為2r的正四面體，顯然，此四面體外接球的球心即為實心球球心.在棱長為2r的正四面體中，求得外接球半徑為.于是，空心球的半徑為，所以，解得r=2.故答案為：2．9.【解析】9.設(shè)△ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.由，知G為△ABC的重心.又GA⊥GB，所以.得到.故：.故答案為：．10.【解析】10.根據(jù)兩個數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合特殊的幾項，尋找等量關(guān)系，解方程求解.因為數(shù)列的前項和為，故，，，又也是公差為的等差數(shù)列，則，兩邊平方得：①，兩邊平方得：②②-①可得：③把③代入①得：.故或，因為數(shù)列為正項數(shù)列，故舍去；當(dāng)，代入③解得.故.故答案為：.11.【解析】11.當(dāng)m=11，n∈{2000，2001，…，2019}時，mn的個位數(shù)都是1，此時有20種選法；當(dāng)m=13，n∈{2000，2004，2008，2012，2016}時，mn的個位數(shù)都是1，此時有5種選法；當(dāng)m=15時，mn的個位數(shù)不可能為1，此時有0種選法；當(dāng)m=17，n∈{2000，2004，2008，2012，2016}時，mn的個位數(shù)都是1，此時有5種選法；當(dāng)m=19，n∈{2000，2002，2004，…，2018}時，m的個位數(shù)都是1，此時有10種選法.綜上，所求概率為.故答案為：．12.37【解析】12.設(shè)，則.又f(x)=x2+1=(x－i)(x+i)，所以.故答案為：37．13.959【解析】13.設(shè)(a+b)n的展開式中連續(xù)三項的二項式系數(shù)為.因為，所以，得到①由n為正整數(shù)，則8k+9應(yīng)為奇完全平方數(shù)，故設(shè)8k+9=(2m+1)2，即，代入①式得n=(m+1)2－2或n=m2－2.所以，三位正整數(shù)n的最大值為959.故答案為：959．14.【解析】14.由，得到，所以有或.由，得.所以或，畫出(x，y)的可行域(圖中陰影部分)，從而求得平面區(qū)域的面積為.故答案為：．15.2019【解析】15.集合A的22019－1個非空子集中，每一個集合的所有元素之積分別為：1，2，…，2019，1×2，1×3…，2018×2019，…，1×2×…×2019，它們的倒數(shù)和為.故答案為：2019．16.能，方案見解析【解析】16.因為不存在正十面體，所以直接產(chǎn)生“十進制骰”是辦不到的.但要實現(xiàn)“十進制骰”的要求，這樣的骰子也是能設(shè)計的.即把骰子做成正二十面體，使其相對兩面標(biāo)同一個數(shù)字，這樣0~9這十個數(shù)字就均勻分布在骰子上，當(dāng)擲一次骰子時，最上面出現(xiàn)的數(shù)字必然是0~9這十個數(shù)字之一，顯然，每個數(shù)字出現(xiàn)的可能性一樣故“個位骰”即為“二十面骰”.17.（1）；（2）證明見解析【解析】17.（1）設(shè)A、B、G的坐標(biāo)分別為，則.得到，因此有.所以，點G的軌跡C的方程為：.（2）設(shè)，PS、PT與橢圓C相切于S、T，橢圓C的左、右焦點分別為關(guān)于PS、PT的對稱點分別為.由橢圓的光學(xué)性