中考數(shù)學二輪復習沖刺第02講 整式與因式分解（17個考點）（知識精講）（原卷版）

第02講整式與因式分解（17個考點）【考綱要求】1.整式部分主要考查冪的性質、整式的有關計算、乘法公式的運用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2.因式分解是中考必考內容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化簡中進行考查.【知識導圖】【考點梳理】考點一、整式單項式數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項式．單項式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點是對字母來說只含有乘法的運算，不含有加減運算．在含有除法運算時，除數(shù)(分母)只能是一個具體的數(shù)，可以看成分數(shù)因數(shù)．單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式．要點詮釋：（1）單項式的系數(shù)是指單項式中的數(shù)字因數(shù)．（2）單項式的次數(shù)是指單項式中所有字母的指數(shù)和．2.多項式幾個單項式的代數(shù)和叫做多項式．也就是說，多項式是由單項式相加或相減組成的．要點詮釋：（1）在多項式中，不含字母的項叫做常數(shù)項．（2）多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)．（3）多項式的次數(shù)是n次，有m個單項式，我們就把這個多項式稱為n次m項式．（4）把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列．另外，把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母升冪排列．3.整式單項式和多項式統(tǒng)稱整式．4.同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類項．5.整式的加減整式的加減其實是去括號法則與合并同類項法則的綜合運用．把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不變.如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反.整式加減的運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.6.整式的乘除

①冪的運算性質：②單項式相乘：兩個單項式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．③單項式與多項式相乘：單項式與多項式相乘，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表達：④多項式與多項式相乘：一般地，多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表達：平方差公式：完全平方公式：在運用乘法公式計算時，有時要在式子中添括號，添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.⑤單項式相除：兩個單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．⑥多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數(shù)）.（3）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（4）公式的推廣：(為正整數(shù)).考點二、因式分解因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解．2.因式分解常用的方法（1）提取公因式法：（2）運用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：3.因式分解的一般步驟（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考慮用分組分解法及添、拆項法.要點詮釋：（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結果要徹底，即分解到每個因式都不能再分解為止．（4）十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負數(shù)，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.【典型例題】一．列代數(shù)式（共1小題）1．（2021?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，數(shù)軸的單位長度為1，點C，D表示的數(shù)互為相反數(shù)，結合數(shù)軸回答下列問題：（1）請在數(shù)軸上標出原點O的位置．（2）直接寫出點A，B，C，D所表示的數(shù)，并判斷哪一點表示的數(shù)的平方最大，最大是多少？（3）從A，B兩題中任選一題作答．A．①若點F在數(shù)軸上，與點C的距離CF＝3.5，求點F表示的數(shù)；②設動點P從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸的正方向勻速向終點D運動，運動時間為t秒，求點P，C之間的距離CP．（用含t的代數(shù)式表示）B．設點M，N都從點A出發(fā)沿數(shù)軸的正方向勻速向終點D運動．點M的速度為每秒2個單位長度，點N的速度為每秒5個單位長度，當點M運動到點B時點N開始運動，設點M運動的時間為t秒，求點M，N之間的距離MN．（用含t的代數(shù)式表示）二．代數(shù)式求值（共2小題）2．（2022?廣東四模）若代數(shù)式x﹣2y+2的值是5，則代數(shù)式2x﹣4y+1的值是（）A．4 B．7 C．5 D．不能確定3．（2022?北京模擬）已知a2﹣8＝3a，代數(shù)式3（a﹣1）2﹣3（a+1）的值為．三．同類項（共1小題）4．（2022?興寧區(qū)校級模擬）若7axb2與﹣a3by是同類項，則yx＝．四．規(guī)律型：數(shù)字的變化類（共6小題）5．（2022?八步區(qū)模擬）觀察下列一行數(shù)2，1，﹣4，1，8，1，﹣16，1，…，則第16個數(shù)與第17個數(shù)的和為（）A．1+28 B．1﹣28 C．1+29 D．1﹣296．（2022?武漢模擬）x1，x2，x3，…x2022是2022個由1和﹣1組成的數(shù)，且滿足x1+x2+x3+…+x2022＝202，則（x1﹣1）2+（x2﹣1）2+（x3﹣1）2+…+（x2022﹣1）2的值為（）A．2021 B．4042 C．3640 D．48427．（2022?沈陽模擬）觀察下列按一定規(guī)律排列的n個數(shù)：2，4，6，8，10，12，…若最后三個數(shù)之和是1794，則n等于（）A．299 B．300 C．600 D．6018．（2022?興寧區(qū)校級模擬）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2022分布在表中的第行．9．（2022?沈陽模擬）一組按規(guī)律排列的式子：，，，，…，第n個式子是（a≠0，n為正整數(shù)）．10．（2022?安徽三模）觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：；（2）寫出你猜想的第n個等式：（用含n的等式表示），并證明．五．規(guī)律型：圖形的變化類（共2小題）11．（2022?泰安模擬）觀察下列圖形規(guī)律，當圖形中的“〇”的個數(shù)和“．”個數(shù)差為2022時，n的值為．12．（2022?成都模擬）如圖，直線l1與直線l2所成的角∠B1OA1＝30°，過點A1作A1B1⊥l1交直線l2于點B1，OB1＝2，以A1B1為邊在△OA1B1外側作等邊三角形A1B1C1，再過點C1作A2B2⊥l1，分別交直線l1和l2于A2，B2兩點，以A2B2為邊在△OA2B2外側作等邊三角形A2B2C2，…按此規(guī)律進行下去，則第2022個等邊三角形A2022B2022C2022的周長為．六．整式的加減（共1小題）13．（2022?長沙模擬）已知多項式A＝﹣3x2+5x﹣4，B＝﹣x2﹣2x，則A﹣3B的結果為（）A．﹣6x2﹣x﹣4 B．11x﹣4 C．﹣x﹣4 D．﹣6x2﹣5七．冪的乘方與積的乘方（共1小題）14．（2022?南海區(qū)校級模擬）已知4a＝3b，12a＝27，則a+b＝（）A． B． C．2 D．3八．同底數(shù)冪的除法（共3小題）15．（2022?仙游縣模擬）下列運算正確的是（）A．a+a2＝a3 B．（ab）2＝ab2 C．a5÷a3＝a2 D．（a2）3＝a516．（2022?沈陽模擬）下列運算正確的是（）A．2a2+a3＝3a5 B．a2?a3＝a6 C．2a3÷a＝2a D．（2a）3＝8a317．（2022?沈陽模擬）下列運算正確的是（）A．3m3+4m2＝7m5 B．2m3÷m2＝2m C．m（m2）2＝m4 D．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y2九．單項式乘單項式（共2小題）18．（2022?武漢模擬）下列運算正確的是（）A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．2a+3a＝5a2 C．2a?3a＝6a D．2a﹣3a＝﹣119．（2022?八步區(qū)模擬）下列運算正確的是（）A．﹣2a2?3a3＝﹣6a5 B．a6÷a2＝a3 C．3a+b＝3ab D．a﹣（b+c）＝a﹣b+c一十．多項式乘多項式（共1小題）20．（2022?天河區(qū)校級模擬）某種植基地有一塊長方形和一塊正方形實驗田，長方形實驗田每排種植（3a﹣b）株豌豆幼苗，種植了（3a+b）排，正方形實驗田每排種植（a+b）株豌豆幼苗，種植了（a+b）排，其中a＞b＞0．（1）正方形實驗田比長方形實驗田少種植豌豆幼苗多少株？（2）當a＝5，b＝2時，該種植基地這兩塊實驗田一共種植了多少株豌豆幼苗？一十一．完全平方公式（共3小題）21．（2022?洪山區(qū)模擬）下列計算正確的是（）A．（x+y）2＝x2+y2 B．（﹣x）3?x2＝﹣x6 C．x3+x4＝x7 D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b322．（2022?沈陽模擬）下列各式中，正確的是（）A．（2a）3＝6a3 B．（a3）2＝a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2﹣4a2＝﹣123．（2022?東坡區(qū)校級模擬）下列各式計算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．（a+b）2＝a2+b2一十二．整式的混合運算（共3小題）24．（2022?河南模擬）下列計算正確的是（）A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（2a﹣1）（2a+1）＝4a2﹣1 D．（﹣2a）3＝﹣6a325．（2022?西城區(qū)校級模擬）計算：（1）；（2）2x3?（﹣x）2﹣（﹣x2）2?（﹣3x）；（3）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+2）；（4）（2x+3y+5）（2x﹣3y﹣5）；（5）（﹣2x2y+6x3y4﹣8xy）÷（﹣2xy）；（6）9×11×101．26．（2022?西城區(qū)校級模擬）計算：（1）（﹣m2n）3?（﹣2mn）÷（2m3）；（2）（a﹣2b）2﹣（a+3b）（a﹣3b）．一十三．整式的混合運算—化簡求值（共5小題）27．（2022?南海區(qū)校級模擬）先化簡，再求值：（x﹣y）（2x﹣y）﹣（x﹣y）2﹣x2，其中x＝﹣1，y＝+1．28．（2022?長沙模擬）先化簡，再求值：（x+y）2+（x+2y）（x﹣2y）+y（x+3y），其中x＝1，y＝2．29．（2022?東城區(qū)校級模擬）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代數(shù)式x（3x﹣6）﹣（x+2）（x﹣2）的值．30．（2022?長沙模擬）先化簡，再求值：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣3）2﹣6x，其中x＝﹣．31．（2022?天心區(qū)模擬）先化簡后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3．一十四．因式分解的意義（共1小題）32．（2022?長沙模擬）下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）﹣x C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+4一十五．因式分解-提公因式法（共5小題）33．（2022?長沙模擬）將多項式a2﹣16a進行因式分解的結果是（）A．a（a+4）（a﹣4） B．（a﹣4）2 C．a（a﹣16） D．（a+4）（a﹣4）34．（2022?廣東四模）因式分解：2（a﹣b）2+6（b﹣a）＝．35．（2022?沈陽模擬）因式分解：﹣4y3+4y＝．36．（2022?沈陽模擬）分解因式：m3n+mn＝．37．（2022?北京模擬）分解因式：6x2y﹣3xy＝．一十六．提公因式法與公式法的綜合運用（共3小題）38．（2022?南海區(qū)校級模擬）分解因式：27m3﹣3m＝．39．（2022?長沙模擬）因式分解：9ab2﹣a＝．40．（2022?成都模擬）分解因式：4ax2﹣a＝．一十七．因式分解的應用（共4小題）41．（2022?東坡區(qū)校級模擬）已知x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣6x2+2x+1＝（）A．﹣1 B．5 C．﹣3 D．142．（2022?重慶模擬）一個三位自然數(shù)m．將它任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調后得一個首位不為0的新三位自然數(shù)m'（m'可以與m相同），記m'＝，在m′所有的可能情況中，當|a+2b﹣c|最小時，我們稱此時的m′是m的“幸福美滿數(shù)”，并規(guī)定K（m）＝a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新數(shù)有：381、813、138；因為|3+2×1﹣8|＝3，|3+2×8﹣1|＝18，|8+2×1﹣3|＝7，|1+2×3﹣8|＝1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美滿數(shù)”．K（318）＝12+2×32﹣82＝﹣45．（1）若三位自然數(shù)t的百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字都為n（1≤n≤9．n為自然數(shù)），個位上的數(shù)字為0，求證：K（t）＝0；（2）設三位自然數(shù)