中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第02講 整式與因式分解（17個(gè)考點(diǎn)）（知識(shí)精講）（原卷版）

第02講整式與因式分解（17個(gè)考點(diǎn)）【考綱要求】1.整式部分主要考查冪的性質(zhì)、整式的有關(guān)計(jì)算、乘法公式的運(yùn)用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2.因式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化簡(jiǎn)中進(jìn)行考查.【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、整式單項(xiàng)式數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式．單項(xiàng)式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點(diǎn)是對(duì)字母來說只含有乘法的運(yùn)算，不含有加減運(yùn)算．在含有除法運(yùn)算時(shí)，除數(shù)(分母)只能是一個(gè)具體的數(shù)，可以看成分?jǐn)?shù)因數(shù)．單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式．要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式的系數(shù)是指單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)．（2）單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和．2.多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)和叫做多項(xiàng)式．也就是說，多項(xiàng)式是由單項(xiàng)式相加或相減組成的．要點(diǎn)詮釋：（1）在多項(xiàng)式中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．（2）多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．（3）多項(xiàng)式的次數(shù)是n次，有m個(gè)單項(xiàng)式，我們就把這個(gè)多項(xiàng)式稱為n次m項(xiàng)式．（4）把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列．另外，把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列．3.整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式．4.同類項(xiàng)所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)．5.整式的加減整式的加減其實(shí)是去括號(hào)法則與合并同類項(xiàng)法則的綜合運(yùn)用．把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母部分不變.如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反.整式加減的運(yùn)算法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng).6.整式的乘除

①冪的運(yùn)算性質(zhì)：②單項(xiàng)式相乘：兩個(gè)單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．③單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．用式子表達(dá)：④多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：一般地，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．用式子表達(dá)：平方差公式：完全平方公式：在運(yùn)用乘法公式計(jì)算時(shí)，有時(shí)要在式子中添括號(hào)，添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).⑤單項(xiàng)式相除：兩個(gè)單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．⑥多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．要點(diǎn)詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（4）公式的推廣：(為正整數(shù)).考點(diǎn)二、因式分解因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：（2）運(yùn)用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：3.因式分解的一般步驟（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；（3）對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考慮用分組分解法及添、拆項(xiàng)法.要點(diǎn)詮釋：（1）因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；（2）最終把多項(xiàng)式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．（4）十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.【典型例題】一．列代數(shù)式（共1小題）1．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為1，點(diǎn)C，D表示的數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)合數(shù)軸回答下列問題：（1）請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出原點(diǎn)O的位置．（2）直接寫出點(diǎn)A，B，C，D所表示的數(shù)，并判斷哪一點(diǎn)表示的數(shù)的平方最大，最大是多少？（3）從A，B兩題中任選一題作答．A．①若點(diǎn)F在數(shù)軸上，與點(diǎn)C的距離CF＝3.5，求點(diǎn)F表示的數(shù)；②設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸的正方向勻速向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求點(diǎn)P，C之間的距離CP．（用含t的代數(shù)式表示）B．設(shè)點(diǎn)M，N都從點(diǎn)A出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向勻速向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N的速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)N開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求點(diǎn)M，N之間的距離MN．（用含t的代數(shù)式表示）二．代數(shù)式求值（共2小題）2．（2022?廣東四模）若代數(shù)式x﹣2y+2的值是5，則代數(shù)式2x﹣4y+1的值是（）A．4 B．7 C．5 D．不能確定3．（2022?北京模擬）已知a2﹣8＝3a，代數(shù)式3（a﹣1）2﹣3（a+1）的值為．三．同類項(xiàng)（共1小題）4．（2022?興寧區(qū)校級(jí)模擬）若7axb2與﹣a3by是同類項(xiàng)，則yx＝．四．規(guī)律型：數(shù)字的變化類（共6小題）5．（2022?八步區(qū)模擬）觀察下列一行數(shù)2，1，﹣4，1，8，1，﹣16，1，…，則第16個(gè)數(shù)與第17個(gè)數(shù)的和為（）A．1+28 B．1﹣28 C．1+29 D．1﹣296．（2022?武漢模擬）x1，x2，x3，…x2022是2022個(gè)由1和﹣1組成的數(shù)，且滿足x1+x2+x3+…+x2022＝202，則（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x2022﹣1）2的值為（）A．2021 B．4042 C．3640 D．48427．（2022?沈陽(yáng)模擬）觀察下列按一定規(guī)律排列的n個(gè)數(shù)：2，4，6，8，10，12，…若最后三個(gè)數(shù)之和是1794，則n等于（）A．299 B．300 C．600 D．6018．（2022?興寧區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2022分布在表中的第行．9．（2022?沈陽(yáng)模擬）一組按規(guī)律排列的式子：，，，，…，第n個(gè)式子是（a≠0，n為正整數(shù)）．10．（2022?安徽三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明．五．規(guī)律型：圖形的變化類（共2小題）11．（2022?泰安模擬）觀察下列圖形規(guī)律，當(dāng)圖形中的“〇”的個(gè)數(shù)和“．”個(gè)數(shù)差為2022時(shí)，n的值為．12．（2022?成都模擬）如圖，直線l1與直線l2所成的角∠B1OA1＝30°，過點(diǎn)A1作A1B1⊥l1交直線l2于點(diǎn)B1，OB1＝2，以A1B1為邊在△OA1B1外側(cè)作等邊三角形A1B1C1，再過點(diǎn)C1作A2B2⊥l1，分別交直線l1和l2于A2，B2兩點(diǎn)，以A2B2為邊在△OA2B2外側(cè)作等邊三角形A2B2C2，…按此規(guī)律進(jìn)行下去，則第2022個(gè)等邊三角形A2022B2022C2022的周長(zhǎng)為．六．整式的加減（共1小題）13．（2022?長(zhǎng)沙模擬）已知多項(xiàng)式A＝﹣3x2+5x﹣4，B＝﹣x2﹣2x，則A﹣3B的結(jié)果為（）A．﹣6x2﹣x﹣4 B．11x﹣4 C．﹣x﹣4 D．﹣6x2﹣5七．冪的乘方與積的乘方（共1小題）14．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）已知4a＝3b，12a＝27，則a+b＝（）A． B． C．2 D．3八．同底數(shù)冪的除法（共3小題）15．（2022?仙游縣模擬）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)+a2＝a3 B．（ab）2＝ab2 C．a(chǎn)5÷a3＝a2 D．（a2）3＝a516．（2022?沈陽(yáng)模擬）下列運(yùn)算正確的是（）A．2a2+a3＝3a5 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．2a3÷a＝2a D．（2a）3＝8a317．（2022?沈陽(yáng)模擬）下列運(yùn)算正確的是（）A．3m3+4m2＝7m5 B．2m3÷m2＝2m C．m（m2）2＝m4 D．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y2九．單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式（共2小題）18．（2022?武漢模擬）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．2a+3a＝5a2 C．2a?3a＝6a D．2a﹣3a＝﹣119．（2022?八步區(qū)模擬）下列運(yùn)算正確的是（）A．﹣2a2?3a3＝﹣6a5 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．3a+b＝3ab D．a(chǎn)﹣（b+c）＝a﹣b+c一十．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（共1小題）20．（2022?天河區(qū)校級(jí)模擬）某種植基地有一塊長(zhǎng)方形和一塊正方形實(shí)驗(yàn)田，長(zhǎng)方形實(shí)驗(yàn)田每排種植（3a﹣b）株豌豆幼苗，種植了（3a+b）排，正方形實(shí)驗(yàn)田每排種植（a+b）株豌豆幼苗，種植了（a+b）排，其中a＞b＞0．（1）正方形實(shí)驗(yàn)田比長(zhǎng)方形實(shí)驗(yàn)田少種植豌豆幼苗多少株？（2）當(dāng)a＝5，b＝2時(shí)，該種植基地這兩塊實(shí)驗(yàn)田一共種植了多少株豌豆幼苗？一十一．完全平方公式（共3小題）21．（2022?洪山區(qū)模擬）下列計(jì)算正確的是（）A．（x+y）2＝x2+y2 B．（﹣x）3?x2＝﹣x6 C．x3+x4＝x7 D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b322．（2022?沈陽(yáng)模擬）下列各式中，正確的是（）A．（2a）3＝6a3 B．（a3）2＝a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2﹣4a2＝﹣123．（2022?東坡區(qū)校級(jí)模擬）下列各式計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．（a+b）2＝a2+b2一十二．整式的混合運(yùn)算（共3小題）24．（2022?河南模擬）下列計(jì)算正確的是（）A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（2a﹣1）（2a+1）＝4a2﹣1 D．（﹣2a）3＝﹣6a325．（2022?西城區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：（1）；（2）2x3?（﹣x）2﹣（﹣x2）2?（﹣3x）；（3）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+2）；（4）（2x+3y+5）（2x﹣3y﹣5）；（5）（﹣2x2y+6x3y4﹣8xy）÷（﹣2xy）；（6）9×11×101．26．（2022?西城區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：（1）（﹣m2n）3?（﹣2mn）÷（2m3）；（2）（a﹣2b）2﹣（a+3b）（a﹣3b）．一十三．整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值（共5小題）27．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：（x﹣y）（2x﹣y）﹣（x﹣y）2﹣x2，其中x＝﹣1，y＝+1．28．（2022?長(zhǎng)沙模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+y）2+（x+2y）（x﹣2y）+y（x+3y），其中x＝1，y＝2．29．（2022?東城區(qū)校級(jí)模擬）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代數(shù)式x（3x﹣6）﹣（x+2）（x﹣2）的值．30．（2022?長(zhǎng)沙模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣3）2﹣6x，其中x＝﹣．31．（2022?天心區(qū)模擬）先化簡(jiǎn)后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3．一十四．因式分解的意義（共1小題）32．（2022?長(zhǎng)沙模擬）下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）﹣x C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+4一十五．因式分解-提公因式法（共5小題）33．（2022?長(zhǎng)沙模擬）將多項(xiàng)式a2﹣16a進(jìn)行因式分解的結(jié)果是（）A．a(chǎn)（a+4）（a﹣4） B．（a﹣4）2 C．a(chǎn)（a﹣16） D．（a+4）（a﹣4）34．（2022?廣東四模）因式分解：2（a﹣b）2+6（b﹣a）＝．35．（2022?沈陽(yáng)模擬）因式分解：﹣4y3+4y＝．36．（2022?沈陽(yáng)模擬）分解因式：m3n+mn＝．37．（2022?北京模擬）分解因式：6x2y﹣3xy＝．一十六．提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用（共3小題）38．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）分解因式：27m3﹣3m＝．39．（2022?長(zhǎng)沙模擬）因式分解：9ab2﹣a＝．40．（2022?成都模擬）分解因式：4ax2﹣a＝．一十七．因式分解的應(yīng)用（共4小題）41．（2022?東坡區(qū)校級(jí)模擬）已知x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣6x2+2x+1＝（）A．﹣1 B．5 C．﹣3 D．142．（2022?重慶模擬）一個(gè)三位自然數(shù)m．將它任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得一個(gè)首位不為0的新三位自然數(shù)m'（m'可以與m相同），記m'＝，在m′所有的可能情況中，當(dāng)|a+2b﹣c|最小時(shí)，我們稱此時(shí)的m′是m的“幸福美滿數(shù)”，并規(guī)定K（m）＝a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新數(shù)有：381、813、138；因?yàn)閨3+2×1﹣8|＝3，|3+2×8﹣1|＝18，|8+2×1﹣3|＝7，|1+2×3﹣8|＝1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美滿數(shù)”．K（318）＝12+2×32﹣82＝﹣45．（1）若三位自然數(shù)t的百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字都為n（1≤n≤9．n為自然數(shù)），個(gè)位上的數(shù)字為0，求證：K（t）＝0；（2）設(shè)三位自然數(shù)