2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)銀川市高三上冊(cè)第四次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)銀川市高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.3 C. D.3i【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義及四則運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】化簡(jiǎn)，得其虛部為3.故選：B2.若一個(gè)圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用圓錐的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知圓錐的母線長(zhǎng)，底面圓周長(zhǎng)為，底面圓面積為，所以圓錐側(cè)面積為，故該圓錐表面積為.故選：A.3.已知向量，（），若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則以及向量垂直時(shí)的數(shù)量積表示即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，；因?yàn)椋?，即，解得或（舍去），所以，；故選：B.4.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題意可知，根據(jù)二倍角公式及同角的三角函數(shù)關(guān)系可得，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所?故.故選：C.5.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，公差為d.若，，則（）A. B.C. D.無(wú)最大值【正確答案】B【分析】對(duì)于A：根據(jù)可得，結(jié)合通項(xiàng)公式分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可分析判斷；對(duì)于CD：根據(jù)分析數(shù)列的符號(hào)性，即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，即，可得，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，可知，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，故D錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；故選：B.6.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與直線垂直 B.直線與平面平行C.三棱錐的體積為 D.直線BC與平面所成的角為【正確答案】B【分析】A選項(xiàng)根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；對(duì)于B，D利用空間向量判斷，對(duì)于C，利用體積公式求解即可.【詳解】A選項(xiàng)：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谄矫嫱猓灾本€與平面平行，所以B正確，對(duì)于C，，所以三棱錐的體積為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，直線BC與平面所成的角為，，所以D錯(cuò)誤，故選：B.7.已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（）A.6 B.4 C.3 D.2【正確答案】D【分析】將函數(shù)解析式化為，令，則，設(shè)，，可判斷是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及，求得答案.【詳解】因?yàn)?，，令，則，設(shè)，，則，所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，則，由，解得.故選：D.8.設(shè)，．若動(dòng)直線與交于點(diǎn)A，C，動(dòng)直線與交于點(diǎn)B，D，則的最大值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出圓的圓心和半徑，求出兩條直線位置關(guān)系和經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，作出圖像，設(shè)圓心到其中一條直線的距離為d，根據(jù)幾何關(guān)系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.【詳解】，圓心，半徑，過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，且⊥，如圖，設(shè)和BD中點(diǎn)分別F、G，則四邊形為矩形，設(shè)，，則，則＝，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，，則【正確答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用空間線線、線面、面面垂直或平行關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，得存在過(guò)直線的平面與平交，令交線為，則，而，，則，，因此，A正確；對(duì)于B，由，，，得是平行直線或異面直線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得存在過(guò)直線的平面與平交，令交線為，則，由，得，又，則，因此，C正確；對(duì)于D，，，，當(dāng)都平行于的交線時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知直線：，圓：，以下正確的是（）A.與圓不一定存在公共點(diǎn)B.圓心到的最大距離為C.當(dāng)與圓相交時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，圓上有三個(gè)點(diǎn)到的距離為【正確答案】ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求圓心到直線的距離判斷；對(duì)于B，由于直線恒過(guò)定點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，從而可求出其最大值；對(duì)C，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解判斷；對(duì)D，求出圓心到直線的距離，進(jìn)而判斷.【詳解】對(duì)于A，圓心到直線的距離為，當(dāng)，即，解得或，此時(shí)直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因直線，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，最大值為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，所以圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故D正確.故選：ABD.11.設(shè)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于對(duì)稱，在上單調(diào)遞減，且，則（）A.為偶函數(shù) B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C. D.的極小值為-3【正確答案】ABD【分析】利用函數(shù)對(duì)稱性的恒等式來(lái)證明函數(shù)奇偶性和周期性，從而問(wèn)題得解.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以，即，則為偶函數(shù)，故A正確；由得，，兩邊取導(dǎo)數(shù)得，，即，所以，則是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；由上可知，，又由得，所以，則，所以有，即函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)且周期為8；又由，令得，，則，故C錯(cuò)誤；由在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱可知，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增，由周期性可知，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，即，故D正確，故選：ABD.結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)對(duì)稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12.已知，若直線與直線相互垂直，則a=____.【正確答案】0或2【分析】根據(jù)兩直線垂直得到方程，求出或2.【詳解】?jī)芍本€垂直，故，解得或2.故或213.如圖所示，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長(zhǎng)為__________．【正確答案】【分析】【詳解】如圖，延長(zhǎng)相交于，連接，交于，延長(zhǎng)相交于，連接交于，可得截面五邊形，是邊長(zhǎng)為的正方體，且分別是棱的中點(diǎn)，，截面的周長(zhǎng)為.故答案為.14.已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)在恰有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍為_____________.【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的最小距離可得，再利用平移規(guī)則和函數(shù)奇偶性可求得，根據(jù)函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)極值點(diǎn)可限定出，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，即，可得或，根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知，解得，則；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可得，又為偶函數(shù)，則，又，可得，因此；當(dāng)時(shí)，可知，若函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)極值點(diǎn)，可知，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦函數(shù)圖象性質(zhì)根據(jù)兩零點(diǎn)的最小距離求得，再由平移后的函數(shù)為偶函數(shù)求得，得出函數(shù)的解析式后問(wèn)題便迎刃而解.四、解答題（共5小題，滿分77分.）15.記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【正確答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式即可求解；（2）結(jié)合題意，由（1）的結(jié)論可得，利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)已知數(shù)列的公差為，則，由，得，即，所以或，顯然不為0，所以，所以，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，又，，，所以.16.已知函數(shù).（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積；（2）設(shè)函數(shù)，若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，進(jìn)而可得交點(diǎn)坐標(biāo)和面積；（2）分析可知，參變分離可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，則.又因?yàn)椋詧D象在點(diǎn)處的切線為，與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為和，所求的封閉圖形的面積為.【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)?,+∞，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，所以.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，?′x>0，?x單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，?′所以，所以的取值范圍是.17.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量結(jié)合線面角的正弦求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量求夾角的余弦作答.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，則，又平面，平面，則，而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)，，其中，顯然平面的一個(gè)法向量為，依題意，，解得，于是為的中點(diǎn)，即，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，得，而平面的一個(gè)法向量為，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足．（1）求角B；（2）若，求面積的最大值；（3）求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理以及基本不等式求解即可；（3）利用正弦定理邊角互化將原式轉(zhuǎn)化為，然后令，將原式化為：，最后結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解值域.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理得：，且，可得，即，又因?yàn)?，則，可得，整理可得，且B∈0,π，則可得，解得.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得：，即，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積為：，故面積最大值為.【小問(wèn)3詳解】根據(jù)正弦定理得：，令，則，可得，將原式化為：，因?yàn)椋瑒t，可得，根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，原式取得最小值，；當(dāng)時(shí)，原式取得最大值，；故的取值范圍為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于（3）：對(duì)于已知角的范圍問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)有界性分析求解.19.已知二階行列式，三階行列式，其中分別為的余子式（某個(gè)數(shù)的余子式是指刪去那個(gè)數(shù)所在的行和列后剩下的行列式）．（1）計(jì)算．（2）設(shè)函數(shù)．①若的極值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，求；②若且，函數(shù)，證明：．【正確答案】（1）18（2）①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義，即可求解；（2）根據(jù)題設(shè)定義，得到，（i）先利用極值點(diǎn)的定義，求得，進(jìn)而有，即可求解；（ii）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到的單調(diào)性，從而得到，即可求解.【小問(wèn)1詳解】原式．【小問(wèn)2詳解】．（i）．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為1．因?yàn)榈臉O值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，所以，則公差，所以，所以．（ii）因?yàn)?，所以在上無(wú)零點(diǎn)，在上存在唯一零點(diǎn)，且．令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，而，所以．