（寒假）新高考數(shù)學一輪復習考點精講+隨堂檢測06平面向量（教師版）

第第頁第06課平面向量考點01平面向量的基本概念【例1】給出下列3個命題，①相等向量是共線向量；（2）若與不相等，則向量與是不共線向量；③平行于同一個向量的兩個向量是共線向量；其中真命題的個數(shù)是（

）A．0B．1C．2D．3【答案】B【詳解】長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故相等向量一定是共線向量，即①正確；若與不相等，則向量與也可以共線，只要與模不同即可，故②錯誤；平行于同一個向量的兩個向量不一定是共線向量，如，，，此時，，但是與不一定共線，故③錯誤；即真命題只有個.故選：B【變式1】（多選）下列敘述中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．已知非零向量與且//，則與的方向相同或相反D．對任一非零向量是一個單位向量【答案】CD【詳解】A：若時，不一定有，錯誤；B：向量不能比較大小，錯誤；C：非零向量與且//，則與的方向相同或相反，正確；D：非零向量，則是一個單位向量，正確.故選：CD【變式2】（多選）下列說法正確的有（

）A．B．λ、μ為非零實數(shù)，若，則與共線C．兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小D．若平面內(nèi)有四個點A、B、C、D，則必有【答案】BCD【詳解】對于A選項，，故錯誤；對于B選項，因為為非零實數(shù)，且，與一定共線，故正確；對于C選項，向量不能比較大小；向量的?？杀容^大小，故正確；對于D選項，由，所以，故正確.故選：BCD.考點02平面向量的線性運算【例2】如圖所示，，，M為AB的中點，則為（

）

A．B．C．D．【答案】B【詳解】，，M為AB的中點，所以.故選：B【變式3】在如圖所示的五角星中，以A、B、C、D、E為頂點的多邊形為正五邊形，且，設，則（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】將轉化為，結合已知可得.【詳解】在五角星中，，，則，，，，.故選：C.【變式4】在中，E為AC上一點，，P為線段BE上任一點，若，則的最小值是（

）A．B．C．6D．8【答案】B【詳解】由題可得B，P，E三點共線，則.又，，則，則.當且僅當，即時取等號.故選：B考點03向量共線與三點共線【例3】如圖，在中，是的中點，是線段上靠近點的三等分點，設.(1)用向量與表示向量；(2)若，求證：三點共線.【答案】(1)，；(2)證明見解析【詳解】（1）是的中點，；.（2），與平行，又與有公共點，三點共線.【變式5】設是不共線的兩個向量，.若三點共線，則k的值為__________.【答案】【詳解】因為三點共線，故,則，使得，又，故，則，解得，故答案為：【變式6】已知是不共線的向量，且，則（

）A．A、B、D三點共線B．A、B、C三點共線C．B、C、D三點共線D．A、C、D三點共線【答案】D【詳解】因為，所以，若A、B、D三點共線，則，而無解，故A錯誤；因為，所以，若A、B、C三點共線，則，而無解，故B錯誤；因為，所以，若B、C、D三點共線，則，而無解，故C錯誤；因為，所以，即，所以A、C、D三點共線，故D正確.故選：D考點04平面向量共線定理的推論【例4】如圖所示，在中，，P是上的一點，若，則實數(shù)m的值為（

）．

A．B．C．D．【答案】D【分析】利用共線定理的推論可得.【詳解】因為，所以，所以，因為P，B，N三點共線，所以，解得.故選：D【變式7】如圖，在△ABC中，點P在邊BC上，且，過點P的直線l與射線AB，AC分別交于不同的兩點M，N，若，，則實數(shù)的值是（

）

A．B．C．D．【答案】B【分析】結合向量的運算可得，然后由三點共線得，可得答案.【詳解】由題意知：，又，，即，由三點共線，可得，即.故選：B.【變式8】在中，點O滿足，過點O的直線分別交射線AB，AC于點M，N，且，，則的最小值為（

）A．B．C．3D．4【答案】A【分析】利用共線定理的推論可得，然后妙用“1”可得.【詳解】由題可知，，因為，，所以，，又，所以，所以，因為三點共線，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以的最小值為.故選：A

考點05平面向量基本定理【例5】（多選）已知M為△ABC的重心，D為邊BC的中點，則（

）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，易得，故A正確；由題意得M為線段AD的靠近D點的三等分點，所以，又，所以，故B正確；，故C正確；，，又，所以，故D錯誤.

故選：ABC【變式9】在中，點為與的交點，，則（

）A．0B．C．D．【答案】B【分析】利用平面向量基本定理得到，，從而列出方程組，求出，得到，求出答案.【詳解】因為，所以為中點，三點共線，故可設，即，整理得，因為，所以，即，三點共線，可得，所以，解得，可得，則，.故選：B考點06平面向量的坐標運算【例6】若，，C為AB的中點，D為AB上更靠近A的三等分點，則C的坐標為______，D的坐標為______．【答案】【分析】根據(jù)中點的坐標公式求的坐標，利用求的坐標.【詳解】根據(jù)中點坐標公式，的坐標為，，則．因為，所以的坐標為．故答案為：，【變式11】已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，三點共線，求的值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因為，，所以，因為，所以，解得.（2）因為，，因為，，三點共線，所以，所以，解得，故的值為．【變式12】在矩形中，，，E為CD的中點，若，，則________．【答案】【詳解】建立如下圖的平面直角坐標系，由已知得，，，，由得，設，則，可得，解得，所以，，又因為，所以，解得，，則.故答案為：.考點07求數(shù)量積【例7】在平面直角坐標系中，設向量，(1)當時，求，的值；(2)若且，求的值.【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）因為，，當時，，所以，，（2）∵，，∴，∴，∵，，∴，解得，∴.【變式13】如圖，設、是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是與軸、軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標.若在該坐標系中，，，則______.

【答案】【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得，由題意可得，，所以，.故答案為：.考點08垂直關系的判斷及應用【例8】已知平面向量，，，，，則的值是______.【答案】【詳解】，因為，所以，解得，又因為，所以，故答案為：【變式15】已知向量，．若，則實數(shù)的值為．【答案】【詳解】，，因為，所以整理得，故．【變式16】已知向量，，若，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】已知向量，，且，則，即，若，則，這與矛盾，所以，，故，因此，.故選：A.考點09向量的?！纠?】已知三個不共線的平面向量，，兩兩所成的角相等，，，，則______.【答案】5【詳解】由題知三個不共線的平面向量兩兩夾角相等，可得任意兩向量的夾角是，因為，，，所以，所以.故答案為：5【變式17】如圖，在平面四邊形中，，，，則的最小值為__________．

【答案】【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設，利用垂直關系和模的坐標公式可得，故可求模的最小值.【詳解】以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設，

因為，且，故，故，，故，而，故，故，即，所以，當時，.故答案為：考點10求兩個向量的夾角【例10】設兩個向量，滿足，．(1)若，求，的夾角；(2)若，的夾角為60°，向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)且.【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積運算以及結果，結合模長，即可求得，再根據(jù)數(shù)量積求得夾角；（2）根據(jù)夾角為銳角則數(shù)量積為正數(shù)，求得的范圍，再排除向量與不為同向共線向量對應參數(shù)的范圍，則問題得解.【詳解】（1）因為，所以，又，，所以，所以，又，所以向量、的夾角是.（2）因為向量與的夾角為銳角，所以，且向量與不同向共線，即，又、夾角為，所以，所以，解得，又向量與不同向共線，所以，解得，所以的取值范圍是且.【變式18】已知向量，．(1)若，求實數(shù)k的值；(2)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)k＝；(2)．【分析】（1）先求出，然后再根據(jù)垂直關系即可求出；（2）由與的夾角是鈍角得到且與方向不相反，得到不等式組，求出實數(shù)k的取值范圍.【詳解】（1），因為，所以，解得：.（2）若與的夾角是鈍角，則且與方向不相反，即，且解得：且，故實數(shù)k的取值范圍是.考點11求投影向量【例11】已知向量，且滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為，所以，得，所以，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C【變式19】已知，，與的夾角為，則在方向上的投影向量為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】直接利用在方向上投影向量公式計算即可得出結果.【詳解】在方向上的投影向量為，故選：C考點12最值、范圍問題【例12】已知是單位向量，向量滿足，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用向量數(shù)量積公式得到，結合，得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】設的夾角為，由題意得，因為是單位向量，故，顯然，且，所以，因為，所以，所以，解得.故選：C【變式20】在中，，為邊上的動點，則的最小值為_________．【答案】.【詳解】由于，所以為原點，為軸，為軸，建立直角坐標系如圖所示：

則有：，設點，且，所以，，則，當時，取得最小值．故答案為：．平面向量隨堂檢測1.已知向量，且，則（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為，且，所以，所以.故選：C.2.（多選）如圖，是正六邊形的中心，則（

）

A．B．C．D．在上的投影向量為【答案】CD【分析】根據(jù)向量的線性運算法則，可判定A、B不正確，結合向量的數(shù)量積的定義域運算，可判定C正確，結合向量的投影的定義與運算，可判定D正確.【詳解】根據(jù)題意，結合平面向量的線性運算法則，可得：對于A中，由，所以A不正確；對于B中，由，所以B不正確；對于C中，設正六邊形的邊長為，可得，，所以，所以C正確；對于D中，如圖所示，連接，可得，可得，所以在向量上的投影向量為，所以D正確.故選：CD.

3.已知，是平面上的非零向量，則“存在實數(shù)，使得”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分性必要性的定義，結合向量共線的結論進行判斷.【詳解】因為分別表示與方向相同的單位向量，所以由可知，方向相同；“存在實數(shù)，使得”即共線，包含方向相同或方向相反兩種情況．所以，“存在實數(shù)，使得”不能推出是“”；“”可以推出“存在實數(shù)，使得”，所以“存在實數(shù)，使得”是“”的必要不充分條件．故選：B.4若兩個非零向量滿足，則向量與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)向量夾角公式結合數(shù)量積公式計算求解.【詳解】設向量與的夾角為θ.由，左右兩邊平方得,得.由，得，從而.故選:B.5.如圖，在中，點，分別在邊和邊上，，分別為和的三等分點，點靠近點，點靠近點，交于點，設，，則（

）

A．B．C．D．【答案】B【詳解】設，，所以，又，所以，因為，所以，所以，解得，所以，故選：B.6.在中，點是邊所在直線上的一點，且，點在直線上，若向量，則的最小值為（

）A．3B．4C．D．9【答案】B【分析】由題意可得，又點，，三點共線，所以，再利用“1”的代換，結合基本不等式求解即可．【詳解】，，，點，，三點共線，，又，，，當且僅當，即，時，等號成立，的最小值為4．故選：B．7.設，是兩個不共線的向量，關于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共線的有________．（填序號）【答案】①②③【詳解】①，共線；②，共線；③，共線；④和無法表示成，所以不共線.故答案為：①②③8.如圖，在的方格中，已知向量的起點和終點均在格點，且滿足，那么______.

【答案】1【詳解】如圖所示，作單位向量,

則，，所以.又，所以,