線性代數(shù)教案

第（1）次課授課時間（）

教學(xué)章節(jié)第一章第一、二、三節(jié)學(xué)時2學(xué)時

教材和

參考書1.《線性代數(shù)》（第4版）同濟(jì)大學(xué)編

L教學(xué)目的：熟練掌握2階，3階行列式的計算；

掌握逆序數(shù)的定義，并會計算；

掌握〃階行列式的定義；

2.教學(xué)重點(diǎn)：逆序數(shù)的計算；

3.教學(xué)難點(diǎn)：逆序數(shù)的計算.

1.教學(xué)內(nèi)容：二、三階行列式的定義；全排列及其逆序數(shù)；〃階行列式的

定義

2.時間安排：2學(xué)時；

30教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；

4.教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示。

基本內(nèi)容備注

第一節(jié)二、三階行列式的定義

一、二階行列式的定義

從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。

設(shè)二元線性方程組H臼+=4

a21x2+a22x2=b2

用消元法,當(dāng)%如-412a2i/0時，解得

可得到另一個行列式，用字母3表示，于是有

b.

D、=；"

b2a22

按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：這

就是公式（2）中馬的表達(dá)式的分子。同理將O中第二列的元

素a⑵a22換成常數(shù)項(xiàng)b2,可得到另一個行列式，用字母4

表示，于是有

D,=b[

a2\b2

按二階行列式的定義，它等于兩項(xiàng)的代數(shù)和：q也-％如這就

是公式（2）中々的表達(dá)式的分子.

于是二元方程組的解的公式又可寫為

演二2

D其中DwO

P2

工2=~D

3xt-2x,=12

例1.解線性方程組.~.

2x1+x2=\

aX

\\\++。13工3=仇

同樣，在解三元一次方程組（a2]x}+a22x2+a23x3=b2時，要用

。3內(nèi)+。32%+。33工3=力3

到“三吩行列式”，這里可采用如下的定義。

二、三階行列式的定義

—+%馬+%3%3=仄

+

設(shè)三元線性方程組.。23工3=打

b

。314+。32工2+々33%3=3

用消元法解得

.一」。4塞十幺+%也——4%小—aiA^aa-多

1%A/33+為必知+%%心-%1立%-%/2*33-%如知

._。他%+恒?知也一。他3可一如2自3一曲知

“2—

+0120/31+°/21aM一0】】%032—aUa21aJi~^22^51

▼_%產(chǎn)地十°田尹31+加%。彗-外力尹號-?？诔鲆瞺^2^31

勺一1

+4切曲1+//邱%-?知%一%小知_如心的

定義設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表

a

2122

記

=aaa+aaa

D\\22yy]223i\+“13%1“32—”13422〃31—4l〃23a32一”12a21。33，稱為

三階行列式，則

D、31D.5

得-----------,Z-------------

D23D69D69

第二節(jié)全排列及其逆序數(shù)

弓I例：用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)的

三位數(shù)？

一、全排列

把n個不同的元素排成一列，叫做這〃個元素的全排列（簡

稱排列）.

可將〃個不同元素按1~〃進(jìn)行編號，則〃個不同元素的全

排列可看成這〃個自然數(shù)的全排列.

〃個不同元素的全排列共有"!種.

二、逆序及逆序數(shù)

逆序的定義：取一個排列為標(biāo)準(zhǔn)排列，其它排列中某兩個

元素的次序與標(biāo)準(zhǔn)排列中這兩個元素的次序相反時，則稱有一

個逆序.

通常取從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列，即1~〃的全排列中取

123…1）〃為標(biāo)準(zhǔn)排列。

逆序數(shù)的定義:一個排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為這個排

列的逆序數(shù)。

逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱

為奇排列，標(biāo)準(zhǔn)排列規(guī)定為偶排列.

例1:討論1,2,3的全排列。

全排列123231312132213321

逆序數(shù)022113

奇偶性偶奇

逆序數(shù)的計算：設(shè)PP2…p〃為123…的一個全排列,則

其逆序數(shù)為fi+G+，?,+"以。

i=l

其中0為排在Pj前，且比Pj大的數(shù)的個數(shù).

例2:求排列54321的逆序數(shù)。

解：t=O,t2=1J3=2,r4=3,r5=4,力=￡匕=10.

jsl

(對于逆序數(shù)的計算介紹另一種算法)

第三節(jié)〃階行列式的定義

下面可用全排列的方式改寫二階，三階行列式.

二價行列式即""=〃1M22-《2。21

。21。22

41a\2L

=442一%%=Z(—1)乜/2〃,?

對42-

其中：①PR?是12的全排列，②/是pm?的逆序數(shù)，③

Z是對所有1,2的全排列求和。

三價行列式

aila\20I3

Z)=出1a22a23=a\\a22a33+^12^23^31+^13^21^32

a3\。32。33

—43a22。31一。11。23。32一。12。21。33

其中：①P[P2P3是1,2,3的全排列,②f是P[P2P3的逆序數(shù),

③Z是對所有1,2,3的全排列求和.

%42%3

“21。22。23=2(—1)"pi"?'?/?！?/p>

41032033

其中：①PR…P”是L2，…,〃的全排列，②f是Pm…P”的逆

序數(shù)，③工是對所有1,2,…，〃的全排列求和。

0001

例1。計算對角行列式：°°2°(24)

0300

4000

例2o證明對角行列式(其對角線上的元素是4,未寫出

的元素都為0)

44

n(n-l)

2=4/乜二(-1)丁44…兒

證明：按定義式

4423

=44=.-=44…4

一?.二4

4

%

4

「=(_])'=(一1)""(一1)皿44

4

44

n(n-l)

=3=(一1)244…4

例3.證明下三角行列式

證明：按定義式得

。330

a220

aM%。43='-=aa--a.

￡>=%-22l}22nf)

aaa

42(3…nnq3n4…?n

以上，〃階行列式的定:義式,是利用行列三1的第一行元素來定

義行列式1的，這個式勺上通常稱為行列式羽彳第一行元素的展開

式。

小結(jié)：

1.二三階行列式的定義；

回顧和小結(jié)

2o全排列及其逆序數(shù)；

3o〃階行列式的定義。

思考題：

1-23|

1.計算三階行列式-89

復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)4-5q

題

2o求排列54321的逆序數(shù).

作業(yè)題：

習(xí)題一：第1(1,3)、2(2,4,6)

1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員理解了二、三階行列式和全

排列及的定義概念，會計算二、三階行列式；

實(shí)施情況及分析2o對其逆序數(shù)等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).

第（2）次課授課時間（）

教學(xué)章節(jié)第一章第四、五節(jié)學(xué)時2學(xué)時

教材和

參考書《線性代數(shù)》（第4版）同濟(jì)大學(xué)編

1.教學(xué)目的：掌握對換的概念；掌握九階行列式的性質(zhì)，會利用〃階行列

式的性質(zhì)計算”階行列式的值；

2.教學(xué)重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)；

3.教學(xué)難點(diǎn)：行列式的性質(zhì).

1.教學(xué)內(nèi)容：對換；行列式的性質(zhì)；

2.時間安排：2學(xué)時；

3.教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；

4.教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示.

基本內(nèi)容備注

第四節(jié)對換

對換的定義：在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素

不動，這種作出新排列的彳續(xù)叫做對換.

將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換.

伊］：4???〃/??乃----%…qbabi???b0

定理1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇

偶性.

推論

奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，

偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。

證明：由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的

變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列（逆序數(shù)為0）,因此知推論成

立

定理2:〃階行列式為：

許品…《3

%a22…。23z

V（|V）。小…%

????????????=ZT

%a*…%

其中f為PR…P”的逆序數(shù).

（以4階行列式為例，對證明過程作以說明）

(補(bǔ)充)定理3〃階行列式也可定義為

%%2…弓3

“21022…43”、

=Z(-1)aa^-a

??????????piqp

冊見2…冊

其中P1P2…P”和0%…么是兩個〃級排列，/為行標(biāo)排列逆

序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和。

練習(xí)：試判斷怎外/42a56%和一%久怎%%%是否都是

六階行列式中的項(xiàng)。

第五節(jié)行列式的性質(zhì)

轉(zhuǎn)置行列式的定義

孫心…時%如%

記D=°”""…a2nDr-ana22???an2(0)

????????????■??■????????

an\an2…ann為“%”…%n

行列式?！悍Q為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式(依次將行換成列)

一、〃階行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1:行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。

由此知，行與列具有同等地位。關(guān)于行的性質(zhì)，對列也同

樣成立，反之亦然.

jr.abac

如1：D=DT=

cdbd

以々表示第/行，j表示第7列.交換兩行記為工一力

交換i,j兩列記

作q—c「

性質(zhì)2:行列式互換兩行（列），行列式變號。

推論：行列式有兩行（列）相同，則此行列式為

零.

性質(zhì)3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)k,

等于用數(shù)k乘以該行列式。

推論：行列式的某一行（列）所有元素的公因子

可以提到行列式符號外.

性質(zhì)4：行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，

則此行列式為零。

性質(zhì)5:若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之

和，則此行列式等于兩個行列式之和.

性質(zhì)6：把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)Z再加

到另一行（列）上，則該行列式不變.

二、九階行列式的計算：

2-512

-37-14

例1。計算0=,007

D-yz/

4-612

2-5121-5221-522

-37-14-17-34呼02-16

角子：D=

5-9272-957嬴0113

4-6121-6420-120

1-5221-522

r

2j_003o__0-120八

=-9?

一00330030

0-1200003

abbb。+3方a+3b?+3力a+3b

babbr*babb

例2.9=

bbabbbab

bbbabbba

111

rx—1111

1

a+3bba7b*oa-b0(

=(〃+3b),二(a+3b)

bb7b/=2,3,4,00a-b

bb2a000a--b

=(a+3b)(a-b)。

（推廣至〃階，總結(jié)一般方法）

p+qq+rr+pPq

例3o證明：A+44+44+Pi=2P\<7i八。

“2+%%+R弓+P2P2%r2

pq+rr+pqq+rr+p

左端，列

證明:Pi5+。r+<7id+44+Pi

性質(zhì)5\+Pi

P292+Gr2+P2%%+Gr2+Pi

Pq+rrqr〃qrqrP

P\5+4+%r\4+Pl=Pl%+%P\

Pi%+弓r2%r2弓+P2Pl%r2%GPi

Pqr

2Pldq。

Pi%ri

例4。計算2〃階行列式。

ab

ab

ab

D==(ad-be)"

cd

cd

cd

(利用遞推法計算)

即…

0

aa

例5。D=k\…kk

cn…如…配

%…Cnkbnl…幻

b\\…縱

…a\k

=det[%)=,D2=det0.)=

曲…%久…

證明：D=D。

小結(jié)：

對換和〃階行列式的性質(zhì)與計算

回顧和小結(jié)

1o對換的定義及兩個定理；

2,〃階行列式的性質(zhì)與計算；

思考題：

1.把排列54132作一次對換變?yōu)?4135,問

相當(dāng)于作幾次相鄰對換？把排列12345作偶

數(shù)次對換后得到的新排列是奇排列還是偶排

復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)

題列？

Qaba

計算：

2oa0a[yo

D=

ba0a

aba0

作業(yè)題：

習(xí)題一：第3,4(2,4),5(2,4,5)

1o通過學(xué)習(xí)學(xué)員掌握了〃階行列式的定義和

對換的概念；

實(shí)施情況及分析2o對利用〃階行列式的定義和對換等方面的

應(yīng)用有待加強(qiáng).

第（3）次課授課時間（）

教學(xué)章節(jié)第一章第六節(jié)學(xué)時2學(xué)時

教材和

參考書1o《線性代數(shù)》（第4版）同濟(jì)大學(xué)編;

1.教學(xué)目的：了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）

展開;

2.教學(xué)重點(diǎn)：行列式按行（列）展開；

3.教學(xué)難點(diǎn)：行列式按行（列）展開。

1.教學(xué)內(nèi)容：行列式按行（列）展開；

2.時間安排:2學(xué)時；

3.教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；

4.教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示。

基本內(nèi)容備注

第六節(jié)行列式按行（列）展開

定義在〃階行列式中，把元素為所處的第，?行、第j列劃去,

剩下的元素按原排列構(gòu)成的拉-1階行列式，稱為陶.的余子式，記

為%;而％=（-1產(chǎn)/稱為%的代數(shù)余子式.

引理如果〃階行列式中的第，行除與外其余元素均為零，

4…%…4”

即：?

D=0…%…0

??

*.%…4“

則：。=傳&.

許0…0

a

為2：…aIn

證先證簡單情形：D=

44…a1n

再證一殳情形：

與0??0

八“1為可】??

D----------------------------(-

Cj—3.…qOq

%"

定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對應(yīng)的

代數(shù)余子式乘積之和，即

按行：《4+《242+…+ainAJn=0（，*j）

按列：即Aj+出4_/+…+。汽=0（iWj）

證：

（此定理稱為行列式按行（列）展開定理）

解:

-6

-1

7

2-11001

-12-12

…+7???

解：Dn=???

2-12-1

-12-12

22

-1-1

林M一訐量即

+皿-1廣

2-1

-12

Dn=72+1o

從而解得Dn=n+\o

伊13.證明范德蒙行列式

11

芭x2

2X：石=n（一）

心i>j>\

其中，記號“n”表示全體同類因子的乘積。

證用歸納法

1

因?yàn)椤?

=x2-\=na-)

所以，當(dāng)〃=2n=2時，（4）式成立.

現(xiàn)設(shè)（4）式對〃-1時成立，要證對〃時也成立.為此，設(shè)法

把降階；從第〃行開始，后行減去前行的為倍，有

ii11

0x2-x}匕一七

芻（七-內(nèi)）

9=0x2(x2-x,)

0

0月-2小一3)

（按第一列展開，并提出因子毛-2）

=(x2-x,Xx3-x1)---(xrt-x1)（〃-1）階范德蒙行列式

<2

由暇設(shè)_

=…（匕一石）n（七一巧）二n\xi-xj）

n>i>j>2n>i>j>\

定理的推論行列式一行(列)的各元素與另一行(列)

對應(yīng)各元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，即

aaAji+Ad+…+q”4〃=0。士/)

按列：即A/+%%+?,?+=0(iwj)

結(jié)合定理及推論，得

A=%，￡“A=%,其中4=［：：；］?.

k=ik=\手J)

53-120

17252

例4.計算行列式0=0-2310的值。

0-4-140

02350

小結(jié)：

行列式按行（列）展開.

回顧和小結(jié)

1.余子式和代數(shù)余子式的概念；

2o行列式按行（列）展開；

123

-A?、120…0

心考題：設(shè)：￡>=1o30,

100…九

復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題

求第一行各元素的代數(shù)余子式之和

作業(yè)題：

習(xí)題一：第7（2,3,5,6）

1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員理解了余子式和代數(shù)余子

式的概念，掌握行列式按行（列）展開；

實(shí)施情況及分析

2o對利用行列式按行（列）展開的方法計

算行列式等方面的應(yīng)用有待加強(qiáng).

第（4）次課授課時間（）

教學(xué)章節(jié)第一章第七節(jié)學(xué)時2學(xué)時

教材和

參考書《線性代數(shù)》（第4版）同濟(jì)大學(xué)編

1.教學(xué)目的：了解克拉默法則的內(nèi)容，了解克拉默法則的證明，會利用克

拉默法則求解含有〃個未知數(shù)〃個方程的線性方程組的解；

2.教學(xué)重點(diǎn)：克拉默法則的應(yīng)用；

3.教學(xué)難點(diǎn)：克拉默法則的應(yīng)用。

1.教學(xué)內(nèi)容：克拉默法則；

2.時間安排：2學(xué)時；

3.教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；

4.教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示。

基本內(nèi)容備注

第七節(jié)克拉默法則

含有〃個未知數(shù)玉,馬，…，當(dāng)?shù)摹▊€方程的線性方程組

即2+見通+…〃3”=h

=b

a2lxl+a22x2+--a2nx22(1)

q內(nèi)+32二2

與二、三元線性方程組相類似，它的解可以用〃階行列式表示。

定理1（Cramer法則）如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式不等

于零，即

…a\n

D=.......................工0,

anl…%

則方程組（1）有且僅有一組解：

丫-。r.2…r_旦_⑵

其中1,2,..,〃）是把系數(shù)行列式。中的第j列的元素用方程組

右端的常數(shù)列代替，而其余列不變所得到的〃階行列式

%…%

。21…42.J-14a2M…%

2;

〃4川…與

。正明在第二章）

當(dāng)。也，…也全為零時,即

《內(nèi)+%2%2+.?%%=0

a2ixl+a22x2+--a2nx2=0

。“內(nèi)+?！?/+…。3”=°

稱之為齊次線性方程組.顯然，齊次線性方程組必定有解

（X1—0,X2~0,…,X”—0）o

根據(jù)克拉默法則，有

1.齊次線性方程組的系數(shù)行列式。工0時，則它只有零解

（沒有非零解）

2.反之，齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式

D=0.

例1.求解線性方程組

解：系數(shù)行列式

21-51

-33

1-30--6==270

1)=。

02-12-7-2

20-10

同樣可以計算

81-5128-51

9-306*190-6*

Q==81D,==-108

-52-120-5-12

04-7610-76

218121-58

1-39-61309

R==-27'D.=.=27,

02-5202-1一:

140614-70

隊(duì)=7…*=1.

所以9了3=1

再吟=3,D

注意：

1o克萊姆法則的條件：〃個未知數(shù),〃個方程，且。工0

2.用克萊姆法則求解方程組運(yùn)算量大一般不采用它求解方

程組。

3o克萊姆法則具有重要的理論意義。

4o克萊姆法則說明線性方程組的解與它的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)之

間的依存關(guān)系。

例2o用克拉默法則解方程組

3x,+5X2+2X3+X4=3,

3x,+4x.=4,

+x2+xy+x4=\1/6,

[xt-x2-3xy+2X4=5/6.

例3.已知齊次線性方程組

(5-2)x+2y+2z=0

'2x+(6-2)y=0

2x++(4-2)z=0

有非零解，問幾應(yīng)取何值？

解系數(shù)行列式

D=(5-2)(2-/l)(8-A)

由：D=0,得4=2、4=5、4=8.

小結(jié)：

克拉默法則。

回顧和小結(jié)

1.內(nèi)容；

2.應(yīng)用.

思考題：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，

能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方

復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題程組的解為何？

作業(yè)題：

習(xí)題一第8(2)、9(2,4)

1.通過學(xué)習(xí)學(xué)員理解了解克拉默法則的內(nèi)

容，了解克拉默法則的證明，會利用克拉默

法則求解含有〃個未知數(shù)〃個方程的線性方程

實(shí)施情況及分析

組的解；

2。對利用克拉默法則等方面的應(yīng)用有待加

強(qiáng)。

第（5）次課授課時間（）

教學(xué)章節(jié)第二幸第一、二節(jié)學(xué)時2學(xué)

時

1.《線性代數(shù)》（第四版）同濟(jì)大學(xué)編；2o同濟(jì)大學(xué)胡一

教材

鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》；3o孫建東等編《線性代

和參考書

數(shù)知識點(diǎn)與典型例題解析》。

1o教學(xué)目的：了解矩陣的概念；掌握矩陣的運(yùn)算；

2.教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算；

3.教學(xué)難點(diǎn)：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算.

1.教學(xué)內(nèi)容:矩陣；矩陣的運(yùn)算；

2o時間安排安學(xué)時;

3.教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；

4.教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示.

基本內(nèi)容備注

第一節(jié)矩陣

一、矩陣的定義

稱川行、〃列的數(shù)表

a\\a\2…a\n

a2\a22a2n

am\am2…amn

為根x〃矩陣，或簡稱為矩陣；表示為

?][《2…“I”'

%。22…生〃

A=■???????????

\am\am2…amn>

或簡記為力=(%)…，或A=(%)或A*“；其中%表示A中第，行，第/

列的元素。

a\\a\2…a\n

其中行列式D=%l%…%為按行列式的運(yùn)算規(guī)則所

????????????

a

m\am2…amn

得到的一個數(shù)；而〃2X〃矩陣是mx〃個數(shù)的整體，不對這些數(shù)作運(yùn)

算。

例如，公司的統(tǒng)計報表，學(xué)生成績登記表等，都可寫出相應(yīng)

的矩陣。

設(shè)4=(%)…，8=(%)〃““都是mx〃矩陣，當(dāng)

4”=%(i=L2…，第，八L2,…，加)

則稱矩陣A與8相等，記成A=8。

二、特殊形式

〃階方陣：n^n矩陣

行矩陣：lx〃矩陣（以后又可叫做行向量），記為

A=（卬巴,…，4）

列矩陣：機(jī)xl矩陣（以后又可叫做列向量），記為

2

B=：

A.;

零矩陣：所有元素為o的矩陣，記為o

對角陣：對角線元素為A，%-%，其余元素為。的方陣，記

為

X、

/=4..=&ag（44.…區(qū)）

單位陣：對角線元素為1,其余元素為。的方陣，記為

‘1]

1

E=.

三、線性變換的系數(shù)矩陣

線性變換的定義：設(shè)變量M,必，…,幾能用變量修，々，…，居線性

表示，即

必=《西+42%2+???《/〃

aXaX

<y2=+222+"'2nn

J加=41石+為2%2+??七皿再

這里a.,（z=1,2,…，肛）=1,2,為常數(shù)。這種從變量再,工2，…，xn

到變量%,為，???，%的變換稱為線性變換。

線性變換由m個〃元函數(shù)組成，每個函數(shù)都是變量的一次暴,

故而稱之為線性變換。

上式的系數(shù)可構(gòu)成一個WX〃矩陣

A=%"22…"2〃稱之為線性變換的系數(shù)矩陣。

????????????

，

、4川4fl2…amn>

線性變換和系數(shù)矩陣是一一^對應(yīng)的。

如，直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換(變量(x,y)到變量(￡?)的變換)

x'=cos/+sin辦

y=-sinfir+cos^y

cosO

的系數(shù)矩陣為A=

「sin。

恒等變換

y=西

力二工2

y，“=

的系數(shù)矩陣為

例。E=

1

^+al2x2+--alnxn=0

ax+ax+???。2”工”=0

同樣，齊次線性方程組1}}222

《川內(nèi)+4m2%2+???6〃，/〃=°

與系數(shù)矩陣A=的〃，也是——'對應(yīng)的.

%]2+62工2+...6,3〃一4

a2xx^a22x2+--a2nxn=b2

非齊次線性方程組j

、區(qū)“內(nèi)+冊2工2+…《”/〃=圖

Q”《2。加瓦

與增廣矩陣A=的%2⑸久也是一一對應(yīng)的.

amlamn)

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

一、加法

設(shè)A=(%)…，BUS"",都是陽X〃矩陣，則加法定義為

如42+々2…+2〃

a

2\+、21。22+。22…。2n+%

????????????

a

<n,\+%an2+bm2…amn+bmn)

顯然,

①A+5=B+4,②(A+B)+C=A+(B+A)

二、數(shù)乘

設(shè)4是數(shù)，A=是"X〃矩陣，則數(shù)乘定義為

、九%助”,2…而〃r〃，

顯然

①如)4=%(〃)4,②(4+〃)A=/U+M,③4(A+B)=Z4+>W

三、乘法

乘法運(yùn)算比較復(fù)雜，首先看一個例子

設(shè)變量I/到變量丸，々，與的線性變換為

石=411+仇2,2

'X2="2/1+。22,2

X3=4/1+人32,2

必=al]x]+a]2x2^ai3x3

變量4工2，七到變量凹，力的線性變換為,

y2=a21X]+a22x2+a23x3

那么，變量02到變量幾％的線性變換應(yīng)為

J71="11011。+b12,2)+。12(。21。+%，2)+。13031|+^32^2)

Jl=。21(6[￡+々2/2)+。22(仇/|+、22￡2)+。23("3/1+Az/Z)

即

M=(〃1島+%2b21+%3b3)】+(all"12+%2b22+^13^32^2

y=(。2占I+a22b2T+a2341bl+(〃2瓦+”22%+^23^32X

定義矩陣

、々?42

a\2

0和演b22

%〃22

也^2)

的乘積為

43

6也I+ab+%3砥。1也2+42b22+《3%

b2\b22l22l

CI??+Ct,72^21+^^3^31。2'b])++“23”3,

[既^32；

按以上方式定義的乘法具有實(shí)際意義。由此推廣得到一般定義

設(shè)4=(%)…B=(與)…則乘法定義為

AB=C

其中C=(cjy)mx?

&=%仇)+《2〃2,+=Z縱%

k=\j=l,2,…，丐

注：兩個矩陣相乘要求前一個矩陣的列數(shù)