近五年（2018-2022年）數(shù)學(xué)高考真題分類匯編10：統(tǒng)計(jì)概率（含答案+解析）

十：統(tǒng)計(jì)概率

一：選擇題

1.（2022?全國(guó)甲（文T2）（理T2））某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)

抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后

問(wèn)卷答題的正確率如下圖：

100%

95%

90%

翱85%*……?

盒80%........*■*講座前

出75%*-?講座后

70%*-

65%**

60%

0：

2345678910

居民編號(hào)

貝IJ（）

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

2.（2022?全國(guó)甲（文）T6）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回隨磯抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

1

A.-B.-D

531

3.（2022?全國(guó)乙（文）T）4.分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h）,得如下莖葉圖:

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

4.（2022?全國(guó)乙（理）T10）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、

乙、丙比賽獲勝概率分別為四，〃2，〃3,且P3>P2>Pl>。.記該棋手連勝兩盤的概率為P，則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，〃最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，〃最大

5.（2022?新高考I卷T5）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

11

12

A--C--

6B.32D.3

6.（2022?新高考n卷T5）有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和「相鄰的不同排

列方式有多少種（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

7.（2021?全國(guó)（文））為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

8.（2021?全國(guó)（理））將4個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

9.（2021?全國(guó)（文））將3個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

A0.3B.0.5C.0.6D.0.8

7

10.（202”全國(guó)（理））在區(qū)間（0,1）與（L2）中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于一的概率為（）

4

22392

B.c.D.

932329

11.（2021?全國(guó)（文））在區(qū)間（（），:隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于2的概率為（）

I2_3

11_

C.—D.

36

12.（2021?全國(guó)）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球,

甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1〃，乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2",丙表示事件“兩次取出的球的

數(shù)字之和是8",丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7〃，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

13.（2020?天津）從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑（單位：mm）,將所得數(shù)據(jù)分為9組:

[5.31,5.33）,[5.33,5.35）,…,[5.45,5.47）,[5.47,5.49],并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中,

直徑落在區(qū)間[5.43,5.47）內(nèi)的個(gè)數(shù)為（）

A.10B.18C.20D.36

14.（2020?全國(guó)（文））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)xi,X2,Xn的方差為0.01,則數(shù)據(jù)lOxi,10x2,10斯的方差為（）

A.0.01B.0.1C.1D.10

15.（2020?全國(guó)（文））如圖,將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為6,6，…，62.設(shè)1次/“W12.若k-j=3且j-i=4,則稱

*6,S為原位大三和弦；若k-/=4且/T=3,則稱如可，詼為原位小三和弦.用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和

弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為（）

16.（2020?全國(guó)（理））在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為〃],〃2，凸，〃4，且Z上=1，則下面四

/=1

種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（)

A.Pi=Pi=0.1,p2=p3=0.4B.Pi=p4=0.4,p2=p、=0.1

==

C.Pi=p：=0.2,p2Pi03D.Pi=Pa=0.3,p2=p3=0.2

17.（2020?全國(guó)（文））設(shè)。為正方形A8CD的中心，在O,A,8,C,D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為

（）

12

A.-B.一

55

14

C.—D.-

25

18.（2020?全國(guó)（理））某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：。C）的關(guān)系，在20

個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)5，y）（i=l,2,…,20）得到下面的散點(diǎn)圖：

由此散點(diǎn)圖，在10℃至4CTC之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+b\nx

19.（2019?浙江）設(shè)0va<l,則隨機(jī)變量X的分布列是：

X0a1

P2X1

333

則當(dāng)。在（0,1）內(nèi)增大時(shí)

A.O（X）增大B.Z）（X）減小

c.O（x）先增大后減小D.O（x）先減小后增大

20.（2019?全國(guó)（文））某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2,…，1000,從這些新生中

用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)，若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是

A.8號(hào)學(xué)生B.200號(hào)學(xué)生C.616號(hào)學(xué)生D.815號(hào)學(xué)生

21.（2019?全國(guó)（理））演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分

中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

22.（2019?全國(guó)（理））我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成,

爻分為陽(yáng)爻“一一〃和陰爻“一一”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是

23.（2018?浙江）設(shè)Ovpvl,隨機(jī)變量J的分布列如圖，則當(dāng)P在（0』）內(nèi)增大時(shí),

4012

1-pP_

p

222

A.。⑶減小B.。⑷增大

C.。佰）先減小后增大D.。依）先增大后減小

24.（2018?全國(guó)（理））某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為P,各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該

群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4,尸（X=4）〈尸（X=6）,則〃=

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

25.（2018?全國(guó)（理））如圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直

徑分別為直角三角形48c的斜邊8C,直角邊A8,4c.M8c的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部

分記為III.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I,1b川的概率分別記為p】，P-P"則

A.P1=P2B.P1=P3

C.P2=P3D.P1=P2+P3

26.（2018?全國(guó)（文））某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一暗.實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地

區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例.得到如下餅圖：

笫二產(chǎn)業(yè)收入

第二產(chǎn)業(yè)收入28%

種植收入|60%他收入種植收入（37%尸受其他收入

\Fy7--------4殖收入

養(yǎng)殖收入

建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

?全國(guó)）有一組樣本數(shù)據(jù)占，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)乃，…，月，其中乂=芍+。

27.（2021x2,....%,y,

（i=i,2,…,為非零常數(shù)，則（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

28.（2020?海南）我國(guó)新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線

圖，下列說(shuō)法正確的是

A.這11天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加；

B.這11天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量；

C.第3天至第11天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均超過(guò)80%;

D.第9天至第11天復(fù)產(chǎn)指數(shù)增量大于復(fù)工指數(shù)的增量;

29.（2020?海南）信息燧是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…且

P（X=/）=Pi>0（/=L2,..H）,XA=n定義x的信息端"（x）=-豆PjlogzPj.（）

/=l/=1

A.若〃=1,貝ljH（X）=0

R.若n=2,則”（X）隨著0的增大而增大

C.若"j=,a=l,2,…,〃），則H（X）隨著〃的增大而增大

n

D.若〃=2m,隨機(jī)變量丫所有可能的取值為12…,而，且尸（丫=/）=〃,+九+"/=12…,而），則呼H（X）

二：填空題

30.（2022?浙江卷T15）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記

所抽取卡片上數(shù)字最小值為則尸（4=2）=,E4）=.

31.（2022?全國(guó)甲（理）T15）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

32.（2022?全國(guó)乙（文T14）（理T13））從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概

率為.

33.（2022?新高考n卷T13）已知隨機(jī)變量X股從正態(tài)分布N（2,『），且PQ<X<2.5）=0.36,則P（X>2.5）=

34.（2021?浙江）袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，〃個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為若取出的兩個(gè)球

都是紅球的概率為，，一紅一黃的概率為《，則〃L〃=__________,E?=___________.

63

35.（2020?浙江）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，

直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為久則PC=0）=;E4）=.

36.（2017?北京（理））三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)分

別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)8,的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零

件數(shù)，/=1,2,3.

①記。為第j名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q,。2,Q3中最大的是.

②記P，為第/.名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則pi,P2,P3中最大的是.

.零件數(shù)（件）

?4

?4

工作時(shí)間（小時(shí)）

37.（2020?天津）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為!和假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球

23

都落入盒子的概率為：甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.

38.（2020?汀蘇）己知一組數(shù)據(jù)4.2〃,3-。,5,6的平均數(shù)為4.則。的值是.

39.（2020?江蘇）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是.

40.（2019?全國(guó)（文））我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率

為0.97,有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率

的估計(jì)值為.

三：解答題

41.（2022?全國(guó)甲（文）T）（2022?全國(guó)甲（文）T17）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了

解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

42.（2022?全國(guó)甲（理）T19）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0

分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,

0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求用學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

43.（2022?全國(guó)乙（文T19）（理T19）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)?林區(qū)某種

樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：n?）和材積量（單位：nf），

得到如下數(shù)據(jù):

總

樣本號(hào)i12345678910

和

根部橫截面積

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

王

材積量必0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得Z個(gè)2=0.038，Zy：=16158,=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）：

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹

木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

￡（h一初%一力

附：相關(guān)系數(shù)廠=口日〃，J1.896kl.377.

\￡（王-方方（巖_W

Vi=li=l

44（2022?新高考I卷T20）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和

不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組：），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨

機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示事件“選到的人患有該疾

病,訴P（B\與A}款P（B的\A］比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為兄

P(A|8)P(A|B)

（i）證明：R=

P(A\B)P(A\B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸（川硝,「（川耳）的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

n(ad-be)2

附K?=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P^K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

45.（2022?新高考口卷T19）在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本

數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間［20.70）的概率：

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%,從該

地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患該種疾病的概率.（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻

率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）

46.（2022?北京卷T18）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9?50m以上（含9.50m）

的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下

數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；

乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

47.（2021?全國(guó)）某學(xué)校組織“一帶一路〃知識(shí)競(jìng)賽，有4B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一

類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)

題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.4類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；8類問(wèn)題中

的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答4類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答8類問(wèn)題的概

率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

（1）若小明先回答4類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理山.

48.（2021?全國(guó)（文））甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的

質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的潁率分別是多少？

（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?

附:%—）

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

49.（2021?全國(guó)（理））某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用?臺(tái)

舊設(shè)備和?臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.S

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為［和7,樣本方差分別記為S：和s>

(1)求y,s；,S；；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果發(fā)一亍22/牛；：；,則認(rèn)為新設(shè)備

生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

50.（2020?海南）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空

氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：pg/mD,得下表：

SO2

[0,50](50,150](150,475]

PM25

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO?濃度不超過(guò)150”的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

so

2[0,150](150,475]

PM25

[0,75]

(75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與S0?濃度有關(guān)?

n(ad-bc)2

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

51.（2020?北京）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二.為了解該校學(xué)

生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

（0）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、咳校女生支持方案一的概率；

（同）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；

（回）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為外，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他

年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為Pi，試比較％與A的大小.（結(jié)論不要求證明）

52.（2020?山東）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空

氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：Rg/m3）,得下表：

[0,50](50,150]050,475]

[0,3習(xí)32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75,且SO?濃度不超過(guò)150”的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表:

[0,150](150,475]

[0,7習(xí)

(75115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有關(guān)?

2

力.—n（ad-bc）

IJ2A—,

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

P(K2>左)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

53.（2020?江蘇）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球

交換放入另一口袋，重更，次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為X”，恰有2個(gè)黑球的概率為％，恰有1個(gè)黑球的

概率為郎.

（1）求Prqi和P2&;

（2）求2〃+q〃與2pn-i+Qn-i的遞推關(guān)系式和X。的數(shù)學(xué)期望E（Xj（用n表示）.

54.（2020?全國(guó)（文））某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,

整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2,3,4的概率：

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)

量不好根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛

煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次$400人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

55.（2020?全國(guó)（文））某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為4,8,C,。四個(gè)等級(jí).加

工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、8級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每

件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本

費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的

等級(jí)，整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)28173421

（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；

（2）分別求甲，乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)

務(wù)？

56.（2020?全國(guó)（理））甲、乙、丙三位同學(xué)正行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決

定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；

當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比

賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為!，

（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

57.（2020?全國(guó)（理））某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種

野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)

查得到樣本數(shù)據(jù)（My/）（/=l,2,20）,其中為和川分別表示第/?個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)

2020202020

物的數(shù)量，并計(jì)算得￡>產(chǎn)60,￡弘二1200,2（%-君2=80,2（K一切2=9000,2（芍一幻（切一刃=800.

r?li=lr=li=l

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以

地塊數(shù)）；

（2）求樣本例，y/）（/=l,2,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）：

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更

準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由.

￡（若一幻（巧.一切

附：相關(guān)系數(shù)片?J爹=1.414.

歸（―）吃

Vi=li=l

58.（2019?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集A,r=｛（0,0）,（1,0）,（2,0）,…,（〃,0）｝,

紇=｛（0,1）,5,1）｝,。=｛（0,2）,（1,2）,（2,2）「.,（42）｝/￡此令此=4^紇」?！?從集合股中任取兩個(gè)不同

的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.

（1）當(dāng)〃=1時(shí)，求X的概率分布；

（2）對(duì)給定的正整數(shù)，（n>3）,求概率P（XW。）（用。表示）.

59.（2019?北京（文））改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之

一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,

發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

付金額

支付方金、不大于2000元大于2000元

僅適月A27人3人

僅適月B24人1人

（□）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)；

（S）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；

（S）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的

支付金額大于2000元.結(jié)合（田）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變

化？說(shuō)明理由.

60.（2019?北京（理））改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之

一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,

B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

(0,1000](1000,2000]大于2000

交付金額（元）

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（□）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率;

（回）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（0）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本

月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有

變化？說(shuō)明理由.

61.（2019?全國(guó)（理））為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A8

兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，8組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩

爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方

頻率頻率

3O

O.

O.2020

O.15O.5

O.1

10O.b

O.05

O.O5

O

5.56.57.5百分比2.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5",根據(jù)直方圖得到尸（0的估計(jì)值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中。泊的值：

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均直（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

62.（2019?天津（文））2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、

住房貸款利息或者住房租金、照養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用

分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.

（田）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？

（0）抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如下表，其

中“0〃表示享受，“x〃表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.

員工

ABCDEF

項(xiàng)目

子女教育OOXOXO

繼續(xù)教育XXOXO0

大病醫(yī)療XXXOXX

住房貸款利息O0XXOO

住房租金XXOXXX

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（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)臭；

（ii）設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率.

63.（2019?天津（理））設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為g.假定甲、乙兩位同學(xué)到校

情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

（回）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（國(guó)）設(shè)M為事件“上