中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第13講 多邊形與平行四邊形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第13講多邊形與平行四邊形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.多邊形了解多邊形及正多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；知道用任意一個正三角形、正方形或正六邊形可以鑲嵌平面；了解四邊形的不穩(wěn)定性；了解特殊四邊形之間的關(guān)系．會用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計算問題；能用正三角形、正方形、正六邊形進行簡單的鑲嵌設(shè)計；能依據(jù)條件分解與拼接簡單圖形．2.平行四邊形會識別平行四邊形．掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì)，會用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡單問題．會運用平行四邊形的知識解決有關(guān)問題．【知識導(dǎo)圖】【考點梳理】考點一、多邊形多邊形：在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．多邊形的對角線是連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段.2.多邊形的對角線：從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引出(n－3)條對角線，共有n(n-3)/2條對角線，把多邊形分成了(n－2)個三角形．3．多邊形的角：n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°，外角和是360°.考點二、平面圖形的鑲嵌1．鑲嵌的定義用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．2．平面圖形的鑲嵌(1)一個多邊形鑲嵌的圖形有：三角形，四邊形和正六邊形；(2)兩個多邊形鑲嵌的圖形有：正三角形和正方形，正三角形和正六邊形，正方形和正八邊形，正三角形和正十二邊形；(3)三個多邊形鑲嵌的圖形一般有：正三角形、正方形和正六邊形，正方形、正六邊形和正十二邊形，正三角形、正方形和正十二邊形.考點三、三角形中位線定理1．連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.考點四、平行四邊形的定義、性質(zhì)與判定1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．2．性質(zhì)：(1)平行四邊形的對邊平行且相等；(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補；(3)平行四邊形的對角線互相平分；(4)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心．3．判定：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．考點五：平行線間的距離1．兩條平行線間的距離：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.

2．平行四邊形的面積：

平行四邊形的面積=底×高(等底等高的平行四邊形面積相等).【典型例題】題型一、多邊形與平面圖形的鑲嵌例1.如圖所示，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D，E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE重疊壓平，A與A′重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=_________.【思路點撥】首先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和公式可以求出四邊形ADA′E的內(nèi)角和，由折疊可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE，再利用鄰補角的關(guān)系即可求出∠1+∠2．【答案與解析】∵四邊形ADA′E的內(nèi)角和為（4-2）?180°=360°，

而由折疊可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，

∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE=360°-∠A-∠A′=360°-2×70°=220°，

∴∠1+∠2=180°×2-（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）=140°．【總結(jié)升華】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求和多邊形相關(guān)的角的度數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理．【變式】一個多邊形截取一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（）A.10B.11C.12D.以上都有可能【答案】D.例2．已知在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．（1）∠ABC+∠ADC=（用含x、y的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角，①當x＜y時，若x+y=140°，∠DFB=30°試求x、y．②小明在作圖時，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時，∠DFB不存在．【思路點撥】（1）利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出即可；（3）①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠DFB=y﹣x=30°，進而得出x，y的值；②當x=y時，DC∥BF，即∠DFB=0，進而得出答案．【答案與解析】解：（1）∠ABC+∠ADC=360°﹣x﹣y；故答案為：360°﹣x﹣y；（2）如圖1，延長DE交BF于G∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，∴∠CDE=∠CBF，又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，∴∠BGE=∠C=90°，∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，∵BF、DF分別平分∠CBM、∠CDN，∴∠CDF+∠CBF=（x+y），如圖2，連接DB，則∠CBD+∠CDB=180°﹣y，得∠FBD+∠FDB=180°﹣y+（x+y）=180°﹣y+x，∴∠DFB=y﹣x=30°，解方程組：，解得：；②當x=y時，DC∥BF，此時∠DFB=0，故x、y滿足x=y時，∠DFB不存在．【總結(jié)升華】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，正確應(yīng)用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型二、平行四邊形及其他知識的綜合運用例3．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于點G．若使EF=AD，那么平行四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件是（）A．∠ABC=60°B．AB：BC=1：4C．AB：BC=5：2D．AB：BC=5：8【思路點撥】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到對邊平行且相等，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代換后根據(jù)等角對等邊得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根據(jù)等式的基本性質(zhì)在等式兩邊都減去EF得到AF=DE，當EF=AD時，設(shè)EF=x，則AD=BC=4x，然后根據(jù)設(shè)出的量再表示出AF，進而根據(jù)AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB與BC的比值．【答案與解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，同理可得：DC=DF，∴AE=DF，∴AE-EF=DE-EF，即AF=DE，當EF=AD時，設(shè)EF=x，則AD=BC=4x，∴AF=DE=（AD-EF）=1.5x，∴AE=AB=AF+EF=2.5x，∴AB：BC=2.5：4=5：8．故選D．【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分性的定義以及等式的基本性質(zhì)，利用了等量代換的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生把所學(xué)的知識融匯貫穿，靈活運用．例4.已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F．（1）當點P為AB的中點時，如圖1，連接AF、BE．證明：四邊形AEBF是平行四邊形；（2）當點P不是AB的中點，如圖2，Q是AB的中點．證明：△QEF為等腰三角形．【思路點撥】（1）首先證明△BFQ≌△AEQ可得QE=QF，再由AQ=BQ可利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定四邊形AEBF是平行四邊形；（2）首先證明△FBQ≌△DAQ可得QF=QD，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得QE=QF=QD，進而可得結(jié)論．【答案與解析】證明：（1）如圖1，∵Q為AB中點，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，在△BFQ和△AEQ中：∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，∴四邊形AEBF是平行四邊形；（2）QE=QF，如圖2，延長FQ交AE于D，∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中，∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，∴QE=QF=QD，即QE=QF，∴△QEF是等腰三角形．【總結(jié)升華】此題主要考查了平行四邊形的判定，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．例5．如圖，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC上的一點，以AD為邊作等邊△ADE，過點C作CF∥DE交AB于點F．（1）若點D是BC邊的中點（如圖①），求證：EF=CD；（2）在（1）的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比；（3）若點D是BC邊上的任意一點（除B、C外如圖②），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)△ABC和△AED是等邊三角形，D是BC的中點，ED∥CF，求證△ABD≌△CAF，進而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可；

（2）在（1）的條件下可直接寫出△AEF和△ABC的面積比；（3）根據(jù)ED∥FC，結(jié)合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求證△ABD≌△CAF，得出ED=CF，進而求證四邊形EDCF是平行四邊形，即可證明EF=DC．【答案與解析】證明：∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等邊三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，在△ABD和△CAF中，∠BAD=∠ACF，AB=CA，∠FAC=∠B，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四邊形EDCF是平行四邊形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面積比為：1：4；（3）成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF中，∠BDA=∠AFC，∠B=∠FAC，AB=CA∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四邊形EDCF是平行四邊形，∴EF=DC．【總結(jié)升華】此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握．此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，難度較大．例6.在口ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F（1）在圖1中證明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點（如圖2），直接寫出∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．【思路點撥】根據(jù)AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證∠CEF=∠F即可．（2）根據(jù)∠ABC=90°，G是EF的中點可直接求得．（3）分別連接GB、GC，求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證△ECG是等邊三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求證△BEG≌△DCG，然后即可求得答案.【答案與解析】（1）證明：如圖1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）解：連接GC、BG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD為矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF為等腰直角三角形，∵G為EF中點，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG與△DCG中，∵EG=CG，∠BEG=∠DCG，BE=DC，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°，∴△DGB為等腰直角三角形，∴∠BDG=45°，（3）解：延長AB、FG交于H，連接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四邊形AHFD為平行四邊形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF為等腰三角形∴AD=DF∴平行四邊形AHFD為菱形∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH

∴BH=GF

在△BHD與△GFD中，∵DH=DF∠BHD=∠GFDBH=GF，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°【總結(jié)升華】此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識點，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．【變式】如圖，有八個全等的直角三角形拼成一個大四邊形ABCD和中間一個小四邊形MNPQ，連接EF、GH得到四邊形EFGH，設(shè)S四邊形ABCD=S1，S四邊形EFGH=S2，S四邊形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=，則S2=__________．【答案】.【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共8小題）1．（2022?湘西州）一個正六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為（）A．1080° B．720° C．540° D．360°【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理解答即可．【解答】解：一個正六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為：（6﹣2）×180°＝720°，故選：B．【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，利用多邊形的內(nèi)角和定理解答是解題的關(guān)鍵．2．（2022?煙臺）一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，則這個正多邊形是（）A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形【分析】設(shè)這個外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補列出方程求出外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和是360°即可求解．【解答】解：∵一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，∴設(shè)這個外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)題意得：x+3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8（邊），故選：C．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補列出方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022?益陽）如圖，在?ABCD中，AB＝8，點E是AB上一點，AE＝3，連接DE，過點C作CF∥DE，交AB的延長線于點F，則BF的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，則BE＝5，再判定四邊形DEFC是平行四邊形，則DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．【解答】解：在?ABCD中，AB＝8，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∵AE＝3，∴BE＝AB﹣AE＝5，∵CF∥DE，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC＝EF＝8，∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及判定，能夠熟練運用平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵，平行四邊形的判定；（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義判定法）；（2）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（3）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（兩組對邊平行判定）；（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．4．（2022?朝陽）將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，則∠EGC的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．70° D．60°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠GEF的度數(shù)，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠EGC的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠AEG＝∠EGC，∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∴∠GEF＝30°，∴∠GEA＝80°，∴∠EGC＝80°．故選：B．【點評】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．5．（2022?赤峰）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個四邊形ABCD，其中一張紙條在轉(zhuǎn)動過程中，下列結(jié)論一定成立的是（）A．四邊形ABCD周長不變 B．AD＝CD C．四邊形ABCD面積不變 D．AD＝BC【分析】由條件可知AB∥CD，AD∥BC，可證明四邊形ABCD為平行四邊形，可得到AD＝BC．【解答】解：由題意可知：AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC，故選：D．【點評】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)；證明四邊形ABCD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．6．（2022?甘肅）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和題目中的數(shù)據(jù)，可以求得正六邊形ABCDEF的邊長．【解答】解：連接BE，CF，BE、CF交于點O，如右圖所示，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AD的長約為8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD約為4mm，∴AF約為4mm，故選：D．【點評】本題考查多邊形的對角線，解答本題的關(guān)鍵是明確正六邊形的特點．7．（2022?達州）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，BC邊的中點，點F在DE的延長線上．添加一個條件，使得四邊形ADFC為平行四邊形，則這個條件可以是（）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【分析】利用三角形中位線定理得到DE∥AC，DE＝AC，結(jié)合平行四邊形的判定定理對各個選項進行判斷即可．【解答】解：∵D，E分別是AB，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，DE＝AC，A、當∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項不符合題意；B、∵DE＝EF，∴DE＝DF，∴AC＝DF，∵AC∥DF，∴四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項符合題意；C、根據(jù)AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項不符合題意；D、∵AD＝CF，AD＝BD，∴BD＝CF，由BD＝CF，∠BED＝∠CEF，BE＝CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的判定、三角形的中位線定理以及平行線的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的判定和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022?日照）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點O在坐標原點，點E是對角線AC上一動點（不包含端點），過點E作EF∥BC，交AB于F，點P在線段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P點的橫坐標為m，則m的取值范圍是（）A．4＜m＜3+ B．3﹣＜m＜4 C．2﹣＜m＜3 D．4＜m＜4+【分析】先求得點A，C，B三個點坐標，然后求得AB和AC的解析式，再表示出EF的長，進而表示出點P的橫坐標，根據(jù)不等式的性質(zhì)求得結(jié)果．【解答】解：可得C（，），A（4，0），B（4+，），∴直線AB的解析式為：y＝x﹣4，∴x＝y(tǒng)+4，直線AC的解析式為：y＝﹣，∴x＝4+y﹣2y，∴點F的橫坐標為：y+4，點E的橫坐標為：4+y﹣2y，∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，∵EP＝3PF，∴PF＝EF＝y(tǒng)，∴點P的橫坐標為：y+4﹣y，∵0＜y＜，∴4＜y+4﹣y＜3+，故答案為：A．【點評】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，不等式性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是表示出點P的橫坐標．二．填空題（共7小題）9．（2022?菏澤）如果正n邊形的一個內(nèi)角與一個外角的比是3：2，則n＝5．【分析】設(shè)外角為2x，則其內(nèi)角為3x，根據(jù)其內(nèi)外角互補可以列出方程求得外角的度數(shù)，然后利用外角和定理求得邊數(shù)即可．【解答】解：設(shè)外角為2x，則其內(nèi)角為3x，則2x+3x＝180°，解得：x＝36°，∴外角為2x＝72°，∵正n邊形外角和為360°，∴n＝360°÷72°＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了正多邊形的外角與內(nèi)角的知識，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角和和外角和定理是解決此類題目的關(guān)鍵．10．（2022?徐州）正十二邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為150°．【分析】首先求得每個外角的度數(shù)，然后根據(jù)外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補角即可求解．【解答】解：正十二邊形的每個外角的度數(shù)是：＝30°，則每一個內(nèi)角的度數(shù)是：180°﹣30°＝150°．故答案為：150°．【點評】本題考查了多邊形的計算，正確理解內(nèi)角與外角的關(guān)系是關(guān)鍵．11．（2022?眉山）一個多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個多邊形的邊數(shù)為11．【分析】多邊形的內(nèi)角和定理為（n﹣2）×180°，多邊形的外角和為360°，根據(jù)題意列出方程求出n的值．【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意可得：，解得：n＝11，故答案為：11．【點評】本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．記憶理解并應(yīng)用這兩個公式是解題的關(guān)鍵．12．（2022?畢節(jié)市）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點P為BC邊上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長度的最小值為．【分析】以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過O作BC的垂線P′O，證明△CAB∽△CP′O，利用相似三角形的性質(zhì)得出，求出OP'，即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO＝2，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴則PQ的最小值為2OP′＝，故答案為：．【點評】本題考查了勾股定理的運用、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．13．（2022?荊州）如圖，點E，F(xiàn)分別在?ABCD的邊AB，CD的延長線上，連接EF，分別交AD，BC于G，H．添加一個條件使△AEG≌△CFH，這個條件可以是BE＝DF（答案不唯一）．（只需寫一種情況）【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD，根據(jù)全等三角形的判定可得出結(jié)論．【解答】解：添加BE＝DF．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD，∴∠E＝∠F，∵BE＝DF，∴BE+AB＝CD+DF，即AE＝CF，在△AEG和△CFH中，，∴△AEG≌△CFH（ASA）．故答案為：BE＝DF（答案不唯一）．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022?遂寧）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A、F分別在正方形BMGH的邊BH、GH上．若正方形BMGH的邊長為6，則正六邊形ABCDEF的邊長為4．【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半可以求得AF的長．【解答】解：設(shè)AF＝x，則AB＝x，AH＝6﹣x，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∵∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六邊形ABCDEF的邊長為4，故答案為：4．【點評】本題考查正多邊形和圓，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．15．（2022?常德）如圖，已知F是△ABC內(nèi)的一點，F(xiàn)D∥BC，F(xiàn)E∥AB，若?BDFE的面積為2，BD＝BA，BE＝BC，則△ABC的面積是12．【分析】連接DE，CD，由平行四邊形的性質(zhì)可求S△BDE＝1，結(jié)合BE＝BC可求解S△BDC＝4，再利用BD＝BA可求解△ABC的面積．【解答】解：連接DE，CD，∵四邊形BEFD為平行四邊形，?BDFE的面積為2，∴S△BDE＝S?BDFE＝1，∵BE＝BC，∴S△BDC＝4S△BDE＝4，∵BD＝BA，∴S△ABC＝3S△BDC＝12，故答案為：12．【點評】本題主要考查三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共10小題）16．（2022?攀枝花）同學(xué)們在探索“多邊形的內(nèi)角和”時，利用了“三角形的內(nèi)角和”．請你在不直接運用結(jié)論“n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°”計算的條件下，利用“一個三角形的內(nèi)角和等于180°”，結(jié)合圖形說明：五邊形ABCDE的內(nèi)角和為540°．【分析】連接AD，AC，把五邊形ABCDE的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和即可．【解答】解：連接AD，AC，∴五邊形ABCDE的內(nèi)角和等于△AED，△ADC，△ABC的內(nèi)角和，∴五邊形ABCDE的內(nèi)角和＝180°×3＝540°．【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和的求法，關(guān)鍵是把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形．17．（2022?株洲）如圖所示，點E在四邊形ABCD的邊AD上，連接CE，并延長CE交BA的延長線于點F，已知AE＝DE，F(xiàn)E＝CE．（1）求證：△AEF≌△DEC；（2）若AD∥BC，求證：四邊形ABCD為平行四邊形．【分析】（1）利用SAS定理證明△AEF≌△DEC；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFE＝∠DCE，得到AB∥CD，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明結(jié)論．【解答】證明：（1）在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（SAS）；（2）∵△AEF≌△DEC，∴∠AFE＝∠DCE，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．【點評】本題考查的是平行四邊形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．18．（2022?長沙）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝AD．（1）求證：AC⊥BD；（2）若點E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點，連接EF，EF＝，AO＝2，求BD的長及四邊形ABCD的周長．【分析】（1）由菱形的判定得?ABCD是菱形，再由菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由三角形中位線定理得OD＝2EF＝3，再由菱形的性質(zhì)得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，然后由勾股定理得AD＝，即可求出菱形ABCD的周長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴?ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）解：∵點E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點，∴EF是△AOD的中位線，∴OD＝2EF＝3，由（1）可知，四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴菱形ABCD的周長＝4AD＝4．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022?桂林）如圖，在?ABCD中，點E和點F是對角線BD上的兩點，且BF＝DE．（1）求證：BE＝DF；（2）求證：△ABE≌△CDF．【分析】（1）根據(jù)BF﹣EF＝DE﹣EF證得結(jié)論；（2）利用全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BF＝DE，BF﹣EF＝DE﹣EF，∴BE＝DF；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，且AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（SAS）．【點評】本題綜合考查全等三角形的判定和平行四邊形的有關(guān)知識．全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．20．（2022?揚州）如圖，在?ABCD中，BE、DG分別平分∠ABC、∠ADC，交AC于點E、G．（1）求證：BE∥DG，BE＝DG；（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F．若?ABCD的周長為56，EF＝6，求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，由角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)可得∠DGE＝∠BEG，進而可證明BE∥DG；利用ASA證明△ADG≌△CBE可得BE＝DG；（2）過E點作EH⊥BC于H，由角平分線的性質(zhì)可求解EH＝EF＝6，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解AB+BC＝28，再利用三角形的面積公式計算可求解．【解答】（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，∵BE、DG分別平分∠ABC、∠ADC，∴∠ADG＝∠CBE，∵∠DGE＝∠DAC+∠ADG，∠BEG＝∠BCA+∠CBE，∴∠DGE＝∠BEG，∴BE∥DG；在△ADG和△CBE中，，∴△ADG≌△CBE（ASA），∴BE＝DG；（2）解：過E點作EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，∴EH＝EF＝6，∵?ABCD的周長為56，∴AB+BC＝28，∴S△ABC＝＝＝＝84．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義與性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2022?鞍山）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】結(jié)合已知條件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS證得△ABE≌△CDF，則其對應(yīng)邊相等：AB＝CD；最后根據(jù)“對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論．【解答】證明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE與△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．22．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是AD的中點，連接BO并延長交CD的延長線于點E，連接BD，AE．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）若BD＝CD，判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由．【分析】（1）證△ABO≌△DEO（AAS），得OB＝OE，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，再證AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABO＝∠DEO，∵點O是邊AD的中點，∴AO＝DO，在△ABO和△DEO中，，∴△ABO≌△DEO（AAS），∴OB＝OE，∴四邊形ABDE是平行四邊形；（2）解：四邊形ABDE是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵BD＝CD，∴AB＝BD，∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴平行四邊形ABDE是菱形．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2022?溫州）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，O是DF的中點，EO的延長線交線段BD于點G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．（2）當AD＝5，tan∠EDC＝時，求FG的長．【分析】（1）由三角形中位線定理得EF∥BC，則∠EFO＝∠GDO，再證△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DE＝AC＝CE，則∠C＝∠EDC，再由銳角三角函數(shù)定義得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝，則DE＝AC＝，進而由平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO，∵O是DF的中點，∴OF＝OD，在△OEF和△OGD中，，∴△OEF≌△OGD（ASA），∴EF＝GD，∴四邊形DEFG是平行四邊形．（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中點，∴DE＝AC＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴tanC＝＝tan∠EDC＝，即＝，∴CD＝2，∴AC＝＝＝，∴DE＝AC＝，由（1）可知，四邊形DEFG是平行四邊形，∴FG＝DE＝．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)定義等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2022?大慶）如圖，在四邊形ABDF中，點E，C為對角線BF上的兩點，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．連接AE，CD．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）若AE＝AC，求證：AB＝DB．【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC＝EF，從而利用SSS證明△ABC≌△DFE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠DFE，從而可得AB∥DF，即可解答；（2）連接AD交BF于點O，利用平行四邊形的性質(zhì)可得OB＝OF，從而可得OE＝OC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得AO⊥EC，然后證明四邊形ABDF是菱形，即可解答．【解答】證明：（1）∵EB＝CF，∴EB+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，∵AB＝DF，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∴四邊形ABDF是平行四邊形；（2）連接AD交BF于點O，∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴OB＝OF，∵BE＝CF，∴OB﹣BE＝OF﹣CF，∴OE＝OC，∵AE＝AC，∴AO⊥EC，∴四邊形ABDF是菱形，∴AB＝BD．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022?畢節(jié)市）如圖1，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）如圖2，E，F(xiàn)，G分別是BO，CO，AD的中點，連接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周長．【分析】（1）根據(jù)已知可得AD∥BC，然后再利用ASA證明△AOD≌△COB，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得AD＝BC，最后利用平行四邊形的判定方法即可解答；（2）連接DF，利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，從而可得AB＝DO＝DC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得DF⊥OC，從而在Rt△AFD中，利用勾股定理求出DF的長，然后利用直角三角形斜邊上的中線可求出FG的長，再根據(jù)三角形的中位線定理可得EF＝BC＝7.5，EF∥BC，從而可得四邊形GEFD是平行四邊形，進而可得EG＝DF＝9，最后進行計算即可解答．【解答】（1）證明：∵∠BCA＝∠CAD，∴AD∥BC，在△AOD與△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：連接DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，∵BD＝2AB，∴AB＝OD，∴DO＝DC，∵點F是OC的中點，∴OF＝OC＝4，DF⊥OC，∴AF＝OA+OF＝12，在Rt△AFD中，DF＝＝＝9，∴點G是AD的中點，∠AFD＝90°，∴DG＝FG＝AD＝7.5，∵點E，點F分別是OB，OC的中點，∴EF是△OBC的中位線，∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC，∴EF＝DG，EF∥AD，∴四邊形GEFD是平行四邊形，∴GE＝DF＝9，∴△EFG的周長＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，∴△EFG的周長為24．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共5小題）1．（2023?西城區(qū)校級模擬）五邊形的內(nèi)角和是（）A．360° B．540° C．720° D．1080°【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為：（n﹣2）?180°（n≥3，且n為整數(shù)），求出五邊形的內(nèi)角和是多少度即可．【解答】解：五邊形的內(nèi)角和是：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°．故選：B．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，掌握確n邊形的內(nèi)角和為：（n﹣2）?180°（n≥3，且n為整數(shù)）是關(guān)鍵．2．（2023?海棠區(qū)一模）如圖，?ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若∠BOC＝120°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝（）A．4 B．4 C．4 D．8【分析】根據(jù)四邊形ABCD是矩形，∠BOC＝120°，可得△AOB是等邊三角形，再根據(jù)勾股定理即可求出AD的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∴AC＝2OA＝8，∴AD＝＝＝4．故選：C．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等3．（2023?定遠縣校級一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，連接OE，下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四邊形ABCD＝AC?CD；④S四邊形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可證明△ABE為等邊三角形，由BC＝AD＝2AB，可判斷①，證明∠BAC＝90°，可判斷②；由平行四邊形的面積公式可判斷③；利用三角形中線的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積可求解判斷④，由三角形中位線定理可求AB＝2OE，即可判斷⑤，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE為等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵BC＝AD＝2AB，∴EC＝AE＝BE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正確；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②錯誤；∴S?ABCD＝AB?AC＝AC?CD，故③正確；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中點，∴S△BEO：S△BCD＝1：4，∴S四邊形OECD：S△BCD＝3：4，∴S四邊形OECD：S?ABCD＝3：8，∵S△AOD：S?ABCD＝1：4，∴S四邊形OECD＝S△AOD，故④正確．∵AO＝OC，BE＝EC，∴AB＝2OE，∵AD＝2AB，∴OE＝AD，故⑤正確，故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．4．（2023?孟村縣校級一模）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對角線AD的長約為8mm，則正六邊形ABCDEF的邊長為（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和題目中的數(shù)據(jù)，可以求得正六邊形ABCDEF的邊長．【解答】解：連接BE，CF，BE、CF交于點O，如右圖所示，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AD的長約為8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD約為4mm，∴AF約為4mm，故選：D．【點評】本題考查多邊形的對角線，解答本題的關(guān)鍵是明確正六邊形的特點．5．（2023?吉陽區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點，分別聯(lián)結(jié)DE、EF、DF、AE，點O是AE與DF的交點，下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①△DEF的周長是△ABC周長的一半；②AE與DF互相平分；③如果∠BAC＝90°，那么點O到四邊形ADEF四個頂點的距離相等；④如果AB＝AC，那么點O到四邊形ADEF四條邊的距離相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①根據(jù)三角形中位線定理即可解決問題；②根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形ADEF是平行四邊形，進而可以解決問題；③證明四邊形ADEF是矩形，進而可以解決問題；④證明四邊形ADEF是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：①∵點D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點，∴EF＝AB，DF＝，DE＝AC，∴EF+DF+DE＝（AB+BC+AC），∴△DEF的周長是△ABC周長的一半，故①正確；②∵點D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點，∴DE∥AC，DF∥∥BC，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AE與DF互相平分，故②正確；③∵∠BAC＝90°，四邊形ADEF是平行四邊形，∴四邊形ADEF是矩形，∴AE＝DF，OA＝OE＝OD＝OF，∴點O到四邊形ADEF四個頂點的距離相等，故③正確；④∵AB＝AC，∴AD＝AF，∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴四邊形ADEF是菱形，∴AE，DF是菱形兩組對角的平分線，∴點O到四邊形ADEF四條邊的距離相等，故④正確．綜上所述：正確的是①②③④，共4個，故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理．二．填空題（共6小題）6．（2023?雁塔區(qū)校級一模）正六邊形的一個內(nèi)角是正n邊形一個外角的5倍，則n等于15．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形的一個內(nèi)角等于120°，再根據(jù)多邊形的外角和是360°即可解答．【解答】解：正六邊形的一個內(nèi)角為：，∵正六邊形的一個內(nèi)角是正n邊形一個外角的5倍，∴正n邊形一個外角為：120°÷5＝24°，∴n＝360°÷24°＝15．故答案為：15．【點評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，理解多邊形外角和中外角的個數(shù)，以及正多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，是解題關(guān)鍵．7．（2023?海棠區(qū)一模）如圖所示，在正六邊形ABCDEF內(nèi)，以AB為邊作正五邊形ABGHI，則∠CBG＝12°．【分析】分別求出正六邊形，正五邊形的內(nèi)角可得結(jié)論．【解答】解：在正六邊形ABCDEF內(nèi)，正五邊形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°，∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°．故答案為：12°．【點評】本題考查正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是求出正多邊形的內(nèi)角，屬于中考常考題型．8．（2023?吉陽區(qū)一模）如圖，平面上兩個正方形與正五邊形都有一條公共邊，則∠α等于72度．【分析】先分別求出正五邊形的一個內(nèi)角為108°，正方形的每個內(nèi)角是90°，再根據(jù)圓周角是360度求解即可．【解答】解：正五邊形的一個內(nèi)角為108°，正方形的每個內(nèi)角是90°，所以∠α＝360°﹣108°﹣90°﹣90°＝72°．【點評】主要考查了多邊形的內(nèi)角和．多邊形內(nèi)角和公式：（n﹣2）?180°．9．（2023?鼓樓區(qū)校級一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延長線于F點，則CF＝2．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠2，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠2＝∠3，∠1＝∠F，然后求出∠1＝∠3，∠4＝∠F，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AD＝DE，CE＝CF，根據(jù)平行四邊形對邊相等代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【解答】解：如圖，∵AE平分∠DAB，∴∠1＝∠2，平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠2＝∠3，∠1＝∠F，又∵∠3＝∠4（對頂角相等），∴∠1＝∠3，∠4＝∠F，∴AD＝DE，CE＝CF，∵AB＝5，AD＝3，∴CE＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，∴CF＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了平行四邊形對邊相等，對邊平行的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023?雁塔區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一點，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4cm，則四邊形DECF的周長是8cm．【分析】求出BC，求出BF＝DF，CE＝AE，代入得出四邊形DECF的周長等于BC+AC，代入求出即可【解答】解：∵∠A＝∠B，∴BC＝AC＝4cm，∵DF∥AC，∴∠A＝∠BDF，∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠BDF，∴DF＝BF，同理AE＝DE，∴四邊形DECF的周長為：CF+DF+DE+CE＝CF+BF+AE+CE＝BC+AC＝4cm+4cm＝8cm，故答案為：8cm．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是求出BF＝DF，DE＝AE．11．（2023?雁塔區(qū)校級一模）如圖，?OABC的頂點O是坐標原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C，y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點B．若OC＝AC，則k＝3．【分析】設(shè)出C點的坐標，根據(jù)C點的坐標得出B點的坐標，然后計算出k值即可．【解答】解：由題知，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C，設(shè)C點坐標為（a，），作CH⊥OA于H，過A點作AG⊥BC于G，∵四邊形OABC是平行四邊形，OC＝AC，∴OH＝AH，CG＝BG，四邊形HAGC是矩形，∴OH＝CG＝BG＝a，即B（3a，），∵y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點B，∴k＝3a?＝3，故答案為：3．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）12．（2023?槐蔭區(qū)模擬）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E，F(xiàn)分別是OD，OB的中點，連接AE，CF，求證：AE＝CF．【分析】利用SAS證明△ABE≌△CDF后利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可證得結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC，OD＝OB，∴∠ABE＝∠CDF，∵點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，∴OE＝ED，OF＝BF，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．【點評】考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．13．（2023?市南區(qū)校級一模）如圖，在?ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，延長邊CD到點F，使DF＝DC，過點F作EF∥AC，連接OF、EC．（1）求證△ODC≌△EDF．（2）連接AF，已知②．（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形OCEF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：AF＝FC且AC＝2DC；條件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．【分析】（1）由DF＝DC，EF∥AC，可以證明△ODC≌△EDF；（2）由△ODC≌△EDF推出四邊形OCEF是平行四邊形，再由OD＝DC證明四邊形OCEF是矩形，最后由∠BEC＝45°即可證明四邊形OCEF是正方形．【解答】（1）證明：∵EF∥AC，∴∠EFC＝∠DCO，∠FED＝∠DOC，∵DF＝DC，∴△ODC≌△EDF（AAS）；（2）選擇②，四邊形OCEF是正方形，證明：∵△ODC≌△EDF（AAS），∴OD＝DE，CD＝DF，∴四邊形OCEF是平行四邊形，∵OD＝DC，∴OD＝DE＝CD＝DF，∴四邊形OCEF是矩形，∵∠BEC＝45°，∴∠EOC＝45°，∴∠OEC＝∠EOC，∴OC＝CE，∴四邊形OCEF是正方形，【點評】本題考查三角形全等的判定，正方形的判定，關(guān)鍵是掌握正方形的判定：判定四邊形即是矩形，又是菱形．14．（2023?閻良區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分線AF，DE分別與線段BC交于點F，E，AF與DE交于點G．（1）求證：AF⊥DE，BF＝CE．（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的長度．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BAD+∠ADC＝180°；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)推知∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°，即∠AGD＝90°．證得∠BAF＝∠AFB，由等腰三角形的判定可得出AB＝BF，同理可得CD＝CE，則可得出結(jié)論；（2）過點C作CK∥AF交AD于K，交DE于點I，證明四邊形AFCK是平行四邊形，∠AGD＝∠KID＝90°，得出AF＝CK＝8，由勾股定理求出DI，則可得出答案．【解答】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°．∵AE，DF分別是∠BAD，∠ADC的平分線，∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．∴∠AGD＝90°．∴AE⊥DF．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAF＝∠AFB，又∵∠DAF＝∠BAF，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，同理可得CD＝CE，∴BF＝CE；（2）解：過點C作CK∥AF交AD于K，交DE于點I，∵AK∥FC，AF∥CK，∴四邊形AFCK是平行四邊形，∠AGD＝∠KID＝90°，∴AF＝CK＝8，∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，∴∠DKI＝∠DCI，∴DK＝DC＝6，∴KI＝CI＝4，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝∠CDE，∴CE＝CD，∵CI⊥DE，∴EI＝DI，∵DI＝＝＝2，∴DE＝2DI＝4．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023?西城區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，且AO＝CO，點E在BD上，∠EAO＝∠DCO．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（1）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，，求BE的長．【分析】（1）證△EOA≌△DOC（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得OB⊥AC，求出AO＝4，再由勾股定理求出OD＝3，則OE＝3，然后由銳角三角函數(shù)定義得出OB＝6，即可得出答案．【解答】（1）證明：在△EOA和△DOC中，，∴△EOA≌△DOC（ASA），∴OD＝OE，又∵AO＝CO，∴四邊形AECD是平行四邊形；（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC，∴∠COD＝∠AOB＝90°，由（1）得：OD＝OE，∵AC＝8，∴AO＝CO＝AC＝4，在Rt△DOC中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴OE＝OD＝3，∵tan∠ABD＝＝＝，∴OB＝6，∴BE＝OB﹣OE＝6﹣3＝3．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【名校自招練】一．選擇題（共2小題）1．（2021?浦東新區(qū)校級自主招生）小明每走5米，順時針轉(zhuǎn)20°，則（）A．小明不會回到原點 B．小明會回到原點，路程小于80m C．小明會回到原點，路程恰為90m D．小明會回到原點，路程大于120m【分析】先根據(jù)已知和多邊形的外角和求出組成的多邊形的邊數(shù)，再逐個求出即可．【解答】解：根據(jù)題意可知：組成的多邊形的邊數(shù)360°÷20°＝18，小明走的路程總和是18×5m＝90（m），所以小明會回到原點，路程恰為90m．故選：C．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和定理，能熟記多邊形的外角和等于360°是解此題的關(guān)鍵．2．（2022?南陵縣自主招生）如圖所示，在正六邊形ABCDEF內(nèi)，以AB為邊作正五邊形ABGHI，則∠FAI＝（）A．10° B．12° C．14° D．15°【分析】分別求出正六邊形，正五邊形的內(nèi)角可得結(jié)論．【解答】解：在正六邊形ABCDEF內(nèi)，正五邊形ABGHI中，∠FAB＝120°，∠IAB＝108°，∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°，故選：B．【點評】本題考查正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是求出正多邊形的內(nèi)角，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共3小題）3．（2021?大渡口區(qū)自主招生）已知一個多邊形每個外角都等于45°，則它的邊數(shù)是8．【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360°，正多邊形的每個外角都相等，且一個外角的度數(shù)為45°，由此即可求出答案．【解答】解：∵多邊形的外角和是360°，每個外角都等于45°，∴360÷45＝8，∴正多邊形的邊數(shù)為8．故答案為：8．【點評】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：多邊形的外角和等于360°．4．（2022?寧波自主招生）如圖，點P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點，△PAB的面積為5，△PAD的面積為3，則△PAC的面積為2．【分析】過點P作PE⊥AD于點E，延長EP交CB于點F，證出S△PAD+S△PBC＝S平行四邊