《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)指導(dǎo)及習(xí)題解析》課件第7章

第7章參數(shù)估計(jì)第一節(jié)知識(shí)梳理

第二節(jié)重點(diǎn)解析

第三節(jié)典型例題

第四節(jié)習(xí)題全解

第一節(jié)知識(shí)梳理

第二節(jié)重點(diǎn)解析

1.點(diǎn)估計(jì)及其求法

1)點(diǎn)估計(jì)的概念

定義：設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)θ，且X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，x1，x2，…，xn

是相應(yīng)的一個(gè)樣本值。若構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量

(X1，X2，…，Xn)，用其觀測(cè)值(x1，

x2，…，xn)作為θ的近似值，則稱(X1,X2,…，Xn)是θ的一個(gè)估計(jì)量，并稱(x1，x2，…，xn)是θ的一個(gè)估計(jì)值。θ的估計(jì)量與估計(jì)值統(tǒng)稱估計(jì)，并都簡(jiǎn)記為。

2)矩估計(jì)法

定義：設(shè)總體X的分布中僅含有l(wèi)個(gè)未知參數(shù)θ1，θ2，…，θl，且X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣

本。若X的前l(fā)階原點(diǎn)矩ak=E(Xk)(k=1，2，…，l)存在，則ak=E(Xk)(k=1，2，…，l)均為未知參數(shù)θ1，θ2，…，θl

的函數(shù)，記

ak=E(Xk)=ak(θ1，θ2，…，

θl)(k=1，2，…，l)根據(jù)矩估計(jì)法的基本思想，以樣本的前l(fā)階原點(diǎn)矩Ak(k=1，2，…，l)分別作為總體前l(fā)階原點(diǎn)矩ak(k=1，2，…，l)的估計(jì)量，建立方程組這是一個(gè)包含未知參數(shù)θ1，θ2，…，

θl的聯(lián)立方程組，稱為矩方程組。

從矩方程組中可以解出θ1，θ2，…，θl。如果矩方程組有唯一的一組解

3)最大似然估計(jì)法

（1）離散型總體情形。設(shè)離散型總體X的分布律為P{X=x}=p(x；θ1，…，θl)，x=x(1)，x(2)，…，其中

θ1，θ2，…，θl是未知參數(shù)。如果取得樣本值x1，x2，…，xn，那么出現(xiàn)此樣本值的概率為

顯然上式是未知參數(shù)θ1，θ2，…，θl的函數(shù)，稱之為似然函數(shù)。根據(jù)最大似然原理，既然已取得樣本值x1，x2，…，xn，就可認(rèn)為當(dāng)時(shí)確定總體成分的未知參數(shù)θ1，θ2，…，θl的取值，應(yīng)使樣本值x1，x2，…，xn出現(xiàn)的概率L為最

大。于是，可選擇θ1，θ2，…，θl的適當(dāng)值1，2,…,

l，使（2）連續(xù)型總體情形。設(shè)連續(xù)型總體X的密度函數(shù)為

f(x;θ1，…，θl)，其中θ1，θ2，…，θl是未知參數(shù)。若X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，

x1，x2，…，xn

是已取得的一個(gè)樣本值，則n維隨機(jī)點(diǎn)(X1，X2，…，Xn)落在包含定點(diǎn)(x1，x2，…，xn)的一個(gè)n維小立方體

Ω：x1≤t1<x1+dx1，x2≤t2<x2+dx2，…，xn≤tn<xn+dxn上的概率其中dx1，dx2，…，dxn都是固定的量。顯然上式是θ1，θ2，…，θl的函數(shù)。

3.區(qū)間估計(jì)

1)置信區(qū)間的概念

定義：設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)θ，且X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本。若對(duì)事先給定的α(0<α<1)，存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量θ和θ，使得

P{θ<θ<θ}=1－α，則稱區(qū)間(θ，θ)是θ的置信度為

1－α的置信區(qū)間，θ與θ分別稱為置信下限與置信上限，

1－α稱為置信度或置信概率

2)單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)

（1）當(dāng)總體方差σ2已知時(shí)，均值μ的置信度為1－α的置信區(qū)間為（2）當(dāng)總體方差σ2未知時(shí),均值μ的置信度為1－α的置信區(qū)間為（3）方差σ2的置信度為1－α的置信區(qū)間為（4）標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信度為1－α的置信區(qū)間為

3)兩個(gè)正態(tài)總體均值差與方差比的區(qū)間估計(jì)

（1）兩個(gè)正態(tài)總體均值差μ1－μ2的置信區(qū)間:

①當(dāng)σ21和σ22均已知時(shí)，μ1－μ2的置信度為1－α的置信區(qū)間為②當(dāng)σ21=σ22=σ2為未知時(shí)，μ1－μ2的置信度為1－α的置信區(qū)間為（2）兩個(gè)正態(tài)總體方差比σ21／σ22的置信區(qū)間:方差比σ21／σ22的置信度為1－α的置信區(qū)間為

4)單側(cè)置信區(qū)間

定義：設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)θ，且X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本。對(duì)事先給定的α(0<α<1)，若存在一個(gè)統(tǒng)計(jì)量θ，滿足P{θ>θ}=1－α，則稱隨機(jī)區(qū)間(θ，+∞)是θ的置信度為1－α的單側(cè)置信區(qū)間，θ稱為置信度為1－α的單側(cè)置信下限；若存在一個(gè)統(tǒng)計(jì)量θ，滿足P{θ<θ}=1－α，也稱隨機(jī)區(qū)間(－∞，θ)是θ的置信度為

1－α的單側(cè)置信區(qū)間，而θ稱為置信度為1－α的單側(cè)置信上限。第三節(jié)典型例題

【例7.1】設(shè)總體X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,且密度函數(shù)為

求:

(1)μ、σ2的矩估計(jì);

(2)μ、σ2的最大似然估計(jì)。解（1）由已知可算得令即解得（2）似然函數(shù)為上式兩邊取對(duì)數(shù),得令解得μ和σ2的最大似然估計(jì)分別為

【例7.2】設(shè)總體X的密度函數(shù)為X1，…，Xn為X的樣本，證明X和nX*1都是θ的無(wú)偏估計(jì)量，并比較它們的有效性

【例7.3】設(shè)總體X~U(0，θ)，X1，…，Xn為X的樣本，證明為θ的無(wú)偏估計(jì)，并且是相合估計(jì)。

證明X的分布函數(shù)為從而X*n的分布函數(shù)為所以于是因此即為θ的無(wú)偏估計(jì)。由于故由切比雪夫大數(shù)定律，ε>0有

【例7.4】已知總體X服從瑞利分布，其密度函數(shù)為

未知參數(shù)θ>0，X1，X2，…，Xn為取自該總體的樣本。求

θ的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量，并說(shuō)明這兩個(gè)估計(jì)量是不是無(wú)偏估計(jì)量。解由已知可算得

令，則故，因此θ的矩估計(jì)量為又令，則當(dāng)x1，x2，…,xn>0時(shí)，似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)由對(duì)數(shù)似然方程又

【例7.5】已知某種材料的抗壓強(qiáng)度X~N(μ，σ2)，現(xiàn)隨機(jī)地抽取10個(gè)試件進(jìn)行抗壓試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：

482，493，457，471，510，446，435，418，394，469（1）求平均抗壓強(qiáng)度μ的點(diǎn)估計(jì)值；

（2）求平均抗壓強(qiáng)度μ的95%的置信區(qū)間；（3）若已知σ=30，求平均抗壓強(qiáng)度μ的95%的置信

區(qū)間；

（4）求σ2的點(diǎn)估計(jì)值；

（5）求σ2的95%的置信區(qū)間；

（6）求σ的點(diǎn)估計(jì)值；

（7）求σ的95%的置信區(qū)間。解（1）由已知算得

（2）因?yàn)?/p>

故參數(shù)μ的置信度為0.95的置信區(qū)間是~經(jīng)計(jì)算x=457.50，

s=35.22，n=10,又查自由度為9的分位數(shù)表得t0.025(9)=2.262，故置信區(qū)間為（3）若已知σ=30，則平均抗壓強(qiáng)度μ的95%的置信區(qū)間為（4）（5）因?yàn)椋驭?的95%的置信區(qū)間為~其中,S2的觀測(cè)值為1240.28。又因?yàn)樗裕?）由（5）得σ的95%的置信區(qū)間為=(24.2237，64.2982)第四節(jié)習(xí)題全解

7.1對(duì)某種混凝土的抗壓強(qiáng)度進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，得到樣本值如下（單位：kg/cm2）：

1939，1697，3030，2424，2020，2909，1815，

2020，2310

試求總體均值μ與總體方差σ2的矩估計(jì)值，并求樣本方差s2。解由矩方程組可得進(jìn)而得即代入題目所給的樣本值可得，，

7.2設(shè)總體X的密度函數(shù)為

其中θ>0是未知參數(shù)，求θ的矩估計(jì)。解由已知可算得

7.3設(shè)總體X服從泊松分布，其分布律為

試求未知參數(shù)λ(λ>0)的矩估計(jì)。解由已知可算得由矩方程a1=A1得E(X)=X，即λ=X，所以λ的矩估計(jì)為。

7.4設(shè)總體X服從對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)分布，其分布律為其中0<p<1，試求參數(shù)p的矩估計(jì)。解由已知可算得建立矩方程組即得

7.5設(shè)總體X的密度函數(shù)為

求參數(shù)σ(σ>0)的最大似然估計(jì)。解設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的樣本，x1，x2，…，xn為其觀測(cè)值，則似然函數(shù)為上式兩邊取對(duì)數(shù),得即由dlnL/dσ=0得所以σ的最大似然估計(jì)量為

7.6已知某種白熾燈泡的使用壽命服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)均未知。在某個(gè)星期所生產(chǎn)的這種燈泡中隨機(jī)抽取10只，測(cè)得其壽命（單位：h）為

1067，919，1196，785，1126，936，918，

1156，920，948

試用最大似然估計(jì)法估計(jì)這個(gè)星期生產(chǎn)的燈泡中能使用1300h以上的概率。解總體X的密度為設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的樣本，x1，x2，…，xn為其觀測(cè)值，則似然函數(shù)為上式兩邊取對(duì)數(shù)，得由對(duì)數(shù)似然方程得解得，所以μ與σ2的最大似然估計(jì)量分別為，代入題目所給樣本值可得，從而得

7.7設(shè)有一大批產(chǎn)品，其次品率p(0<p<1)未知。今從中隨意抽取100個(gè)，發(fā)現(xiàn)有5個(gè)次品，試求p的最大似然估計(jì)值。解設(shè)總體為X，由題目可知X~b(1，p)，故X的分布律為

P{X=x}=px(1－p)1－x(x=0，1)

由題目所給數(shù)據(jù)可得到似然函數(shù)為

L=p5(1－p)95上式兩邊取對(duì)數(shù),得

lnL=5lnp+95ln(1－p)

由解得p的最大似然估計(jì)值為

7.8設(shè)總體X服從幾何分布，其分布律為

P{X=x}=p(1－p)x－1

（x=1，2，…）

求參數(shù)p(0<p<1)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。令1－p=q，則所以似然函數(shù)為上式兩邊取對(duì)數(shù)，得

7.9設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布b(N，p)，其中N已知而p未知，試求p的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。

解總體X的分布律為

P{X=x}=CxNpx(1－p)N－x

（x=0，1，2，…，N）設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的樣本，x1，x2，…，xn為

其觀測(cè)值。由已知可算得似然函數(shù)為上式兩邊取對(duì)數(shù)，得由解得

7.10設(shè)總體X具有分布律其中α、β為非負(fù)未知參數(shù)。若1，2，1，3，1是X的一個(gè)樣本值，求：（1）α和β的矩估計(jì)值；（2）α和β的最大似然估計(jì)值。解（1）由分布律的歸一性可知α2+2αβ+β2=1，即α+β=1，所以β=1－α,故X的分布律可改寫為所以解得所以α的矩估計(jì)量為進(jìn)而得β的矩估計(jì)量為

(2)根據(jù)題目所給樣本觀測(cè)值可得似然函數(shù)為

顯然不能取1或0。所以對(duì)數(shù)似然函數(shù)為由進(jìn)而

7.11設(shè)總體X服從雙指數(shù)分布，其密度函數(shù)為

其中0<μ<+∞，0<σ<+∞為未知參數(shù)。試求μ與σ的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。解由已知可算得所以由矩方程得即解得所以μ和σ的矩估計(jì)分別為設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的樣本，x1，x2，…，

xn為其觀測(cè)值,則似然函數(shù)為由于對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL無(wú)駐點(diǎn)，所以直接對(duì)L進(jìn)行討論：因?yàn)長(zhǎng)關(guān)于μ為單調(diào)遞增函數(shù)，且xi>μ(i=1，2，…，n)，即

μ≤min{x1，x2，…，xn}

所以當(dāng)μ=min{x1，x2，…，xn}時(shí)，可使L達(dá)到最大（此時(shí)

σ為定值）,故

7.12設(shè)總體X服從均勻分布，其密度函數(shù)為

已知X的一個(gè)樣本值為1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1。試求參數(shù)β、均值μ以及方差σ2的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。解總體X服從(0，β)上的均勻分布，其期望為由矩方程a1=A1得E(X)=X，即所以β的矩估計(jì)量為設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的樣本，x1，x2，…，

xn為其觀測(cè)值,則似然函數(shù)為由于L關(guān)于β為單調(diào)遞減函數(shù)，且0<xi<β(i=1，2，…，n)，即

β≥max{x1，x2，…，xn}

7.13設(shè)總體X的均值μ和方差σ2都存在，X1，X2，…，Xn為X的一個(gè)樣本，證明：

（1）樣本加權(quán)平均值

是μ的無(wú)偏估計(jì)量;

（2）在μ的所有形如X*的無(wú)偏估計(jì)量中，樣本均值X

最有效。證明（1）因?yàn)樗訶*是μ的無(wú)偏估計(jì)量。（2）方法一:利用許瓦爾茲不等式進(jìn)行證明。

許瓦爾茲不等式的形式為因?yàn)榉椒ǘ豪枚嘣獥l件極值方法進(jìn)行證明。由可知，當(dāng)達(dá)到最小時(shí)，達(dá)到最小，利用求解多元條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，作輔助函數(shù)由解得

7.14設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且X1，X2，…，Xn為X的一個(gè)樣本，試確定常數(shù)c，使得為σ2的無(wú)偏估計(jì)量。解因?yàn)?/p>

7.17已知鐵廠鐵水的含碳量（%）在正常情況下服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.108。現(xiàn)測(cè)得5爐鐵水，其含碳量分別為4.28、4.40、4.42、4.35、4.37，試求均值μ的置信度為0.95的置信區(qū)間。解對(duì)于正態(tài)分布總體，當(dāng)總體方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）已知時(shí)，其均值的1－α置信度的置信區(qū)間為

由題目所給樣本值可得x=4.364,而n=5，1－α=0.95，

uα/2=u0.025=1.96，σ=0.108，所以

7.18鋁的密度測(cè)量值是服從正態(tài)分布的。若測(cè)量16次，算得樣本均值x=2.705，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=0.029，試求鋁的密度置信度為95%的置信區(qū)間。

解對(duì)于正態(tài)分布總體，當(dāng)總體方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）未知時(shí)，其均值的1－α置信度的置信區(qū)間為。由題目所給數(shù)據(jù)知

x=2.705，s=0.029，α=0.05，n=16

查表可得

t0.025(15)=2.131

所以置信區(qū)間為

7.19從某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得它們的直徑（單位：mm）分別為

14.6，15.0，14.7，15.1，14.9，14.8，

15.0，15.1，15.2，14.8

設(shè)滾珠的直徑服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，對(duì)以下兩種情況分別求出均值μ的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（1）已知σ=0.16；

（2）σ未知。解由題目所給樣本值可得

x=14.92，s=0.193，n=10，1－α=0.95

查表可得（1）當(dāng)σ=0.16時(shí)，1－α置信度的置信區(qū)間為

入題目數(shù)據(jù)得（2）當(dāng)σ未知時(shí)，1－α置信度的置信區(qū)間為

,代入題目數(shù)據(jù)得

7.21設(shè)某種炮彈的初速度服從正態(tài)分布，取10發(fā)炮彈做試驗(yàn)，得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=12.4m/s。求這種炮彈初速度的標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信度為0.95的置信區(qū)間。解正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的1－α置信度的置信區(qū)間為由題目所給數(shù)據(jù)知

s=12.4，n=10，1－α=0.95查表可得

，代入題目數(shù)據(jù)可得σ的0.95置信度的置信區(qū)間為

7.22測(cè)得一批鋼件20個(gè)樣本的屈服點(diǎn)（單位：t/cm2）分別為

4.98，5.11，5.20，5.20，5.11，5.00，

5.61，4.88，5.27，5.38

5.46，5.27，5.23，4.96，5.35，5.15，

5.35，4.77，5.38，5.54

設(shè)鋼件屈服點(diǎn)服從正態(tài)分布，試求其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的置信度為0.95的置信區(qū)間。解由于總體方差未知，故μ的1－α置信度的置信區(qū)

間為所以μ的0.95置信度的置信區(qū)間為x=5.21，s=0.220，n=20，1－α=0.95

σ的1－α置信度的置信區(qū)間為

t0.025(19)=2.093所以μ的0.95置信度的置信區(qū)間為σ的1－α置信度的置信區(qū)間為

查表可得，所以σ的0.95置信度的置信區(qū)間為

7.23為了估計(jì)磷肥對(duì)某農(nóng)作物增產(chǎn)的作用，現(xiàn)選20塊條件大致相同的土地進(jìn)行試驗(yàn)。10塊施磷肥，另外10塊不施磷肥，獲得產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下：

施磷肥產(chǎn)量：

6200，5700，6500，6000，6300，5800，

5700，6000，6000，5800

不施磷肥產(chǎn)量：

5600，5900，5600，5700，5800，5700，

6000，5500，5700，5500設(shè)施磷肥和不施磷肥每公頃的產(chǎn)量都具有正態(tài)分布，且方差相同，取置信度為0.95，試對(duì)施磷肥平均公頃產(chǎn)量和不施磷肥平均公頃產(chǎn)量之差作區(qū)間估計(jì)。解根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)知所以查表可得

t0.025(18)=2.1009所以μ1－μ2的0.95置信度的置信區(qū)間為

7.24從某地區(qū)隨機(jī)抽取男、女各100名，以估計(jì)男、女平均高度之差。測(cè)量并算得男子高度的平均數(shù)為xA=1.71m，標(biāo)準(zhǔn)差為sA=0.035m，女子高度的平均數(shù)為xB=1.67m，標(biāo)準(zhǔn)差為sB=0.038m。設(shè)該地區(qū)男、女的高度分別具有正態(tài)總體N(μA，σ2)、N(μB，σ2)，試求男、女高度平均數(shù)之差μA－μB的9