山西省西安中學(xué)2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

山西省西安中學(xué)2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則①處應(yīng)填寫（）A． B． C． D．3．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．4．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．設(shè)集合、是全集的兩個子集，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．如圖是一個算法流程圖，則輸出的結(jié)果是（）A． B． C． D．7．（）A． B． C．1 D．8．在展開式中的常數(shù)項為A．1 B．2 C．3 D．79．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．設(shè)，是方程的兩個不等實(shí)數(shù)根，記（）.下列兩個命題（）①數(shù)列的任意一項都是正整數(shù)；②數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù).A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確C．①②都正確 D．①②都錯誤11．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)最小時，若函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為．14．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．15．設(shè)α、β為互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下列四個命題：①若m∥n，則m∥α；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若α∥β，m?α，n?β，則m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n?α，m⊥n，則n⊥β；其中正確命題的序號為_____．16．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若時，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實(shí)數(shù)解、、（），求證：.19．（12分）如圖，已知三棱柱中，與是全等的等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為的前n項和，求證：.21．（12分）如圖，在長方體中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的右焦點(diǎn)為（，為常數(shù)），離心率等于0.8，過焦點(diǎn)、傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵若時，，求實(shí)數(shù)；⑶試問的值是否與的大小無關(guān)，并證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo)，利用求得參數(shù)m，再用計算即可.【詳解】依題意，，而，即，解得，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.2、B【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.【詳解】；；.所以①處應(yīng)填寫“”故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3、A【解析】

先計算出兩個圖像的交點(diǎn)分別為，再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點(diǎn)睛】本題考察定積分的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解題時注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.4、B【解析】

先利用對稱得，根據(jù)可得，由幾何性質(zhì)可得，即，從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示：由對稱性可得：為的中點(diǎn)，且，所以，因為，所以，故而由幾何性質(zhì)可得，即，故漸近線方程為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的知識，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5、C【解析】

作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，，同時.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件，注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，執(zhí)行上述的程序框圖：第1次循環(huán)：滿足判斷條件，；第2次循環(huán)：滿足判斷條件，；第3次循環(huán)：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出計算結(jié)果，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計算與輸出，其中解答中執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計算，同時也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

求出展開項中的常數(shù)項及含的項，問題得解?！驹斀狻空归_項中的常數(shù)項及含的項分別為：,，所以展開式中的常數(shù)項為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。9、B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．10、A【解析】

利用韋達(dá)定理可得,,結(jié)合可推出,再計算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計算數(shù)列中的各項,以此判斷②的正誤.【詳解】因為,是方程的兩個不等實(shí)數(shù)根,所以,,因為,所以,即當(dāng)時,數(shù)列中的任一項都等于其前兩項之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù),則此項個位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,由,,依次計算可知,數(shù)列中各項的個位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個位數(shù)字為0或5的項,故②錯誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計算能力.11、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于，，，錯誤；對于，在上單調(diào)遞減，，錯誤；對于，，，，錯誤；對于，在上單調(diào)遞增，，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.12、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當(dāng)最小時，，之后將函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的個數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當(dāng)最小時，，函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)等價于方程有兩個實(shí)根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點(diǎn)．畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知，即，取雙曲線頂點(diǎn)及漸近線，則頂點(diǎn)到該漸近線的距離為，由題可知，所以，則所求雙曲線方程為.14、【解析】

函數(shù)恰有4個零點(diǎn)，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個零點(diǎn)，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.15、④【解析】

根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項得到答案.【詳解】對于①，當(dāng)m∥n時，由直線與平面平行的定義和判定定理，不能得出m∥α，①錯誤；對于②，當(dāng)m?α，n?α，且m∥β，n∥β時，由兩平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②錯誤；對于③，當(dāng)α∥β，且m?α，n?β時，由兩平面平行的性質(zhì)定理，不能得出m∥n，③錯誤；對于④，當(dāng)α⊥β，且α∩β＝m，n?α，m⊥n時，由兩平面垂直的性質(zhì)定理，能夠得出n⊥β，④正確；綜上知，正確命題的序號是④．故答案為：④．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.16、【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合題意可求得正實(shí)數(shù)的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）零點(diǎn)分段法，分，，討論即可；（2）當(dāng)時，原問題可轉(zhuǎn)化為：存在，使不等式成立，即.【詳解】解：（1）若時，，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，綜上述：不等式的解集為；（2）當(dāng)時，由得，即，故得，又由題意知：，即，故的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對值不等式以及不等式能成立求參數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.18、（1）①當(dāng)時，在單調(diào)遞增,②當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】

（1）先求解導(dǎo)函數(shù)，然后對參數(shù)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）根據(jù)條件先求解出的值，然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，由此證明出.【詳解】（1），①當(dāng)時，恒成立，則在單調(diào)遞增②當(dāng)時，令得，解得，又，∴∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.（2）依題意得，，則由（1）得，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴若方程有三個實(shí)數(shù)解，則法一：雙偏移法設(shè)，則∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調(diào)遞減，∴，即設(shè)，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調(diào)遞增，∴，即∴.法二：直接證明法∵，，在上單調(diào)遞增，∴要證，即證設(shè)，則∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴，∴，即（注意：若沒有證明，扣3分）關(guān)于的證明：（1）且時，（需要證明），其中∴∴∴（2）∵，∴∴，即∵，，∴，則∴【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.（1）對于含參函數(shù)單調(diào)性的分析，可通過分析參數(shù)的臨界值，由此分類討論函數(shù)單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法：構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而達(dá)到證明不等式的目的.19、（1）證明見解析；（2）．【解析】

（1）取BC的中點(diǎn)O，則，由是等邊三角形，得，從而得到平面，由此能證明（2）以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結(jié)果.【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)O，連接，，由于與是等邊三角形，所以有，，且，所以平面，平面，所以．（2）設(shè)，是全等的等邊三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量為，所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點(diǎn)有利用線面垂直證明線性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題目.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）利用與的關(guān)系即可求解.（2）利用裂項求和法即可求解.【詳解】解析：（1）當(dāng)時，；當(dāng)，，可得，又∵當(dāng)時也成立，；（2），【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項求和法，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）解法一：作的中點(diǎn)，連接，.利用三角形的中位線證得，利用梯形中位線證得，由此證得平面平面，進(jìn)而證得平面.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，證得平面.（2）利用平面和平面法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）法一：作的中點(diǎn)，連接，.又為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，又為的中點(diǎn)，∴為梯形的