2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上冊(cè)第五次限時(shí)作業(yè)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上學(xué)期第五次限時(shí)作業(yè)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知，則“冪函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)”是“指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則不可能滿(mǎn)足的關(guān)系是A． B． C． D．4．已知，則的值是（

）A． B． C． D．5．常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來(lái)描述其衰減情況，這個(gè)時(shí)間被稱(chēng)做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為．開(kāi)始記錄時(shí)，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測(cè)量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則滿(mǎn)足的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．若，則的可能值為（

）A． B．C． D．10．若正整數(shù)，只有1為公約數(shù)，則稱(chēng)，互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)以其首位研究者歐拉命名，稱(chēng)為歐拉函數(shù)，例如：，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．，11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，f′x為的導(dǎo)函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．C．D．對(duì)，，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．化簡(jiǎn)求值：.13．設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為.14．設(shè)三次函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線重合，則．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．求下列各式的值：(1)；(2).(3)已知，且，求的最小值.16．如圖，設(shè)與為兩個(gè)正三棱錐，底面的邊長(zhǎng)為，且平面.(1)當(dāng)多面體體積最小時(shí)，求棱的長(zhǎng)；(2)若平面與平面的夾角為，求的最大值.17．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．18．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.19．定理

如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，這個(gè)定理稱(chēng)為微分中值定理，也稱(chēng)為拉格朗日中值定理.定理表明，如果函數(shù)的圖象是閉區(qū)間上的一條連續(xù)曲線，且當(dāng)時(shí)，曲線上的每點(diǎn)都存在切線，那么，在曲線上至少存在一點(diǎn)，使得該曲線在這一點(diǎn)處的切線平行于曲線兩個(gè)端點(diǎn)的連線，如圖所示.(1)已知，為函數(shù)圖象位于之間的部分上的一點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最大值；(2)如果，證明.(3)如果函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)于任意的，都有f′x<0，證明：函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減.1．D【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，求出函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解.【詳解】解不等式，得或，則或，，函數(shù)有意義，則，即，所以.故選：D2．B【分析】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合必要不充分條件的定義即可得到答案.【詳解】若冪函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù)，則，，若指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，則，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，則“冪函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù)”是“指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.3．D【分析】由可得，從而可得，故，然后對(duì)給出的四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．【詳解】∵，∴，∴，整理得．對(duì)于A，由于，解得，所以A成立．對(duì)于B，由于，解得，所以B成立．對(duì)于C，，所以C成立．對(duì)于D，由于，所以，因此D不成立．故選D．本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的轉(zhuǎn)化及基本不定式的變形及其應(yīng)用，解題時(shí)注意不等式的應(yīng)用，同時(shí)也要注意不等式所需的條件，即“一正、二定、三相等”．4．D【分析】先由求得，再利用正弦倍角公式及齊次分式求解即可.【詳解】，即，整理得，..故選：D.5．B【分析】設(shè)開(kāi)始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題意列出等式即可得答案．【詳解】設(shè)開(kāi)始記錄時(shí)，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，則512天后，甲的質(zhì)量為：，乙的質(zhì)量為：，由題意可得，所以．故選：B．6．B【分析】對(duì)，，取對(duì)數(shù)，探求它們的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)()，借助導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可作答.【詳解】對(duì)，，取對(duì)數(shù)得：，，，令()，，令，，即在上單調(diào)遞增，由得，，于是得，又，因此，，即在上單調(diào)遞增，從而得，即，，所以.故選：B思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問(wèn)題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，細(xì)心挖掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.7．B【分析】由題意首先將所給的方程進(jìn)行恒等變形，然后換元之后將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布的問(wèn)題，最后求解關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題可轉(zhuǎn)化為，令，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，做出函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合題意可知：要使原方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，且關(guān)于的方程在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則∴，解得，表示為區(qū)間形式即.故選：B.本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8．D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及得到或，分別討論兩種情況下四個(gè)選項(xiàng)是否正確，A選項(xiàng)可以用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，B選項(xiàng)可以用作差法，C選項(xiàng)用作差法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，D選項(xiàng)，需要構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；，故；，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故；，；故ABC均錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，兩邊取自然對(duì)數(shù)，，因?yàn)椴还?，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，結(jié)論得證，D正確故選：D9．ACD【分析】先證明，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由，知.所以的可能值為或，從而選項(xiàng)A，C，D正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：ACD.10．AC【分析】對(duì)于AC：利用歐拉函數(shù)定義求解判斷；對(duì)于BD：舉反例說(shuō)明即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的正整數(shù)為，，，，小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的正整數(shù)為，，，，因?yàn)?，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的正整數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，共有個(gè)，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋蔇不正確；故選：AC11．ABC【分析】利用賦值法可判斷A；利用賦值法并對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可判斷B；將變形為形式，利用柯西方程可求得，代入求值，即可判斷C；結(jié)合，利用作差法可判斷D.【詳解】由題意定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足令，則，令，則，即，故為奇函數(shù)，A正確；由于f?x=?fx，故，即則f′x為偶函數(shù)，由可得，由，令得，故，令，則，B正確；又，則，令，則，由柯西方程知，，故，則，由于，故，即，則，C正確；對(duì),故，D錯(cuò)誤，故選：ABC.12．【分析】直接利用二倍角公式、降冪公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可【詳解】解：，故13．1函數(shù)，然后根據(jù)奇偶性的性質(zhì)可求解，然后得出的值.【詳解】函數(shù)，令，則，即為奇函數(shù)，故所以，所以.故答案為.本題考查函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用，難度一般，靈活轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.14．【分析】根據(jù)條件，由兩條切線重合解得的解析式，進(jìn)而得到的值.【詳解】由題知：，∴，在處的切線為，即，∵，，∴在處的切線方程為：又因?yàn)閮蓷l切線重合，∴，∴，又∵，∴，∴解得∴，，∴.故答案為.15．(1)(2)(3)【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算即可.（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與換底公式計(jì)算即可.（3）化解，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）由題意，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).所以的最小值為.16．(1)(2)【分析】（1）利用平面平面得，在中，由射影定理可得，設(shè)，則，利用基本不等式求最小值即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量n=a,b,c，利用面面角的向量坐標(biāo)公式，結(jié)合基本不等式可求最大值.【詳解】（1）如圖所示，連接交平面于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，在正三棱錐和中，和是等腰三角形，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以，在直角中，由射影定理可得，由等邊的邊長(zhǎng)為，易得，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；此時(shí)多面體體積最小，在直角中，解得.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線記為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；則，，，所以，，由（1）可知平面，則是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量n=a,b,c則，即，取，則，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以的最大值為.17．(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析；【分析】（1）討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性.（2）由（1）所得的單調(diào)區(qū)間，討論m，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）由，∴當(dāng)時(shí)，，即在定義域上遞增；當(dāng)時(shí)，上，上，∴在上遞減，上遞增.（2）當(dāng)時(shí)，在定義域上遞增，又，趨于負(fù)無(wú)窮，∴此時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上遞減，上遞增，∴的極小值為，又，趨向正無(wú)窮時(shí)趨于正無(wú)窮大，令且，則，即遞減，又，∴時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).若，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).若，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn).綜上，或時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，或時(shí)無(wú)零點(diǎn)，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，討論參數(shù)，并結(jié)合其單調(diào)性、極值判斷的零點(diǎn)情況.18．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.（2）不等式等價(jià)于在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)明極值點(diǎn)一正一負(fù)，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解的范圍即可.【詳解】（1）解：（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?①若，則，所以在上單調(diào)遞增.②若，令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（2）不等式在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，令，則.對(duì)于函數(shù)，，所以其必有兩個(gè)零點(diǎn).又兩個(gè)零點(diǎn)之積為-1，所以?xún)蓚€(gè)零點(diǎn)一正一負(fù)，設(shè)其中一個(gè)零點(diǎn)，則，即.此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以.由在上單調(diào)遞增，得.故的取值范圍為.19．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先證明點(diǎn)到直線的距離不超過(guò)，再給出點(diǎn)到直線的